中考培优第二轮复习专题 第11章 寻找线段之间的等量关系学案(含答案)

第十一章 寻找线段之间的等量关系
解决几何问题时
①如果需要求出具体值，那么几个未知数必须对应几个方程（方程不重复）；
②如果需要求出关系（比值、和差等），未知数的的个数比方程个数少一个．
③能够意识到变量的之间的关系，而这个关系的结果在脑中无需知道！
④等量关系寻找一般伴随着“恰好”的情况，要着重关注“恰好”情况时导出的新结论．
常见压轴题中建立的方法
角度相关：此类压轴题涉及的考点一般是平行、内外角和、角平分线、特殊三角形/四边形、圆、三大几何变换．
线段相关：多以面积法、勾股定理、全等/相似建立起等量关系．
当两者之间无法直接建立联系时，可增设参量．
例题讲解
例题1、如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，P是斜边AB上一动点（不与点A、
B重合），PQ⊥AB交△ABC的直角边于点Q，设AP为x，△APQ的面积为y，则y与x
的函数关系式为____________．
【解析】
1°当点Q在AC边上（如图1）．AP＝x，PQ＝x，∴S△APQ＝x2．
2°当点Q在BC边上（如图2）．发现要表示△APQ的面积只需表示出PQ即可，而PQ与BP相关．
∴BP＝5－x，∴PQ＝（5－x），∴S△APQ＝x(（5－x）＝－x2＋x．
例题2、如图，在Rt△OAB中，∠AOB＝90°，OA＝8，AB＝10，⊙O的半径为4．点P是AB上的一动点，过点P作⊙O的一条切线PQ，Q为切点．设AP＝x（0≤x≤10），PQ2＝y，则y与x的函数关系式为_____________．
【解析】
遇相切，必连切点与圆心，再连接OP，于是y＝OP2－OQ2＝OP2－16，
作OE⊥AB，易求得OE＝，AE＝，∴PE2＝（x－）2，
∴OP2＝（）2＋（x－）2＝x2－x＋64，∴y＝x2－x＋48．
例题3、在平面直角坐标系中，等边△OAB的边长是2，且OB边落在x轴的正半轴上，点A落在第一象限．将△OAB折叠，使点A落在x轴上，设点C是点A落在x轴上的对应点，当△OAB沿直线y＝kx＋b折叠时，点C的横坐标为m，求b与m之间的函数关系式；
【解析】
本题的思路一开始可能会被“一线三等角”引走而深深跳不出来，本题需要从翻折的性质着手建立等量关系．
连接AD、DC，利用AD＝DC建立起等量关系式，再过点A作AG⊥y轴．易求得D（0，b），即OD＝b，∴CD2＝b2＋m2，AG＝，OG＝3，则DG＝3－b，∴AD2＝（3－b）2＋3，则b2＋m2＝（3－b）2＋3，化简得：b＝－m2＋2．
【再想想】利用A、C中点在直线y＝kx＋b上是否也可以呢？
例题4、如图，矩形ABCD中，BC＝2，将矩形ABCD绕点D顺时针旋转90°，点A、C分别落在点A′、C′处．如果点A′、C′、B在同一条直线上，那么tan∠ABA′的值为_________．
【解析】
先画出图像，既然需要点A′、C′、B在同一条直线上，我们思考，当该三点在共线时，有什么隐含条件呢？
我们发现，当该三点在共线时，就变成了两条直线相交，就会出现对顶角相等，继而出现熟悉的X型相似即△ABC′∽△DA′C′，∴设AB＝CD＝C′D＝x，∴AC′＝2－x，∴＝，解得x1＝－1，x2＝－－1（舍），∴tan∠ABA′＝tan∠DAC′＝．
例题5、如图是一个由5张纸片拼成的平行四边形，相邻纸片之间互不重叠也无缝隙，其中两张等腰直角三角形纸片分别是△ABE和△CDG，另两张直角三角形纸片分别是△ADH和△CBF，中间一张纸片为正方形，已知这个平行四边形的面积只与一种图形的面积有关，请问是哪种图形？（从△ABE、△ADH、正方形EFGH中选择）
