中考培优第二轮复习专题 第18章 展开、缠绕、剪裁、拼接学案(含答案)

第十八章 展开、缠绕、剪裁、拼接
例题讲解
例题1、图1是由五个边长都是1的正方形纸片拼接而成的，过点A1的直线分别与BC1、BE交于点M、N，且图1被直线MN分成面积相等的上、下两部分．
图1 图2
（1）求CN+B1M的值；
（2）将图1沿虚线折成一个无盖的正方体纸盒（图2）后，求点M、N间的距离．
解：（1）∵A1B1∥BE，∴△A1B1M∽△NBM，∴，即，
∴MB+BN＝MB?BN，∵图1被直线MN分成面积相等的上、下两部分，∴MB?BN5，∴MB?BN＝5，即MB+BN＝5，∴CN+B1M＝5﹣4＝1；
（2）连接MN，∵CN+B1M＝1，∴EN＝B1M，∴四边形BB1MN为矩形，∴MN＝BB1＝1．
例题2、一个圆柱体包装盒，高40cm，底面周长20cm．现将彩色矩形纸带AMCN裁剪成一个平行四边形ABCD（如图1），然后用这条平行四边形纸带按如图2的方式把这个圆柱体包装盒的侧面进行包贴（要求包贴时没有重叠部分），纸带在侧面缠绕四圈，正好将这个圆柱体包装盒的侧面全部包贴满，则所需的纸带AD的长度为　 　 cm．
解：根据包贴方法可得展开图如下：过点F作FE⊥BC于E，∵纸带在侧面缠绕四圈，正好将这个三棱柱包装盒的侧面全部包贴满，∵圆柱体的高40cm，∴FBcm，AB＝20，在Rt△ABF中，AF，∵DF＝2AF，∴AD＝AF+DF＝20，
故答案为20．
例题3　操作：
小明准备制作棱长为1 cm的正方体纸盒，现选用一些废弃的纸片进行如下设计：
说明：
方案一：图形中的圆过点A、B、C；
方案二：直角三角形的两直角边与展开图左下角的正方形边重合，斜边经过两个正方形的顶点．
纸片利用率＝×100%
发现：
（1）小明发现方案一中的点A、B恰好为该圆一直径的两个端点．你认为小明的这个发现是否正确，请说明理由；
（2）小明通过计算，发现方案一中纸片的利用率仅约为38.2%．请帮忙计算方案二的利用率，并写出求解过程．
探究：
（3）小明感觉上面两个方案的利用率均偏低，又进行了新的设计（方案三），请直接写出方案三的利用率．（方案三中的每条边均过其中两个正方形的顶点）
说明：
方案三中的每条边均过其中两个正方形的顶点.
解：发现：（1）小明的这个发现正确．理由：
解法一：如图一：连接AC、BC、AB，∵AC＝BC，AB＝2，∴AC2+BC2＝AB2，∴∠BCA＝90°，∴AB为该圆的直径．
解法二：如图二：连接AC、BC、AB．易证△AMC≌△BNC，∴∠ACM＝∠CBN．
又∵∠BCN+∠CBN＝90°，∴∠BCN+∠ACM＝90°，即∠BCA＝90°，∴AB为该圆的直径．
（2）如图三：∵DE＝FH，DE∥FH，∴∠AED＝∠EFH，∵∠ADE＝∠EHF＝90°，
∴△ADE≌△EHF（ASA），∴AD＝EH＝1．∵DE∥BC，∴△ADE∽△ACB，∴，∴，∴BC＝8，∴S△ACB＝16．∴该方案纸片利用率100%100%＝37.5%；
探究：（3）过点C作CD⊥EF于D，过点G作GH∥AC，交BC于点H，
设AP＝a，∵PQ∥EK，易得△APQ∽△KQE，△CEF是等腰三角形，△GHL是等腰三角形，∴AP：AQ＝QK：EK＝1：2，∴AQ＝2a，PQa，∴EQ＝5a，∵EC：ED＝QE：QK，∴ECa，则PG＝5aaa，GLa，∴GHa，∵，解得：GBa，∴ABa，ACa，∴S△ABCAB×ACa2，S展开图面积＝6×5a2＝30a2，
∴该方案纸片利用率100%100%＝49.86%．
例题4　下面给出的正多边形的边长都是20 cm．请分别按下列要求设计一种剪拼方法（用虚线表示你的设计方案，把剪拼线段用粗黑实线，在图中标注出必要的符号和数据，并作简要说明）．
