中考培优第二轮复习专题 第16章 函数图像解读学案(含答案)

第十六章 函数图像解读
在解决函数图像与实际问题结合的题型时，我们需要注意以下几点：
1、图像的横、纵坐标所表示的意义；
2、函数图像是直线还是曲线（直线代表单变量，曲线代表双变量）；
3、交点所表示的意义；
4、拐点所表示的意义；
5、具体点的坐标.
例题讲解
例题1、在无锡全民健身越野赛中，甲、乙两选手的行程y（千米）随时间（时）变化的图像（全程）如图所示.下列四种说法：①起跑后1小时内，甲在乙的前面；②第1小时两人都跑了10千米；③甲比乙先到达终点；④两人都跑了20千米.正确的有（）
A.①②③④ B.①②③ C.①②④ D.②③④
解：根据图象得：
起跑后1小时内，甲在乙的前面；故①正确；
在跑了1小时时，乙追上甲，此时都跑了10千米，故②正确；
乙比甲先到达终点，故③错误；
设乙跑的直线解析式为：y＝kx，
将点（1，10）代入得：k＝10，
∴解析式为：y＝10x，
∴当x＝2时，y＝20，
∴两人都跑了20千米，故④正确．
所以①②④三项正确．
故选：C．
例题2、如图①，E为矩形ABCD的边AD上一点，点P从点B沿折线BE-ED-DC运动到点C时停止，点Q从点B沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/s，若点P、Q同时开始运动，设运动时间为t（s），△BPQ的面积为（cm2）.已知y与t的函数关系图象如图②，则下列结论错误的是（）
A.AE=6cm B.sin∠EBC=
C.当时， D.当t=12s时，△PBQ是等腰三角形
解：由图象可知，
BC＝BE＝10，DE＝14﹣10＝4，
∴AD＝10，
∴AE＝AD﹣DE＝10﹣4＝6cm，故①正确；
作EF⊥BC于点F，作PM⊥BQ于点M，如下图所示，
由图象可知，三角形PBQ的最大面积为40，
∴，
解得EF＝8，
∴，故②正确；
当0＜t≤10时，△BMP∽△BFE，
∴，即，
解得PM＝，
∴＝，
即，故③正确；
当t＝12时，BQ＝10，PQ＝，BQ＝，
∴△BPQ不是等腰三角形，故④错误；
故①②③正确．
故选：C．
例题3、如图，点C、D是以线段AB为公共弦的两条圆弧的中点，AB=4，点E、F分别是线段CD、AB上的动点，设AF=x，AE2-FE2=y，则能表示y与x的函数关系的图象是（）
解：如右图所示，延长CE交AB于G．设AF＝x，AE2﹣FE2＝y；
∵△AEG和△FEG都是直角三角形
∴由勾股定理得：AE2＝AG2+GE2，FE2＝FG2+EG2，
∴AE2﹣FE2＝AG2﹣FG2，即y＝22﹣（2﹣x）2＝﹣x2+4x，
这个函数是一个二次函数，抛物线的开口向下，对称轴为x＝2，与x轴的两个交点坐标分别是（0，0），（4，0），顶点为（2，4），自变量0＜x＜4．
所以C选项中的函数图象与之对应．
故选：C．
例题4、已知甲、乙两地相距3200m，小王、小李分别从甲、乙两地同时出发，相向而行，两人相遇后立即返回到各自的出发地并停止行进.已知小李的速度始终是60m/min，小王在相遇后以匀速返回，但比小李晚回到原地.在整个行进过程中，他们之间的距离y（m）与行进的时间t（min）之间的函数关系如图中的折线段AB-BC-CD所示，请结合图象信息解答下列问题：
（1）a=________，b=________；
（2）当t为何值时，小王、小李两人相距800m？
解：（1）由题意得：小李出发到返回时间相等，
由图可知：a＝2×20＝40，3200﹣20×60＝2000，（2000﹣400）÷20＝80，400÷80＝5，
∴b＝40+5＝45，
故答案为：40，45；
（2）设AB的解析式为：y＝kx+b，
把A（0，3200），B（20，0）代入得：，
解得：，
∴AB的解析式为：y＝﹣160x+3200，
当y＝800时，800＝﹣160x+3200，
x＝15，
设BC的解析式为：y＝kx+b，
把C（40，2800），B（20，0）代入得：，
解得：，
∴BC的解析式为：y＝140x﹣2800，
当y＝800时，800＝140x﹣2800，
x＝，
综上所述，当x＝15min或min时，小王、小李两人相距800m．
例题5、如图1，矩形ABCD中，点P从A出发，以3cm/s的速度沿边A→B→C→D→A匀速运动；同时点Q从B出发，沿边B→C→D匀速运动，当其中一个点到达终点时两点同时停止运动，设点P运动的时间为ts.△APQ的面积s（cm2）与t（s）之间函数关系的部分图像由图2中的曲线段OE与线段EF给出.