【解析】
与哪个图形有关，用代数式表示出来即可．
设正方形EFGH的边长为a，等腰Rt△ABE的边长为b，则AH＝a＋b，DH＝b－a，∴S平行四边形ABCD＝a2＋b2＋（a＋b）（b－a）＝2b2，发现最终表达式只与b有关，∴是△ABE．
【总结】增设参量来建立起图形之间的关系
例题5、如图，在矩形ABCD中，点E是AD上的一个动点，连接BE，作点A关于BE的对称点F，且点F落在矩形ABCD的内部，连接BF，EF，设＝n，＝m．当点F落在AC上时，求n与m之间的关系．
【解析】
连接AC，当点F落在AC上时，根据轴对称的性质，有BE⊥AC，根据本书“十字结构”一文，有△BAE∽△ADC，∴＝，∴AE＝，根据＝n，有AE＝，∴＝，即＝＝m，∴n＝m2．
例题6、如图，以原点O为圆心、3为半径的圆与x轴分别交于A、B两点（点B在点A的右边），P是半径OB上一点，过P且垂直于AB的直线与⊙O分别交于C、D两点（点C在点D的上方），直线AC、DB交于点E．若AC:CE＝1：2．求点P的坐标；
【解析】
本题难点在于
①设未知数（或者知道要设未知数但不知道设哪条线段）；②需要建立两次等量关系
本题在线段具体数值上只知道圆的半径，导致在设了一个未知数后，难以继续延续推导下去．
思考本类题时，关键在于要敢于设参和快速关联起条件．本题条件“AC:CE＝1：2”需要利用两次．过点E作EF⊥x轴，设OP＝a，BF＝b．
△APC∽△AFE，所以＝，即＝．…①
△DBP∽△EBF，所以＝，即＝．…②
①②连列方程，解得a＝1，b＝6，∴P（1，0）．
巩固训练
1、如图，点C、D是以线段AB为公共弦的两条圆弧的中点，AB＝4，点E、F分别是线段CD、AB上的动点，设AF＝x，AE2－FE2＝y，则能表示y与x的函数关系的是________．
解答：
如图所示，延长CE交AB于G．设AF＝x，AE2－FE2＝y；
∵△AEG和△FEG都是直角三角形
∴由勾股定理得：AE2＝AG2＋GE2，FE2＝FG2＋EG2，
∴AE2－FE2＝AG2－FG2，即y＝22－（2－x）2＝－x2＋4x(0＜x＜4)
2、如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝12，E为AC边的中点，线段BE的垂直平分线交边BC于点D，设BD＝x，tan∠ACB＝y，则y与x的关系式为___________．
解答：
过A作AQ⊥BC于Q，过E作EM⊥BC于M，连接DE，
∵BE的垂直平分线交BC于D，BD＝x，∴BD＝DE＝x，
∵AB＝AC，BC＝12，tan∠ACB＝y，
∴＝＝y，BQ＝CQ＝6，∴AQ＝6y，
∵AQ⊥BC，EM⊥BC，∴AQ∥EM，
∵E为AC中点，∴CM＝QM＝CQ＝3，∴EM＝3y，∴DM＝12－3－x＝9－x，
在Rt△EDM中，由勾股定理得：x2＝（3y）2＋（9－x）2，
即2x－y2＝9，
3、如图，平行于x轴的直线AC分别交抛物线y1＝x2（x≥0）与y2＝（x≥0）于B、C两点，过点C作y轴的平行线交y1于点D，直线DE∥AC，交y2于点E，则＝_________．
解答：
设A点坐标为（0，a），（a＞0），
则x2＝a，解得x＝，∴点B（，a），AB＝．
＝a，则x＝，∴点C（，a），∴BC＝－．
∵CD∥y轴，∴点D的横坐标与点C的横坐标相同，为，
∴y1＝（）2＝3a，∴点D的坐标为（，3a）．
∵DE∥AC，∴点E的纵坐标为3a，
∴＝3a，∴x＝3，∴点E的坐标为（3，3a），
∴DE＝3－，∴＝＝3－．
故答案是：3－．
4、已知正方形ABCD的边长为5，E在BC边上运动，DE的中点G，EG绕E顺时针旋转90°得EF，当A、C、F在一条直线上时，CE＝____________．