（1）将图1中的正方形纸片剪拼成一个底面是正方形的直四棱柱模型，使它的表面积与原正方形面积相等；
（2）将图2中的正三角形纸片剪拼成一个底面是正三角形的直三棱柱模型，使它的表面积与原正三角形的面积相等；
（3）将图3中的正五边形纸片剪拼成一个底面是正五边形的直五棱柱模型，使它的表面积与原正五边形的面积相等．
解：（1）如图1，沿黑线剪开，把剪下的四个小正方形拼成一个正方形，再沿虚线折叠即可；
（2）如图2，沿黑线剪开，把剪下的三部分拼成一个正三角形，再沿虚线折叠即可；
（3）如图3，沿黑线剪开，把剪下的五部分拼成一个正五边形，再沿虚线折叠即可．
例题5　小明家准备装修厨房，打算铺设如图1的正方形地砖，该地砖既是轴对称图形也是中心对称图形，铺设效果如图2所示．经测量图1发现，砖面上四个小正方形的边长都是4 cm，AB＝JN＝2，中间的多边形CDEFGHIK是正八边形．
（1）求MA的长度；
（2）求正八边形CDEFGHIK的面积；
（3）已知小明家厨房的地面是边长为3.14米的正方形，用该地砖铺设完毕后，最多形成多少个正八边形？（地砖间缝隙的宽度忽略不计）
解：（1）连接BK和NC，两线的交点为O，∵四边形BCKN是正方形，∴∠NOB＝90°，OB＝ON，∵BN＝4cm，∴由勾股定理得：BO＝ON＝2cm，∵JN＝2cm，∴AM＝JO＝（2+2）cm；
（2）如图，作小正方形的对角线，组成正方形ORZQ，则正方形的边长为（24+2）cm，即为（44）cm，所以正八边形CDEFGHIK的面积为S正方形OQZR﹣4S△BOC＝（44）2﹣422（32+32）cm2；
（3）正方形地砖的边长为：2×（2+2）cm+（44）cm＝（8+8）cm，∵3.14米＝314cm，∴3142÷（8+8）2≈264（块）．答：用该地砖铺设完毕后，最多形成264个正八边形．
巩固练习
1．如图，正方体盒子的外表面上画有3条粗黑线，将这个正方体盒子的表面展开（外表面朝上），展开图可能是（　　）
【解析】解：根据正方体的表面展开图，两条黑线在一列，故A错误，且两条相邻成直角，故B错误，正视图的斜线方向相反，故C错误，只有D选项符合条件，故选D．
2．如图是甲、乙两张不同的矩形纸片，将它们分别沿着虚线剪开后，各自要拼一个与原来面积相等的正方形，则（　　）
A．甲、乙都可以 B．甲、乙都不可以
C．甲不可以、乙可以 D．甲可以、乙不可以
【解析】解：所作图形如图所示，甲乙都可以拼一个与原来面积相等的正方形．故选A．
3．图1是一个八角星形纸板，图中有八个直角，八个相等的钝角，每条边都相等．如图2将纸板沿虚线进行切割，无缝隙无重叠的拼成图3所示的大正方形，其面积为8＋4，则图3中线段AB的长为________．
【解析】解：设原八角形边长为a，则图2正方形边长为2aa、面积为（2aa）2，四个小三角形面积和为2a2，列式得（2aa）2+2a2＝8+4，解得a＝1，则AB＝1．故答案为1．
4、如图，将正方形沿图中虚线（其中x＜y）剪成①②③④四块图形，用这四块图形恰能拼成一个矩形（非正方形）．
（1）画出拼成的矩形的简图（请在简图上标明x与y）；
（2）求的值．
【解析】解：（1）如图；（2）解：由拼图前后的面积相等得：[（x+y）+y]y＝（x+y）2，
可得：x2+xy﹣y2＝0，因为y≠0，再除以y2得到：解得：值不合题意，舍去）．
5、“口子窖”酒的的包装底盒，是一个无盖的六棱柱形状的盒子（如图1），侧面是矩形或正方形．经测量，底面六边形有三条边的长是9 cm，有三条边的长是3 cm，每个内角都是120°，该六棱柱的高为3 cm．现沿它的侧棱剪开展平，得到如图2的平面展开图．
（1）制作这种底盒时，可以按图3中虚线裁剪出如图3的模片．现有一块长为17.5 cm、宽为16.5 cm的长方形铁皮，请问能否按图4的裁剪方法制作这样的无盖底盒？并请你说明理由；
