中考培优第二轮复习专题 第14章 新定义问题学案(含答案)

第十四章 新定义问题
新定义：根据题目对某个知识点给出的一种新的定义来解决问题
例题讲解
【代数新定义】
例题1、定义一种运算：，其中k是正整数，且，【x】表示非负实数x的整数部分，例如【2.6】=2，【0.8】=0.若=1，则的值为_________.
【解折】
=1；，；
请坚持继续算下去，同理的=4，=5，；
于是开始循环，每5个数一循环，所以2017÷5=403···2，所以=2.
【点评】
本题很多学生容易算了前几个就草率地填上答案2017，实际往后算会出现循环情况，本题作为选择题考察可能正确率会更低！
例题2、定义符号min{a，b}的含义为：当a≥b时min｛a，b}=b；当a如：min｛1，-3}=-3，min｛-4，-2}=-4.则min{，-x}的最大值为__________.
【解析】
理解后通俗地表达一下，就是大括号内两个数当中选取较小的那个数。
本题需要借助图形来解决【代数题转化为几何问题】
画出函数y=与y=-x的图像由题目定义
可知，在每一个x值时，选取所对应的较小的y值，
剩下图像即为图2的情况，很明显，最大值为点P的
纵坐标。接下去简单了，
所以最大值为
例题3、许老师在一次数学活动中，利用“在面积一定的矩形中，正方形的周长最短”的结论，推导出“式子（x>0）的最小值是2”.其推导方法如下：在面积是1的矩形中设矩形的一边长为x，则另一边长是，矩形的周长是2（）；当矩形成为正方形时，就有（x>0），解得x=1，这时矩形的周长
2（）=4最小，因此（x>0）的最小值是2.模仿许老师的推导，你求得式子（x>0）的最小值是_______________.
【解析】
=，在面积是9的矩形中设矩形的一边长为x，则另一边长是，矩形的周长是2（）；当矩形成为正方形时，就有（x>0），解得x=3，这时矩形的周长2（）=12最小，因此（x>0）的最小值是6.
例题4、如果=n，那么称b为n的劳格数，记为b=d（n），如=100，则2=d（100）；
=10000，则4=d（10000）.由定义可知：=n与b=d（n）所表示的是b，n两个量之间的同一关系.
（1）根据劳格数的定义，填空：d（10）=_________，d（）=__________；
（2）劳格数有如下运算性质：若m，n为正数，则d（mn）=d（m）+d（n），d（）=d（m）-d（n）.
根据运算性质填空，填空：
=________（为正数）， 若d（2）=0.3010，则d（4）=_______；d（5）=___________；d（0.08）=___________.
（3）下表中与数x对应的劳格数d（x）有且只有两个是错误的，请找出错误的劳格数，说明理由并改正.
x
1.5
3
5
6
8
9
12
27
d(x)
3a-b+c
2a-b
a+c
1+a-b-c
3-3a-3c
4a-2b
3-b-2c
6a-3b
【解析】
（1）根据定义，d（10）=1；d（）=3；
（2）=
若d(2)=0.3010，则d(4)=d(2×2)=2d(2)=0.6020；
d(5)=d()=d(10)-d(2)=1-0.3010=0.6990；
d(0.08)=d()=3d(2)-2d(10)=3×0.3010-2×1=-1.0970
（3）本题需要学生有较好的推理能力与观察力
可以先关注一些有关联的数
比如3、9、27，根据定义，值应该呈现出倍2倍、3倍变化，本题完全符合，若d(3)错误，则d(9)、d(27)全部错误与题意不符。所以d(3)、d(9)、d(27)全部正确；
d(5)=a+c，d(2)=d(10)-d(5)=l-a-c，d(6)=d(3)+d(2)=a-b-c+1，d(8)=3
d(2)=3-3a-3c；若d(5)是错误的，则d(6)、d(8)全部错误，与题意不符，所以d(5)、d(6)、d(8)全部正确.
所以d(1.5)和d(12)错误
巩固练习
1、对有序数对（x，y）的一次操作变换记为P1（x，y），定义其变换法则如下：
P1（x，y）=（x+y，x-y）：且规定Pn（x，y）=P1（Pn-l（x，y））（n为大于1的整数）.如P1（1，2）=（3，-1），P2（1，2）=P1（P1（1，2））=P1（3，-1）=（2，4），P3（1，2）=P1（P2（1，2））=P1（2，4）=（6，-2）.则P2016（1，-1）=
答案：（，）
2、对于实数x，我们规定【x】表示不大于x的最大整数，例如【1.2】=1，【3】=3，【-2.51】=-3，若【】=5，则x可取的最大整数是 .答案：51
3、我们记1+2+3+.…+（n-1）+n，（x+1）+（x+2）+.…+（x+n），则化简的结果是
答案：3x2-15x+20
4、任何实数a，可用【a】表示不超过a的最大整数，如【4】=4，【】=1，现对72进行如下操作：72【】=8【】=2【】=1，这样对72只需进行3次操作后变为1，类似地，①对81只需进行 次操作后变为1；②只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是
答案：3，255
5、对于二次函数y=x2-3x+2和一次函数y=-2x+4，把函数y=t(x2-3x+2)+( 1-t)( -2x+4)(t为常数）称为这两个函数的“衍生二次函数”,已知不论t取何常数，这个函数永远经过某些定点，则这个函数必经过的定点坐标为
答案：（-1，6），（2，0）
6、规定：（a>0，a≠1，b>0）表示a、b之间的一种运算.
