中考培优第二轮复习专题 第19章 方案设计学案(含答案)

第十九章 方案设计
方程与不等式
利用方程或不等式(组)解决实际问题
函数的应用
利用函数的增减性，来求解实际最优问题
几何的应用
利用几何方法来解决问题
例题讲解
例题1、某运动器械厂根据市场需求，计划生产A、B两种型号的按摩椅，其部分信息如下：?A、B两种型号的按摩椅共生产40台，该厂所筹生产按摩椅的资金不少于90万元，但不超过91万元，且所筹资金全部用于这两种按摩椅，现已知A、B两种按摩椅的生产成本和售价如表：
型号
成本(万元/台)
售价(万元/台)
A
2
2.4
B
2.5
3
根据以上信息，解答下列问题：
(1)该公司对此两种按摩椅有几种生产方案?那种生产方案获得最大利润?
(2)据市场调查，每台A型按摩椅的售价将会提高a万元(a＞0)，每台B型按摩椅售价不会改变，该公司应如何生产才可以获得最大利润?
答案：
(1)设生产A种型号的按摩椅x台，则B型按摩椅(40－x)台，生产利润为w万元，由题意得：
，解得：18≤x≤20，
∵x取非负整?数，
∴x为18，19，20有三种生产方案：
①A型按摩椅18台，B型按摩椅22台；
②A型按摩椅19台，B型按摩椅21台；
③A型按摩椅20台，B型按摩椅20台；
w＝(2.4－2)x＋(3－2.5)×(40－x)＝20－0.1x
∵－0.1＜0，
∴当x＝18时，w最大＝20－0.1×18＝18.2，
∴该公司对此两种按摩椅有3种生产方案，当生产A型按摩椅18台，B型按摩椅22台，获得最大利润18.2万元.
(2)当每台A型按摩椅的售价将会提高a万元(a＞0)，每台B型按摩椅售价不会改变时，此时的利润为：
w′＝(0.4＋a)x＋0.5(40－x)＝(a－0.1)x＋20，
当a－0.1＞0时，即a＞0.1，
∴当x＝20时，w′最大＝20a＋18，
即当生产A型按摩椅20台，B型按摩椅20台，获得最大利润.
当a－0.1＝0时，即a＝0.1，∴当x＝20时，w′＝20，
即三种生产方案的获利一样大.
当a－0.1＜0时，即a＜0.1，
∴当x＝18时，w′最大＝18a＋18.2，
即当生产A型按摩椅18台，B型按摩椅22台，获得最大利润.
答：当a＞0.1时，当生产A型按摩椅20台，B型按摩椅20台，获得最大利润；
当a＝0.1时，3种方案获利一样，
当a＜0.1时，生产A型按摩椅18台，B型按摩椅22台，获得最大利润.
例题2、某工厂以80元/箱的价格购进60箱原材料，准备由甲、乙两车间全部用于生产A产品.甲车间用每箱原材料可生产出A产品12千克，需耗水4吨；乙车间通过节能改造，用每箱原材料可生产出的A产品比甲车间少2千克，但耗水量是甲车间的一半，已知A产品售价为30元/千克，水价为5元/吨.如果要求这两车间生产这批产品的总耗水量不得超过200吨，那么该厂如何分配两车间的生产任务，才能使这次生产所能获取的利润w最大?最大利润是多少??(注：?利润＝产品总售价一购买原材料成本－水费)
答案：
设甲车间用x箱原材料生产A产品，则乙车间用(60－x)箱原材料生产A产品.
由题意得4x＋2(60－x)≤200，解得x≤40.
w＝30[12x＋10(60－x)]－80×60－5[4x＋2(60－x)]＝50x＋12600，
∵50>0，
∴w随x的增大而增大.
∴当x＝40时，w取得最大值，为14600元.
答：甲车间用40箱原材料生产A产品，乙车间用20箱原材料生产A产品，可使工厂所获利润最大，最大利润为14600元.
例题3、无锡某校准备组织学生及学生家长到上海进行社会实践，为了便于管理，所有人员必须乘坐在同一列高铁上；根据报名人数，若都买一等座单程火车票需6175元，若都买二等座单程火车票且花钱最少，则需3150元；已知学生家长与教师的人数之比为2∶1，无锡到上海的火车票价格(高铁学生票只有二等座可以打7.5折)如下表所示：
运行区间
票价
上车站
下车站
一等座
二等座
无锡
上海
95(元)
60(元)
(1)参加社会实践的老师、家长与学生各有多少人?
