中考培优第二轮复习专题 第13章 找规律学案(含答案)

第十三章 找规律
例题讲解
【数字变化规律】
例题1、填空（用含n的代数式表示）
第一组
1
4
7
10
第二组
1
2
4
8
第三组
3
8
15
24
第四组
1
3
6
10
【解析】
第一组：an=3n-2；第二组：an=；第三组：an=（n+1）2-1；第四组：
例题2、符号“”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下：①f（1）=-1，f（2）=0，f（3）=1，f（4）=2，②f（）=-2，f（）=-3，f（）=-4，f（）=-5，利用以上规律计算：①f（2017）= ；②f（1）+f（2）+f（3）++f（2017）+ .
【解析】
①通过观察，f（）+f（n）=-2，则f（）+f（2017）=-2；
②分组求和，共有2017个（-2），所以为-4034
例题3、观察下列等式：21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，27=128，…，解答下面问题：①22016的末尾数字是 ；②1+2+22+23+24++22016的末位数字是 .
【解析】
①通过观察，末尾数字分别以2、4、8、6循环出现，故2016÷4=504，所以22016的末尾数字为6；
②原式求和后的值为22017-1，22017末尾数字为2，则22017-1末尾数字为1.
例题4、将自然数按以下规律排列：
第一列
第二列
第三列
第四列
第五列
第一行
1
4
5
16
17
第二行
2
3
6
15
…
第三行
9
8
7
14
…
第四行
10
11
12
13
…
第五行
…
…
…
…
…
表中数2在第二行第一列，与有序数对（2，1）对应，数5与（1，3）对应；数14与（3，4）对应，根据这一规律，数2017对应的有序数对为 .
【解析】
通过观察，发现1、4、9、16、25…这类完全平方数总是在第一列或者第一行，且22、42…这类底数是偶数的总是在第一行，且列数与底数相等，下一个数在右边，32、52…这类底数是奇数的总是在第一列，且行数与底数相等，下一个数在下边，所以估算最接近2017的平方数，是452=2025，所以由上面的规律可知，2025在第45行第1列，要得到2017，需要将2025向右减小8，所以2017在第45行第9列，即（45，9）【注意：不是第8列】
例题5、观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律：
①1=12 ②1+3=22 ③1+3+5=32 ④ ；
（1）在④后面的横线上分别写出相应的等式；请猜想1+3+5+7+9+...+19= ；
（2）试用含有n的式子表示这一规律：1+3+5+7+9+…+=n2；（n为正整数）
（3）请用上述规律计算：101+103+105+…+2015+2017.
【解析】
（1）1+3+5+7=42；观察到最后一个数m和底数n的关系是m=2n-1，所以因为19=2×10-1，所以底数为10，答案为102=100；
（2）由（1）分析，答案为2n-1；
（3）101+103+105+…+2015+2017
=（1+3+5+…+2017）-（1+3+5+…+99）
=10092-502=1015581
例题6、【探索新知】
已知平面上有n（n为大于或等于2的正整数）个点A1 A2A3 …An，从第1个点A1开始沿直线滑动到另一个点，且同时满足以下三个条件：①每次滑动的距离都尽可能最大；②n次滑动将每个点全部到达一次；③滑动n次后必须回到第1个点A1，我们称此滑动为“完美运动”，且称所有点为“完美运动”的滑动点，记完成n个点的“完美运动”的路程之和为Sn
（1）如图1，滑动点是边长为a的等边三角形三个顶点，此时S3= ；
（2）如图2，滑动点是边长为a，对角线长为b的正方形四个顶点，此时S4= .
【深入研究】
现有n个点恰好在同一直线上，相邻两点距离都为1，
（3）如图3，当n=3时，直线上的点分别为A1、A2、A3.为了完成“完美运动”，滑动的步骤给出如图4所示的两种方法：
方法1：A1→A3→A2→A1，方法2：A1→A2→A3→A1.
①其中正确的方法为 .
A.方法1 B.方法2 C.方法1和方法2
②完成此“完美运动”的S3= .
（4）当n分别取4，5时，对应的S4= ，S5= .
（5）若直线上有n个点，请用含n的代数式表示Sn.