现有如下的运算法则：，（a>0，a≠1，N>0，N≠1，M >0）.例如：，，则
答案：3
7、在数学上，对于两个正数p和q有三种平均数，即算术平均数A、几何平均数G、调和平均数H，其中A=，G=，而调和平均数H满足.我们把A、G、H称为p、q的平均数组.
①若p=2，q=6，则A= ，G= ，H=
②根据上述关系，可以推导出A、G、H三者的等量关系
③现在小明手里有一张卡片，上面标有数字，另外在一个不透明的布袋中有三个小球，表面分别标有10，8，1，这三个球除了标的数不同外，其余均相同.若从布袋中任意摸出两个小球，求摸出的两个数字与卡片上数字恰好构成平均数组的概率.（请用“画树状图”或“列表”等方法给出分析过程，并求出结果）
答案：(1)4， ，3；(2)G2=A·H；(3)
8、阅读材料：
若a，b都是非负实数，则a+b≥.当且仅当a=b时，“=”成立.
证明：∵≥0，∴a-+b≥0.
∴a+b≥.当且仅当a=b时，“=”成立.
举例应用：
已知x>0，求函数y=2x+的最小值.
解：y=2x+≥2=4.当且仅当2x=，即x=1时，“=”成立.
当x=1时，函数取得最小值，y最小=4.
问题解决：
汽车的经济时速是指汽车最省油的行驶速度.某种汽车在每小时70~110公里之间行驶时（含70公里和110公里），每公里耗油（）升.若该汽车以每小时x公里的速度匀速行驶，1小时的耗油量为y升.
（1）求y关于x的函数关系式（写出自变量x的取值范围）；
（2）求该汽车的经济时速及经济时速的百公里耗油量.
答案：（1）∵汽车在每小时70～110公里之间行驶时（含70公里和110公里），每公里耗油（）升．∴y=x×（）=（70≤x≤110）；（2）根据材料得：当时有最小值，解得：x=90∴该汽车的经济时速为90千米/小时；当x=90时百公里耗油量为100×（）≈11.1升．
例题讲解
【几何新定义】
例题1、如图1，在平面内选一定点O，引一条有方向的射线Ox，再选定一个单位长度，那么平面上任一点M的位置可由∠MOx的度数θ与OM的长度m确定，有序数对（θ，m）称为M点的“极坐标”，这样建立的坐标系称为“极坐标系”。应用：在图2的极坐标系下，如果正六边形的边长为2，有一边OA在射线Ox上，则正六边形的顶点C的极坐标应记为
答案：（4，60°）
【解析】
由题意得，θ＝60°，m＝OC＝4，所以点C的极坐标为（60，4）.
例题2、我们把能平分多边形面积的直线称为“好线”.比如图1中，点D为BC中点，则AD即为△ABC的“好线”.利用下面的作图，可以得到四边形的“好线”：在四边形ABCD（图2）中，取对角线BD的中点O，连接OA、OC、得折线AOC，再过点O作OE∥AC交CD于E，则直线AE即为四边形ABCD的一条“好线”.
（1）如图，请你探究四边形ABCO的面积和四边形ABCD面积的关系，并说明理由；
（2）在上图中，请你说明直线AE是四边形ABCD的一条“好线”；
（3）如图，若AE为一条“好线”，F为AD边上的一点，请作出四边形ABCD经过F点的“好线”，并对你的画图作适当说明.
【解析】
（1）点O是BD中点，所以S△AOB＝S△AOD，S△BOC＝S△COD
所以S△AOB＋S△BOC＝S△ABD＋S△BCD，所以S四边形ABOC＝S四边形ABCD；
（2）因为OE∥AC，所以S△AOC＝S△AEC，因为S四边形ABCO＝S△ABC＋S△AOC，
所以S四边形ABOC＝S△ABC＋S△AEC＝S四边形ABCE，所以S四边形ABCE＝ S四边形ABCD，所以AE是好线.
（3）如图，连接EF，过点A作EF平行线交CD于点G，连接FG，直线FG即为所求“好线”.