(2)由于各种原因，二等座火车票单程只能买x张(x小于参加社会实践的人数)，其余的须买一等座火车票，在保证每位参与人员都有座位坐的前提下，请你设计最经济的购票方案，并写出购买火车票的总费用(单程)y与x之间的函数关系式.
(3)请你做一个预算，按第(2)小题中的购票方案，购买一个单程火车票至少要花多少钱?最多要花多少钱?
答案：
(1)设参加社会实践的老师有m人，学生有n人，则学生家长有2m人，若都买二等座单程火车票且花钱最少，则全体学生都需买二等座学生票，依题意得：
，解得，则2m＝10.
答：参加社会实践的老师、家长与学生分别有5人、10人、50人.
(2)由(1)知所有参与人员总共有65人，其中学生有50人，
①当50≤x≤65时，最经济的购票方案为：学生都买学生票共50张，(x－50)名成年人买二等座火车票，(65－x)名成年人买一等座火车票，
∴.火车票的总费用(单程)y与x之间的函数关系式为：
y＝60×0.75×50＋60(x－50)＋95(65－x)，即y＝－35x＋5420 (50≤x≤65；
②当0＜x＜50时，最经济的购票方案为：一部分学生买学生票共x张，其余的学生与家长老师一起购买一等座火车票共(65－x)张，
∴火车票的总费用(单程)y与x之间的函数关系式为：y＝60×0.75x＋95(65－x)，即y＝－50x＋6175 (0＜x＜50).
答：购买火车票的总费用(单程)y与x之间的函数关系式是y＝－35x＋5420?(50≤x≤65)或y＝－50x＋6175?(0＜x＜50).
(3)由(2)小题知，当50≤x＜65时，y＝－35x＋5420，
∵－35<0，y随x的增大而减小，
∴当x＝64时，y的值最小，最小值为3180元；
当x＝50时，y的值最大，最大值为3670元；
当0＜x＜50时，y＝－50x＋6175，
∵－50＜0，y随x的增大而减小，
∴当x＝49时，y的值最小，最小值为3725元；
当x＝1时，y的值最大，最大值为6125元.
所以可以判断按(2)小题中的购票方案，购买一个单程火车票至少要花3185元，最多要花6125元.
答：按(2)小题中的购票方案，购买一个单程火车票至少要花3185元，最多要花6125元.
例题4、某公司销售一种新型节能产品，现准备从国内和国外两种销售方案中选择一种进行销售.
若只在国内销售，销售价格y(元/件)与月销量x(件)的函数关系式为y＝－0.01x＋150，成本为20元/件，无论销售多少，每月还需支出广告费62500元，设月利润为W内(元).若只在国外销售，销售价格为150元/件，受各种不确定因素影响，成本为a元/件(a为常数，10≤a≤40)，当月销量为x件时，每月还需缴纳0.01x2元的附加费，设月利润为W外(元).
(1)当x＝1000时，y＝ 元/件：
(2)分别求出W内、W外与x之间的函数关系式，并求当x为何值时，在国内销售的月利润为36万元?
(3)如果某月要求将5000件产品全部销售完，请你通过分析帮公司决策，选择在国内还是在国外销售，才能使所获月利润较大?
答案：
(1)将x＝1000代入y＝－0.01x＋150得y＝140，故答案为140；
(2)w内＝x(y－20)－62500＝－0.01x2＋130x－62500，W外＝－0.01x2＋(150－a)x；
(3)当x＝5000时，W内＝337500，
W外＝－5000a＋500000，
若W内＜w外，则a＜32.5；
若W内＝W外，则a＝32.5；
若W内＞w外，则a＞32.5，
所以，当10≤a＜32.5时，选择在国外销售；
当a＝32.5时，在国外和国内销售都一样；
当32.5＜a≤40时，选择在国内销售.
例题5、请你设计一个包装盒，如图1所示，ABCD?是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形(E，F在AB上，是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点)，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图2中的点P，正好形成一个底为正方形的包装盒，设AE＝FB＝xcm.
(1)若x＝20cm，包装盒底面正方形面积为 cm2；侧面积为 cm2；
(2)设包装盒侧面积为S，
①求S与x之间的函数关系式；
②若要求包装盒则面积S最大，问此时x应取何值?并求出最大面积；
(3)试问能否用包装盒盛放一个底面半径为15cm，高为15cm的圆柱形工艺品?若不能，说明理由；若能，求出x的值.