【解析】
（1）S3=3a；（2）S4=2a+2b；（3）①A；②S3=2+1+1=4；
（4）当n为偶数时，Sn=；n为奇数时，Sn=
例题7、如果把一个自然数各数位上的数字从最高位到个位依次排出的一串数字，与从个位到最高位依次排出的一串数字完全相同，那么我们把这样的自然数称为“和谐数”.例如自然数12321，从最高位到个位依次排出的.一串数字是：1，2，3，2，1，从个位到最高位依次排出的一串数字仍是：1，2，3，2，1，因此12321是一个“和谐数”，再加22，545，3883，345543，…，都是“和谐数”.
（1）请你直接写出3个四位“和谐数”；请你猜想任意一个四位“和谐数”能否被11整除？并说明理由；
（2）已知一个能被11整除的三位“和谐数”，设其个位上的数字x（1≤x≤4，x为自然数），十位上的数字为y，求y与x的函数关系式.
【解析】
（1）所谓“和谐数”就是“对称数”，所以自然有很多个这样的数，如1221、1331、7667等都是“和谐数”，我们发现和谐四位数至多只有两种数字，我们可以设其中一个数是n（假设为最高位数），另一个数是m，则这个四位数可以表示为1000n＋100m＋10m＋n＝1001n＋110m，1001与110均能被11整除，所以和谐四位数必能被11整除.
（2）这个三位可以表示为100x＋10y＋x＝101x＋10y，所以＝＝9x＋y＋，所以需要2x－y也能被11整除，由于1≤x≤4，x为自然数，2x－y必然小于11，所以2x－y＝0，所以y＝2x.
巩固练习
1、有一串代数式：－x，2x2，－3x3，4x4，…，－19x19，20x20，…，则第n的式子为 .
答案:（－1）nnxn.
2、如图，下面每个图形中的四个数都是按相同的规律填写的，根据此规律确定x的值为 .
答案：∵左下角数字为偶数，右上角数字为奇数，
∴2n＝20，m＝2n－1，
解得：n＝10，m＝19，
∵右下角数字：第一个：1＝1×2－1，
第二个：10＝3×4－2，
第三个：27＝5×6－3，
∴第n个：2n（2n－1）－n，
∴x＝19×20－10＝370．
故答案为：370．
3、观察下列一组图形中点的个数，其中第1个图中共有4个点，第2个图中共有10个点，第3个图中共有19个点，…，按此规律第6个图中共有点的个数是 .
答案：第1个图中共有1＋1×3＝4个点，
第2个图中共有1＋1×3＋2×3＝10个点，
第3个图中共有1＋1×3＋2×3＋3×3＝19个点，
…
第n个图有1＋1×3＋2×3＋3×3＋…＋3n个点．
所以第6个图中共有点的个数是1＋1×3＋2×3＋3×3＋4×3＋5×3＋6×3＝64．
故选：C．
4、如图所示，圆的周长为4个单位长度，在圆的4等分点处标上字母A，B，C，D，先将圆周上的字母A对应的点与数轴的数字1所对应的点重合，若将圆沿着数轴向左滚动.那么圆周上字母所对应的点与数轴上表示－2017所对应的点重合的是（ ）
A.A B.B C.C D.D
答案：C.
分析：圆每转动一周，A、B、C、D循环一次，－2017与1之间有2018个单位长度，即转动2018÷4＝504…2，也就是转动504周后还有转动2次，即为C点.
5、等边△ABC在数轴上的位置如图所示，点A、C对应的数分别为0和－1，若△ABC绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为1；则翻转2011次后，点B所对应的数是（ ）
A.2010 B.2011 C.2012 D.2013
答案：B
解析：结合数轴发现根据翻折的次数，发现对应的数字依次是：1，1，2.5；4，4，5.5；7，7，8.5…即第1次和第二次对应的都是1，第四次和第五次对应的都是4，第7次和第8次对应的都是7．根据这一规律：因为2011＝670×3＋1＝2010＋1，所以翻转2011次后，点B所对应的数2011．
6、一个机器人从数轴原点出发，沿数轴正方向，以每前进3步再后退2步的程序运动，设该机器人每秒前进或后退1步，并且每步的距离为一个单位长度，xn表示第n秒时机器人在数轴上位置所对应的数，则下列结论中错误的是（ ）
A.x3＝3 B.x5＝1 C.x103＜x104 D.x2013＞x2014
7、如图，一只青蛙在圆周上标有数字的五个点上跳，若它停在奇数点上，则下一次沿顺时针方向跳两个点；若停在偶数点上，则下一次沿逆时针方向跳一个点.若青蛙从数1这点开始跳，第1次跳到数3那个点，如此，则经2015次跳后它停的点所对应的数为（ ）
A.5 B.3 C.2 D.1
8、在求两位数的平方时，可以用“列竖式”的方法进行速算，求解过程如图1所示.