我们把能平分四边形面积的直线称为“好线”．利用下面的作图，可以得到四边形的“好线”：在四边形ABCD（图2）中，取对角线BD的中点O，连接OA、OC.得折线AOC,再过点O作OE∥AC交CD于E，则直线AE即为四边形ABCD的一条“好线”．
（1）如图（1），试说明中线AD平分△ABC的面积；
（2）如图（2），请你探究四边形ABCO的面积和四边形ABCD面积的关系，并说明理由；
（3）在图（2）中，请你说明直线AE是四边形ABCD的一条“好线”；
（4）如图（3），若AE为一条“好线”，F为AD边上的一点，请作出四边形ABCD经过F点的“好线”，并对你的画图作适当说明．

【解答】：（1）如图1中，作AH⊥BC于H．
∵AD是中线，
∴BD＝CD，
∴S△ABD＝BD·AH，S△ADC＝DC·AH，
∴S△ABD＝S△ADC，
∴中线AD平分△ABC的面积．
（2）结论：S四边形ABCO＝ S四边形ABCD ．
如图2中，
理由：由（1）知，S△AOB＝S△AOD，S△BOC＝S△DOC，
∴S△AOB＋S△BOC＝S△AOD＋S△DOC＝S四边形ABCD，
∴S四边形ABCO＝S四边形ABCD.
（3）如图2中，设AE交OC于F.
∵OE∥AC，
∴S△AOE＝S△COE，
∴S△AOF＝S△CEF，
又因为（2）知，折线AOC能平分四边形ABCD的面积，
∴直线AE平分四边形ABCD的面积，即AE是四边形ABCD的一条“好线”.
（4）连接EF，过A作EF的平行线交CD于点G，连接FG，则GF为一条“好线”.
∵AG∥EF，
∴S△AGE＝S△AFE.
设AE于FG的交点是O，则S△AOF＝S△GOE，
又AE为一条“好线”，所以GF为一条“好线”.
例题3、类比梯形的定义，我们定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”.
（1）已知：如图1，四边形ABCD是“等对角四边形”，∠A≠∠C，∠A＝70°，∠B＝80°.求∠C，∠D的度数.
（2）在探究“等对角四边形”性质时：
①小红画了一个“等对角四边形”ABCD（如图2），其中∠ABC＝∠ADC，AB＝AD，此时她发现CB＝CD成立.请你证明此结论；
②由此小红猜想：“对于任意“等对角四边形”，当一组邻边相等时，另一组邻边也相等”.你认为她的猜想正确吗？若正确，请证明；若不正确，请举出反例.
（3）已知：在“等对角四边形”ABCD中，∠DAB＝60°，∠ABC＝90°，AB＝5，AD＝4.求对角线AC的长.

【解析】
（1）∵四边形ABCD是“等对角四边形”， ∠A≠∠C，∠A＝70°，∠B＝80°，
∴∠D＝∠B＝80°，
∴∠C＝360°－80°－80°－70°＝130°；
（2）①证明：如图1，连接BD，
∵AB＝AD，
∴∠ABD＝∠ADB，
∵∠ABC＝∠ADC，
∴∠ABC－∠ABD＝∠ADC－∠ADB，
∴∠CBD＝∠CDB，
∴CB＝CD.
②小红的猜想不正确，如图，
四边形ABCD是“等对角四边形”∠A＝∠D＝90°，AB＝AD，但是BC和CD不等.
（3）解：分两种情况：
①当∠ADC＝∠ABC＝90°时，延长AD、BC相交于点E，如图3所示：
∵∠ABC＝90°，∠DAB＝60°，AB＝5，∴∠E＝30°，
∴AE＝2AB＝10，
∴DE＝AE－AD＝10－4＝6，
∵∠EDC＝90°，∠E＝30°，
∴CD＝，
∴AC＝＝＝；
②当∠BCD＝∠DAB＝60°时，
过点D作DE⊥AB于点M，DN⊥BC于点N，如图4所示：
则∠ADM＝90°，四边形 BNDM是矩形，
∵∠DAB＝60°，
∴∠ADM＝30°，
∴AM＝AD＝2，
∴DM＝
∴BM＝AB－AM＝5－2＝3，
∵四边形BNDM是矩形
∴BN＝BM＝3，BN＝DM＝，
∵∠BCD＝60°，
∴CN＝
∴BC＝CN＋BN＝，
∴AC＝＝；
综上所述：AC的长为或.
例题4、给出如下规定：两个图形G1和G2，点P为G1上任一点，点Q为G2上任一点，如果线段PQ的长度存在最小值，就称该最小值为两个图形G1和G2之间的距离.
在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点.
