中考培优第二轮复习专题 第10章 代数法解决反比例问题学案(含答案)

第十章 代数法解决反比例问题
我们平时在做题时经常会遇到这样的情况：长时间想不出某道题，结果经过高人指点一下，只需添几条线，思路豁然就开朗了，为什么会这样呢？
其实在解决几何问题时，辅助线或者一些构造虽巧妙，但对学生的思维要求实在高，但是如果用代数法呢？我们只需将条件全部用起来，建立起等量关系，一些问题即可迎刃而解，说明代数法对于思维的要求较低，但是需要一定的计算功力！
例题讲解
例题1、如图，在△OAB中，C是AB的中点，反比例函数y＝（k＞0）在第一象限的图象经过A、C两点，若△OAB的面积为6，则k的值为___________．
【解析】
一般若在反比例上存在两个点，则可利用这两点的横纵坐标乘积相等建立等式．（都等于k）但在设坐标时，需要好好考虑一下
先设A（a，），那么接下去不设C点坐标，而是设B点坐标，C点坐标留着最后建立等式用，在设B点坐标时，充分利用条件“△OAB的面积为6”，可得OB＝，∴B（，0）．
∵点C为AB中点，利用中点公式，求出C（＋，）．
∴（＋）(＝k，解得k＝4．
基本步骤：设坐标，求坐标，建等式，得结果
例题2、如图，已知四边形ABCO的底边AO在x轴上，BC∥AO，AB⊥AO，过点C的双曲线y＝交OB于D，且OD:DB＝1：2，若△OBC的面积等于3，则k的值为_______．
【解析】
同样的，发现反比例函数上有两点（C和D），所以可先设D（m，）如图，∵OD:DB＝1：2，∴作DF⊥OA构造相似，可得B（3m，），再利用△OBC的面积为3，∴(BC(＝3，解得BC＝，∴CE＝3m－，∴C（3m－，），∴（3m－）(＝k，解得k＝．
（在求出B点坐标后，同样可以利用纵坐标相等先求出C点纵坐标也为，再代入函数求得横坐标为，所以C（，），最后利用面积建立等式亦可，所以BC＝，所以((＝k，同样可解出k＝)
例题3、如图，Rt△ABC中，∠OAB＝90°，直角边OA在平面直角坐标系的x轴上，O为坐标原点，OA＝2，AB＝4，函数y＝（x＞0）的图像分别与BO、BA交于C、D两点，且以B、C、D为顶点的三角形与△OAB相似，则k的值为__________．
【解析】
要使B、C、D为顶点的三角形与△OAB相似，只有∠BCD＝90°，且＝的情况设D（2，），想办法表示出C点坐标，然后建立等式即可很明显，需要将＝转化，过点C作CE⊥ED，BD＝4－，BC＝BD＝（4－），∴CE＝BC＝（4－），ED＝（4－），
∴C点横坐标为2－（4－）＝＋＝（2＋k），
纵坐标为＋（4－）＝＋＝（2＋k）．
∴（2＋k）(（2＋k）＝k，解得k1＝，k2＝8．
当k＝8时，D与B重合，不成立，∴k＝．
例题4、如图，已知直线l与反比例函数y＝（k＞0）位于第一象限的图像相交于A、B两点，并与y轴、x轴分别交于C、D．试判断AC与BD的数量关系并说明理由．【用代数法解决】
【解析】
如果AC＝BD，那么△AMC≌△DNB，即AM＝ND，也就是说，当我们心中认定AC＝BD了，那么AM＝ND一定成立，既然一定成立，那么只要勇敢往下算，往“相等”的情况去化简即可！
