中考培优第二轮复习专题 第12章 径、弦、角之间的关系学案(含答案)

第十二章 径、弦、角之间的关系
径：直径、半径；
弦：圆内一条弦；
角：弦所对圆心角或圆周角
例题讲解
例题1、（一般性讲解）如图，已知AB=d，⊙O的半径为r，∠P=a，则d、r、a之间有何关系？
【解析】
法一：如图，连接AO延长交⊙O于点Q，连接BQ，易得∠P=∠Q=a，∠ABQ=90°，，整理成等积式，即
法二：如图，连接AO、BO，过点O作OE⊥AB，垂足为E，易证∠AOB=2∠P，且OE平分∠AOB，有∠AOE=∠P=，在Rt△AOE中，，整理成等积式，即.
【总结】径、弦、角的关系是为：，首先需要知道此3个条件之间有关联，利用这种关联能够迅速识别出条件之间的联系，能够意识到联系，然后再利用上述结论，从而解决题目！
例题2、如图，在圆中，AB=5，AC=，AD⊥BC，且BD=4，求该圆的半径.
【解析】
由已知条件可得：AD=3，DC=3，△ADC为等腰直角三角形，从而得到圆周角∠C=45°，∠C所对的弦为AB=5，根据已知结论：，将数据代入即可求出半径r，，.
例题3、如图，△ABC内接于⊙O，AH⊥BC于点H，若AC=24，AH=18，⊙O的半径OC=13，则AB= .
【解析】
本题要求AB，即弦长，根据公式：，条件已经给出r=OC=13，只需知道AB所对圆心角∠ACB即可（∠ACB无需是特殊角，只要知道∠ACB的某个三角函数值即可），观察图形，发现在Rt△ACH中，AC=24，AH=18，，条件已备齐，套公式即可，.
一个固定等式中，若有一个变量发生变化，就会出现我们经常遇到的最值问题！
例题4、如图，在△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB=，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O分别交AB、AC于E、F，连接EF，则线段EF长度的最小值是 .
【解析】
要求弦长EF的最小值，发现弦EF所对圆周角∠BAC=60°已确定，所以由公式可知，只需确定半径（本题是直径AD）即可求出EF.
根据公式，当AD（）最小时，EF=d最小.
当AD⊥BC时，AD最小，如图，因为∠ABC=45°，AB=，所以
，EF的最小值为.
例题5、如图，∠BAC=60°，半径长1的⊙O与∠BAC的两边相切，P为⊙O上一动点，以P为圆心，PA长为半径的⊙P交射线AB、AC于D、E两点，连接DE，则线段DE的最大值为 .
【解析】
要求弦长DE，已知DE所对圆周角为∠BAC=60°已经确定，所以当半径PA最大时，DE最大.
点A为圆O外一点，点P为圆上一动点，当A、O、P共线时，AP最大.如图，过点O作OG⊥AC，半径OG=1，∠GAO=30°，AO=2，AP最大值为2+1=3，.
【思考】DE的最小值你会求吗？
例题6、如图，线段AB=4，C为线段AB上的一个动点，以AC、BC为边作等边△ACD和等边△BCE，⊙O外接于△CDE，则⊙O半径的最小值为 .
【解析】
要求半径，己知弦长DE所对圆周角∠DCE=60°已经确定，所以根据公式，稍加变型得，所以只需弦长DE最小即可.
求DE最小值的方法：
分别过点D、E作AB的垂线，垂足分别为M、N，再过点D作DP⊥EN.易证，CN=CB，DP=MN=（AC+BC）=AB=2，在Rt△DPE中，DEDP，
..
例题7、已知，点A与点B的坐标分别是（1，0），（5，0），点P是该直角坐标系内的一个动点.当点P在y轴正半轴上移动时，tan∠APB的最大值为 .
【解析】
要求tan∠APB的最大值即为寻找∠APB的最大情况.
本题需要用到“构造圆”的方法（如图1），根据，稍微变形得，发现要使最大，已知d=AB=4为定值，所以只需使得半径r最小即可.所以需要能够在y轴上找到这一点P，自然是圆需要与y轴有交点，所以当圆与y轴相切时（如图2），半径最小.
此时，∠APB=∠AMB=∠AMN，AN=2，PM=MA=ON=3，MN=，tan∠APB=
巩固训练
1、已知AB=2，∠APB=45°，则△ABP的外接圆半径为 .
答案：
2、如图，在△ABC中，∠BAC=60°，∠ACB=75°，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O分别交AB、AC于E、F，连接EF，当线段EF长度的最小值为1时，AB的长为 .
答案：
3、已知：如图，点O是直线l外一点，点O到直线l的距离是1，点A、点B是直线l上的两个动点，且∠AOB=30°，则线段AB的长的最小值为 .
答案：
4、问题探究：
（1）如图1，AB为⊙O的弦，点C是⊙O上的一点，在直线AB上方找一个点D，使得∠ADB=∠ACB，画出∠ADB；
（2）如图2，AB是⊙O的弦，点C是⊙O上的一个点，在过点C的直线l上找一点P，使得∠APB<∠ACB，画出∠APB；
（3）如图3，已知足球门宽AB约为米，一球员从距B点米的C点（点A、B、C均在球场的底线上），沿与AC成45°的CD方向带球.试问，该球员能否在射线CD上找一点P，使得点P最佳射门点（即∠APB最大）？若能找到，求出这时点P与点C的距离；若找不到，请说明理由.
解：（1）如图4，在优弧上任取一点，连接、，则（同一段弧所对的圆周角相等）.
（2）如图5，过点的直线与⊙交于点，在的延长线上取一点，连接、，则（）.
（3）如图6，作经过点A、B且和直线CD相切的圆，切点为P，此时∠APB最大.
是切线，
,
,
,
答：点P与点C的距离为10米.
5、如图，一次函数y=-x+3的图像与x、y轴分别交于点A、B，点C、点B关于点M（0，2）对称.
（1）求C点坐标；
（2）设过B、C两点的圆的圆心为P.
①若P点横坐标为-3，圆P交x轴于点E、F（E在F的左侧），分别求sin∠BEC和sin∠BFC的值；
②对于常数a（a>1），x轴上是否存在点Q，使得sin∠BQC=？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.
解：（1）一次函数y=-x+3的图像与x、y轴分别交于点A、B，
，
又点C，点B关于点M（0,2）对称，
C点坐标是（0,1）
（2）如图1，连接BP并延长交⊙P于点G，
⊙P过点B，C两点
圆心P在BC的中垂线上，
P点的纵坐标是2，
又P点的横坐标为-3，
P点坐标为，半径，
根据圆周角定理，可得,
，
.
（3）x轴上存在点Q，使得
设，圆的半径为r，
，
圆的解析式是或
①当圆的解析式是时，令y=0，可得或.
②当圆的解析式是时，由对称性可得或.
综上可得x轴上存在点Q，使得，点Q的坐标是，，或