（2）如果用一块正三角形铁皮按图4中虚线裁剪出如图3的模片，那么这个正三角形的边长至少应为________cm.（说明：以上裁剪均不计接缝处损耗）
【解答】解：（1）能．理由：如图所示，根据所构造的30度的直角三角形．图4中长方形的宽为：3+36+6．又因为66＜16.5．长方形的长为：9+2（）＝12+3；又因为12+317.5．故长为17.5cm，宽为16.5cm的长方形铁皮，能按图4的裁剪方法制作这样的无盖底盒．
（2）如图所示，则等边三角形的边长是9+2（3+3）15．
6．动手实验：利用矩形纸片（如图1）剪出一个正六边形纸片：再利用这个正六边形纸片做一个无盖的正六棱柱（棱柱底面为正六边形），如图2．
（1）做一个这样的正六棱柱所需最小的矩形纸片的长与宽的比为多少？
（2）在（1）的条件下，当矩形的长为2a时，要使无盖正六棱柱侧面积最大，正六棱柱的高为多少？并求此时矩形纸片的利用率为多少？
（矩形纸片的利用率＝）
【解答】解：（1）如图所示：由于正六边形内角和为（6﹣2）×180°＝720°，则其一角的角平分线所分的两个角同为60°；设所需矩形的长宽分别为A、B，剪出的正六边形半径长为L，那么A＝2L，B＝2L?sin60°L；因此，所求长宽比为A：B＝（2L）：（L）＝2：．做一个这样的正六棱柱所需最小的矩形纸片的长与宽的比为：2：；
（2）∵矩形的长为2a，宽为a，∴正六边形边长为a，其面积为S，设高为x，S＝﹣4x2+6ax，当xa时，Sa2，此时，底面积a2，Sa2a2a2，故利用率．
7、【问题】如图1是底面半径都为1cm，母线长都为2cm的圆柱体和圆锥体模型.现要用如图2所示的长为2πcm，宽为4cm的长方形彩纸装饰圆柱、圆锥模型表面.已知一个圆柱和一个圆锥模型为一套，长方形彩纸共有122张，用这些长方形彩纸最多能装饰多少套模型呢?
【对话】
教师：“长方形彩纸可以怎样裁剪呢?”
学生甲：“可按图3方式裁剪出2张长方形.”
学生乙：“可按图4方式裁剪出6个小圆.”
学生丙：“可按图5方式裁剪出1个大圆和2个小圆.”
教师：“尽管还有其他裁剪方式，但为裁剪方便，我们就仅用这三位同学说的裁剪方法.”
【解决】
(1)计算：圆柱的侧面积是 cm2，圆锥的侧面积是 cm2：
(2)1张长方形彩纸剪拼后最多能装饰 个圆锥模型；5张长方形彩纸剪拼后最多能装饰 个圆柱模型；
(3)求用122张彩纸最多能装饰的圆锥、圆柱模型的套数.
答案：(1)圆柱的地面底面周长是2π，则圆柱的侧面积是2π×2＝4πcm2，圆锥的侧面积是0.5×2π×2＝2πcm2；
(2)圆柱的底面积是：πcm2，则圆柱的表面积是：6πcm2，圆锥的表面积是：3πcm2.
一张纸的面积是：4×2π＝8π，则1张长方形彩纸剪拼后最多能装饰2个圆锥模型；5张长方形彩纸剪拼后最多能装饰6个圆柱体模型.
(3)设做x套模型，则每套模型中做圆锥的需x÷2张纸，作圆柱需要5x÷6张纸，
∴x÷2＋5x÷6≤122，解得x≤91.5.
∵x是6的倍数，取x＝90，做90套模型后剩余长方形纸片的张数是122－(45＋75)＝2张，
2张纸够做一套模型，∴最多能做91套模型.
8、如图1是一个三棱柱包装盒，它的底面是边长为10cm的正三角形，三个侧面都是矩形.现将宽为15cm的彩色矩形纸带AMCN裁剪成一个平行四边形ABCD(如图2)，然后用这条平行四边形纸带按如图3的方式把这个三棱柱包装盒的侧面进行包贴(要求包贴时没有重叠部分)，纸带在侧面缠绕三圈，正好将这个三棱柱包装盒的侧面全部包贴满.
(1)请在图2中，计算裁剪的角度∠BAD；
(2)计算按图3方式包贴这个三棱柱包装盒所需的矩形纸带的长度.