AM可以认为是点A的横坐标，ND可以认为是点D与点B横坐标之差，点A与点B为两个函数交点，所以需要将函数设出来，不妨设直线AB解析式为y＝ax＋b，两个函数求交点，有ax＋b＝，整理一下为一元二次方程：ax2＋bx－k＝0，若设该方程的两个根分别为x1、x2，x1、x2即为点A与点B的横坐标，不妨令A横坐标＝x1，B横坐标＝x2，我们要证明：AM＝OD－ON，即AM＋ON＝OD，即x1＋x2＝OD，根据两根和公式，易求得x1、x2＝－，那么OD是否等于－呢？点D为一次函数与x轴交点，所以令y＝0，易求得D横坐标＝－，所以AM＝ND成立！
巩固训练
1、如图，A是反比例函数y＝图像上一点，C是线段OA上一点，且OC：OA＝1：3作CD⊥x轴，垂足为点D，延长DC交反比例函数图像于点B，S△ABC＝8，则k的____________．
解答：
过A作AE⊥x轴于E，∵CD⊥x轴，∴CD∥AE，∴△OCD∽△OAE，
∴OD:OE＝CD：AE＝OC:OA＝1：3，
设C（m，n），A（3m，3n），
∵A，B是反比例函数y＝图象上的点，
∴9mn＝k，∴B（m，9n），∴S△ABC＝×（9n－n）（3m－m）＝8，
∴mn＝1，∴k＝9mn＝9．
2、如图，点A是反比例函数y＝的图象上的一点，B是直线OA上的一点，且OA＝AB，过点B作x轴的平行线交曲线y＝于点C，连OC，若S△ABC＝9，那么k的值等于_________．
解答：
设A（a，），∵OA＝AB，∴B（2a，），∴C的纵坐标为，
代入y＝得，＝，解得x＝a，∴C（a，），
∵S△ABC＝9，OA＝AB，∴S△BOC＝18，
∵S△BOC＝BC?＝（2a－a）?＝18，解得k＝6．
3、如图，等腰Rt△ABC顶点A在x轴上，∠BCA＝90°，AC＝BC＝2，反比例函数y＝（x＞0）的图象分别与AB，BC交于点D，E．连结DE，当△BDE∽△BCA时，点E的坐标为__________．
解答：
∵∠BCA＝90°，AC＝BC＝2，反比例函数y＝（x＞0）的图象分别与AB，BC交于点D，E，
∴∠BAC＝∠ABC＝45°，且可设E（a，），D（b，），
∴C（a，0），B（a，2），A（a－2，0），
∴易求直线AB的解析式是：y＝x＋2－a．
又∵△BDE∽△BCA，∴∠BDE＝∠BCA＝90°，
∴直线y＝x与直线DE垂直，
∴点D、E关于直线y＝x对称，则＝，即ab＝3．
又∵点D在直线AB上，
∴＝b＋2－a，即2a2－2a－3＝0，解得，a＝，
∴点E的坐标是（，）．
故答案是：（，）．
4、如图，△ABC顶点A在x轴上，∠BCA＝90°，AC＝4，BC＝3，反比例函数y＝－（x＜0）的图象分别与AB，BC交于点D，E．设点E、D的横坐标分别为a、b，连结DE，当△BDE∽△BCA时，a、b的关系式为___________．
解答：
∵∠BCA＝90°，反比例函数y＝－（x＜0）的图象分别与AB，BC交于点D，E，点E、D的横坐标分别为a、b，
∴E（a，－），D（b，－），∵AC＝4，BC＝3，
∴C（a，0），B（a，3），A（4＋a，0），
设直线AB的解析式为y＝kx＋m，
∴(4＋a)k＋m＝0，ak＋m＝3，解得：k＝－，m＝3＋a，
∴直线AB的解析式为y＝－x＋3＋a，
又∵△BDE∽△BCA，∴∠BDE＝∠BCA＝90°，∴AB⊥DE，
过点D作x轴的垂线，过点E作y轴的垂线，两线交于点H，如图所示，
∴△EHD∽△BCA，∴HE＝HD，即b－a＝（－），∴b＝．
故答案为：b＝．
5、如图，将边长为10的等边△OAB放置于平面直角坐标系xOy中，C是AB边上的动点（不与端点A，B重合），作CD⊥OB于点D，若点C，D都在双曲线y＝（k＞0，x＞0）上，则k的值为_________．