（1）仿照图1，在图2中补全672的“竖式”；
（2）仿照图1，用“列竖式”的方法计算一个两位数的平方，部分过程如图3所示.若这个两位数的个位数字为a，则这个两位数为 （用含a的代数式表示）.
解：（1）
（2）设这个两位数的十位数字为b，
由题意得，2ab＝10a，
解得b＝5，
所以，这个两位数是10×5＋a＝a＋50．
故答案为：a＋50．
9、下面两个多位数1248624……、6248624……，都是按照如下方法得到的：将第一位数字乘以2，若积为一位数，将其写在第2位上，若积为两位数，则将其个位数字写在第2位，对第2位数字再进行如上操作得到第3位数字.…，后面的每一位数字都是由前一位数字进行如上操作得到的.当第1位数字是3时，仍按如上操作得到一个多位数，则这个多位数前200位的所有数字之和是 .
答案：当第1位数字是3时，按如上操作得到一个多位数36 2486 2486 2486 2486 …．
仔细观察36 2486 2486 2486 2486 …中的规律，这个多位数前200位中前两个为36，接着出现2486 2486 2486…，所以36 2486 2486 2486 2486 …的前200位是36 2486 2486 2486…2486 2486 2486 24（因为198÷4＝49余2，所以这个多位数开头两个36中间有49个2486，最后两个24），因此，这个多位数前200位的所有数字之和＝（3＋6）＋（2＋4＋8＋6）×49＋（2＋4）＝9＋980＋6＝995．
10、如图所示的数码叫“莱布尼茨调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第n行有n个数，且两端的数均为，每个数是它下一行左右相邻两数的和，则第8行第3个数（从左往右数）为（ ）
A. B. C. D.
答案：B.
提示：解：根据给出的数据可得：第n行的第三个数等于－的结果再乘，
则第8行第3个数（从左往右数）为（－）×＝.
11、把一根起点为0的数轴弯折成如图所示的样子，虚线最下面第1个数字是0，往上第2个数字是6，第3个数字是21，……，则第6个数字是（ ）
A.78 B.120 C.123 D.124
答案：A.
提示：∵第一个数字为0，
第二个数字为0＋6＝6，
第三个数字为0＋6＋15＝21，
第四个数字为0＋6＋15＋24＝45，
第五个数字为0＋6＋15＋24＋33＝78，
12、将正整数从1开始，按如图所表示的规律排列.规定图中第m行、第n列的位置记作（m，n），如正整数8的位置是（2，3），则正整数137的位置记作 .
13、如图所示，将形状、大小完全相同的“·”和线段按照一定规律摆成下列图形，第1幅图形中“·”的个数为a1，第2幅图形中“·”的个数为a2，第3幅图形中“·”的个数为a3，…，以此类推，则＋＋＋……＋的值为（ ）
A. B. C. D.
答案：D.
提示：观察图形，可知：a1＝3＝1×3，a2＝8＝2×4，a3＝15＝3×5，a4＝24＝4×6，…，
∴an＝n（n＋2）（n为正整数），
∴＝（－），
∴＋＋＋……＋＝（－）＋（－）＋……＋（－）
＝(－＋－＋……＋－)
＝(1＋－－)
＝.
14、a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数.如：2的差倒数是＝－1，－1的差倒数是＝.已知a1＝－，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数，…，依此类推，a2016的差倒数a2017＝ .
