中考培优第二轮复习专题 第15章 函数背景下多解问题的简便书写学案(含答案)
文档属性
| 名称 | 中考培优第二轮复习专题 第15章 函数背景下多解问题的简便书写学案(含答案) |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 1.5MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-03-05 12:36:00 | ||
图片预览
文档简介
第十五章 函数背景下多解问题的简便书写
我们平时在做题时经常会遇到两解、三解甚至更多解的题目,考试时间有限,我们总不能在一道题上花很多时间,所以我们需要想个办法,能不能把这类多解题用更少的书写去完成.
例题讲解
例题1.(2015·宜兴期末)如图,直线y=－2x+7与x轴、y轴分别交于点C、B,与直线y=x相交于点4.
(1)求A点坐标；
(2)在直线y=－2x+7上是否存在点Q，使△OAO的面积等于6？若存在,请求出Q点坐标,若不存在,请说明理由.
【解析】
(1)A(2,3)；
(2)分点2在点A左侧和右侧两种情况讨论,为了书写简洁,我们可以用一个式子来表示分类讨论的部分.
∵∴S△OAQ=6,S△OAB=7,∵∴S△OBQ=1或13,设Q(m,－2m+7),无法确定正负时，
无法确定正负时,可用绝对值表示
点Q坐标为(,)或(,)
例题2.如图,抛物线y=－x2+2x+3与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C，在抛物线上找一点P(m,n),使得 S△BCP =2,求出m的值.
【解析】
本题在思考时,会发现点P的位置要分直线BC上方与下方,分类讨论在所难免.那么是否有简便写法呢？
易求得A(－1,0),B(3,0),C(0,3)
BC直线解析式为:y=－x+3
P(m,－m2+2m+3),Q(m,－m+3)，所以PQ=|m2－3m|
由题意得：×|m2－3m|×3=2，化简得|m2－3m|=
所以①m2－3m=，解得m=
②m2－3m=，解得m=
例题3.如图,抛物线y=－x2+2x+3与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)与y轴交于点C,点D为该抛物线的顶点.在y轴右侧的抛物线上找一点E,横坐标为m,过点E向y轴作垂线，垂足为F,问:是否存在点E,使得以E、F、C为顶点的三角形和△BCD相似,若存在,求出m的值,若不存在,请说明理由；
【解析】
本题既要分点E在点C上方和下方,还要分EF和CF的比例,一个一个分类讨论明显过于麻烦,是否有简便一点的写法呢？
易求得A(－1,0),B(3,0),C(0,3),D(1,4)
△BCD为直角三角形，且,E(m,－m2+2m+3),m>0.
①无法确定正负时，可用绝对值表示；
②计算时注意力用因式分解简化计算。
所以EF=m,CF=|m2－2m|
所以CF＝
因为m＞0，所以＝＝＝
①=3，m1=－1(舍),m2=5
②=，m1=，m2=
例题4、抛物线的顶点为M（1，4），与x轴的右交点为A，与y轴的交点为B，点C与点B关于抛物线的对称轴对称，且
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D是y轴上一点，将点D绕C点逆时针旋转90°得到点E，若点E恰好落在抛物线上，请求出点D的坐标。
【解析】
（1）由顶点M（1，4）可知对称轴为直线x=1，原解析式可设为；点B为抛物线与y轴交点，且点C与点B关于抛物线的对称轴对称，所以BC与x轴平行且BC=2，点A到BC的距离为点B的纵坐标c，所以，所以c=3，展开后为，c=a+4，所以a+4=3，a=-1，所以.
（2）经过画图演示，会出现两种情况（图1、图2），照常理，我们需要分两种情况讨论
如图3，设D（0，m），易证，BD=CE=3-m，，所以的横坐标为：，纵坐标为：，所以（5-m，1）.
如图4，设D（0，m），易证，DG=CF=m-3，CG=DF=2，所以的横坐标为：，纵坐标为：所以（5-m，1）。
发现两种情况表示出来的坐标是一样的，既然是一样的，那么将点代入函数解析式求得的两个解即为答案.
既然两种情况下表示出来后坐标一样，那么是不是可以不分类讨论，只列一个式子，得到的两个解直接作为答案而不用舍去呢？这个是不行的，分类讨论还是要有的，但是如果提前知道表示的结果会一样，那么第二种情况就可以“偷工减料”。
可以这么写：
两种情况表示方法相同，且纵坐标是个定值，直接将纵坐标为1代入函数解析式，求得 的横坐标分别为，此时令，求出m，这样计算量更小！
例题5、如图，在平面直角坐标系中，A（6，0），点O为坐标原点，点B在第一象限，OB=AB，tan∠A0B是方程的一个根.
（1）求点B的坐标；
（2）二次函数的图像经过A、B、O三点，若点P为此图像上一动点，过点P作PQ//x轴交此图像于点Q，若以PO为直径的圆与x轴相切，求PQ的长.
【解析】
（1）的解为（舍），
过点B作BEOA，OA=6，易得OE=3，
tan∠A0B=2，，
（2）设二次函数解析式为过点，
代入求得，
∴解析式为，对称轴为直线x=3.
