中考培优第二轮复习专题 第17章 类比、探究应用学案(含答案)

第十七章 类比、探究应用
操作探究：首先从一般、简单情况着手，然后见微知著，以小见大，利用类比思想解决题目！
例题讲解
例题1、【探究证明】
（1）某班数学课题学习小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究，提出下列问题，请你给出证明．
如图1，矩形ABCD中，EF⊥GH，EF分别交AB，CD于点E，F，GH分别交AD，BC于点G，H．求证：；
【结论应用】
（2）如图2，在满足（1）的条件下，又AM⊥BN，点M，N分别在边BC，CD上，若，则的值为　　；
【联系拓展】
（3）如图3，四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝AD＝10，BC＝CD＝5，AM⊥DN，点M，N分别在边BC，AB上，求的值．
图1 图2 图3
解：（1）过点A作AP∥EF，交CD于P，过点B作BQ∥GH，交AD于Q，如图1，
∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥DC，AD∥BC．∴四边形AEFP、四边形BHGQ都是平行四边形，∴AP＝EF，GH＝BQ．又∵GH⊥EF，∴AP⊥BQ，∴∠QAT+∠AQT＝90°．∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB＝∠D＝90°，∴∠DAP+∠DPA＝90°，
∴∠AQT＝∠DPA．∴△PDA∽△QAB，∴，∴；
（2）如图2，∵EF⊥GH，AM⊥BN，∴由（1）中的结论可得，，∴．故答案为；
（3）过点D作平行于AB的直线，交过点A平行于BC的直线于R，交BC的延长线于S，如图3，则四边形ABSR是平行四边形．∵∠ABC＝90°，∴?ABSR是矩形，∴∠R＝∠S＝90°，RS＝AB＝10，AR＝BS．∵AM⊥DN，∴由（1）中的结论可得．
设SC＝x，DS＝y，则AR＝BS＝5+x，RD＝10﹣y，∴在Rt△CSD中，x2+y2＝25①，
在Rt△ARD中，（5+x）2+（10﹣y）2＝100②，由②﹣①得x＝2y﹣5③，解方程组，得（舍去），或，∴AR＝5+x＝8，∴．
例题2、阅读理解：小明热爱数学，在课外书上看到了一个有趣的定理—“中线长定理”：三角形两边的平方和等于第三边的一半与第三边上的中线的平方和的两倍．如图1，在△ABC中，点D为BC的中点，根据“中线长定理”，可得：
AB2+AC2＝2AD2+2BD2．小明尝试对它进行证明，部分过程如下：
解：过点A作AE⊥BC于点E，如图2，在Rt△ABE中，AB2＝AE2+BE2，同理可得：AC2＝AE2+CE2，AD2＝AE2+DE2，为证明的方便，不妨设BD＝CD＝x，DE＝y，∴AB2+AC2＝AE2+BE2+AE2+CE2＝…
（1）请你完成小明剩余的证明过程；
理解运用：
（2）①在△ABC中，点D为BC的中点，AB＝6，AC＝4，BC＝8，则AD＝　 　；
②如图3，⊙O的半径为6，点A在圆内，且OA＝2，点B和点C在⊙O上，且∠BAC＝90°，点E、F分别为AO、BC的中点，则EF的长为　 　；
拓展延伸：
（3）小明解决上述问题后，联想到《能力训练》上的题目：如图4，已知⊙O的半径为5，以A（﹣3，4）为直角顶点的△ABC的另两个顶点B，C都在⊙O上，D为BC的中点，求AD长的最大值．
请你利用上面的方法和结论，求出AD长的最大值．
图1 图2 图3 图4
解：（1）过点A作AE⊥BC于点E，如图2，在Rt△ABE中，AB2＝AE2+BE2，
同理可得：AC2＝AE2+CE2，AD2＝AE2+DE2，为证明的方便，不妨设BD＝CD＝x，DE＝y，
∴AB2+AC2＝2AE2+（x+y）2+（x﹣y）＝2AE2+2x2+2y2＝2AE2+2BD2+2DE2＝2AD2+2BD2．
（2）①∵AB2+AC2＝2AD2+2BD2，∴62+42＝2AD2+2×42，∴AD，
②如图3中，∵AF是△ABC的中线，EF是△AEO的中线，OF是△BOC的中线，∵2EF2+2AE2＝AF2+OF2，2AF2+2BF2＝AB2+AC2，OF2＝OB2﹣BF2，∴4EF2＝2OB2﹣4AE2＝2OB2﹣OA2，∴EF2OB2OA2＝16，∴EF＝4（负根以及舍弃），故答案为．4．
（3）如图4中，连接OA，取OA的中点E，连接DE．
由（2）的②可知：DE═OB2OA2，在△ADE中，AE，DE，
∵AD≤AE+DE，∴AD长的最大值为10．
巩固练习
1、如图1，在平行四边形ABCD中，点E是BC的中点，点F是线段AE上一点，BF的延长线交射线CD于点G．若3，求的值．
