中考培优第二轮复习专题 第20章 自动点与因动点学案(含答案)

第二十章 自动点与因动点
知识讲解
当某一个点P在运动时，与这个相关联的点Q的运动状态类似，那么点P为自动点，点Q为因动点.（理解上参考自变量与因变量）
通俗的理解：点P在圆上运动，点g也在圆上运动；点P在直线上运动，点Q也在直线上运动；点P在图形M上运动，点Q在与M相似的图形上运动
【本专题并不打算专门去讲为什么是这么运动的，而是为了快而准的解决题目！有兴趣的同学可以自行去证明，绝大部分都可以采用双子全等证明出来】
自动点运动状态为直线
例题1、在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2cm，线段BC上一动点P从C点开始运动，到B点停止，以AP为边在AC的右侧做等边△APQ，则Q点运动的路径长为_________cm.
【解析】
由自动点与因动点的理解可知：点P在线段BC上运动，点Q也在某条直线运动。
既然知道了运动轨迹，画出起始图形与最终图形即可（如图），的长度即为点Q运动的路径长，易证△CAB△，所以
【总结】
点P是自动点，因为点Q是以AP为一边向右侧作等边得到的，所以点Q可看成是点P关于点A的一个“变换点”，我们可以把PA称为“自动长”，PQ称为“因动长”，那么有结论：
因动点路径长/自动点路径长=因动长/自动长，本题PA=PQ，所以点Q运动路径长自动点路径长自动长与点P运动路径长相等，利用本结论，我们一起来解决一下后面的问题！
例题2、如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝AC＝4，M为AB中点，D是射线BC上一动点，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE，连接ED、ME，点D在运动过程中ME的最小值为___________.
【解析】
点D在射线BC上运动，点E也在某条射线运动，画出两种特殊位时的点E，第一种点E恰好与点B重合，第二种点D与点C重合，所以点E运动轨迹为射线EB，易知四边形ACBE2是正方形，所以当ME⊥BE2时，ME最小为2.
例题3、如图，定点A在第一象限内，横坐标为2，AC⊥x轴于点M，交直线y＝－x于点N，若点P是线段ON上的一个动点，∠APB＝30°，BA⊥PA，则点P在线段ON上运动时，A点不变，B点随之运动，求当点P从点O运动到点N时，点B运动的路径长是___________.
【解析】
根据例题1的结论，＝，本题自动点P路径长为ON＝2，＝＝,所以立马可计算出因动点B运动路径长为2.
例题4、如图，边长为4的等边△AOB的顶点O在坐标原点，点A在x轴正半轴上，点B在第一象限.一动点P沿x轴向点A运动.取线段BP的中点E，将线段PE绕点P按顺时针方向旋转60°得到PC，点C随点P的运动而运动，在点P从O向A运动的过程中，点C运动路线的长为___________.
【解析】
连接BC，PB＝2PC，∠PBC＝60°，易证∠BCP＝90°，可知自动点P的运动路径长为OA＝4，＝＝，所以根据＝可立马可计算出因动点C的运动路径长为2（“变换点”必须为定点，所以本题的“变换点”不能看成点E）
【值得一提的是，因动长线段与自动长线段之间的夹角也需保持不变】
即时练习
1、已知：如图，□ABCD中，CD＝CB＝2，∠C＝60°，点E是CD边上自D向C的动点（点E运动到点C停止运动），连结AE，以AE为一边作等边△AEP，连结DP.
（1）求证：△ABE≌△ADP；
（2）点P随点E的运动而运动，请直接写出点P的运动路径长___________.
答案：
（1）由AB＝AD,∠BAE＝∠DAP，AE＝AP，得△ABE≌△ADP；
（2）∵在运动过程中，始终保持△ABE≌△ADP，
∴点P的运动路径长＝CD＝3．
故答案是：3．
2、如图，已知△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AC＝.动点D在边AC上，以BD为边作等边△BDE（点E、A在BD的同侧）.在点D从点A移动至点C的过程中，点E移动的路线___________.
答案：.