答案：
(1)由图2的包贴方法知：AB的长等于三棱柱的底边周长，∴AB＝30cm.
∵纸带的宽为15cm，∴sin∠BAD＝sin∠ABM＝＝＝，
∴∠BAD＝30°；
(2)在图3中将三棱柱沿过点A的侧棱剪开，得知如图甲的侧面展开图.
将图甲的△ABF向左平移30cm，△CDE向右平移30cm，拼成如图乙中的平行四边形AMCN，此平行四边形即为图2中的平行四边形ABCD.
由题意得：图2中的BC＝图乙中的AM＝2AE＝2AB÷cos∠EAB＝60÷cos30°＝40(cm).
故所需的矩形纸带的长度为MB＋BC＝30×cos30°＋40＝55cm.
9、如图1所示的纸杯，经测量(接缝处忽略不计)，纸杯的杯口直径为7cm，底面直径为 cm，母线长为8cm，该纸杯的侧面展开如图2所示.
(1)求纸杯的侧面展开图2中杯口所在圆的半径OA的长；
(2)若一只小虫从纸杯底面的点C出发，沿纸杯侧面爬行一周(如图3)回到点A.求小虫爬行的最短路程.(精确到1cm)
(3)请你设计一种方案，在一张矩形纸片上能够剪出该纸杯的侧面，并求出你所设计的矩形的面积，要求：尽可能小.(精确到1cm)
答案：
(1)设∠O＝n°，则7π＝，＝，解得OA＝42，n＝30°.
(2)
如图，沿CA剪开，得出扇形OAA′，连接CA′，则CA′的长度是小虫爬行的最短路程.
过C作CE⊥OA′于点E.
在Rt△COE中，OC＝34，∠O＝30°，∴CE＝17，OE＝17，∴A′E＝42－17.
在Rt△CEA′中，CA′＝≈21cm.
(3)
此方案设计的矩形的长约为21cm，宽约为10cm， 面积为21×10＝210(cm2).
10、下面给出的三块正方形纸板的边长都是60cm，请分别按下列要求设计一种剪裁方法，折叠成一个礼品包装盒(纸板的厚度忽略不计).要求尽可能多地利用纸板，用虚线表示你的设计方案，并把剪裁线用实线标出.
(1)包装礼盒的六个面由六个矩形组成(如图1)，请画出对应的设计图.
(2)包装礼盒的上盖由四个全等的等腰直角三角形组成(如图2)，请画出对应的设计图.
(3)包装礼盒的上盖是双层的，由四个全等的矩形组成(如图3)，请画出对应的设计图.
答案：如图所示：
(注：答案不唯一，不必考虑取最大值，只要不出现在中间扣一个图形即可，其他答案请相应给分)
11、在图1－5中，正方形ABCD的边长为a，等腰直角三角形FAE的斜边AE＝2b，且边AD和AE在同一直线上.
操作示例：
当2b＜a时，如图1，在BA上选取点G，使BG＝b，连接FG和CG，裁掉△FAG和△CGB并分别拼接到△FEH和△CHD的位置构成四边形FGCH.
思考发现：
小明在操作后发现：该剪拼方法就是先将△FAG绕点F逆时针旋转90°到△FEH的位置，易知EH与AD在同一直线上.连接CH，由剪拼方法可得DH＝BG，故△CHD≌△CGB，从而又可将△CGB绕点C顺时针旋转90°到△CHD的位置.这样，对于剪拼得到的四边形FGCH(如图1)，过点F作FM⊥AE于点M(图略)，利用SAS公理可判断△HFM≌△CHD，易得FH＝HC＝GC＝FG，∠FHC＝90°.进而根据正方形的判定方法，可以判断出四边形FGCH是正方形.
实践探究：
(1)正方形FGCH的面积是 ；(用含a，b的式子表示)
(2)类比图1的剪拼方法，请你就图2－图4的三种情形分别画出剪拼成一个新正方形的示意图.
联想拓展：
小明通过探究后发现：当b≤a时，此类图形都能剪拼成正方形，且所选取的点G的位置在BA方向上随着b的增大不断上移；当b＞a时，如图5的图形能否剪拼成一个正方形?若能，请你在图中画出剪拼的示意图，若不能，简要说明理由.
答案：
实践探究：(1)a2＋b2；
(2)剪拼方法如图3－图5.
联想拓展：能，剪拼方法如图6(图中BG＝DH＝b).
(注：图6用其它剪拼方法能拼接成面积为a2＋b2的正方形均给分)