图1 图2 图3
（1）尝试探究
在图1中，过点E作EH∥AB交BG于点H，则AB和EH的数量关系是　AB＝3EH　，CG和EH的数量关系是　 　，的值是　 　．
（2）类比延伸
如图2，在原题的条件下，若m（m＞0），则的值是　 　（用含有m的代数式表示），试写出解答过程．
（3）拓展迁移
如图3，梯形ABCD中，DC∥AB，点E是BC的延长线上的一点，AE和BD相交于点F．若a，b，（a＞0，b＞0），则的值是　 （用含a、b的代数式表示）．
解：（1）依题意，过点E作EH∥AB交BG于点H，如右图1所示．则有△ABF∽△EHF，∴，∴AB＝3EH．∵?ABCD，EH∥AB，∴EH∥CD，又∵E为BC中点，
∴EH为△BCG的中位线，∴CG＝2EH．．
故答案为AB＝3EH；CG＝2EH；．
（2）如右图2所示，作EH∥AB交BG于点H，则△EFH∽△AFB．∴m，
∴AB＝mEH．∵AB＝CD，∴CD＝mEH．∵EH∥AB∥CD，∴△BEH∽△BCG．
∴2，∴CG＝2EH．
∴．故答案为：．
（3）如右图3所示，过点E作EH∥AB交BD的延长线于点H，则有EH∥AB∥CD．
∵EH∥CD，∴△BCD∽△BEH，∴b，∴CD＝bEH．又a，
∴AB＝aCD＝abEH．∵EH∥AB，∴△ABF∽△EHF，∴ab，
故答案为：ab．
日期：2019/9/23 19:05:13；用户：初数周建华；邮箱：jiepzh03@xyh.com；学号：2766448
2、我们把两条中线互相垂直的三角形称为“称为中垂三角形”，例如图1，图2，图3中，AF，BE是△ABC的中线，AF⊥BE，垂足为P，像△ABC这样的三角形均称为“中垂三角形”，设BC＝a，AC＝b，AB＝c．
【特例探索】
（1）如图1，当∠ABE＝45°，c＝2时，a＝　 　，b＝　 　．
如图2，当∠ABE＝30°，c＝4时，a＝　 　，b＝　 　．
【归纳证明】
（2）请你观察（1）中的计算结果，猜想a2，b2，c2三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你发现的关系式．
【拓展应用】
（3）如图4，在?ABCD中，点E、F、G分别是AD，BC，CD的中点，BE⊥EG，AD＝2，AB＝3，求AF的长．
图1 图2 图3 图4
解：（1）∵AF⊥BE，∠ABE＝45°，∴AP＝BPAB＝2，∵AF，BE是△ABC的中线，∴EF∥AB，EFAB，∴∠PFE＝∠PEF＝45°，∴PE＝PF＝1，
在Rt△FPB和Rt△PEA中，AE＝BF，∴AC＝BC＝2，∴a＝b＝2，
如图2，连接EF，同理可得：EF4＝2，∵EF∥AB，∴△PEF～△ABP，
∴，在Rt△ABP中，AB＝4，∠ABP＝30°，∴AP＝2，PB＝2，
∴PF＝1，PE，在Rt△APE和Rt△BPF中，AE，BF，∴a＝2，b＝2，故答案为：2，2，2，2；
（2）猜想：a2+b2＝5c2，如图3，连接EF，设∠ABP＝α，∴AP＝csinα，PB＝ccosα，
由（1）同理可得，PFPA，PE，
AE2＝AP2+PE2＝c2sin2α，BF2＝PB2+PF2c2cos2α，
∴c2sin2α，c2cos2α，
∴c2cos2α+c2sin2α，∴a2+b2＝5c2；
（3）如图4，连接AC，EF交于H，AC与BE交于点Q，设BE与AF的交点为P，
∵点E、G分别是AD，CD的中点，∴EG∥AC，∵BE⊥EG，∴BE⊥AC，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC＝2，∴∠EAH＝∠FCH，∵E，F分别是AD，BC的中点，∴AEAD，BFBC，∴AE＝BF＝CFAD，∵AE∥BF，
∴四边形ABFE是平行四边形，∴EF＝AB＝3，AP＝PF，在△AEH和△CFH中，
，∴△AEH≌△CFH，∴EH＝FH，∴EP，AH分别是△AFE的中线，
由（2）的结论得：AF2+EF2＝5AE2，∴AF2＝5EF2＝16，∴AF＝4．
3、（1）问题情境：如图（1），已知，锐角∠AOB内有一定点P，过点P任意作一条直线MN，分别交射线OA、OB于点M、N．将直线MN绕着点P旋转，旋转过程中△MON的面积存在最小值．请问当直线MN在什么位置时，△MON的面积最小，并说明理由．
方法探究：小明与小亮二人一起研究，一会儿，小明说有办法了．小亮问：“怎么解决？”小明画出了图（2）的四边形，说：“四边形ABCD中，AD∥BC，取DC边的中点E，连结AE并延长交BC的延长线于点F．显然有△ADE≌△FCE，则S四边形ABCD＝S△ABF（S表示面积）．借助这图和图中的结论就可以解决了．”
请你照小明提供的方法完成“问题情境”这个问题．