如图，作EF⊥AB垂足为F，连接CF．
∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴∠ABC＝60°，
∵△EBD是等边三角形，∴BE＝BD，∠EBD＝60°，∴∠EBD＝∠ABC，∴∠EBF＝∠DBC，
在△EBF和△DBC中，∠EFB＝∠BCD＝90°，∠EBF＝∠DBC，EB＝BD，∴△EBF≌△DBC，
∴BF＝BC，EF＝CD，∵∠FBC＝60°，∴△BFC是等边三角形，
∴CF＝BF＝BC，∵BC＝AB＝1，∴BF＝AB，∴AF＝FB，
∴点E在AB的垂直平分线上，∴在点D从点A移动至点C的过程中，点E移动的路线和点D运动的路线相等，∴在点D从点A移动至点C的过程中，点E移动的路线为．
3、如图，在边长为4的等边△ABC中，M是高CH所在直线上的一个动点，连接MB，将线段BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接HN，则在点M运动过程中，线段HN长度的最小值是___________.

答案：
如图，取BC的中点G，连接MG，
∵旋转角为60°，∴∠MBH＋∠HBN＝60°，又∵∠MBH＋∠MBC＝∠ABC＝60°，∴∠HBN＝∠GBM，
∵CH是等边ABC的对称轴，
∴HB＝AB，∴HB＝BG，又∵MB旋转到BN，∴BM＝BN，
在△MBG和△NBH中，BG＝BH，∠MBG＝∠NBH，MB＝NB，∴△MBG≌△NBH（SAS），
∴MG＝NH，
根据垂线段最短，MG⊥CH时，MG最短，即HN最短，
此时∵∠BCH＝×60°＝30°，CG＝AB＝×4＝2，
∴MG＝CG＝×2＝1，∴HN＝1.
4、如图，在Rt△ABC中，AB＝BC＝2，点P为AB边上一动点，连接CP，以CP为边向下作等腰Rt△CPD，连接BD，则BD的最小值为___________.
答案：2.
自动点运动状态为曲线
例题1、如图，⊙O的半径为1，P是⊙O外一点，OP＝2，Q是⊙O上的动点，线段PQ的中点为M，连接OP、OM，则线段OM的最小值是___________.
【解析】
自动点为Q在圆上运动，因动点为M也在圆上运动，自动长PQ与因动长PM之比为2：1，所以可知两圆周长比＝半径比＝2：1，所以可以想到取OP中点N，连接MN得到中位线，出现OQ的，所以可得点M的轨迹是在以点N为圆心，MN长为半径的圆上，所以最小值即为ON－MN＝1－＝.
【思考】若把条件“线段PQ的中点为M”改为“MQ＝2PM”，聪明的你还会做吗？
例题2、如图，⊙O的半径为3，△ABC中，点A，B在⊙O上，∠B＝90°，点C在⊙O内，且tan∠CAB＝，当点A在圆上运动时，OC的最小值为___________.
【解析】
方法一：若将点B固定，点A作为主动点在圆上运动，点C也在某圆上运动，连接OB，向左侧做一个直角△CBE，满足∠OBE＝90°，tan∠EOB＝，易证△AOB∽△CEB，相似比为4：3，∵OB＝3，∴CE＝，∴点C在以E为圆心，的长度为半径的圆上，∴OC的最小值为OE－CE，OE＝OB＝，∴OCmin＝－＝.
方法二：若以OB为一边向右侧作一个直角△OBF，满足∠OBF＝90°，tan∠OFB＝，易证△AFB∽△COB，相似比为4：3，OC＝AF，将OC最小值转化为求AF最小值，AFmin＝OF－OA，OF＝OB＝5，∴AFmin＝5－3＝2，∴OCmin＝AFmin＝.
例题4、如图，⊙P在第一象限，半径为3.动点A沿着⊙P运动一周，在点A运动的同时，作点A关于原点O的对称点B，再以AB为边作等边三角形△ABC，点C在第二象限，点C随点A运动所形成的图形的面积为___________.
【解析】连接OC，自动点A轨迹为圆，所以因动点C轨迹也是圆，自动长OA与因动长OC之比为1：，所以点A与点C路径长之比也为1：，可推导出点A所在圆半径与点C所在圆的半径之比也为1：，所以面积之比为1：3，所以，点C随点A运动所形成的图形的面积为3×π×32＝27π.
巩固训练
1.如图，矩形ABCD中，AD＝2AB＝4，长度为2的动线段AE绕点A旋转，连接EC，取EC的中点F，连接DF，则线段DF的取值范围是___________.
答案：
点E在以点A为圆心，AE为半径的圆周上，连AC，取AC中点O，∴DFmin＝DO－1＝－1,DFmax＝DO＋1＝＋1.∴－1≤DF≤＋1.
