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【专题讲义】北师大版九年级数学上册
第1讲 菱形综合复习专题精讲（提高版）
温故知新
我们之前学习了平行四边形及矩形，下面简单的回顾一下：
1、四边形
2、平行四边形的性质：
边： 角：
对角线：
3、我们又学习了哪种特殊的平行四边形？满足什么条件即可？它相比平行四边形而言，特殊在哪？
智慧乐园
探究活动：让我们一起通过折纸、剪纸的方法得到菱形。
我们一起这样做的：将一张长方形的纸对折、再对折，然后沿图中的虚线剪下，打开即可.
SHAPE \* MERGEFORMAT
观察得到的菱形，猜想菱形有什么性质？
边：菱形的两组对边分别平行。（这是平行四边形具有的性质）
菱形的四条边都相等。（这是菱形特有的性质，如何进行证明呢？）
角：菱形的两组对角分别相等。
菱形的邻角互补。
对角线：菱形的对角线互相平分、垂直，且每条对角线平分一组对角。
知识要点一
菱形的定义与性质
1、定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
注意：（1）菱形必须满足两个条件：一是平行四边形；二是一组邻边相等。二者必须同时具备，缺一不可。
（2）菱形的定义既是菱形的基本性质，也是菱形的基本判定方法。
2、性质：
（1）菱形的四条边都相等；
（2）菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；
（3）菱形具有平行四边形的一切性质；
（4）菱形是轴对称图形，对称轴是两条对角线所在直线；
（5）利用菱形的性质可证线段相等，角相等；
（6）菱形的面积计算：
①菱形的面积等于底乘高；
②菱形的面积等于对角线乘积的一半，对角线互相垂直的四边形的面积都可以用
两条对角线乘积的一半来进行计算。
典例分析
例1、菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ）
A．对边相等 B．对角相等
C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直
例2、如图，四边形ABCD是菱形，AC=8，DB=6，DH⊥AB于H，则DH等于（ ）
A． B．
C．5 D．4
例3、如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若AB=2，∠ABC=60°，则BD的长为（ ）
A．2 B．3
C． D．2
例4、如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AC=8，BD=6，过点O作OH⊥AB，垂足为H，则点O到边AB的距离OH等于（ ）
A．2 B．
C． D．
例5、如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个锐角为60°的菱形，剪口与折痕所成的角a的度数应为 ．
例6、如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC=8，BD=6，OE⊥BC，垂足为点E，则OE= ．
例7、如图，在菱形ABCD中，点E为AB的中点，请只用无刻度的直尺作图
（1）如图1，在CD上找点F，使点F是CD的中点；
（2）如图2，在AD上找点G，使点G是AD的中点．
举一反三
1、如图，菱形ABCD的周长为24cm，对角线AC、BD相交于O点，E是AD的中点，连接OE，则线段OE的长等于（ ）
A．3cm B．4cm
C．2.5cm D．2cm
2、如图，在菱形ABCD中，∠BAD=120°，点E、F分别在边AB、BC上，△BEF与△GEF关于直线EF对称，点B的对称点是点G，且点G在边AD上．若EG⊥AC，AB=6，则FG的长为 ．
3、如图，菱形ABCD中，E是对角线AC上一点．
（1）求证：△ABE≌△ADE；
（2）若AB=AE，∠BAE=36°，求∠CDE的度数．
知识要点二
菱形的判定
判定的方法：
1、（定义法）：有一组邻边相等的平行四边形是菱形；
2、（对角线）：对角线互相垂直的平行四边形是菱形；
3、（边）：四条边相等的四边形是菱形。
注意：（1）判定菱形时，一定要明确前提条件是从“四边形”出发的，还是从“平行
四边形”出发的；
（2）判定菱形的方法：
①若用对角线进行判定：先证明四边形是平行四边形，再证明对角线互相垂直，或直
接证明四边形的对角线互相垂直平分；