方法一：
假设点P在对称轴左侧，设，
当点P在x轴上方时，，
PQ=2PG=2（3-m）=6-2m.∴PQ=2GH，，
解得（舍）∴PQ=6-2m=2
当点P在x轴下方时，PQ=2PG=2（3-m）=6-2m PQ=2GH，
解得（舍）
∴PQ=6-2m=18
综上所述，PQ=2或18.
我们发现两种情况的区别就在于GH的表示方法互为相反数，
PQ表示方法不变，互为相反数即可用绝对值表示，
所以本题也可以直接用一个式子表示。
方法二：
要求PQ长，能否直接设PQ长为a（a>0），然后想办法建立等式求出a值呢？
则点P到x轴距离为，但是代入函数时仍要分正负情况，
为了书写方便，不如设P点纵坐标为a（正负均可），则.
可以有，化为一般式：，假设该方程两个解为则有，|，两边平方得
∴.
【方法二避开了分类讨论的繁琐书写】
巩固练习
1．一次函数的图象如图所示，它与二次函数的图象交于、两点（其中点在点的左侧），与这个二次函数图象的对称轴交于点．
（1）求点的坐标；
（2）设二次函数图象的顶点为．若点与点关于轴对称，且的面积等于3，求此二次函数的关系式；
【解答】解：（1），
二次函数图象的对称轴为直线，
当时，，
故点；
（2）点与点关于轴对称，
，，
设，，由得：，
解得，
．
由、得：
，
解得：，．
；
2．如图，已知二次函数的图像与y轴交于点A，顶点为点C，直线AC交x轴于点B，点C关于原点的对称点为点D.
（1）顶点C的坐标（ ， ）：（用n的代数式表示）
（2）试求出直线AC的解析式；（用含n的代数式表示）
（3）当△ABD的面积为16时，求抛物线的解析式．
【解答】解：（1）由顶点坐标公式易知，
（2）由，得直线的解析式为：，
（3）易得当△ABD的面积为16时,n=4或者n=-6
3．如图，已知一次函数的图象是直线，设直线分别与轴、轴交于点、．设点在射线上，将点绕点按逆时针方向旋转到点，以点为圆心，的长为半径作圆．
①当圆与轴相切时，求点的坐标；
【解答】解：当时，，
，，当时，，
，，，由勾股定理得：；
如图1，过作轴于，过作轴于，
，
设，，则，
，
由旋转得：，，
，，
，，
，，
圆与轴相切，设切点为，连接，则轴，
，则，，，
；
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2019/9/24 13:16:23；用户：校园号试用；邮箱
我们平时在做题时经常会遇到两解、三解甚至更多解的题目,考试时间有限,我们总不能在一道题上花很多时间,所以我们需要想个办法,能不能把这类多解题用更少的书写去完成.
例题讲解
例题1.(2015·宜兴期末)如图,直线y=－2x+7与x轴、y轴分别交于点C、B,与直线y=x相交于点4.
(1)求A点坐标；
(2)在直线y=－2x+7上是否存在点Q，使△OAO的面积等于6？若存在,请求出Q点坐标,若不存在,请说明理由.
【解析】
(1)A(2,3)；
(2)分点2在点A左侧和右侧两种情况讨论,为了书写简洁,我们可以用一个式子来表示分类讨论的部分.
∵∴S△OAQ=6,S△OAB=7,∵∴S△OBQ=1或13,设Q(m,－2m+7),无法确定正负时，
无法确定正负时,可用绝对值表示
点Q坐标为(,)或(,)
例题2.如图,抛物线y=－x2+2x+3与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C，在抛物线上找一点P(m,n),使得 S△BCP =2,求出m的值.
【解析】
本题在思考时,会发现点P的位置要分直线BC上方与下方,分类讨论在所难免.那么是否有简便写法呢？
易求得A(－1,0),B(3,0),C(0,3)
BC直线解析式为:y=－x+3
P(m,－m2+2m+3),Q(m,－m+3)，所以PQ=|m2－3m|
由题意得：×|m2－3m|×3=2，化简得|m2－3m|=
所以①m2－3m=，解得m=
②m2－3m=，解得m=
例题3.如图,抛物线y=－x2+2x+3与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)与y轴交于点C,点D为该抛物线的顶点.在y轴右侧的抛物线上找一点E,横坐标为m,过点E向y轴作垂线，垂足为F,问:是否存在点E,使得以E、F、C为顶点的三角形和△BCD相似,若存在,求出m的值,若不存在,请说明理由；
【解析】
本题既要分点E在点C上方和下方,还要分EF和CF的比例,一个一个分类讨论明显过于麻烦,是否有简便一点的写法呢？
易求得A(－1,0),B(3,0),C(0,3),D(1,4)
△BCD为直角三角形，且,E(m,－m2+2m+3),m>0.