（1）点A的坐标为A（1，0），则点B（2，3）和射线OA之间的距离为 ，点C（－2，3）和射线OA之间的距离为 ；
（2）如果直线y＝x＋1和双曲线y＝之间的距离为，那么k＝ ；（可在图1中进行研究）
（3）点E的坐标为（1，），将射线OE绕原点O顺时针旋转120°，得到射线OF，在坐标平面内所有和射线OE，OF之间的距离相等的点所组成的图形记为图形M.
①请在图2中画出图形M，并描述图形M的组成部分；（若涉及平面中某个区域时可以用阴影表示）.
②将射线OE，OF组成的图形记为图形W，直线y＝－2x－4与图形M的公共部分记为图形N，请求出图形W和图形N之间的距离.

【解析】
（1）点（2,3）和射线OA之间的距离为3，点（－2,3）和射线OA之间的距离为＝，
故答案分别为：3，；
（2）∵直线y＝x＋1和双曲线y＝之间的距离为，
∴k＜0（否则直线y＝x＋1和双曲线y＝相交，它们之间的距离为0．
过点O作直线y＝x＋1的垂线y＝－x，与双曲线y＝交于点E、F，过点E作EG⊥x轴，如图1，
由得，即点F（－，），
则OF＝＝，
∴OE＝OF＋EF＝2，
在Rt△OEG中，∠EOG＝∠OEG＝45°，OE＝2，
则有OG＝EG＝OE＝2，
∴点E的坐标为（－2,2），
∴k＝－2×2＝－4，
故答案为：－4；
（3）①如图，x轴正半轴，∠GOH的边及其内部的所有点（OH、OG分别与OE、OF垂直），
；
②由①知OH所在直线解析式为y＝－，OG所在直线解析式为y＝，
由得，即点M（－，），
由得：，即点N（－，），
则－≤x≤－，
图形N（即线段MN上点的坐标可设为（x，－2x－4），
即图形W与图形N之间的距离为d，
d＝
＝
＝
∴当x＝－时，d的最小值为＝，
即图形W和图形N之间的距离．
巩固练习
1、阅读理解：
我们知道，四边形具有不稳定性，容易变形.如图1，一个矩形发生变形后成为一个平行四边形.设这个平行四边形相邻两个内角中较小的一个内角为α，我们把的值叫做这个平行四边形的变形度.
（1）若矩形发生变形后的平行四边形有一个内角是120°，则这个平行四边形的变形度是 .
猜想证明：
（2）若矩形的面积为S1，其变形后的平行四边形面积为S?，试猜想S1，S2，之间的数量关系，并说明理由；
拓展探究：
（3）如图 2 ，在矩形ABCD中，E是AD边上的一点， 且AB2＝AE·AD，这个矩形发生变形后为平行四边形A1B1C1D1，E1为E的对应点， 连接B1E1，B1D1，若矩形ABCD的面积为（m＞0），平行四边形A1B1C1D1的面积为（m＞0），试求∠A1E1B1＋∠A1D1B1的度数 ．
【解答】
（1）∵平行四边形有一个内角是 120 度，
∴α＝60°，
∴＝＝；
故答案为：；
（2）＝，
理由： 如图 1 ，
设矩形的长和宽分别为a，b，变形后的平行四边形的高为h，∴ S1＝ab，S2＝ah，sinα＝，
∴＝＝，∵＝，∴＝；
（3）∵AB2＝AE·AD，
∴A1B12＝A1E1·A1D1，即＝ ，
∵∠B1A1E1＝∠D1A1B1，
∴∠A1B1E1＝∠A1D1B1，
∵A1D1∥B1C1，
∴∠A1E1B1＝∠C1B1E1，
∴∠A1E1B1＋∠A1D1B1＝∠C1B1E1＋∠A1B1E1＝∠A1B1C1，
由 （2） 知＝可知＝＝2，
∴sin∠A1B1C1＝，
∴∠A1B1C1＝30°，
∴∠A1E1B1＋∠A1D1B1＝30°．
2、如图1，在四边形ABCD一边AD上取一点E，连接BE、CE得到△ABE、△EBC、△EDC，若这3个三角形中有且只有两个等腰三角形，那么就称点E为四边形ABCD中AD边上的等腰分点；若这3个三角形都是等腰三角形，那么就称点E为四边形ABCD中AD边上的强等腰分点。
（1）如图2，矩形ABCD中，AB＝2BC.利用尺规作图画出矩形ABCD中的AD边上的强等腰分点；
（2）如图3，在□ABCD中，AD＝12，CD＝6，E为□ABCD中AD边上的等腰分点，且BE＝BC，CE＝CD，求DE的长.
（3）在□ABCD中，∠A＝120°，AD＝12，E为□ABCD中AD边上的等腰分点，求AB的长.（画出满足条件的示意图，并对应地直接写出答案）
答案：(1) 作出线段AD的中点即可；
(2) DE＝3；
(3) AB＝6或4或4；
3、操作：“如图1，P是平面直角坐标系中一点（x轴上的点除外），过点P作PCLx轴于点C，点C绕点P逆时针旋转60°得到点Q.”我们将此由点P得到点Q的操作称为点的T变换.