（1）点Q运动的速度为________cm/s，a=________cm2；
（2）若BC=3cm
①求t＞3时S的函数关系式； ②在图（2）中画出①中相应的函数图像.
解：（1）由图可知，2秒时点P运动至点B，点Q运动至点C，
∵点P的速度为3cm/s，
∴AB＝3×2＝6cm，
3秒时，S＝0判断出点P与点Q重合，
设点Q的速度为xcm/s，
则3x+6＝3×3，
解得x＝1，
此时，BC＝2×1＝2cm，
a＝×6×2＝6cm2，
故答案为：1，6；
（2）∵（6+3）÷3＝3s，3÷1＝3s，
∴3秒时点P、Q在点C重合，
点P到达点D的时间为：（6+3+6）÷3＝5s
到达点A的时间为：（6+3+6+3）÷3＝6s，
①若3＜t≤5，则PQ＝3t﹣t﹣6＝2t﹣6，
S＝×（2t﹣6）×3＝3t﹣9；
若5＜t≤6，则AP＝（6+3+6+3）﹣3t＝18﹣3t，
DQ＝（6+3）﹣t＝9﹣t，
S＝×（18﹣3t）×（9﹣t）＝t2﹣t+81；
所以，S＝；
②函数图象如图2所示．
例题6、如图①，将□ABCD置于直角坐标系中，其中BC边在x轴上（B在C的左边），点D坐标为（0，4），直线MN：沿着x轴的负方向以每秒1个单位的长度平移，设在平移过程中该直线被□ABCD截得的线段长度为m，平移时间为t，m与t的函数图像如图②所示.
（1）填空：点C的坐标为________；在平移过程中，该直线先经过B、D中的哪一点？________；（填“B”或“D”）
（2）点B的坐标为________，n=________，a=________；
（3）求图②中线段EF的解析式；
（4）t为何值时，该直线平分□ABCD的面积？
解：（1）令y＝0，则x﹣6＝0，解得x＝8，
令x＝0，则y＝﹣6，
∴点M（8，0），N（0，﹣6），
∴OM＝8，ON＝6，
由图2可知5秒后直线经过点C，
∴CM＝5，OC＝OM﹣CM＝8﹣5＝3，
∴C（3，0），
∵10秒～a秒被截线段长度不变，
∴先经过点B；
（2）由图2可知BM＝10，
∴OB＝BM﹣OM＝10﹣8＝2，
∴B（﹣2，0），
在Rt△OCD中，由勾股定理得，CD＝＝＝5，
∴BC＝CD＝5，
∴?ABCD是菱形，
∵＝＝，
∴MN⊥CD，
∴n＝DO＝4，
∵设直线MN向x轴负方向平移的速度为每秒1个单位的长度，
平移后的直线解析式为y＝（x+t）﹣6，
把点D（0，4）代入得，（0+t）﹣6＝4，
解得t＝，
∴a＝；
故答案为：（1）（3，0），B；（2）（﹣2，0），4，；
（3）由（2）可得点E的坐标为（，4），
由菱形的性质，点A（﹣5，4），
代入直线平移后的解析式得，（﹣5+t）﹣6＝4，
解得t＝，
∴点F（，0）
设直线EF的解析式为y＝kx+b，
则，
解得，
所以线段EF的解析式为：y＝﹣x+；