（2）实际应用：如图（3），若在道路OA、OB之间有一村庄Q发生疫情，防疫部门计划以公路OA、OB 和经过防疫站P的一条直线MN为隔离线，建立一个面积最小的三角形隔离区△MON．若测得∠AOB＝70°，∠POB＝30°，OP＝4km，试求△MON的面积．（结果精确到0.1km2）
（3）拓展延伸：如图（4），在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A、B、C、P的坐标分别为（6，0）、（6，3）、（，）、（4，2），过点P的直线l与四边形OABC 一组对边相交，将四边形OABC分成两个四边形，则其中以点O为顶点的四边形的面积的最大值是　 　．
图1 图2
图3 图4 图5
解：（1）当直线旋转到点P是MN的中点时S△MON最小，如图（1），过点P的另一条直线EF交OA、OB于点E、F，设PF＜PE，过点M作MG∥OB交EF于G，由方法探究可以得出当P是MN的中点时S四边形MOFG＝S△MON． ∵S四边形MOFG＜S△EOF，
∴S△MON＜S△EOF，∴当点P是MN的中点时S△MON最小；
（2）实际运用：如图3，作PP1⊥OB，MM1⊥OB，垂足分别为P1，M1，
在Rt△OPP1中，∠POB＝30°，∴PP1OP＝2km，OP1＝OP cos∠POB＝2km，
由方法探究的结论知道，当PM＝PN时，△MON的面积最小，∵PP1∥MM1，
∴△N PP1∽△NMM1，∴MM1＝2PP1＝4 km，M1P1＝P1N，在Rt△OMM1中，∠AOB＝70°，∴OM1 km，∴M1P1＝P1N＝（2） km，∴ON＝OP1+P1N＝2（2）＝（4） km，∴S△MONON?MM1 （4）×4≈10.9km．
（3）拓展延伸：①如图4，当过点P的直线l与四边形OABC的一组对边OC、AB分别交于点M、N，延长OC、AB交于点D，∵C（，），∴∠AOC＝45°，∴AO＝AD．
∵A（6，0），∴OA＝6，∴AD＝6．∴S△AOD6×6＝18，由问题迁移的结论可知，当PN＝PM时，△MND的面积最小，∴四边形ANMO的面积最大．作PP1⊥OA，MM1⊥OA，垂足分别为P1，M1，∴M1P1＝P1A＝2，∴OM1＝M1M＝2，∴MN∥OA，∴S四边形OANM＝S△OMM1+S四边形ANMM12×2+2×4＝10
②如图5，当过点P的直线l与四边形OABC的另一组对边CB、OA分别交M、N，延长CB交x轴于T，∵C（，）、B（6，3），设直线BC的解析式为y＝kx+b，由题意，得，解得：，∴y＝﹣x+9，当y＝0时，x＝9，∴T（9，0）．
∴S△OCT，由问题迁移的结论可知，当PM＝PN时，△MNT的面积最小，
∴四边形CMNO的面积最大．∴NP1＝M1P1，MM1＝2PP1＝4，∴4＝﹣x+9，∴x＝5，
∴M（5，4），∴OM1＝5，∵P（4，2），∴OP1＝4，∴P1M1＝NP1＝1，∴ON＝3，∴NT＝6，∴S△MNT4×6＝12，∴S四边形OCMN1210．∴综上所述：截得四边形面积的最大值为10．
4、（1）阅读理解
已知：如图1，△ABC中，AD是中线，点P在AD上，BP、CP的延长线分别交AC、AB于E、F．求证：EF∥BC．
证明：如图2，EF交AD于G，过P作MN∥BC分别交AB、AC于M、N，
在△ABD中，由PM∥BD，得到，同理，
因为BD＝CD，所以PM＝PN．
在△FBC中，由PM∥BC，所以，同理∴∴，
∵∠EPF∠BPC，所以△EPF∽△CPB，所以∠FEP＝∠PBC，所以EF∥BC．
（2）逆向思考
在△ABC中，D在BC上，点P在AD上，BP、CP的延长线分别交AC、AB于E、F，如果EF∥BC．那么D是BC中点．请你给出证明．
（3）知识应用
①如图3直线a、b、c、d、e、f、g、h是等距的一组平行线，AB在直线g上，请你用无刻度的直尺利用现有平行线作出线段AB的中点．并作简要的画图说明．
②如图4直线a、b、c、d、e、f、g、h是等距的一组平行线，点P不在这些直线上，点A在直线g上，点B在直线c上，请你用无刻度的直尺利用现有平行线作出过点P的直线PQ平行于AB．并作简要的画图说明．
图1 图2

图3 图4
解：（2）证明：设EF交AD于G，如图1．∵FG∥BD，∴△AFG∽和△ABD，∴．同理：，，，∴，∴BD＝CD；
（3）解：①在直线c上取一点C，连接AC交直线e于点E，连接BC交直线e于点D，连接AD、BE，交于点F，连接CF并延长，交直线g于点G，如图3，点G即为AB的中点；
②连接BP并延长，交直线g于点C，设AB与直线e的交点为D，连接CD、AP，交于点E，连接BE并延长，交直线g于点Q，过点P、Q作直线PQ，如图4，直线PQ即为所求作．