（1）点P（a，b）经过T变换后得到的点Q的坐标为 ；若点M经过T变换后得到点N（6，－），则点M的坐标为 。
（2）A是函数y＝x图像上异于原点O的任意一点，经过T变换后得到点B.
①求经过点O、点B的直线的函数表达式；
②如图2，直线AB交y轴于点D，求△OAB的面积与△OAD的面积之比.
答案：（1）Q（a＋b， b）；M（9，﹣2）；(2)①y＝x；②
4、对于平面直角坐标系中的任意两点P1（x1，1），P2（x2，2），我们把|x1－x2|＋|yl－y2|叫做P1、P2两点间的直角距离，记作d（P1，P2）.
（1）已知O为坐标原点，动点P（x，y）满足d（O，P）＝1，请写出x与y之间满足的关系式，并在所给的直角坐标系中画出所有符合条件的点P所组成的图形；
（2）设P0（x0，y0）是一定点，Q（x，y）是直线y＝ax＋b上的动点，我们把d（P0，2）的最小值叫做P0到直线y＝ax＋b的直角距离.试求点M（2，1）到直线y＝x＋2的直角距离。
解：（1）由题意，得|x|＋|y|＝1
所有符合条件的点P组成的图形如图所示
（2）∵d（M，Q）＝|x﹣2|＋|y﹣1|＝|x﹣2|＋|x＋2﹣1|＝|x﹣2|＋|x＋1|
又∵x可取一切实数，|x﹣2|＋|x＋1|表示数轴上实数x所对应的点到数2和﹣1所对应的点的距离之和，其最小值为3．∴点M（2，1）到直线y＝x＋2的直角距离为3
5、定义：P、Q分别是两条线段a和b上任意一点，线段PQ长度的最小值叫做线段与线段的距离。
已知O（0，0），A（4，0），B（m，n），C（m＋4，n）是平面直角系中四点.
（1）根据上述定义，当m＝2，n＝2时，如图1，线段BC与线段OA的距离是 。
当m＝5，n＝2时，如图2，线段BC与线段OA的距离（即线段AB的长）为 。
（2）如图3，若点B落在圆心为A，半径为2的圆上，线段BC与线段OA的距离记为d，求d关于m的函数解析式.
（3）当m的值变化时，动线段BC与线段OA的距离始终为2，线段BC的中点为M.
①求出点M随线段BC运动所围成的封闭图形的周长；
②点D的坐标为（0，2），m≥0，n≥0，作MH⊥x轴，垂足为H，是否存在m的值，使以A、M、H为顶点的三角形与△AOD相似，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.
答案：解：（1）当m＝2，n＝2时，
线段BC与线段OA的距离等于平行线之间的距离，即为2；
（2）当m＝5，n＝2时，
B点坐标为（5，2），线段BC与线段OA的距离，即为线段AB的长，
过点B作BN⊥x轴于点N，则AN＝1，BN＝2，
在Rt△ABN中，由勾股定理得：AB＝＝．
（3）如图3所示，当点B落在⊙A上时，m的取值范围为：2≤m≤6：
①当4≤m≤6，显然线段BC与线段OA的距离等于⊙A半径，即d＝2；
②当2≤m＜4时，作BN⊥x轴于点N，线段BC与线段OA的距离等于BN长，
ON＝m，AN＝OA－ON＝4－m，在Rt△ABN中，由勾股定理得：
故d＝（2≤m＜4）．
6、已知点P（x0,y0）和直线y＝kx＋b，则点P到直线y＝kx＋b的距离d可用公式d＝.
计算.
例如：求点P（－2，1）到直线y＝x＋1的距离。
解：因为直线y＝x＋1可变形为x－y＋1＝0，其中k＝1，b＝1.
所以点P（－2，1）到直线y＝x＋1的距离为d＝＝.
根据以上材料，求：
（1）点P（1，1）到直线y＝3x－2的距离，并说明点P与直线的位置关系；
（2）点P（2，－1）到直线y＝2x－1的距离；
（3）已知直线y＝－x＋1与y＝－x＋3平行，求这两条直线的距离.