（4）∵B（﹣2，0），D（0，4），
∴?ABCD的中心坐标为（﹣1，2），
∵直线M平分?ABCD的面积，
∴直线MN经过中心坐标，
∴（﹣1+t）﹣6＝2，
解得t＝，
即t＝时，该直线平分?ABCD的面积．
巩固练习
1、某仓库调拨一批物资，调进物资共用8小时.调进物资4小时后同时开始调出物资（调进与调出物资的速度均保持不变）.该仓库库存物资w（吨）与时间t（小时）之间的函数关系如图所示.则这批物资调出的速度（吨/小时）及从开始调进到全部调出所需要的时间（小时）分别是（）
A.10，10 B.25，8.8 C.10，8.8 D.25，9
【解析】解：调进物资的速度是60÷4＝15（吨/时），当在第4小时时，库存物资应该有60吨，在第8小时时库存20吨，所以调出速度是25（吨/时），所以剩余的20吨完全调出需要20÷25＝0.8（小时）．故这批物资从开始调进到全部调出需要的时间是8+0.8＝8.8（小时）．故选B．
2、如图，设甲、乙两车在同一直线公路上匀速行驶，开始甲车在乙车的前面，当乙车追上甲车后，两车停下来，把乙车的货物转给甲车，然后甲车继续前行，乙车向原地返回.设x秒后两车间的距离为y千米，y关于x的函数关系如图所示，则甲车的速度是________米/秒.
【解析】解：设甲车的速度是a米/秒，乙车的速度为b米/秒，由题意，得，
解得，所以甲车的速度是20米/秒，乙车的速度为25米/秒，故答案为20．
3、某人从甲地出发，骑摩托车去乙地，途中因车出现故障而停车修理，到达乙地正好用了2小时，已知摩托车行驶的路程S（千米）与行驶的时间t（小时）之间的函数关系由如图的图象ABCD给出，若这辆摩托车平均每行驶100千米的耗油量为2升，根据图中给出的信息，从甲地到乙地，这辆摩托车共耗油量________升.
【解析】解：从0至1这段时间段内，摩托车是匀速前进，行驶的路程S从0增加到30千米，行驶了30千米；从1至1.5这段时间段内．随着时间的增加，路程的变化量为0，说明这段时间段内摩托车没有行驶；从1.5到2这段时间段内，摩托车是匀速前进，行驶的路程S从30增加到45千米；行驶了15千米．所以在摩托车行驶的路程S（千米）与行驶的时间t（小时）这个变化过程中，摩托车总共行驶45千米，∴所耗油为：450.9（升）．故答案为0.9．
4、某物流公司的快递车和货车同时从甲地出发，以各自的速度匀速向乙地行驶，快递车到达乙地后卸完物品再另装货物共用h，立即按原路以另一速度返回，直至与货车相遇.已知货车的速度为60km/h，两车之间的距离y（km）与货车行驶时间x（h）之间的函数图象如图所示，现有以下4个结论：
①快递车到达乙地时两车相距120km； ②甲、乙两地之间的距离为300km；
③快递车从甲地到乙地的速度为100km/h； ④图中点B的坐标为（，75）.