②若用边进行判定：先证明四边形是平行四边形，再证明一组邻边相等，或直接证明
四边形的四边都相等。
典例分析
例1、如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连接AD，下列条件能够判定四边形ACED为菱形的是（ ）
A．AB=BC B．AC=BC
C．∠B=60° D．∠ACB=60°
例2、如图，在?ABCD中，对角线AC与BD交于点O，若增加一个条件，使?ABCD成为菱形，下列给出的条件不正确的是（ ）
A．AB=AD B．AC⊥BD
C．AC=BD D．∠BAC=∠DAC
例3、如图，已知△ABC，AB=AC，将△ABC沿边BC翻转，得到的△DBC与原△ABC拼成四边形ABDC，则能直接判定四边形ABDC是菱形的依据是（ ）
A．一组邻边相等的平行四边形是菱形
B．四条边相等的四边形是菱形
C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
D．对角线互相垂直的平分四边形是菱形
例4、如图，分别以直角△ABC的斜边AB，直角边AC为边向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE，F为AB的中点，DE与AB交于点G，EF与AC交于点H，∠ACB=90°，∠BAC=30°．给出如下结论：
①EF⊥AC；②四边形ADFE为菱形；③AD=4AG；④FH=BD；
其中正确结论的是（ ）
A．①②③ B．①②④
C．①③④ D．②③④
例5、如图，四边形ABCD是轴对称图形，且直线AC是对称轴，
AB∥CD，则下列结论：①AC⊥BD；②AD∥BC；③四边形ABCD是菱形；
④△ABD≌△CDB．其中正确的是 （只填写序号）
例6、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D，E分别为AC，AB的中点，BF∥CE交DE的延长线于点F．
（1）求证：四边形ECBF是平行四边形；
（2）当∠A=30°时，求证：四边形ECBF是菱形．
举一反三
1、如图，四边形ABCD中，对角线相交于点O，E、F、G、H分别是AD、BD、BC、AC的中点，要使四边形EFGH是菱形，则四边形ABCD需满足的条件是（ ）
A．AB=AD B．AC=BD
C．AD=BC D．AB=CD
2、如图，已知AD是△ABC的角平分线，点E、F分别是边AC、AB的中点，连接DE、DF，要使四边形AEDF称为菱形，还需添加一个条件，这个条件可以是 ．
3、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线DE交BC于D，交AB于E，F在DE上，并且AF=CE．
（1）求证：四边形ACEF是平行四边形；
（2）当∠B满足什么条件时，四边形ACEF是菱形？请回答并证明你的结论．
课堂闯关
初出茅庐
建议用时：10分钟
1、如图，在菱形ABCD中，AC=8，BD=6，则△ABD的周长等于（ ）
A．18 B．16
C．15 D．14
2、如图，菱形ABCD的两条对角线相交于点O，若AC=6，BD=4，则菱形ABCD的周长是（ ）
A．24 B．16
C．2 D．4
3、某校的校园内有一个由两个相同的正六边形（边长为2.5m）围成的花坛，如图中的阴影部分所示，校方先要将这个花坛在原有的基础上扩建成一个菱形区域如图所示，并在新扩充的部分种上草坪，则扩建后菱形区域的周长为（ ）
A．20m B．25m
C．30m D．35m
4、如图，两个完全相同的三角尺ABC和DEF在直线l上滑动，可以添加一个条件，使四边形CBFE为菱形，下列选项中错误的是（ ）
A．BD=AE B．CB=BF
C．BE⊥CF D．BA平分∠CBF
5、如图，D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、AC的中点．若四边形ADEF是菱形，则△ABC必须满足的条件是（ ）
A．AB⊥AC B．AB=AC
C．AB=BC D．AC=BC
6、如图，在菱形ABCD中，AB=4，线段AD的垂直平分线交AC于点N，△CND的周长是10，则AC的长为 ．
优学学霸
建议用时：15分钟
1、如图，已知△ABC的顶点B、C为定点，A为动点（不在直线BC上），B′是点B关于直线AC的对称点，C′是点C关于直线AB的对称点，连接BC′、CB′、BB′、CC′．
（1）猜想线段BC′与CB′的数量关系，并证明你的结论；