答案：
(1)由题意得：底面正方形的边长为：20cm，包装盒的高为：10cm，
∴包装盒底面正方形面积为：(20)2＝800cm2；
包装盒的侧面积为：10×20×4＝1600cm2；
故答案为：800，1600；
(2)∵AE＝FB＝xcm，∴EF的长为(60－2x)cm.
图中阴影部分拼在一起是边长为EF的正方形，其面积为：(60－2x)2cm2，掀起的四个角上的四个等腰直角三角形的面积之和为：2x2cm2；
盒底正方形的边长为x，其面积为2x2；
∴S＝602－(60－2x)2－4x2＝240x－8x2，
∴S＝－8(x2－30x)＝－8(x－15)2＋1800 (0＜x＜30)，
∵a＝－8＜0.
∴抛物线的开口向下，S有最大值.
∴x＝15cm时，侧面积最大为1800cm2.
答：若包装盒侧面积S最大＝1800cm2最大，x应取15cm.
(3)包装盒的底面正方形的边长为a，高为h，∴AE＝a，
∴EF＝60－2AE＝60－a，
∴h＝EF＝30－a，
∴包装盒的高h随底面边长的增大而减小.
①圆柱的底面朝下放入，此时包装盒高h不能小于15.
∵圆柱的底面半径为15cm，
∴盒底边长最小取30cm(放入如①图)，
∴h＝30－a＝30(－1)＜15，故不能放下.
②圆柱体侧面朝下放入，盒高h最小取30cm，
此吋底面边长最大为(30－30)(cm.
此时有两种特殊的放置方法：
若按图1放置，此时盒底边长a取30cm.
∴高为30－30.
∵30＞30－30，∴放不下；
若按图2放置，此时盒底边长为a＝30×＋15×＝cm，
∵－(30－30)＝30－＞0，∴也不能放下.
其他任意位置摆放，也不能放下，理由：实质上就是将边长为15和30的矩形放入另一矩形，如图3
此时矩形的面积S＝(x＋2y)(2x＋y)＝5xy＋2(x2＋y2)＝5x＋450＝5＋450.
令x2＝t (0＜t＜225)，
∴S＝5＋450.(x＝0和15为图1情况，x＝为图2情况)
∴无论位置如何摆放，正方形的边长最小只能取到30cm，
而30＞30－30，不能放下.
综上所述，不能放下这个几何体.
例题6、王大伯要做一张如图1的梯子，梯子共有8级互相平行的踏板，每相邻两级踏板之间的距离都相等，已知梯子最上面一级踏板的长度A1B1＝0.5m，最下面一级踏板的长度A8B8＝0.8m.木工师傅在制作这些踏板时，截取的木板要比踏板长，以保证在每级踏板的两个外端各做出一个长为4cm的榫头(如图2所示)，以此来固定踏板.现市场上有长度为2.1m的木板可以用来制作梯子的踏板(木板的宽厚和厚度正好符合要制作梯子踏板的要求)，请问：制作这些踏板，王大伯最少需要买几块这样的木板?请说明理由，(不考虑锯缝的损耗)
答案：
设自上往下第2，3，4，5，6，7级踏板的长依次为A2B2，A3B3，…，A7B7，过A1作B1B8的平行线分别交A2B2，A3B3，A8B8于点C2，C3，…，C8.
∵每两级踏板之间的距离相等，
∴C8B8＝C7B7＝…＝C2B2＝A1B1＝50cm，A8C8＝80－50＝30cm，
∵A2C2∥A8B8，
∴∠A1A2C2＝∠A1A8C8，∠A1C2A2＝∠A1C8A8，
∴△A1A2C2∽△A1A8C8，∴A2C2∶A8C8＝1∶7，∴A2C2＝.
设要制作A1B1，A2B2，…，A7B7，A8B8这些踏板需用木板的长度分别为a1cm，a2cm，…，a8cm，则a1＝50＋8＝58，a2＝50＋＋8＝58，a3＝58＋，a4＝58＋，a5＝58＋，a6＝58＋，a7＝58＋，a8＝58＋30，
∵a1＋a2＋a3＋a4＝232＋＞210，
∴王大伯买的木板肯定不能少于3块
又∵a1＋a3＋a6＝174＋＝204＜210，a2＋a4＋a5＝174＋＜210，a7＋a8＝146＋＝171＜210，
∴王大伯最少买3块这样的木板就行了.