①无法确定正负时，可用绝对值表示；
②计算时注意力用因式分解简化计算。
所以EF=m,CF=|m2－2m|
所以CF＝
因为m＞0，所以＝＝＝
①=3，m1=－1(舍),m2=5
②=，m1=，m2=
例题4、抛物线的顶点为M（1，4），与x轴的右交点为A，与y轴的交点为B，点C与点B关于抛物线的对称轴对称，且
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D是y轴上一点，将点D绕C点逆时针旋转90°得到点E，若点E恰好落在抛物线上，请求出点D的坐标。
【解析】
（1）由顶点M（1，4）可知对称轴为直线x=1，原解析式可设为；点B为抛物线与y轴交点，且点C与点B关于抛物线的对称轴对称，所以BC与x轴平行且BC=2，点A到BC的距离为点B的纵坐标c，所以，所以c=3，展开后为，c=a+4，所以a+4=3，a=-1，所以.
（2）经过画图演示，会出现两种情况（图1、图2），照常理，我们需要分两种情况讨论
如图3，设D（0，m），易证，BD=CE=3-m，，所以的横坐标为：，纵坐标为：，所以（5-m，1）.
如图4，设D（0，m），易证，DG=CF=m-3，CG=DF=2，所以的横坐标为：，纵坐标为：所以（5-m，1）。
发现两种情况表示出来的坐标是一样的，既然是一样的，那么将点代入函数解析式求得的两个解即为答案.
既然两种情况下表示出来后坐标一样，那么是不是可以不分类讨论，只列一个式子，得到的两个解直接作为答案而不用舍去呢？这个是不行的，分类讨论还是要有的，但是如果提前知道表示的结果会一样，那么第二种情况就可以“偷工减料”。
可以这么写：
两种情况表示方法相同，且纵坐标是个定值，直接将纵坐标为1代入函数解析式，求得 的横坐标分别为，此时令，求出m，这样计算量更小！
例题5、如图，在平面直角坐标系中，A（6，0），点O为坐标原点，点B在第一象限，OB=AB，tan∠A0B是方程的一个根.
（1）求点B的坐标；
（2）二次函数的图像经过A、B、O三点，若点P为此图像上一动点，过点P作PQ//x轴交此图像于点Q，若以PO为直径的圆与x轴相切，求PQ的长.
【解析】
（1）的解为（舍），
过点B作BEOA，OA=6，易得OE=3，
tan∠A0B=2，，
（2）设二次函数解析式为过点，
代入求得，
∴解析式为，对称轴为直线x=3.
方法一：
假设点P在对称轴左侧，设，
当点P在x轴上方时，，
PQ=2PG=2（3-m）=6-2m.∴PQ=2GH，，
解得（舍）∴PQ=6-2m=2
当点P在x轴下方时，PQ=2PG=2（3-m）=6-2m PQ=2GH，
解得（舍）
∴PQ=6-2m=18
综上所述，PQ=2或18.
我们发现两种情况的区别就在于GH的表示方法互为相反数，
PQ表示方法不变，互为相反数即可用绝对值表示，
所以本题也可以直接用一个式子表示。
方法二：
要求PQ长，能否直接设PQ长为a（a>0），然后想办法建立等式求出a值呢？
则点P到x轴距离为，但是代入函数时仍要分正负情况，
为了书写方便，不如设P点纵坐标为a（正负均可），则.
可以有，化为一般式：，假设该方程两个解为则有，|，两边平方得
∴.
【方法二避开了分类讨论的繁琐书写】
巩固练习
1．一次函数的图象如图所示，它与二次函数的图象交于、两点（其中点在点的左侧），与这个二次函数图象的对称轴交于点．
（1）求点的坐标；
（2）设二次函数图象的顶点为．若点与点关于轴对称，且的面积等于3，求此二次函数的关系式；
【解答】解：（1），
二次函数图象的对称轴为直线，
当时，，
故点；
（2）点与点关于轴对称，
，，
设，，由得：，
解得，
．
由、得：
，
解得：，．
；
2．如图，已知二次函数的图像与y轴交于点A，顶点为点C，直线AC交x轴于点B，点C关于原点的对称点为点D.
（1）顶点C的坐标（ ， ）：（用n的代数式表示）
（2）试求出直线AC的解析式；（用含n的代数式表示）
（3）当△ABD的面积为16时，求抛物线的解析式．
【解答】解：（1）由顶点坐标公式易知，
（2）由，得直线的解析式为：，
（3）易得当△ABD的面积为16时,n=4或者n=-6
3．如图，已知一次函数的图象是直线，设直线分别与轴、轴交于点、．设点在射线上，将点绕点按逆时针方向旋转到点，以点为圆心，的长为半径作圆．
①当圆与轴相切时，求点的坐标；
【解答】解：当时，，
，，当时，，
，，，由勾股定理得：；
如图1，过作轴于，过作轴于，
，
设，，则，
，
由旋转得：，，
，，
，，
，，
圆与轴相切，设切点为，连接，则轴，
，则，，，
；
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2019/9/24 13:16:23；用户：校园号试用；邮箱
同课章节目录