解答：
过F作FN⊥BC，交BC延长线于N点，连接AC，
∵∠DCE＝∠ENF＝90°，∠DEC＋∠NEF＝90°，∠NEF＋∠EFN＝90°，
∴∠DEC＝∠EFN，∴Rt△FNE∽Rt△ECD，
∵DE的中点G，EG绕E顺时针旋转90°得EF，
∴DE：EF＝2：1，∴CE：FN＝DE：EF＝DC：NE＝2：1，
∴CE＝2NF，NE＝CD＝．
∵∠ACB＝45°，∴当∠NCF＝45°时，A、C、F在一条直线上．
则△CNF是等腰直角三角形，∴CN＝NF，∴CE＝2CN，
∴CE＝NE＝×＝．∴CE＝时，A、C、F在一条直线上．
故答案为：．
5、已知抛物线y＝ax2－4ax＋c经过点A（0，2），顶点B的纵坐标为3，将直线AB向下平移，与x轴、y轴分别交于点C、D，与抛物线的一个交点为P，若D是线段CP的中点，则点P的坐标为_________．
解答：
∵抛物线y＝ax2－4ax＋c经过点A（0，2），∴c＝2，
∵y＝ax2－4ax＋2＝a（x－2）2－4a＋2，顶点B的纵坐标为3，
∴a＝－，抛物线的顶点B坐标为：（2，3），
∴抛物线的解析式为：y＝－x2＋x＋2，直线AB的解析式为：y＝x＋2，
∵直线PC的斜率为，设直线PC的解析式为：y＝x＋b，
∵D是线段CP的中点，∴P的纵坐标为2b，横坐标等于OC的长，
∴2b＝－x2＋x＋2，解得：x1＝2＋2，x2＝2－2（舍），
由直线y＝x＋b可知OC＝2b，∴2＋2＝2b，
整理得：b2＝2，∴b＝，b＝－（舍），
∴P的坐标为（2，2)．
6、如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，一直线经过点A（－6，0），P是直线上的一个动点，作PC⊥x轴，垂足为C．记点P关于y轴的对称点为P′（点P′不在y轴上），连接PP′，P′A，P′C．设点P的横坐标为m．若点P在第一象限，记直线与P′C的交点为D．当P′D:DC＝2：5时，求m的值．
解答：
∵PP′∥AC，∴△P′PD∽△CAD，∴＝＝，
∴＝，解得m＝．
7、两个全等的直角三角形ABC和DEF重叠在一起，其中∠A＝60°，AC＝1．固定△ABC不动，将△DEF进行如下操作：如图，△DEF的D点固定在AB的中点，然后绕D点按顺时针方向旋转△DEF，使DF落在AB边上，此时F点恰好与B点重合，连结AE，求sin∠AED的值．
解答：
在Rt△ABC中，∵∠A＝60°，AC＝1，∴BC＝AC(tan60°＝，AB＝＝2．
由旋转得，BE＝BC＝，则在Rt△ABE中，AE2＝AB2＋BE2，AE＝．
过D点作DH⊥AE于H，则S△ADE＝AD(BE＝×1×＝．
又S△ADE＝AE(DH＝×DH＝，∴DH＝＝．
∴sin∠AED＝＝．
8、如图1是同学们熟悉的一副三角尺，一个含有30°的角，较短的直角边长为a；另一个含有45°的角，直角边长为b，小明用两副这样的三角尺拼成一个平行四边形ABCD（如图2），他用了两种不同的方法计算它的面积，从而推出sin75°＝．请你写出小明的具体说理过程．
解答：
四个三角板的总面积为a2＋b2，中间的矩形空隙面积为(a－b)(b－a)，所以该平行四边形的面积为(＋1)ab．
作AE⊥BC于点E，则该平行四边形面积也可表示为b(AE．
∴AE＝a，∴sin∠ABE＝sin75°＝＝．
9、已知△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝8，tanA＝．点D由A出发沿AC向点C匀速运动，同时点E由B出发沿BA向点A匀速运动，它们的速度相同，点F在AB上，FE＝4cm，且点F在点E的下方，当点D到达点C时，点E，F也停止运动，连接DF，设AD＝x（0≤x≤6）．如图把△ADF沿AB翻折，使点D落在D′点．连接D′E，设D′E为y，请求出y关于x的函数关系式；