巩固练习
1、某商场在“五一”期间举行促销活动，根据顾客按商品标价一次性购物总额，规定相应的优惠方法：
①如果不超过500元，则不予优惠；
②如果超过500元，但不超过800元，则按购物总额给予8折优惠；
③如果超过800元，则其中800元给予8折优惠，超过800元的部分给予6折优惠.促销期间，小红和她母亲分别看中一件商品，若各自单独付款，则应分别付款480元和520元；若合并付款，则她们总共只需付款____元
答案：
由题意知付款480元，实际标价为480或480×＝600元，
付款520元，实际标价为520×＝650元，
①当小红买标价为480元，她母亲买标价为650元时，总买标价480＋650＝1130元，
应付款：800×0.8＋(1130－800)×0.6＝838元.
②当小红买标价为600元，她母亲买标价为650元时，总买标价600＋650＝1250元，应付款：800×0.8＋(1250－800)×0.6＝910元.
答：她们总共只需付款838元或910元.
2、一商场计划到计算器生产厂家购进一批A、B两种型号的计算器.经过商谈，A型计算器单价为50元，100?只起售，超过100只的超过部分，每只优惠20%：?B型计算器单价为22元，150?只起售，超过150只的超过部分，每只优惠2元.如果商家计划购进计算器的总量既不少于700只，又不多于800只，且分别用于购买A、B这两种型号的计算器的金额相等，那么该商场至少需要准备多少资金?
答案：
设购买A型计算器x只，B型计算器y只，则
化简得，解得≤x≤255.
设所需资金为P元，则P＝2[100×50＋(x－100)×50×(1－20%)]＝8x＋2000，
因为x为整数，且P随x的增大而增大，所以当x＝222时，P的最小值为19760.
答：该商场至少需要准备资金19760元.
3、某公司销售某种商品，其标价为100元，现在打6折销售仍然获利50%，为扩大销量，公司决定在打6折的基础上再降价，规定顾客每再多买1件，顾客购买的所有商品的单价再少1元，但不能出现亏损的情况，设顾客购买商品件数为x(件)，公司获得利润为W(元).
(1)求该商品的进价是多少元?
(2)求W与x的函数关系式并求公司销售利润最大值?
(3)公司发现x在某一范围内会出现顾客购买件数越多公司利润反而越少的情况，为避免出现这种情况，应规定最低售价为多少元?
答案：
(1)设商品的进价为x元，根据题意可得100×0.6＝x(1＋50%)，解得x＝40.
答：该商品的进价是40元.
(2)根据题意可得，W＝x(20－x＋1) ＝21x－x2＝－(x－)2＋，
由于商品数为整数及抛物线的对称性可知，当x＝10或11时，W有最大值，此时W＝110.
即W与x的函数关系式是：W＝－(x－)2＋，公司利润的最大值是110元.
(3)由第(2)问可知，当x＝11时，取得最大值，当x＞11时，二次函数递减，x越大则利润会越低，故最低售价为：40＋(20－11＋1)＝50(元).
即应规定最低售价为50元.
4、已知甲、乙两种原料中均含有A元素，其含量及每吨原料的购买单价如下表所示：
A元素含量
单价(万元/吨)
甲原料
5%
2.5
乙原料
8%
6
已知用甲原料提取每千克A元素要排放废气1吨，用乙原料提取每千克A元素要排放废气0.5吨，若某厂要提取A元素20千克，并要求废气排放不超过16吨，问：该厂购买这两种原料的费用最少是多少万元?
答案：
设需要甲原料x吨，乙原料y吨，由题意得
由①，得y＝ ，
把①代入②，得x≤.
设这两种原料的费用为W万元，由题意，得
W＝2.5x＋6y＝－1.25x＋1.5.
∵k＝－1.25＜0，∴W随x的増大而减小.
∴x＝时，y＝0.1时，W最小＝1.2.
答：该厂购买这两种原料的费用最少为1.2万元.
5、某家电生产企业根据市场调查分析，决定调整产品生产方案，准备每周(按120个工时计算)生产空调、冰箱、彩电共360台，且彩电至少生产60台，已知生产这些家电产品每台所需工时和每台产值如下表：
家电名称
空调
冰箱
彩电
工时
产值（千元）
4
3
2
问每周应生产空调、冰箱、彩电各多少台，才能使产值最高?最高产值是多少?