其中，正确的结论有（）
A.1个 B.2 C.3个 D.4个
【解答】解：①根据图形直接得出，快递车到达乙地时两车相距120km，故①正确；②甲、乙两地之间的距离为：120+3×60＝300（km），故此选项正确；③设快递车从甲地到乙地的速度为x千米/时，则3（x﹣60）＝120，x＝100，故③正确；④因为快递车到达乙地后缷完物品再另装货物共用45分钟，
所以图中点B的横坐标为33，纵坐标为120﹣6075，故④正确；故选D．
5、如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=3，点E是BC边上靠近点B的三等分点，动点P从点A出发，沿路径A→D→C→E运动，则△APE的面积y与点P经过的路径长x之间的函数关系用图象表示大致是（）
【解析】解：∵在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，∴CD＝AB＝2，BC＝AD＝3，∵点E是BC边上靠近点B的三等分点，∴CE3＝2，①点P在AD上时，△APE的面积yx?2＝x（0≤x≤3），
②点P在CD上时，S△APE＝S梯形AECD﹣S△ADP﹣S△CEP（2+3）×23×（x﹣3）2×（3+2﹣x）＝5x5+xx，∴yx（3＜x≤5），③点P在CE上时，S△APE（3+2+2﹣x）×2＝﹣x+7，∴y＝﹣x+7（5＜x≤7），故选A．
6、将右图所示的长方体石块（a＞b＞c）放入一圆柱形水槽内，并向水槽内匀速注水，速度为vcm3/s，直至注满水槽为止.石块可以用三种不同的方式完全放入水槽内，如图1~图3所示.在这三种情况下，水槽内的水深hcm与注水时间ts的函数关系如图4~图6所示.根据图象完成下列问题：
（1）请分别写出三种放置方式的示意图和与之相对应的函数关系图象（只须填序号）：
图1与图________，图2与图________；
（2）水槽的高=________cm；石块的长a=________cm；高c=________cm；
（3）求图5中直线CD的函数关系式；
（4）求圆柱形水槽的底面积S.
解：（1）图1与图4相对应，图2与图6相对应，图3与图5相对应；
（2）由图4、5和6可知水槽的高＝10cm；由图2和图6可知石块的长a＝10cm；
由图3和图5可知宽b＝9cm；由图1和图4可知高c＝6cm；
（3）由题意可知C点的坐标为（45，9），D点的坐标为（53，10），
设直线CD的函数关系式为h＝kt+b，∴解得
∴直线CD的函数关系式为．
（4）石块的体积为abc＝540cm3，根据图4和图6可得，解得S＝160cm2．
7、在一条笔直的公路上有A、B两地，甲骑自行车从A地到B地，乙骑摩托车从B地到A地，到达A地后立即按原路返回，是甲、乙两人离B地的距离y（km）与行驶时间x（h）之间的函数图象，根据图象解答以下问题：
（1）A、B两地之间的距离为________km；
（2）直接写出y甲，y乙与x之间的函数关系式（不写过程），求出点M的坐标，并解释该点坐标所表示的实际意义；
（3）若两人之间的距离不超过3km时，能够用无线对讲机保持联系，求甲、乙两人能够用无线对讲机保持联系时x的取值范围.
解：（1）由函数图象，得A、B两地之间的距离为30．故答案为：30；
（2）设AB的解析式为y甲＝k1x+b，由题意，得，解得，∴y甲＝﹣15x+30；
设OC的解析式为y乙＝k2x，由题意，得k2＝30，∴y乙＝30x，设CB的解析式为y乙＝k3x+b3，由题意，得，解得：y乙＝﹣30x+60∴y乙．
当y甲＝y乙时，得﹣15x+30＝30x，解得，得．∴y甲＝y乙＝20∴点M的坐标是（，20）．
∴M的坐标表示：甲、乙经过h第一次相遇，此时离点B的距离是20km；
（3）分三种情况讨论：①当y甲﹣y乙≤3或y乙﹣y甲≤3时，
，解得：x；
②当（﹣30x+60）﹣（﹣15x+30）≤3时x，∴x≤2
综上可得：x或x≤2时，甲、乙两人能够有无线对讲机保持联系．
8、如图1，正方形ABCD的边长为4厘米，E为AD边的中点，F为AB边上一点，动点P从点B出发，沿B→C→D→E，向终点E以每秒a厘米的速度运动，设运动时间为t秒，△PBF的面积记为S.S与t的部分函数图象如图2所示，已知点M（1，）、N（5，6）在S与t的函数图象上.
（1）求线段BF的长及a的值；
（2）写出S与t的函数关系式，并补全该函数图象；
（3）当t为多少时，△PBF的面积S为4.