解：根据题意得：
a1＝－，
a2＝，
a3＝4；
a4＝－；
则三个数是一个周期，
则2017÷3＝672…1，
故a2017＝a1＝－．
15、按照一定顺序排列的一列数叫数列，一般用a1，a2，a3，…，an表示一个数列，可简记为{an}.现有数列{an}满足一个关系式：an＋1＝a－nan＋1，（n＝1，2，3，…，n），且a1＝2.根据已知条件计算a2，a3，a4的值，然后进行归纳猜想an＝ .（用含n的代数式表示）
解：因为a2＝a12－1×a1＋1＝3，a3＝a22－2a2＋1＝4，a4＝a32－3a3＋1＝5，
所以an＝n＋1．
16、已知m≥2，n≥2，且m、n均为正整数，如果将mn进行如图所示的“分解”，那么下列四个叙述中正确的有（ ）
①在25的“分解”结果中，最大的数是15. ②在42的“分解”结果是7和9两个数.
③若m3的“分解”中最小的数是23，则m＝5. ④若3n的“分解”中最小的数是79，则n＝5.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
解：①在25的“分解”中，最大的数是25－1＋1＝17，所以此叙述不正确；
②在43的“分解”中最小的数是13，则其他三个数为15，17，19，四数的和为64，恰好为43，所以此叙述正确；
③若m等于5，由53“分解”的最小数是2，1，则其余四个数为23，25，27，29，31，所以此叙述错误；
④若3n的“分解”中最小的数是3n－1－2＝79，则n＝5，所以此叙述正确．
故正确的有②④．
故选：B．
17、观察下列有规律的数：，，，，，，……根据规律可知.
（1）第7个数 ，第n个数是 （n是正整数）；
（2）是第 个数；
（3）计算＋＋＋＋＋＋……＋.
分析：＝＝1－,＝＝－,……
答案：
（1）第7个数是： ＝，第n个数是：；
（2）＝，故是第11个数；
（3）＋＋＋＋＋＋……＋
＝1－＋－＋……＋－
＝1－
＝.
18、下面是按照一定规律排列的一列数：
第1个数：－（1＋）；第2个数：－（1＋）××；
第3个数：－（1＋）××××；
……
依此规律，在第10个数、第11个数、第12个数、第13个数中，最大的数是（ ）
A.第10个数 B.第11个数 C.第12个数 D.第13个数
答案：A.
提示：第1个数：－（1＋）；
第2个数：－（1＋）××；
第3个数：－（1＋）××××；
……
∴第n个数：－（1＋）[1＋][1＋]…[1＋ ]＝－，
∴第10个数、第11个数、第12个数、第13个数分别为－，－，－，－，
其中最大的数为－，即第10个数最大．
故选：A．
19、【阅读理解】
我们知道，1＋2＋3＋……＋n＝，那么12＋22＋32＋…＋n2结果等于多少呢？
在如图所示三角形数阵中，第1行圆圈中的数为1，即12，第2行两个圆圈中数的和为2＋2，即22，；第n行n个圆圈中数的和为，即n2，这样，该三角形数阵中共有个圆圈，所有圆圈中数的和为12＋22＋32＋……＋n2.
【规律探究】
将三角形数阵经两次旋转可得如图2所示的三角形数阵，观察这三个三角形数阵各行同一位置圆圈中的数（如第n－1行的第一个圆圈中的数分别为n－1，2，n），发现每个位置上三个圆圈中数的和均为 ，由此可得，这三个三角形数阵所有圆圈中数的总和为：3（12＋22＋32＋…＋n2）＝ ，因此，12＋22＋32＋…＋n2＝ .
【解决问题】
根据以上发现，计算：的结果为 .
答案：
【规律探究】
由题意知，每个位置上三个圆圈中数的和均为n－1＋2＋n＝2n＋1，
由此可得，这三个三角形数阵所有圆圈中数的总和为：
3（12＋22＋32＋…＋n2）＝（2n＋1）×（1＋2＋3＋…＋n）＝（2n＋1）×，
因此，12＋22＋32＋…＋n2＝；
故答案为：2n＋1，，；
【解决问题】
计算：＝＝1345.
20、有一列按一定顺序和规律排列的数：
第一个数是；第二个数是；第三个数是；…
对任何正整数n，第n个数与第（n＋1）个数的和等于.