解答：
过点A作AE⊥OB于点E，如图所示．
∵△OAB为边长为10的正三角形，
∴点A的坐标为（10，0），点B的坐标为（5，5），点E的坐标为（，）．
∵CD⊥OB，AE⊥OB，∴CD∥AE，∴BD:BE＝BC:BA．
设BD:BE＝BC:BA＝n（0＜n＜1），
∴点D的坐标为（，），点C的坐标为（5＋5n，5－5n）．
∵点C、D均在反比例函数y＝图象上，
∴k＝×，k＝(5＋5n)(5－5n)，解得：n＝，k＝9．
6、如图，已知点A、B是反比例函数y＝－上在第二象限内的分支上的两个点，点C（0，3），且△ABC满足AC＝BC，∠ACB＝90°，则线段AB的长为____________．
解答：
过点A作AD⊥y轴于点D，过点B作BE⊥y轴于点E，如图所示．
∵∠ACB＝90°，∴∠ACD＋∠BCE＝90°，
又∵AD⊥y轴，BE⊥y轴，∴∠ACD＋∠CAD＝90°，∠BCE＋∠CBE＝90°，
∴∠ACD＝∠CBE，∠BCE＝∠CAD．
在△ACD和△CBE中，由∠CAD＝∠BCE，AC＝CB，∠ACD＝∠CBE，
∴△ACD≌△CBE（ASA）．
设点B的坐标为（m，－）（m＜0），则E（0，－），点D（0，3－m），点A（－－3，3－m），
∵点A（－－3，3－m）在反比例函数y＝－上，
∴3－m＝－，解得：m＝－3，m＝2（舍去）．
∴点B的坐标为（－3，2），
∴AB＝BC＝(＝2．
故答案为：2．
7、如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，△ABO的边AB垂直于x轴，垂足为点B，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过AO上的点C，且＝，与AB相交于点D，OB＝6，AD＝．
（1）求点C的横坐标；
（2）求反比例函数y＝的解析式；
解答：
（1）如图，过点C作CE⊥x轴于点E，
∵AB⊥x轴，∴CE∥AB，∴＝
又∵＝，OB＝6，∴＝，则OE＝4，
∴点C的横坐标是4；
（2）设点D的坐标为（6，m）（m＞0），则点A的坐标为（6，＋m），
∵点C的坐标为（4，＋m），
∵点C、点D均在反比例函数y＝（x＞0）的函数图象上，
∴6m＝4×（＋m），解得：m＝2．故k＝12
∴反比例函数的解析式为y＝．
8、在矩形AOBC中，OB＝4，OA＝3，分别以OB，OA所在直线为x轴和y轴，建立如图所示的平面直角坐标系xOy，F是边BC上的一个动点（不与B，C重合），过点F的反比例函数y＝（k＞0）的图象与边AC交于点E，连接OE，OF．
（1）若CF＝2BF，求△EOF的面积；
（2）求tan∠EFC的值；
（3）是否存在这样的点F，使得△CEF沿EF折叠后，点C恰好落在OB上？若存在，求出反比例函数y＝的函数表达式；若不存在，请说明理由．
解答：
(1)∵CF＝2BF，BC＝3，∴BF＝1，CF＝2，∴F(4，1)，∴y＝，∴E(，3)，∴CE＝，
S△OEF＝S矩形－S△AOE－S△CEF－S△BOF＝3×4－××3－××2－×4×1＝．
(2)tan∠EFC＝＝．