答案：
设每周应生产空调、彩电、冰箱的数量分别为x台、y台、z台，则有
①－②×4得3x＋y＝360，
总产值A＝4x＋3y＋2z＝2(x＋y＋z)＋(2x＋y)＝720＋(3x＋y)－x＝1080－x，
∵z≥60，∴x＋y≤300，而3x＋y＝360，∴x＋360－3x≤300，∴x≥30，∴A≤1050，
即x＝30，y＝270，z＝60.
最高产值：30×4＋270×3＋60×2＝1050(千元).
6、某水果店总共筹备了5.1万资金计划购入一些时令水果销售(品种及价格如下表所示).现租用一辆载货量2.4吨的小货车进货(租金600元)，要求将余下资金全部用于采购水果并使得所购水果装满货车.问应该怎样安排进货才能使水果店在销售完这批水果后获利最多?此时最大销售利润为多少元?
水果名称
进货价(元/千克)
销售价(元/千克)
凤梨
10
19
芒果
26
36
荔枝
22
30
答案：
设进货凤梨x千克，芒果y千克，荔枝z千克，51000－600＝50400(元)，
由题意可得：，解得，
由，得，
解得：200≤x≤750，
设销售利润为M，则M＝9x＋10y＋8z＝9x＋10(3x－600)＋8(3000－4x)＝7x＋18000，
∵k＝7＞0，
∴.M随x的增大而增大，
当x＝750时，M最大值＝23250，
此时x＝750，y＝1650，z＝0.
即安排进货750千克凤梨和1650千克芒果，可以使得销售利润最高为23250元.
7、我市为创建“国家级森林城市”，政府决定对江边一处废弃荒地进行绿化，要求裁植甲、乙两种不同的树苗共6000棵，且甲种树苗不得多于乙种树苗.某承包商以26万元的报价中标承包了这项工程.根据调查及相关资料表明：移栽一棵树苗的平均费用为8元，甲、乙两种树苗的购买价及成活率如表：
品种
购买价(元/棵)
成活率甲
甲
20
90%
乙
32
95%
设购买甲种树苗x棵，承包商获得的利润为y元.请根据以上信息解答下列问题：(1)设y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
(2)承包商要获得不低于中标价16%的利润，应如何选购树苗?
(3)政府与承包商的合同要求，栽植这批树苗的成活率必须不低于93%，否则承包商出资补栽；若成活率达到94%以上(含94%)，则政府另给予工程款总额6%的奖励，该承包商应如何选购树苗才能获得最大利润?最大利润是多少?
答案：
(1)y＝260000－[20x＋32(6000－x)＋8×6000]＝12x＋20000，
自变量的取值范围是：0＜x≤3000?；
(2)由题意，得12x＋20000≥260000×16%，解得：x≥1800
∴1800≤x≤3000，
购买甲种树苗不少于1800棵且不多于3000棵；
(3)①若成活率不低于93%且低于94%时，由题意得，
解得1200＜x≤2400，
在y＝12x＋20000中，∵12＞0，∴y随x的增大而增大，
∴当x＝2400时，y最大＝48800.
②若成活率达到94%以上(含94%)，则0.9x＋0.95(6000－x)≥0.94×6000，
解得：x≤1200，
由题意得y＝12x＋20000＋260000×6%＝12x＋35600，
∵12＞0，
∴y随x的增大而增大，∴当x＝1200时，y最大值＝50000，
综上所述，50000＞48800，
∴购买甲种树苗1200棵，乙种树苗4800棵，可获得最大利润，最大利润是50000元.