答案：（1）∵由直线y＝2x－1得，k＝2，b＝－1，∴d＝；
（2）∵由直线y＝3x－2得，k＝3，b＝－2，
∴d＝＝0，
∴此点在直线上；
（3）∵令x＝0，则y＝1，
∴点（0，1）在直线y＝－x＋1上．
∵直线y＝－x＋3可知，k＝－1，b＝3，
∴d＝．
7、阅读材料：我们知道，一次函数y＝kx＋b的图象是一条直线，而y＝kx＋b经过恒等变形可化为直线的另一种表达形式：Ax＋Bx＋C＝0（A、B、C是常数，且A、B不同时为0）.如图1，点P（m，n）到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离（d）计算公式是：d＝
例：求点P（1，2）到直线y＝x－的距离d时，先将y＝ y＝x－化为5x－12y－2＝0，再由上述距离公式求得d＝
解答问题：
如图2，已知直线y＝－x－4与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝x2－4x＋5上的一点M（3,2）
（1）求点M到直线AB的距离。
（2）抛物线上是否存在点P，使得△PAB的面积最小？若存在，求出点P的坐标及△PAB面积的最小值；若不存在，请说明理由.
答案：（1）将直线AB变为：4x＋3y＋12＝0，
又M（3，2），
则点M到直线AB的距离d＝6；
（2）假设抛物线上存在点P，使得△PAB的面积最小，设P坐标为（a，a2﹣4a＋5），
∵y＝3a2﹣8a＋27中，△＝64﹣12×27＝﹣260＜0，
∴y＝3a2﹣8a＋27中函数值恒大于0，
∴点M到直线AB的距离d＝，
又函数y＝3a2﹣8a＋27，当a＝时，ymin＝，
∴dmin＝，此时P坐标为（，）；
又y＝﹣x﹣4，令x＝0求出y＝﹣4，令y＝0求出x＝﹣3，
∴OA＝3，OB＝4，
∴在Rt△AOB中，根据勾股定理得：AB＝5，
∴S△PAB的最小值为×5×＝．
8、在平面直角坐标系xOy中，对于任意两点P1（x1，y1）与P2（x2，y2）的“非常距离”，给出如下定义：若|x1－x?|≥|y1－y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|x1－x2|；若|x1－x2|＜|y1－y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|y1－y2|.
例如：点P1（l,2），点P2（3，5），因为|1－3|＜|2－5|，所以点P1与点P2的“非常距离”为|2－5|＝3，也就是图1中线段P1Q与线段P2Q长度的较大值（点Q为垂直于y轴的直线P1Q与垂直于x轴的直线P2Q的交点）
（1）已知点A（－，0），B为y轴上的一个动点，①若点A与点B的“非常距离”为2，写出一个满足条件的点B的坐标；②直接写出点A与点B的“非常距离”的最小值；
（2）已知C是直线y＝x＋3上的一个动点，①如图2，点D的坐标是（0，1），求点C与点D的“非常距离”的最小值及相应的点C的坐标；②如图3，E是以原点O为圆心，1为半径的圆上的一个动点，求点C与点E的“非常距离”的最小值及相应的点E和点C的坐标
答案：⑴ ①或
②
⑵ ①设坐标
∴当　　此时　　∴距离为　　此时.　　
②　　∴　∴
最小值1。
9、在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（x1，y1），点Q的坐标为（x2，y2），且x≠x，y1≠y2，若P，Q为某个矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点P，Q的“相关矩形”，如图为点P，Q的“相关矩形”示意图.
（1）已知点A的坐标为（1，0），
①若点B的坐标为（3，1），求点A，B的“相关矩形”的面积；
②点C在直线x＝3上，若点A，C的“相关矩形”为正方形，求直线AC的表达式；
（2）⊙O的半径为，点M的坐标为（m，3），若在⊙O上存在一点N，使得点M，N的“相关矩形”为正方形，求m的取值范围.
【解答】解：（1）①∵A（1，0），B（3，1）
由定义可知：点A，B的“相关矩形”的底与高分别为2和1，
∴点A，B的“相关矩形”的面积为2×1＝2；
②由定义可知：AC是点A，C的“相关矩形”的对角线，
又∵点A，C的“相关矩形”为正方形
∴直线AC与x轴的夹角为45°，
设直线AC的解析为：y＝x+m或y＝﹣x+n
把（1，0）分别y＝x+m，
∴m＝﹣1，
∴直线AC的解析为：y＝x﹣1，
把（1，0）代入y＝﹣x+n，
∴n＝1，
∴y＝﹣x+1，
综上所述，若点A，C的“相关矩形”为正方形，直线AC的表达式为y＝x﹣1或y＝﹣x+1；
（2）设直线MN的解析式为y＝kx+b，
∵点M，N的“相关矩形”为正方形，
∴由定义可知：直线MN与x轴的夹角为45°，
∴k＝±1，
∵点N在⊙O上，
∴当直线MN与⊙O有交点时，点M，N的“相关矩形”为正方形，
当k＝1时，
作⊙O的切线AD和BC，且与直线MN平行，
其中A、C为⊙O的切点，直线AD与y轴交于点D，直线BC与y轴交于点B，
连接OA，OC，
把M（m，3）代入y＝x+b，
∴b＝3﹣m，
∴直线MN的解析式为：y＝x+3﹣m
∵∠ADO＝45°，∠OAD＝90°，
∴OD＝OA＝2，
∴D（0，2）
同理可得：B（0，﹣2），
∴令x＝0代入y＝x+3﹣m，
∴y＝3﹣m，
∴﹣2≤3﹣m≤2，
∴1≤m≤5，
当k＝﹣1时，把M（m，3）代入y＝﹣x+b，
∴b＝3+m，
∴直线MN的解析式为：y＝﹣x+3+m，
同理可得：﹣2≤3+m≤2，
∴﹣5≤m≤﹣1；
综上所述，当点M，N的“相关矩形”为正方形时，m的取值范围是：1≤m≤5或﹣5≤m≤﹣1
10、对于半径为r的⊙P及一个正方形给出如下定义：若⊙P上存在到此正方形四条边距离都相等的点，则称⊙P是该正方形的“等距圆”.如图1，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点A的坐标为（2，4），顶点C、D在x轴上，且点C在点D的左侧.