（1）经过探究，我们发现：＝1－，＝－，＝－；设这列数的第5个数为a，那么a＞－，a＝－，a＜－，哪个正确？
请你直接写出正确的结论；
（2）请你观察第1个数、第2个数、第3个数，猜想这列数的第n个数（即用正整数n表示第n数），并且证明你的猜想满足“第n个数与第（n＋1）个数的和等于”；
（3）设M表示，，，…，，这2016个数的和，即
M＝＋＋＋……＋，求证：＜M＜.
解：（1）由题意可得，第5个数为a＝－正确；
（2）第n个数为：，第（n＋1）个数为：.
则＋＝－＋－＝.
（3）证明：∵＜＜，＜＜，……，＜＜，
∴1＋＋……＋＜M＜1＋＋＋……＋，
即＜M＜.

例题讲解
【图形变化规律】
例题1、如图，用黑白两种颜色的菱形纸片，按黑色纸片数逐渐增加1的规律拼成下列图案，若第n个图案中有2017个白色纸片，则n的值为 .
解：∵第1个图案中白色纸片有4＝1＋1×3张；
第2个图案中白色纸片有7＝1＋2×3张；
第3个图案中白色纸片有10＝1＋3×3张；
…
∴第n个图案中白色纸片有1＋n×3＝3n＋1（张），
根据题意得：3n＋1＝2017，
解得：n＝672，
【解析】
第一个图形，有4个白色纸片，以后每增加一个菱形，就增加3个白色纸片，所以总共白色纸片表达式为4＋3(n－1)＝3n＋1，所以3n＋1＝2017，n=672
例题2、在平面直角坐标系xOy中，我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点.已知点A(0，4)，点B是x轴正半轴上的整点，记△A0B内部(不包括边界)的整点个数为m，当m＝3时，点B的横坐标的所有可能值是 ；当点B的横坐标为4n(n为正整数)时，m＝ (用含n的代数式表示).
【解析】
当m＝3时，点B的横坐标的所有可能值是3或4；
当n＝1，即点B的横坐标是4时，△AOB内部的整点个数为3个；
当n＝2，即点B的横坐标是8时，△AOB内部的整点个数为9个；
当n＝3，即点B的横坐标是12时，△AOB内部的整点个数为15个；
发现每次增加6，故是4n，m＝6n－3
例题3、如图，在平面直角坐标系中，将△ABO绕点B顺时针旋转到△A1BO1的位置，使点A的对应点A1落在直线y＝x上，再将△A1BO1绕点A1顺时针旋转到△A1B1O2的位置，使点O1的对应点O2落在直线y＝x上，依次进行下去…，若点A的坐标是(0，1)，点B的坐标是(，1)，则点A8的横坐标是 .
【解析】
观察图像，发现点A从开始位置到A2、A4、A6…位置，横坐标每次增加情况相同，所以只需算出A2横坐标即可，点A2的横坐标为，从横坐标来看，一直到A8相当于点A开始向右平移了4次()个单位长度，所以()×4＝6＋6.
例题4、如图，将正六边形ABCDEF放置在直角坐标系内，A(－2，0)，点B在原点，把正六边形ABCDEF沿x轴正半轴作无滑动的连续翻转，每次翻转60°，经过2016次翻转之后，点C的坐标是(　　)
A.(4032，0) B.(4032，2) C.(4031，) D.(4033，)
【解析】
如图，正六边形每次翻转60°，每6次翻转为一个循环，所以2016－6＝336，所以经过2016次翻转之后，点C所处位置与起始位置相同.
每一个循环，点C横坐标增加了12个单位，所以2016次翻转后，横坐标为1＋12×336＝4033，纵坐标与点C相同为，所以经过2016次翻转之后，点C的坐标是(4033，).
例题5、如图，边长为2的正方形ABCD的顶点A、B在一个半径为2的圆上，顶点C、D在圆内，将正方形ABCD沿圆的内壁作无滑动的滚动.当滚动一周回到原位置时，点C运动的路径长为(　　)
A.2π B.(＋1)π C.(＋2)π D.(＋1)π
【解析】
首先，要知道每次旋转的角度和旋转半径(每次旋转角必然相等)
半径与弦长均为2，即相等，则易得△AOD′为等边三角形，AD⊥OD′，则可知∠D′AD＝30°，
所以∠C′AC＝30°.