8.为了迎接市排球运动会，市排协准备新购一批排球．张会长问器材保管员：“我们现在还有多少个排球？”，保管员说：“两年前购进100个新排球，由于训练损坏，现在还有81个球．”
（1）假设这两年平均每年的损坏率相同，求损坏率．
（2）张会长说：“我们协会有奇数个训练队，如果新购进的排球，每队分得8个球，球正好都分完；如果每队分的9个球，那么有一个队分得的球不足6个，但超过2个．”那么市排协准备新购排球以及该协会有多少个训练队？
（3）张会长准备去买第（2）题中求的排球数，某体育用品商店提供如下信息：
信息一：可供选择的排球有A、B、C三种型号，但要求购买A、B型号数量相等．
信息二：如表：
型号
每个型号批发单价（元）
每年每个型号排球的损坏率
A
30
0.2
B
20
0.3
C
50
0.1
设购买A、C型号排球分别为a个、b个，你能帮张会长制定一个购买方案吗？要求总费用w（元）要最省，而且要使这批排球两年后没有损坏的个数不少于27个．
【解答】解：（1）设损坏率为x，根据题意得：
100（1﹣x）2＝81
解得：x＝1.9（舍去）或x＝0.1＝10%
答：损坏率为10%；
（2）设有x支球队，则新购排球有8x个，
根据题意得：2＜8x﹣9（x﹣1）＜6
解得：3＜x＜7
∵球队数为奇数，
∴x＝5
∴8x＝40．
答：购进40个排球，共有5支球队．
（3）∵购买A、C型号排球分别为a个、b个，且购买A、B型号数量相等．
∴a+a+b＝40
整理得：2a+b＝40
∵这批排球两年后没有损坏的个数不少于27个，
∴a（1﹣0.2）2+a（1﹣0.3）2+b（1﹣0.1）2≥27
解得：a≤11.02，
∴总费用为30a+20a+50b＝2000﹣50a
∴当a最大时总费用最低，
∴方案为A型11个，B型11个，C型18个．
9.为把产品打入国际市场，某企业决定从下面两个投资方案中选择一个进行投资生产．方案一：生产甲产品，每件产品成本为a万美元（a为常数，且3＜a＜8），每件产品销售价为10万美元，每年最多可生产200件；方案二：生产乙产品，每件产品成本为8万美元，每件产品销售价为18万美元，每年最多可生产120件．另外，年销售x件乙产品时需上交0.05x2万美元的特别关税．在不考虑其它因素的情况下：
（1）分别写出该企业两个投资方案的年利润y1、y2与相应生产件数x（x为正整数）之间的函数关系式，并指出自变量的取值范围；
（2）分别求出这两个投资方案的最大年利润；
（3）如果你是企业决策者，为了获得最大收益，你会选择哪个投资方案？
【解答】解：（1）由题意得：
y1＝（10﹣a）x（1≤x≤200，x为正整数）（2分）
y2＝10x﹣0.05x2（1≤x≤120，x为正整数）；（4分）
（2）①∵3＜a＜8，∴10﹣a＞0，
即y1随x的增大而增大，（5分）
∴当x＝200时，y1最大值＝（10﹣a）×200＝2000﹣200a（万美元）（6分）
②y2＝﹣0.05（x﹣100）2+500（7分）
∵a＝﹣0.05＜0，
∴x＝100时，y2最大值＝500（万美元）；（8分）
（3）∵由2000﹣200a＞500，
∴a＜7.5，∴当3＜a＜7.5时，选择方案一；（9分）
由2000﹣200a＝500，得a＝7.5，
∴当a＝7.5时，选择方案一或方案二均可；（10分）
由2000﹣200a＜500，得a＞7.5，
∴当7.5＜a＜8时，选择方案二．（12分）
10.某公司今年如果用原线下销售方式销售一产品，每月的销售额可达100万元．由于该产品供不应求，公司计划于3月份开始全部改为线上销售，这样，预计今年每月的销售额y（万元）与月份x（月）之间的函数关系的图象如图1中的点状图所示（5月及以后每月的销售额都相同），而经销成本p（万元）与销售额y（万元）之间函数关系的图象图2中线段AB所示．

（1）求经销成本p（万元）与销售额y（万元）之间的函数关系式；
（2）分别求该公司3月，4月的利润；
（3）问：把3月作为第一个月开始往后算，最早到第几个月止，该公司改用线上销售后所获得利润总额比同期用线下方式销售所能获得的利润总额至少多出200万元？（利润＝销售额﹣经销成本）