(3)过点E作ED⊥OB于点D，根据折叠的性质得∠EMF＝∠C＝90°，EC＝EM，CF＝DF，易证Rt△MED∽Rt△BMF；而EC＝AC－AE＝4－，CF＝BC－BF＝3－，得到EM＝4－，MF＝3－，即可得EM:MF＝9:4；故可得出EM:MB＝ED:MF＝4：3，而ED＝3，从而求出BM＝，然后在Rt△MBF中利用勾股定理得到关于k的方程（3－）2＝（）2＋（）2，解方程求出k＝，即可得解析式y＝．
9、如图，将边长为4的等边△AOB放置于平面直角坐标系xOy中，F是AB边上的动点（不与端点A、B重合），过点F的反比例函数y＝（k＞0，x＞0）与OA边交于点E，过点F作FC⊥x轴于点C，连结EF、OF．
（1）若S△OCF＝，求反比例函数的解析式；
（2）在（1）的条件下，试判断以点E为圆心，EA长为半径的圆与y轴的位置关系，并说明理由；
（3）AB边上是否存在点F，使得EF⊥AE？若存在，请求出BF:FA的值；若不存在，请说明理由．
解答：
（1）设F（x，y），（x＞0，y＞0），则OC＝x，CF＝y，
∴S△OCF＝xy＝，∴xy＝2，∴k＝2，
∴反比例函数解析式为y＝（x＞0）；
（2）该圆与y轴相离，
理由为：过点E作EH⊥x轴，垂足为H，过点E作EG⊥y轴，垂足为G，
在△AOB中，OA＝AB＝4，∠AOB＝∠ABO＝∠A＝60°，
设OH＝m，则tan∠AOB＝＝，
∴EH＝m，OE＝2m，∴E坐标为（m，m），
∵E在反比例y＝图象上，∴m＝．
∴m1＝，m2＝－(舍)，
∴OE＝2，EA＝4－2，EG＝．
∵4－2＜，∴EA＜EG．∴以E为圆心，EA为半径的圆与y轴相离．
（3）存在．
假设存在点F，使AE⊥FE，过E点作EH⊥OB于点H，设BF＝x．
∵△AOB是等边三角形，
∴AB＝OA＝OB＝4，∠AOB＝∠ABO＝∠A＝60°．
∴BC＝FB·cos∠FBC＝x，FC＝FB－sin∠FBC＝x，∴AF＝4－x，OC＝0B－BC＝4－x．
∵AE⊥FE，∴AE＝AF·cosA＝2－x，∴OE＝OA－AE＝x＋2．
∴OH＝OE(cos∠AOB＝x＋1，EH＝OE·sin∠AOB＝x＋．
∴E（x＋1，x＋），F（4－x，x）．
∵E、F都在双曲线y＝的图象上，
∴（x＋1）(（x＋）＝（4－x）(x．解得：x1＝4，x2＝．
当BF＝4时，AF＝0，BF:AF不存在，舍去．
当BF＝时，AF＝，BF:AF＝1：4
10、如图，在矩形OABC中，F是AB上的一个动点（F不与A，B重合），过点F的反比例函数y＝的图象与BC边交于点E．
（1）当F为AB的中点，四边形OFBE的面积为6时，求该函数的解析式；
（2）连接OB交反比例函数y＝的图象于点D，若点D横坐标为2，＝时，求点B坐标；
（3）在（2）的条件下，当k为何值时，△EFA的面积最大，最大面积是多少？
解答：
（1）在矩形OABC中，设点E坐标为（a，b），点F坐标为（x，y）．则点B坐标为（x，2y）
∴S△OCE＝ab＝k，S△OAF＝xy＝k，S矩形OABC＝2xy＝2k，
∵S矩形OABC－S△OCE－S△OAF＝6，∴2k－k－k＝6．∴k＝6．∴解析式为y＝．
(2)过点D作DM⊥OA于点M，如图，由题意得，D点的横坐标为x＝2，则纵坐标y＝＝．
∵DM∥BA，∴OM:OA＝DM:BA＝OD:OB＝:2，即2:OA＝:2，解得OA＝4，:BA＝:2，解得AB＝3，∴点B坐标为(4，3)．
(3)E，F的坐标为E(，3)，F(4，)，∴S△EFA＝AF(BE＝××(4－)＝－k2＋k＝－(k－6)2＋，∵－＜0，∴当k＝6时，S有最大值．