（2）当点A运动到怎样的位置时，四边形BCB′C′为菱形？这样的位置有几个？请用语言对这样的位置进行描述（不用证明）；
（3）当点A在线段BC的垂直平分线（BC的中点及到BC的距离为的点除外上运动时，判断以点B、C、B′、C′为顶点的四边形的形状，画出相应的示意图．（不用证明）
2、已知等腰△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC交BC于D点，在线段AD上任取一点P（A点除外），过P点作EF∥AB，分别交AC，BC于E，F点，作PM∥AC，交AB于M点，连接ME．
（1）求证：四边形AEPM为菱形；
（2）当P点在何处时，菱形AEPM的面积为四边形EFBM面积的一半？
考场直播
1、如图，ABCD是一张平行四边形纸片，要求利用所学知识作出一个菱形，甲、乙两位同学的作法如下：则关于甲、乙两人的作法，下列判断正确的 （ ）
A．仅甲正确 B．仅乙正确
C．甲、乙均正确 D．甲、乙均错误
2、能够判定一个四边形是菱形的条件是（ ）
A．对角线互相垂直平分 B．对角线互相平分且相等
C．对角线相等且互相垂直 D．对角线互相垂直
3、如图，菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，且AC=8，BD=6，则菱形ABCD的高DH= ．
自我挑战
建议用时：30分钟
1、如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E为BC的中点，则下列等式中一定成立的是（ ）
A．AB=BE B．AC=2AB
C．AB=2OE D．AC=2OE
2、如图所示，在菱形ABCD中，∠BAD=70°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，垂足为E，连接DF，则∠CDF等于（ ）
A．75° B．70°
C．60° D．55°
3、如图，菱形ABCD中，∠A=60°，周长是16，则菱形的面积是（ ）
A．16 B．16
C．16 D．8
4、如图，等边△ABC沿射线BC向右平移到△DCE的位置，连接AD，BD，则下列结论：
①AD=BC=CE； ②BD，AC互相平分；
③四边形ACED是菱形；
④四边形ABED的面积为AB2．
其中正确的个数是（ ）
A．4个 B．3个
C．2个 D．1个
5、如图，下列选项中能使平行四边形ABCD是菱形的条件有（ ）
①AC⊥BD ②BA⊥AD ③AB=BC ④AC=BD．
A．①③ B．②③
C．③④ D．①②③
6、在△ABC中，点D，E，F分别是边BC，CA，AB的中点，使四边形AFDE为菱形，应添加的条件是 （添加一个条件即可）．
7、如图，在菱形ABCD中，E，F分别是AD，BD的中点，若EF=2，则菱形ABCD的周长是 ．
8、如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E、F在对角线AC上，且∠ABF=∠CDE，
AE=CF．
（1）求证：△ABF≌△CDE；
（2）当四边形ABCD满足什么条件时，四边形BFDE是菱形？为什么？
平行四边形
四边形
学霸说：
（1）菱形具有平行四边形的一切性质；
（2）菱形的四条边都相等；
（3）菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；
（4）掌握菱形的性质和三角形中位线定理。
套路揭密：
（1）考查菱形的判定、平行四边形的判定．矩形的判断等知识，解题的关键是记住这些知识灵活解决问题，所有中考常考题型；
（2）考查菱形的对角线互相垂直平分的性质，勾股定理，根据菱形的面积的两种表示方法列出方程是解题的关键。
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【专题讲义】北师大版九年级数学上册
第1讲 菱形综合复习专题精讲（解析版）
参考答案
典例分析
例1、菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ）
A．对边相等 B．对角相等
C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直
【解析】选D．
例2、如图，四边形ABCD是菱形，AC=8，DB=6，DH⊥AB于H，则DH等于（ ）
A． B．
C．5 D．4
【解析】选A．