【解答】解：（1）设p＝ky+b，（100，60），（200，110）代入得解得，
∴p＝y+10．
（2）∵y＝150时，p＝85，∴三月份利润为150﹣85＝65万元．
∵y＝175时，p＝97.5，∴四月份的利润为175﹣97.5＝77.5万元．
（3）设最早到第x个月止，该公司改用线上销售后所获得利润总额比同期用线下方式销售所能获得的利润总额至少多出200万元
∵5月份以后的每月利润为90万元（y＝200，求得p＝110，200﹣110＝90），
∴65+77.5+90（x﹣2）﹣40x≥200，
∴x≥4.75，
∴最早到第5个月止，该公司改用线上销售后所获得利润总额比同期用线下方式销售所能获得的利润总额至少多出200万元．
11.研究所对某种新型产品的产销情况进行了研究，为投资商在甲、乙两地生产并销售该产品提供了如下成果：第一年的年产量为x（吨）时，所需的全部费用y（万元）与x满足关系式y＝x2+5x+90，投入市场后当年能全部售出，且在甲、乙两地每吨的售价p甲，p乙（万元）均与x满足一次函数关系．（注：年利润＝年销售额﹣全部费用）
（1）成果表明，在甲地生产并销售x吨时，P甲＝x+14，请你用含x的代数式表示甲地当年的年销售额，并求年利润W甲（万元）与x之间的函数关系式；
（2）成果表明，在乙地生产并销售x吨时，P乙＝+n（n为常数），且在乙地当年的最大年利润为35万元．试确定n的值；
（3）受资金、生产能力等多种因素的影响，某投资商计划第一年生产并销售该产品18吨，根据（1），（2）中的结果，请你通过计算帮他决策，选择在甲地还是乙地产销才能获得较大的年利润？
【解答】解：（1）甲地当年的年销售额为（x+14）?x＝（x2+14x）万元；
w甲＝（x2+14x）﹣（x2+5x+90）＝x2+9x﹣90．
（2）在乙地区生产并销售时，
年利润：
w乙＝-x2+nx﹣（x2+5x+90）
＝x2+（n﹣5）x﹣90．
由＝，
解得n＝15或﹣5．
经检验，n＝﹣5不合题意，舍去，∴n＝15．
（3）在乙地区生产并销售时，年利润
w乙＝x2+10x﹣90，
将x＝18代入上式，得w乙＝25.2（万元）；
将x＝18代入w甲＝x2+9x﹣90，
得w甲＝23.4（万元）．
∵W乙＞W甲，∴应选乙地．
12.某小型开关厂今年准备投入一定的经费用于现有生产设备的改造以提高经济效益．通过测算：今年开关的年产量y（万只）与投入的改造经费x（万元）之间满足3﹣y与x+1成反比例，且当改造经费投入1万元时，今年的年产量是2万只．
（1）求年产量y（万只）与改造经费x（万元）之间的函数解析式．（不要求写出x的取值范围）
（2）已知每生产1万只开关所需要的材料费是8万元．除材料费外，今年在生产中，全年还需支付出2万元的固定费用．
①求平均每只开关所需的生产费用为多少元？（用含y的代数式表示）
（生产费用＝固定费用+材料费）
②如果将每只开关的销售价定位“平均每只开关的生产费用的1.5倍”与“平均每只开关所占改造费用的一半”之和，那么今年生产的开关正好销完．问今年需投入多少改造经费，才能使今年的销售利润为9.5万元？
（销售利润＝销售收入一生产费用﹣改造费用）
【解答】解：（1）设3﹣y＝，
∵（1，2）符合函数解析式，
∴3﹣2＝，
解得：k＝2，
那么3﹣y＝，即：y＝3﹣＝；
（2）①8÷1+2÷y＝8+；
②设投入改造经费x万元，
[（8+2÷）×1.5+x÷×]×﹣（8+2÷）×﹣x＝9.5；
解得x＝3，
经检验，x＝3是原分式方程的解．
则今年需投入3万元改造经费，才能使今年的销售利润为9.5万元．
13.如图，在边长为24cm的正方形纸片ABCD上，剪去图中阴影部分的四个全等的等腰直角三角形，再沿图中的虚线折起，折成一个长方体形状的包装盒（A、B、C、D四个顶点正好重合于上底面上一点）．已知E、F在AB边上，是被剪去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE＝BF＝x（cm）．
（1）若折成的包装盒恰好是个正方体，试求这个包装盒的体积V；
（2）某广告商要求包装盒的表面（不含下底面）面积S最大，试问x应取何值？

【解答】解：（1）根据题意，设AE＝BF＝x（cm），折成的包装盒恰好是个正方体，