由图2可知，旋转半径分别为2、2、2、2、2，
所以弧长为((2＋2＋2＋2＋2)＝(1＋)π
例题6、如图，抛物线y＝x2在第一象限内经过的整数点(横坐标、纵坐标都为整数的点)依次为A1，A2，A3，…，An，将抛物线y＝x2沿直线L:y＝x向上平移，得一系列抛物线，且满足下列条件：
①抛物线的顶点M1，M2，M3，……，Mn都在直线L:y＝x上；
②抛物线依次经过点A1，A2，A3，…，An.
则顶点M2107的坐标为( ， ).
【解析】
这题耐心算下去找规律吧！
设M1(a1，a1)是抛物线y1＝(x－a1)2＋a1的顶点，A1，A2，A3，…，An均为第一象限内的整点，所以A1(1，1)代入y1＝(x－a1)2＋a1，解得a1＝1，所以M1(1，1)
同样的方法计算M2(3，3)，M3(5，5)，规律很明显了，所以M2107(4233，4233).
巩固练习
1、用大小相等的小正方形按一定规律拼成下列图形，则第n个图形中小正方形的个数是 .
答案：n2－1
2、下列矩形都是由大小不等的正方形按照一定规律组成，其中，第①个矩形的周长为6，第②个矩形的周长为10，第③个矩形的周长为16，..则第⑥个矩形的周长为　　　　.
答案：68
3、将边长为1的正方形纸片按图1所示方法进行对折，记.第1次对折后得到的图形面积为S1，第2次对折后得到的图形面积为S2，…，第n次对折后得到的图形面积为Sn，
请根据图2化简，S1＋S2＋S3＋…＋S2017＝ .
答案：1－
4、如图，正方形ABCD的边长为2，其面积标记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S2，…，按照此规律继续下去，则Sn的值为 .
答案：
5、如图，在一单位为1的方格纸上，△A1A2A3，△A3A4A5，△A5A6A7，…，都是斜边在x轴上、斜边长分别为2、4、6，…的等腰直角三角形，若△A1A2A3的顶点坐标为A1(2，0)，A2(1，－1)，A3(0，0)，则依图中所示规律，A2017的坐标为 .
答案：(1010，0)
6、正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，…按如图所示的方式放置，点A1，A2，A3，…和点C1，C2，C3，…分别在直线y＝x＋1和x轴上，则点B6的坐标是 .
答案：（26－1,26－1）
7、一组正方形按如图所示的方式放置，其中顶点B1在y轴上，顶点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3.…在x轴上，已知正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O＝60°，B1C1∥B2C2//B3C3…
则正方形A2016 B2016C2016D20l6的边长是 .
答案：
8、如图，在四边形ABCD中，AC＝4，BD＝6，且AC⊥BD，顺次连接四边形ABCD各边中点，得到四边形A1B1C1D1；再顺次连接四边形A1B1C1D1各边中点，得到四边形A2B2C2D2…如此进行下去得到四边形AnBnCnDn.则四边形A3B3C3D3的面积 ，四边形AnBnCnDn的面积是 .
答案：，12×
9、如图，在平面直角坐标系中，边长不等的正方形依次排列，每个正方形都有一个顶点落在函数y＝x的图象上，从左向右第3个正方形中的一个顶点A的坐标为(8，4)，阴影三角形部分的面积从左向右依次记为S1、S2、S3、……Sn，则Sn的值为 .(用含n的代数式表示，n为正整数)
答案：
10、如图在坐标系中放置一菱形OABC，已知∠ABC＝60°，OA＝1.先将菱形OABC沿x轴的正方向无滑动翻转，每次翻转60°，连续翻转2014次，点B的落点依次为B1，B2，B3，…，则B2014的坐标为 .
答案：(1342，0)
11、如图，在平面直角坐标系中，点A1，A2，A3，…都在x轴上，点B1，B2，B3…都在直线y＝x上，△0A1B1，△BA1A2，△B2B1A2，△B2A2A3，△B3B2A3…都是等腰直角三角形，且OA1＝1，则点B2017的坐标是 .