例3、如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若AB=2，∠ABC=60°，则BD的长为（ ）
A．2 B．3 C． D．2
【解析】选：D．
例4、如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AC=8，BD=6，过点O作OH⊥AB，垂足为H，则点O到边AB的距离OH等于（ ）
A．2 B． C． D．
【解析】∵四边形ABCD是菱形，AC=8，BD=6，
∴BO=3，AO=4，AO⊥BO，∴AB==5．
∵OH⊥AB，∴AO?BO=AB?OH，∴OH=，故选D．
例5、如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个锐角为60°的菱形，剪口与折痕所成的角a的度数应为 30°或60° ．
【解析】∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ABD=∠ABC，∠BAC=∠BAD，AD∥BC，
∵∠BAC=60°，∴∠BAD=180°﹣∠ABC=180°﹣60°=120°，
∴∠ABD=30°，∠BAC=60°．
∴剪口与折痕所成的角a的度数应为30°或60°．
故答案为30°或60°．
例6、如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC=8，BD=6，OE⊥BC，垂足为点E，则OE= ．
【解析】∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，OB=OD=BD=3，OA=OC=AC=4，
在Rt△OBC中，∵OB=3，OC=4，∴BC==5，
∵OE⊥BC，∴OE?BC=OB?OC，∴OE==．故答案为．
例7、如图，在菱形ABCD中，点E为AB的中点，请只用无刻度的直尺作图
（1）如图1，在CD上找点F，使点F是CD的中点；
（2）如图2，在AD上找点G，使点G是AD的中点．
【解析】
如图所示：
举一反三
1、如图，菱形ABCD的周长为24cm，对角线AC、BD相交于O点，E是AD的中点，连接OE，则线段OE的长等于（ ）
A．3cm B．4cm
C．2.5cm D．2cm
【解析】∵菱形ABCD的周长为24cm，∴AB=24÷4=6cm，
∵对角线AC、BD相交于O点，∴OB=OD，
∵E是AD的中点，∴OE是△ABD的中位线，
∴OE=AB=×6=3cm．
故选A．
2、如图，在菱形ABCD中，∠BAD=120°，点E、F分别在边AB、BC上，△BEF与△GEF关于直线EF对称，点B的对称点是点G，且点G在边AD上．若EG⊥AC，AB=6，则FG的长为 3 ．
【解析】∵四边形ABCD是菱形，∠BAD=120°，
∴AB=BC=CD=AD，∠CAB=∠CAD=60°，
∴△ABC，△ACD是等边三角形，
∵EG⊥AC，∴∠AEG=∠AGE=30°，
∵∠B=∠EGF=60°，∴∠AGF=90°，∴FG⊥BC，
∴2?S△ABC=BC?FG，∴2××（6）2=6?FG，
∴FG=3．故答案为3．
3、如图，菱形ABCD中，E是对角线AC上一点．
（1）求证：△ABE≌△ADE；
（2）若AB=AE，∠BAE=36°，求∠CDE的度数．
【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，∠CAB=∠CAD，
在△ABE和△ADE中，，
∴△ABE≌△ADE（SAS）；
（2）解：∵AB=AE，∠BAE=36°，
∴∠AEB=∠ABE=，
∵△ABE≌△ADE，∴∠AED=∠AEB=72°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，
∴∠DCA=∠BAE=36°，
∴∠CDE=∠AED﹣∠DCA=72°﹣36°=36°．
典例分析
例1、如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连接AD，下列条件能够判定四边形ACED为菱形的是（ ）
A．AB=BC B．AC=BC
C．∠B=60° D．∠ACB=60°
【解析】∵将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，∴ACED，∴四边形ACDE为平行四边形，
当AC=BC时，则DE=EC，∴平行四边形ACED是菱形．故选：B．
例2、如图，在?ABCD中，对角线AC与BD交于点O，若增加一个条件，使?ABCD成为菱形，下列给出的条件不正确的是（ ）