解答：
如图，作D′G⊥AF于G，
∵tanA＝，∴cosA＝，sinA＝，
∴AG＝x，D′G＝x，∴GE＝10－x－x＝10－x，
∴y＝＝．
10、如图1，正方形ABCD的边长为2，P是线段BC上的一个动点（不与B、C重合），以AB为直径作⊙O，过点P作⊙O的切线，交边AD于点F，切点为E．
（1）求证：OF∥BE；
（2）设BP＝x，AF＝y，求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
解答：
（1）证明：连接OE
∵FE、FA是⊙O的两条切线，∴∠FAO＝∠FEO＝90°
在Rt△OAF和Rt△OEF中，FO＝FO，OA＝OE
∴Rt△FAO≌Rt△FEO（HL），∴∠AOF＝∠EOF＝∠AOE，
∴∠AOF＝∠ABE，∴OF∥BE，
（2）解：过F作FQ⊥BC于Q，
∴PQ＝BP－BQ＝x－y
PF＝EF＋EP＝FA＋BP＝x＋y
∵在Rt△PFQ中，FQ2＋QP2＝PF2
∴22＋（x－y）2＝（x＋y）2，
化简得：y＝（1＜x＜2）．
11、如图，将矩形ABCD的四边BA、CB、DC、AD分别延长至E、F、G、H，使得AE＝CG，BF＝DH，连接EF，FG，GH，HE．
（1）求证：四边形EFGH为平行四边形；
（2）若矩形ABCD是边长为1的正方形，且∠FEB＝45°，tan∠AEH＝2，求AE的长．
解答：
（1）证明：在矩形ABCD中，AD＝BC，∠BAD＝∠BCD＝90°．
又∵BF＝DH，∴AD＋DH＝BC＋BF，即AH＝CF．
在Rt△AEH中，EH2＝AE2＋AH2，
在Rt△CFG中，FG2＝CG2＋CF2，
∵AE＝CG，∴EH＝FG．
同理得EF＝HG．
∴四边形EFGH为平行四边形．
（2）解：在正方形ABCD中，AB＝AD＝1．
设AE＝x，则BE＝x＋1．
在Rt△BEF中，∠BEF＝45°，∴BE＝BF．
∵BF＝DH，∴DH＝BE＝x＋1．
∴AH＝AD＋DH＝x＋2．
在Rt△AEH中，tan∠AEH＝2．
∴AH＝2AE，∴2＋x＝2x，∴x＝2．
即AE＝2．
12、如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，Rt△OAB的直角边OA在x轴正半轴上，且OA＝4，AB＝2，将△OAB沿某条直线翻折，使OA与y轴正半轴的OC重合．点B的对应点为点D，连接AD交OB于点E．
（1）求经过O、A、D三点的抛物线的解析式；
（2）若动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿射线AO运动，线段AP的垂直平分线交直线AD于点M，交（1）中的抛物线于点N，设线段MN的长为d（d≠0），点P的运动时间为t秒，求d与t之间的函数关系式（直接写出自变量t的取值范围）；
解答：
（1）∵△OAB≌△OCD，∴OC＝OA＝4，AB＝CD＝2，∴D（2，4），
∵抛物线过A（4，0）和D（2，4），∴设抛物线的解析式是y＝ax2＋bx，
∴16a＋4b＝0，4a＋2b＝4，解得：a＝－1，b＝4，
∴抛物线的解析式是y＝－x2＋4x；
（2）∵A（4，0）和D（2，4），∴设直线AD的解析式是y＝kx＋c
∴4k＋c＝0，2k＋c＝4，解得：k＝－2，c＝8，∴直线AD的解析式是y＝－2x＋8，
∵直线MN垂直平分AP，
∴MN⊥AP，AH＝HP＝AM＝×t＝t，
分为两种情况：①当0＜t＜4时，如图a，