答案：(22016，22016)
12、如图，在x轴正半轴上依次截取OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝An－1An(n为正整数)，过点A1、A2、A3…An分别作x轴的垂线，与反比例函数y＝(x＞0)交于点P1、P2、P3…Pn，连接P1P2、P2P3、……Pn－1Pn，过点P2、P3…Pn分别向P1A1、P2A2、……Pn－1Pn作垂线段，构成的一系列直角三角形（见图中阴影部分）的面积和是__________________（用含n的代数式表示）

答案：
如图，在矩形ABCD中，已知AB=4，BC=3，矩形在直线l上绕其右下角的顶点B向右旋转90°至图①位置，再绕右下角的顶点继续向右旋转90°至图②位置，…，以此类推，这样连续旋转2017次后，顶点A在整个旋转过程中所经过的路程之和是____________.
解：，，
，
转动一次的路线长是：，
转动第二次的路线长是：，
转动第三次的路线长是：，
转动第四次的路线长是：0，
以此类推，每四次循环，
故顶点转动四次经过的路线长为：，
，
顶点转动2017次经过的路线长为：，
故答案为：．
14、把边长为1的正方形纸片OABC放在直线m上，OA边在直线m上，然后将正方形纸片绕着顶点A按顺时针方向旋转90°，此时，点O运动到了点处（即点B处），点C运动到了点处，点B运动到了点处，又将正方形纸片绕点，按顺时针方向旋转90°…，按上述方法经过4次旋转后，顶点O经过的总路程为_______________，经过61次旋转后，顶点O经过的总路程为______________.
解：由题意可知每旋转四次点经过的路程为：，
经过61次旋转，顶点经过的路程是4次旋转路程的15倍加上第1次路线长，
经过61次旋转后，顶点经过的总路程．
故答案为．
15、如图，将△ABC沿着过AB中点D的直线折叠，使点A落在BC边上的处，称为第1次操作，折痕DE到BC的距离记为；还原纸片后，再将△ADE沿着过AD中点的直线折叠，使点A落在DE边上的处，称为第2次操作，折痕到BC的距离记为；按上述方法不断操作下去…，经过第2015次操作后得到的折痕到BC的距离记为.若=1，则的值为____________.
解：如图，连接．
由折叠的性质可得：，，
又是中点，
，
，
，
，
又，
，
，
，
，
，，
经过第次操作后得到的折痕到的距离．
．
故答案为：．
16、如图，一段抛物线：y=-x（x-2）（）记为，它与x轴交于两点O，；将绕旋转
180°得到，交x轴于；将绕旋转180°得到，交x轴于；…如此进行下去，直至得到，若点P（11，m）在第6段抛物线上，则m=_____________.
解：，
配方可得，
顶点坐标为，
坐标为
由旋转得到，
，即顶点坐标为，；
照此类推可得，顶点坐标为，；
顶点坐标为，；
顶点坐标为，；
顶点坐标为，；
．
故答案为：．
17、如图，等边△ABC的边长为3，边长为1的等边△RPO的顶点R与点A重合，点P，Q分别在AC，AB上，将△RPQ沿着边AB，BC，CA连续翻转（如图所示），直至点P第一次回到原来的位置，则点P运动路径的长为__________cm.（结果保留）
解：从图中可以看出翻转的第一次是一个120度的圆心角，半径是1，所以弧长，
第二次是以点为圆心，所以没有路程，
在边上，第一次第二次同样没有路程，边上也是如此，
点运动路径的长为．
故答案为：．
如图，将边长为1的等边△PQR沿着边长为1的正五边形ABCDE外部的边连续滚动（点Q、点R分别与点A、点B重合），当△PQR第一次回到原来的起始位置时（顶点位置与原来相同），点P所经过的路线长为__________________.
解：点运动的路线是五段弧，圆心角为，
，
故答案为：．
19、在图1、图2、图3、图4中，点P在线段BC上移动（不与B、C重合），M在BC的延长线上.
（1）如图1，△ABC和△APE均为正三角形，连接CE.
①求证：△ABP≌△ACE.
②∠ECM的度数为_________.