图1 图2
解：（1）根据题意可知，当点P在CD上时，△PBF的面积记为S＝6，则有：BF×4＝6，解得：BF＝3，当t＝1时，S，BP＝a，则有：BF×BP，即，解得：a＝1，故线段BF的长为3，a的值为1；
（2）当0≤t≤4时，即点P在BC边上运动，SBF×BP3×tt；
当4＜t≤8时，即点P在CD边上运动，此时面积SBF×BC3×4＝6；
当8＜t≤10时，即点P在线段DE上运动，SBF×AP3×（12﹣t）＝18t．
综上：S；
函数图象如下所示：
（3）当S＝4时，t＝4，t．18t＝4，t．故当t或t时△PBF的面积S为4．
9、如图①，正方形ABCD，矩形EFGH的中心P，Q都在直线l上，EF⊥l，AC=EF.正方形ABCD以1cm/s的速度沿直线l向矩形EFGH移动，当点C与HG的中点I重合时停止移动.设移动时间为xs时，这两个图形的重叠部分面积为ycm2，y与x的函数图象如图②，其中图像OM与MK是两段抛物线.根据图象解决下列问题.
（1）正方形ABCD的边长为________cm；FG=________cm；
（2）求m、n、p的值；
（3）x为何值时，重叠部分面积不小于7cm2.
图① 图②
解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AC＝BD，∵AC＝EF，∴BD＝EF，
由图②可知，正方形的面积8，∴正方形的边长2cm，由图②知，重叠部分先是等腰直角三角形，再是正方形ABCD，最后是等腰直角三角形直至点C与点I重合，6秒时点A与点I重合，此时，FG＝6cm；故答案为：2，6；
（2）∵p秒前重合部分是等腰直角三角形，∴（2m）?m＝3，解得m，p秒时，重合部分正好是正方形ABCD，所以，p2＝8，解得p＝4，∵正方形ABCD从开始移动到移出矩形的时间＝（4+6）÷1＝10，∴n＝10；
（3）重叠部分面积为7时，82（4﹣x）?（4﹣x）＝7，解得x＝3，或82（x﹣6）?（x﹣6）＝7，
所以，3≤x≤7时，重叠部分面积不小于7cm2．
10、如图1，A、D分别在x轴和y轴上，CD∥x轴，AB∥y轴.直线l:y=kx从点O出发，以1cm/s的速度沿x轴正方向运动，依次经过点D、A.记直线l被五边形OABCD截得的线段长度为acm，直线l运动的时间为ts，a与t之间的函数图像是由3条线段组成，P（4，5）、Q（9，10）、R（12，m）依次分别为三段函数图像上的一点，如图2所示.当t=16时，直线l与BC重合，此时a=.
（1）求当t=4时直线l的解析式；
（2）求m的值；
（3）若直线l将五边形分成周长为12：19的两部分，求t的值.

图1 图2
解：（1）当t＝4时，直线l与x轴的交点M坐标是（4，0），MN＝5，则ON3，则N的坐标是（0，3）．设直线l的解析式是y＝kx+b，则，解得，
则直线的解析式是yx+3；
（2）设OD＝m，则当直线经过点D时，直线l的解析式是yx+m，令y＝0，解得xm，
则10，解得：m＝6，则OD＝6，C的纵坐标是6，设直线当移动到BC的位置时，直线的解析式是yx+b，直线与x轴的交点坐标是（16，0），则﹣12+b＝0，解得b＝12，则直线的解析式是yx+12，令y＝6，得到：x+12＝6，解得x＝8．即C的横坐标是8．C的坐标是（8，6）．延长DC、AB交于点G．则，设BG＝3x，则CG＝4x，则（3x）2+（4x）2＝（）2，解得：x，则CG＝2，BG，则OA＝8+2＝10，则当t＝12时，设直线交x轴于点E，交AB于点F．则AE＝2，AF2，EF．即m；
（3）AB＝6﹣BG＝6，则五边形OABGD的周长是：108+6＝31．当直线经过点D时，t＝8，当0＜t≤8时，若tt31，解得t，若tt31，解得t（舍去）；当8＜t＜16时，当t+6+（t﹣8）31，解得t＝7（舍去），当t+6+（t﹣8）31，解得：t．总之，t或．
11、如图1，A、D分别在x轴和y轴上，CD∥x轴，BC∥y轴.点P从D点出发，以1cm/s的速度，沿五边形DOABC的边匀速运动一周.记顺次连接P、O、D三点所围成图形的面积为Scm2，点P运动的时间为ts.己知S与t之间的函数关系如图2中折线段OEFGHI所示.