A．AB=AD B．AC⊥BD
C．AC=BD D．∠BAC=∠DAC
【解析】选C．
例3、如图，已知△ABC，AB=AC，将△ABC沿边BC翻转，得到的△DBC与原△ABC拼成四边形ABDC，则能直接判定四边形ABDC是菱形的依据是（ ）
A．一组邻边相等的平行四边形是菱形
B．四条边相等的四边形是菱形
C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
D．对角线互相垂直的平分四边形是菱形
【解析】选B．
例4、如图，分别以直角△ABC的斜边AB，直角边AC为边向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE，F为AB的中点，DE与AB交于点G，EF与AC交于点H，∠ACB=90°，∠BAC=30°．给出如下结论：
①EF⊥AC；②四边形ADFE为菱形；③AD=4AG；④FH=BD；
其中正确结论的是（ ）
A．①②③ B．①②④
C．①③④ D．②③④
【解析】①正确，④正确；②不正确；③正确，选：C．
例5、如图，四边形ABCD是轴对称图形，且直线AC是对称轴，AB∥CD，则下列结论：①AC⊥BD；②AD∥BC；③四边形ABCD是菱形；④△ABD≌△CDB．其中正确的是 ①②③④ （只填写序号）
【解析】因为l是四边形ABCD的对称轴，AB∥CD，
则AD=AB，∠1=∠2，∠1=∠4，则∠2=∠4，∴AD=DC，
同理可得：AB=AD=BC=DC，所以四边形ABCD是菱形．
根据菱形的性质，可以得出以下结论：
所以①AC⊥BD，正确；②AD∥BC，正确；
③四边形ABCD是菱形，正确；
④在△ABD和△CDB中，∵，∴△ABD≌△CDB（SSS），正确．故答案为：①②③④．
例6、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D，E分别为AC，AB的中点，BF∥CE交DE的延长线于点F．
（1）求证：四边形ECBF是平行四边形；
（2）当∠A=30°时，求证：四边形ECBF是菱形．
【解析】证明：（1）∵D，E分别为边AC，AB的中点，
∴DE∥BC，即EF∥BC．
又∵BF∥CE，∴四边形ECBF是平行四边形．
（2）∵∠ACB=90°，∠A=30°，E为AB的中点，
∴CB=AB，CE=AB．∴CB=CE．
又由（1）知，四边形ECBF是平行四边形，∴四边形ECBF是菱形．
举一反三
1、如图，四边形ABCD中，对角线相交于点O，E、F、G、H分别是AD、BD、BC、AC的中点，要使四边形EFGH是菱形，则四边形ABCD需满足的条件是（ ）
A．AB=AD B．AC=BD
C．AD=BC D．AB=CD
【解析】选：D．
2、如图，已知AD是△ABC的角平分线，点E、F分别是边AC、AB的中点，连接DE、DF，要使四边形AEDF称为菱形，还需添加一个条件，这个条件可以是 AB=AC、∠B=∠C或AE=AF（答案不唯一） ．
【解析】由题意知，可添加：AB=AC．则三角形是等腰三角形，
由等腰三角形的性质知，顶角的平分线与底边上的中线重合，
即点D是BC的中点，∴DE，EF是三角形的中位线，∴DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF是平行四边形，∵AB=AC，点E，F分别是AB，AC的中点，
∴AE=AF，∴平行四边形AEDF为菱形．故答案为：AB=AC、∠B=∠C或AE=AF（答案不唯一）．
3、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线DE交BC于D，交AB于E，F在DE上，并且AF=CE．
（1）求证：四边形ACEF是平行四边形；
（2）当∠B满足什么条件时，四边形ACEF是菱形？请回答并证明你的结论．
【解析】（1）∵ED是BC的垂直平分线，∴EB=EC，ED⊥BC，
∴∠3=∠4，∵∠ACB=90°，∴FE∥AC，∴∠1=∠5，
∵∠2与∠4互余，∠1与∠3互余，∴∠1=∠2，
∴AE=CE，又∵AF=CE，∴△ACE和△EFA都是等腰三角形，
∴∠5=∠F，∴∠2=∠F，
∴在△EFA和△ACE中，∵，∴△EFA≌△ACE（AAS），
∴∠AEC=∠EAF，∴AF∥CE，∴四边形ACEF是平行四边形；
（2）当∠B=30°时，四边形ACEF是菱形．证明如下：∵∠B=30°，∠ACB=90°，