知这个正方体的底面边长NQ＝ME＝x，则QE＝QF＝x，故EF＝ME＝2x，
∵正方形纸片ABCD边长为24cm，
∴x+2x+x＝24，
解得：x＝6，
则 正方体的底面边长a＝6，
V＝a3＝＝432（cm3）；
答：这个包装盒的体积是432cm3；
（2）设包装盒的底面边长为acm，高为hcm，则a＝，h＝，
∴S＝4ah+a2＝4x+＝﹣6x2+96x＝﹣6（x﹣8）2+384，
∵0＜x＜12，
∴当x＝8时，S取得最大值384cm2．

14.某开发商进行商铺促销，广告上写着如下条款：
投资者购买商铺后，必须由开发商代为租赁5年，5年期满后由开发商以比原商铺标价高20%的价格进行回购，投资者可在以下两种购铺方案中做出选择：
方案一：投资者按商铺标价一次性付清铺款，每年可以获得的租金为商铺标价的10%．
方案二：投资者按商铺标价的八五折一次性付清铺款，2年后每年可以获得的租金为商铺标价的10%，但要缴纳租金的10%作为管理费用．
（1）请问：投资者选择哪种购铺方案，5年后所获得的投资收益率更高？为什么？（注：投资收益率＝投资收益/实际投资额×100%）
（2）对同一标价的商铺，甲选择了购铺方案一，乙选择了购铺方案二，那么5年后两人获得的收益将相差5万元．问：甲、乙两人各投资了多少万元？
【解答】解：（1）设商铺标价为x万元，则
按方案一购买，则可获投资收益（120%﹣1）?x+x?10%×5＝0.7x，
投资收益率为×100%＝70%，
按方案二购买，则可获投资收益（120%﹣0.85）?x+x?10%×（1﹣10%）×3＝0.62x，
投资收益率为×100%≈72.9%，
∴投资者选择方案二所获得的投资收益率更高；
（2）设商铺标价为y万元，则甲投资了y万元，则乙投资了0.85y万元．
由题意得0.7y﹣0.62y＝5，
解得y＝62.5，
乙的投资是62.5×0.85＝53.125万元
∴甲投资了62.5万元，乙投资了53.125万元．
15.葡萄在销售时，要求“葡萄”用双层上盖的长方体纸箱封装（上盖纸板面积刚好等于底面面积的2倍），如图1

（1）实际运用：如果要求纸箱的高为0.5米，底面是黄金矩形（宽与长的比是黄金比，取黄金比为0.6），体积为0.3立方米．
①按方案1（如图）做一个纸箱，需要矩形硬纸板A1B1C1D1的面积是多少平方米？
②小明认为，如果从节省材料的角度考虑，采用方案2（如图）的菱形硬纸板A2B2C2D2做一个纸箱比方案1更优，你认为呢？请说明理由．
（2）拓展思维：水果商打算在产地购进一批“葡萄”，但他感觉（1）中的纸箱体积太大，搬运吃力，要求将纸箱的底面周长、底面面积和高都设计为原来的一半，你认为水果商的要求能办到吗？请利用函数图象验证．

【解答】解：（1）①∵纸箱的高为0.5米，底面是黄金矩形（宽与长的比是黄金比，取黄金比为0.6），体积为0.3立方米，
∴假设底面长为x，宽就为0.6x，
∴体积为：0.6x?x?0.5＝0.3，
解得：x＝1，
∴AD＝1，CD＝0.6，
DW＝KA＝DT＝JC＝0.5，FT＝JH＝CD＝0.3，
WQ＝MK＝AD＝，
∴QM＝+0.5+1+0.5+＝3，
FH＝0.3+0.5+0.6+0.5+0.3＝2.2，
∴矩形硬纸板A1B1C1D1的面积是3×2.2＝6.6（平方米）；
②如图，连接A2C2，B2D2相交于O2，

设△D2EF中EF边上的高为h1，△A2NM中NM边上的高为h2，
由△D2EF∽△D2MQ得，
，
解得：h1＝0.4，
同理可得出：h2＝，
∴A2C2＝，B2D2＝3，
又四边形A2B2C2D2是菱形，
故S菱形A2B2C2D2＝5.625（平方米），
∴从节省材料的角度考虑，
采用方案2（如图）的菱形硬纸板A2B2C2D2做一个纸箱比方案1更优．
（2）水果商的要求不能办到．
设底面的长与宽分别为 x、y，
则 x+y＝0.8，xy＝0.3，即 y＝0.8﹣x 和 y＝，
在 y＝0.8﹣x 中，
当x＝0.8，y＝0，x＝0，y＝0.8，
在y＝中，
当x＝1，y＝0.3，
x＝0.3，y＝1，画出其图象如图所示．

因为两个函数图象无交点，故水果商的要求无法办到．