（2）①如图2，若四边形ABCD和四边形APEF均为正方形，连接CE.则∠ECM的度数为_______.
②如图3，若五边形ABCDF和五边形APEGH均为正五边形，连接CE.则∠ECM的度数为________.
（3）如图4，n边形ABC…和n边形APE…均为正n边形，连接CE，请你探索并猜想∠ECM的度数与正多边形边数n的数量关系（用含n的式子表示∠ECM的度数），并利用图4（放大后的局部图形）证明你的结论.
解：（1）①证明：如图1，
与均为正三角形，
，，，
即，
在和中，
，
．
②，
，
，
．
故答案为：60．
（2）①如图2，作，交于点
四边形和均为正方形，
，，
，
即，
在和中，
，
．
，，
，
，
，
②如图3，作交于点，
五边形和均为正五边方形，
，，
，
，
，
即，
在和中，
，
．
，，
，
，
，
，
，
．
故答案为：45，36．
（3）如图4中，过作，交于点，
边形和边形为正边形，

，
，
，
在和中，
，
，，
，
，
，
，
，
．
20、阅读：我们把边长为1的等边三角形PQR沿着边长为整数的正n（n>3）边形的边按照如图1的方式连续转动，当顶点P回到正n边形的内部时，我们把这种状态称为它的“点回归”；当△PQR回到原来的位置时，我们把这种状态称为它的“三角形回归”.
例如图2，边长为1的等边三角形PQR的顶点P在边长为1的正方形ABCD内，顶点Q与点A重合，顶点R与点B重合，△PQR沿着正方形ABCD的边BC、CD、DA、AB…连续转动，当△PQR连续转动3次时，顶点P回到正方形ABCD内部，第一次出现P的“点回归”；当△PQR连续转动4次时△PQR回到原来的位置，出现第一次△PQR的“三角形回归”.
操作：如图3，如果我们把边长为1的等边三角形PQR沿着边长为1的正五边形ABCDE的边连续转动，则连续转动的次数k=________时，第一次出现P的“点回归”；连续转动的次数k=_______时，第一次出现△PQR的“三角形回归”.
猜想：我们把边长为1的等边三角形PQR沿着边长为1的正n（n>3）边形的边连续转动，
（1）连续转动的次数k=________时，第一次出现P的“点回归”；
（2）连续转动的次数k=________时，第一次出现△PQR的“三角形回归”；
（3）第一次同时出现P的“点回归”与△PQR的“三角形回归”时，写出连续转动的次数k与正多边形的边数n之间的关系.
解：操作：3，5．
猜想：（1）第一次点回归，连续转动的次数都是3次，故填3；
第一次出现的“三角形回归”，连续转动的次数就是多边形的边数，故填；
当不是3的倍数时，，当是3的倍数时，．
21、如图1，等边△ABC的边长为3，分别以顶点B、A、C为圆心，BA长为半径作弧AC、弧CB、弧BA，我们把这三条弧所组成的图形称作莱洛三角形，显然莱洛三角形仍然是轴对称图形，设点I为对称轴的交点.
（1）如图2，将这个图形的顶点A与线段MN作无滑动的滚动，当它滚动一周后点A与端点N重合，则线段MN的长为________；
（2）如图3，将这个图形的顶点A与等边△DEF的顶点D重合，且ABDE，DE=2，将它沿等边△DEF的边作无滑动的滚动当它第一次回到起始位置时，求这个图形在运动过程中所扫过的区域的面积；
（3）如图4，将这个图形的顶点B与⊙0的圆心O重合，⊙O的半径为3，将它沿⊙O的圆周作无滑动的滚动，当它第n次回到起始位置时，点I所经过的路径长为__________.（请用含n的式子表示）
解：（1）等边的边长为3，
，，
，
线段的长为，
故答案为：；
（2）如图1，等边的边长为，等边的边长为3，
，
由题意知，，，
，
，
图形在运动过程中所扫过的区域的面积为；
（3）如图2，连接并延长交于，
是的重心也是内心，
，，
，
当它第1次回到起始位置时，点所经过的路径相当于以为圆心，为半径的圆周，
当它第次回到起始位置时，点所经过的路径长为，
故答案为．