（1）当r＝4时，
①在P1（0，－3），P2（4，6），P3（4，2）中可以成为正方形ABCD的“等距圆”的圆心的是 .
②若点P在直线y＝x＋2上，且⊙P是正方形ABCD的“等距圆”，则点P的坐标为 ；
（2）如图2，在正方形ABCD所在平面直角坐标系xOy中，正方形EFGH的顶点F的坐标为（6，2），顶点E、H在y轴上，且点H在点E的上方.
①若⊙P同时为上述两个正方形的“等距圆”，且与BC所在直线相切，求⊙P在y轴上截得的弦长；
②将正方形ABCD绕着点D旋转一周，在旋转的过程中，线段HF上没有一个点能成为它的“等距圆”的圆心，则r的取值范围是 .

图1 图2
【解答】解：（1）①连接AC和BD，交于点M，
∵四边形ABCD是正方形，
∴M到正方形ABCD四条边距离都相等
∴⊙P一定通过点M，
∵A（2，4）
∴M（0，2）
设⊙P的圆心坐标是（x，y），
∴r＝时，
∴x2+（y﹣2）2＝（4）2，
即，x2+（y﹣2）2＝32，
把P1（0，﹣3），P2（4，6），P3（，2）代入，只有P2，P3成立，
∴可以成为正方形ABCD的“等距圆”的圆心的是P2，P3
②∵点P在直线y＝﹣x+2上，且⊙P是正方形ABCD的“等距圆”，
∴把y＝﹣x+2代入x2+（y﹣2）2＝32，得x2+x2＝32，
解得x＝±4，
∴y＝﹣2或6，
∴P（4，﹣2）或P（﹣4，6）．
故答案为：P2，P3；（4，﹣2）或P（﹣4，6）．
（2）如下图：
①∵⊙P同时为正方形ABCD与正方形EFGH的“等距圆”，
∴⊙P同时过正方形ABCD的对称中心E和正方形EFGH的对称中心I．
∴点P在线段EI的中垂线上．
∵A（2，4），正方形ABCD的边CD在x轴上；F（6，2），正方形EFGH的边HE在y轴上，
∴E（0，2），I（3，5）
∴∠IEH＝45°，
设线段EI的中垂线与y轴交于点L，与x轴交于点M，
∴△LIE为等腰直角三角形，LI⊥y轴，
∴L（0，5），
∴△LOM为等腰直角三角形，LO＝OM
∴M（5，0），
∴P在直线y＝﹣x+5上，
∴设P（p，﹣p+5）
过P作PQ⊥直线BC于Q，连结PE，
∵⊙P与BC所在直线相切，
∴PE＝PQ，
∴p2+（﹣p+5﹣2）2＝（p+2）2，
解得：，，
∴．．
∵⊙P过点E，且E点在y轴上，
∴⊙P在y轴上截得的弦长为．
②如图2，连接DH，作DT⊥HF，以D为圆心，DE为半径作圆，交DT于点E1，交HD于E2，
当0＜r＜DT﹣DE1时，线段HF上没有一个点能成为它的“等距圆”的圆心．
∵HF所在的直线为：y＝﹣x+8，
DT所在的直线为：y＝x﹣2，
∴T（5，3），
∵D（2，0），
∴DT＝＝3，
∵DE＝DE1
∴DT﹣DE1＝DT﹣DE＝3﹣2＝，
∴当0＜r＜时，线段HF上没有一个点能成为它的“等距圆”的圆心．
当r＞HE2时，线段HF上没有一个点能成为它的“等距圆”的圆心．
∵HE2＝HD+DE2，DE2＝DE，
∴HE2＝HD+DE＝+2＝+2＝2+2，
∴当r＞2+2时，线段HF上没有一个点能成为它的“等距圆”的圆心．
11、若一个四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，我们把这条对角线叫这个四边形的和谐线，这个四边形叫做和谐四边形.如菱形就是和谐四边形.