∵OH＝4－t，∴H（4－t，0），∴点M、N的横坐标是4－t，
∴M的纵坐标是－2（4－t）＋8＝t，
N的纵坐标是－（4－t）2＋4（4－t）＝－t2＋2t，
∴d＝（－t2＋2t）－t＝－t2＋t，
即d＝－t2＋t（0＜t＜4），
②当t＞4时，同法可求d＝t2－t，
综合上述：d＝－t2＋t（0＜t＜4）或d＝t2－t（t＞4）．
13、如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，∠CAB的平分线分别交BD、BC于E、F，作BH⊥AF于点H，分别交AC、CD于点G、P，连结GE、GF．
（1）试判断四边形BEGF的形状并说明理由．
（2）求的值．
解答：
∵四边形ABCD是正方形，
∴OA＝OB，∠AOE＝∠BOG＝90°．
∵BH⊥AF，∴∠AHG＝90°，
∴∠GAH＋∠AGH＝90°＝∠OBG＋∠AGH，∴∠GAH＝∠OBG，即∠OAE＝∠OBG．
∴在△OAE与△OBG中，∠OAE＝∠OBG，OA＝OB，∠AOE＝∠BOG，∴△OAE≌△OBG（ASA）；
（1）四边形BFGE是菱形，理由如下：
∵在△AHG与△AHB中，∠GAH＝∠BAH，AH＝AH，∠AHG＝∠AHB＝90°
∴△AHG≌△AHB（ASA），∴GH＝BH，∴AF是线段BG的垂直平分线，
∴EG＝EB，FG＝FB．
∵∠BEF＝∠BAE＋∠ABE＝67．5°，∠BFE＝90°－∠BAF＝67．5°
∴∠BEF＝∠BFE，∴EB＝FB，∴EG＝EB＝FB＝FG，
∴四边形BFGE是菱形；
（2）设OA＝OB＝OC＝a，菱形GEBF的边长为b．
∵四边形BFGE是菱形，∴GF∥OB，∴∠CGF＝∠COB＝90°，
∴∠GFC＝∠GCF＝45°，∴CG＝GF＝b，
（也可由△OAE≌△OBG得OG＝OE＝a－b，OC－CG＝a－b，得CG＝b）
∴OG＝OE＝a－b，在Rt△GOE中，由勾股定理可得：2（a－b）2＝b2，求得a＝b
∴AC＝2a＝（2＋）b，AG＝AC－CG＝（2＋－1）b＝（＋1）b，
∵PC∥AB，∴△CGP∽△AGB，∴＝＝＝－1，
由△OAE≌△OBG得AE＝GB，∴＝＝－1，即＝－1．
14、问题背景
如图1，在正方形ABCD的内部，作∠DAE＝∠ABF＝∠BCG＝∠CDH，根据三角形全等的条件，易得△DAE≌△ABF≌△BCG≌△CDH，从而得到四边形EFGH是正方形．
类比研究
如图2，在正△ABC的内部，作∠BAD＝∠CBE＝∠ACF，AD，BE，CF两两相交于D，E，F三点（D，E，F三点不重合）．
（1）△ABD，△BCE，△CAF是否全等？如果是，请选择其中一对进行证明；
（2）△DEF是否为正三角形？请说明理由；
（3）进一步探究发现，△ABD的三边存在一定的等量关系，设BD＝a，AD＝b，AB＝c，请探索a，b，c满足的等量关系．
解答：
（1）解：△ABD≌△BCE≌△CAF；理由如下：
∵△ABC是正三角形，∴∠CAB＝∠ABC＝∠BCA＝60°，AB＝BC，
∵∠ABD＝∠ABC－∠2，∠BCE＝∠ACB－∠3，∠2＝∠3，
∴∠ABD＝∠BCE，
在△ABD和△BCE中，∠1＝∠2，AB＝BC，∠ABD＝∠BCE
∴△ABD≌△BCE（ASA）
（2）解：△DEF是正三角形；理由如下：
∵△ABD≌△BCE≌△CAF，
∴∠ADB＝∠BEC＝∠CFA，∴∠FDE＝∠DEF＝∠EFD，∴△DEF是正三角形
（3）解：作AG⊥BD于G，如图所示：
∵△DEF是正三角形，∴∠ADG＝60°，在Rt△ADG中，DG＝b，AG＝b，
在Rt△ABG中，c2＝（a＋b）2＋（b）2，∴c2＝a2＋ab＋b2．