2.如图，⊙O半径为3，Rt△ABC的顶点A，B在⊙O上，∠A＝30°，点C在⊙O内，当点A在圆上运动时，OC的最小值为___________.
答案：
连接AO，当OC⊥OA时，OC最短，
∵∠B＝90°，∴BC延长线与AO的延长线交于D，点D会在圆上，
∵OC⊥AD，OA＝OD，∴AC＝CD，
∵∠CAB＝30°，∴CD＝AC＝2CB，AB＝BC，
∴AD2＝BD2＋AB2＝9BC2＋3BC2，∴BC＝，∴AC＝2，
∵AO＝3，∴OC＝.
3.如图，在等腰Rt△ABC中，AC＝BC＝2，点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中点.当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长是___________.
答案：
取AB的中点O、AC的中点E、BC的中点F，连结OC、OP、OM、OE、OF、EF，如图，
∵在等腰Rt△ABC中，AC＝BC＝2，
∴AB＝BC＝4，∴OC＝AB＝2，OP＝AB＝2，
∵M为PC的中点，∴OM⊥PC,∴∠CMO＝90°，
∴点M在以OC为直径的圆上，点P点在A点时，M点在E点；点P点在B点时，M点在F点，易得四边形CEOF为正方形，EF＝OC＝2，
∴M点的路径为以EF为直径的半圆，
∴点M运动的路径长＝·2π·1＝π.
4.如图，⊙O的半径为3，Rt△ABC的顶点A、B在⊙O上，∠B＝90°，BA＝BC，当点A在⊙O上运动时，OC的最小值是___________.
答案：
如图，作等腰直角三角形△OCO'，CO＝CO'，∠OCO'＝90°，
∵AC＝CB，∠ACB＝∠OCO'，∴△ACO≌△BCO'，∴OA＝O'B.
∴当点C固定时，点B在以O'为圆心OA为半径的圆上运动，当O、B、O'共线时，OB的值最小，最小值＝OO'－O'B＝2－2.
5.如图，AB＝4，O为AB的中点，⊙O的半径为1，点P是⊙O上一动点，以点P为直角顶点的等腰直角△PBC（点P、B、C按逆时针方向排列），则线段AC的取值范围是___________.
答案：如图，作OK⊥AB并取OK＝OA＝OB，连AK、BK、KC、OP。易得△AKB是等腰直角三角形，∴OB：BK＝PB：BC＝2：，∴△OBP∽△KBC，∴KC：OP＝BC：PB＝，∴KC＝，∴点C的轨迹是以点K为圆心，KC为半径的圆，AK＝OA＝2，∴AC的最大值为3，最小值为，∴≤AC≤3.
6.如图，已知点A是第一象限内横坐标为2的一个定点，AC⊥x轴于点M，以O为圆心、OM为半径画弧MN交y轴正半轴于点N，点P是弧MN上的一个动点，∠APB＝30°，PA⊥AB，当点P沿弧MN从点M运动到点N时，点B的运动路径长是___________.
答案：π.
点B的轨迹是以OM为半径的圆.×2π＝π.
7.如图，半圆的半径BC为2，O是圆心，A是半圆上的一个动点，连接AB，M是AB的中点，连接CM并延长交半圆于点D，连接BD，则BD的最大值为___________.
答案：.
8.如图，矩形ABCD在平面直角坐标系xOy中，BC边在x轴上，点A(－1，2)，点C(3，0).动点P从点A向点D运动.把BP的中点M绕点P逆时针旋转90°到点N，连接PN，DN.在整个过程中，点N运动的路程是___________.
答案：点P在直线AD上运动，点N也在某直线上运动，
当点P在点A时，点N在点E(0，2)，当点P在点D时，N点在x轴上的F(4，0)，∴点N的路径是线段EF＝2.
9.如图，在直角坐标系中，已知点A（4，0），点B为y轴正半轴上一动点，连接AB，以AB为一边向下做等边△ABC，连接OC，则OC的最小值为___________.
答案：点C在过(0,－)和(－4,0)的直线l上，OC最小即是O点到直线l的距离.直线l:y＝－x－4,∴OC最小＝2.
【思考】
如图，一根木棒AB斜靠在与地面垂直的墙上，当木棒一端A沿墙壁向下滑动至A′，B端沿地面向右滑动至点B′.木棒中点P运动的轨迹是_________（填“线段”或者“圆弧”）.
答案：
中点P的运动轨迹是以O为圆心以OP为半径的圆.所以是圆弧.