（1）如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝120°，∠C＝75°，BD平分∠ABC.求证：BD是梯形ABCD的和谐线；
（2）如图2，在12×16的网格图上（每个小正方形的边长为1）有一个扇形BAC，点A.B.C均在格点上，请在答题卷给出的两个网格图上各找一个点D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形的两条对角线都是和谐线，并画出相应的和谐四边形；
（3）四边形ABCD中，AB＝AD＝BC，∠BAD＝90°，AC是四边形ABCD的和谐线，求∠BCD的度数.

图1 图2
【解答】解：（1）∵AD∥BC，
∴∠ABC+∠BAD＝180°，∠ADB＝∠DBC．
∵∠BAD＝120°，
∴∠ABC＝60°．
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC＝30°，
∴∠ABD＝∠ADB，
∴△ADB是等腰三角形．
在△BCD中，∠C＝75°，∠DBC＝30°，
∴∠BDC＝∠C＝75°，
∴△BCD为等腰三角形，
∴BD是梯形ABCD的和谐线；
（2）由题意作图为：图2，图3
（3）∵AC是四边形ABCD的和谐线，
∴△ACD是等腰三角形．
∵AB＝AD＝BC，
如图4，当AD＝AC时，
∴AB＝AC＝BC，∠ACD＝∠ADC
∴△ABC是正三角形，
∴∠BAC＝∠BCA＝60°．
∵∠BAD＝90°，
∴∠CAD＝30°，
∴∠ACD＝∠ADC＝75°，
∴∠BCD＝60°+75°＝135°．
如图5，当AD＝CD时，
∴AB＝AD＝BC＝CD．
∵∠BAD＝90°，
∴四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD＝90°
如图6，当AC＝CD时，过点C作CE⊥AD于E，过点B作BF⊥CE于F，
∵AC＝CD．CE⊥AD，
∴AE＝AD，∠ACE＝∠DCE．
∵∠BAD＝∠AEF＝∠BFE＝90°，
∴四边形ABFE是矩形．
∴BF＝AE．
∵AB＝AD＝BC，
∴BF＝BC，
∴∠BCF＝30°．
∵AB＝BC，
∴∠ACB＝∠BAC．
∵AB∥CE，
∴∠BAC＝∠ACE，
∴∠ACB＝∠ACE＝∠BCF＝15°，
∴∠BCD＝15°×3＝45°．

12.如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长,那么称这个三角形为“好玩三角形”.
(1)请用直尺与圆规画一个“好玩三角形”；
(2)如图1,在Rt△ABC中,∠C＝90°,tanA=,求证:△ABC是“好玩三角形”；
(3)如图2,已知菱形ABCD的边长为a,∠ABC=2β,点P,Q从点A同时出发,以相同的速度分别沿折线AB—BC和AD—DC向终点C运动,记点P所经过的路程为s.
①当β=45°时,若△APQ是“好玩三角形”,试求的值；
②当tanβ的取值在什么范围内,点P,Q在运动过程中,有且只有一个△APQ能成为“好玩三角形”？请直接写出tanβ的取值范围。
(4)依据(3)中的条件,提出一个关于“在点P,Q的运动过程中,tanβ的取值范围与△APQ是“好玩三角形”的个数关系”的真命题(“好玩三角形”的个数限定不能为1).
解:(1)如图1所示,其中A、B别为半径OE、OF的中点.
(2)如图2所示,取AC的中点D,连接BD,因为∠C=90°,tanA=,所以,
故设BC=x,则AC=2x,因为D是AC中点,所以CD=AC=x,
故BD=,则AC=BD,所以△ABC是“好玩三角形”.
(3)①如图3所示,当β=45°时,点P在AB上时,∠ABC=2β=90°,所以△APQ是等腰直角三角形,不可能是“好玩三角形”,当P在BC上时,连接AC交PQ于点E,延长AB交QP的延长线于点F,因为PC=CQ,所以∠CAB=∠ACP,∠AEF=∠CEP,故△AEF∽△CEP,
则,又因为△CPQ是等腰直角三角形,E为PQ中点,所以PE=CE,所以,故当底边PQ与它的中线AE相等时,即AE=PQ时, ,
所以.如图4所示,当底边PQ与它的中线QM相等时,即AP=QM时,作QN⊥AP于N,因为AP=QM=AQ,所以△QMA是等腰三角形,根据三线合一性质可知:MN＝AN=MP,根据勾股定理可知: ,所以tan∠APQ=,
tan∠APE=,所以.
综上所述: 或.
②当＜tanβ＜2时,有且只有一△APQ能成为“好玩三角形”.
(4)由(3)可以知道0＜tanβ＜，在P、Q的运动过程中，使得△APQ能成为“好玩三角形”的个数为2.