（1）求A、B两点的坐标；
（2）若直线PD将五边形OABCD分成面积相等的两部分，求直线PD的函数关系式.
图1 图2
解：（1）连接AD，设点A的坐标为（a，0），由图2知，DO+OA＝6cm，则DO＝6﹣AO＝6﹣a，
由图2知S△AOD＝4，∴DO?AOa（6﹣a）＝4，整理得：a2﹣6a+8＝0，解得a＝2或a＝4，由图2知，DO＞3，∴AO＜3，∴a＝2，∴A的坐标为（2，0），D点坐标为（0，4），在图1中，延长CB交x轴于M，由图2，知AB＝5cm，CB＝1cm，∴MB＝3，∴AM4．
∴OM＝6，∴B点坐标为（6，3）；
（2）因为P在OA、BC、CD上时，直线PD都不能将五边形OABCD分成面积相等的两部分，
所以只有点P一定在AB上时，才能将五边形OABCD分成面积相等的两部分，设点P（x，y），连PC、PO，则S四边形DPBC＝S△DPC+S△PBCS五边形OABCD（S矩形OMCD﹣S△ABM）＝9，
∴6×（4﹣y）1×（6﹣x）＝9，即x+6y＝12，同理，由S四边形DPAO＝9可得2x+y＝9，
由，解得x，y．∴P（，），设直线PD的函数关系式为y＝kx+4（k≠0），
则k+4，∴k，∴直线PD的函数关系式为yx+4．
声
：xiaos001@xyh.com；学号：30612610
12、如图1，菱形ABCD中，∠A＝60°，点P从A出发，以2cm/s的速度沿边AB、BC、CD匀速运动到D终止，点Q从A与P同时出发，沿边AD匀速运动到D终止，设点P运动的时间为t（s）．△APQ的面积S（cm2）与t（s）之间函数关系的图象由图2中的曲线段OE与线段EF、FG给出．
（1）求点Q运动的速度；
（2）求图2中线段FG的函数关系式；
（3）问：是否存在这样的t，使PQ将菱形ABCD的面积恰好分成1∶5的两部分？若存在，求出这样的t的值；若不存在，请说明理由．
图1 图2
解：（1）由题意，可知题图2中点E表示点P运动至点B时的情形，所用时间为3s，则菱形的边长AB＝2×3＝6cm．
此时如答图1所示：
AQ边上的高h＝AB?sin60°＝6cm，S＝S△APQAQ?hAQ，解得AQ＝3cm，∴点Q的运动速度为：3÷3＝1cm/s．
（2）由题意，可知题图2中FG段表示点P在线段CD上运动时的情形．如答图2所示：
点Q运动至点D所需时间为6÷1＝6s，点P运动至点C所需时间为12÷2＝6s，至终点D所需时间为18÷2＝9s．因此在FG段内，点Q运动至点D停止运动，点P在线段CD上继续运动，且时间t的取值范围为6≤t≤9．
过点P作PE⊥AD交AD的延长线于点E，则PE＝PD?sin60°＝（18﹣2t）t．S＝S△APQAD?PE6×（t）t，
∴FG段的函数表达式为：St（6≤t≤9）．
（3）菱形ABCD的面积为：6×6×sin60°．
当点P在AB上运动时，PQ将菱形ABCD分成△APQ和五边形PBCDQ两部分，如答图3所示．此时△APQ的面积SAQ?AP?sin60°t?2tt2，根据题意，得t2，解得ts（舍去负值）；
当点P在BC上运动时，PQ将菱形分为梯形ABPQ和梯形PCDQ两部分，如答图4所示．
此时，有S梯形ABPQS菱形ABCD，即（2t﹣6+t）×6，解得ts．
∴存在t和t，使PQ将菱形ABCD的面积恰好分成1：5的两部分．