∴∠1=∠2=60°，∴∠AEC=60°，∴AC=EC∴平行四边形ACEF是菱形．
课堂闯关
初出茅庐
建议用时：10分钟
1、如图，在菱形ABCD中，AC=8，BD=6，则△ABD的周长等于（ ）
A．18 B．16
C．15 D．14
【解析】选B．
2、如图，菱形ABCD的两条对角线相交于点O，若AC=6，BD=4，则菱形ABCD的周长是（ ）
A．24 B．16
C．2 D．4
【解析】选：D．
3、某校的校园内有一个由两个相同的正六边形（边长为2.5m）围成的花坛，如图中的阴影部分所示，校方先要将这个花坛在原有的基础上扩建成一个菱形区域如图所示，并在新扩充的部分种上草坪，则扩建后菱形区域的周长为（ ）
A．20m B．25m
C．30m D．35m
【解析】如图，∵花坛是由两个相同的正六边形围成，
∴∠FGM=∠GMN=120°，GM=GF=EF，∴∠BMG=∠BGM=60°，
∴△BMG是等边三角形，∴BG=GM=2.5（m），
同理可证：AF=EF=2.5（m）∴AB=BG+GF+AF=2.5×3=7.5（m），
∴扩建后菱形区域的周长为7.5×4=30（m），故选：C．
4、如图，两个完全相同的三角尺ABC和DEF在直线l上滑动，可以添加一个条件，使四边形CBFE为菱形，下列选项中错误的是（ ）
A．BD=AE B．CB=BF
C．BE⊥CF D．BA平分∠CBF
【解析】选：A．
5、如图，D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、AC的中点．若四边形ADEF是菱形，则△ABC必须满足的条件是（ ）
A．AB⊥AC B．AB=AC
C．AB=BC D．AC=BC
【解析】选B．
6、如图，在菱形ABCD中，AB=4，线段AD的垂直平分线交AC于点N，△CND的周长是10，则AC的长为 6 ．
【解析】如图，∵四边形ABCD是菱形，AB=4，∴AB=CD=4，
∵MN垂直平分AD，∴DN=AN，
∵△CND的周长是10，
∴CD+CN+DN=CD+CN+AN=CD+AC=10，∴AC=6，故答案为：6．
优学学霸
建议用时：15分钟
1、如图，已知△ABC的顶点B、C为定点，A为动点（不在直线BC上），B′是点B关于直线AC的对称点，C′是点C关于直线AB的对称点，连接BC′、CB′、BB′、CC′．
（1）猜想线段BC′与CB′的数量关系，并证明你的结论；
（2）当点A运动到怎样的位置时，四边形BCB′C′为菱形？这样的位置有几个？请用语言对这样的位置进行描述（不用证明）；
（3）当点A在线段BC的垂直平分线（BC的中点及到BC的距离为的点除外上运动时，判断以点B、C、B′、C′为顶点的四边形的形状，画出相应的示意图．（不用证明）
【解析】（1）猜想：BC′=CB′
∵B′是点B关于直线AC的对称点，∴AC垂直平分BB′
∴BC=B′C，同理BC=BC′，∴BC′=CB′
（2）要使BCB′C′是菱形
根据菱形的性质，对角线互相垂直平分
∵B′是点B关于直线AC的对称点，C′是点C关于直线AB的对称点
∴AC垂直平分BB′AB垂直平分CC′，∴BB′、CC′应该同时过A点
∴∠BAC=90°，∴只要AB⊥AC即可满足要求，这样的位置有无数个
（3）如图，当A是BC的中点时，没有形成四边形
当A到BC的距离为时，∵∠ABC∠ACB=30°，∠BAD=∠CAD=60°，
∠B′BA=∠BB′A=∠BAD=30°，∠C′CA=∠CC′A=∠CAD=30°，
∴∠B′BC=∠B′CB=∠BB′C=60°，
∴当A到BC的距离为时，△BB′C是等边三角形．
当BC的中点及到BC的距离为的点除外时，
∵∠BOC=B′OC′，OB=OC，OB′=OC′，
∴∠OBC=∠OCB=∠OB'C'=∠OC′B′，
∴BC∥B′C′，
∵BC′不平行CB′BC′=CB′，
四边形BCB′C′为等腰梯形．
2、已知等腰△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC交BC于D点，在线段AD上任取一点P（A点除外），过P点作EF∥AB，分别交AC，BC于E，F点，作PM∥AC，交AB于M点，连接ME．
（1）求证：四边形AEPM为菱形；
（2）当P点在何处时，菱形AEPM的面积为四边形EFBM面积的一半？
【解析】（1）证明：∵EF∥AB，PM∥AC，∴四边形AEPM为平行四边形．
∵AB=AC，AD平分∠CAB，∴∠CAD=∠BAD，
∵∠BAD=∠EPA，∴∠CAD=∠EPA，
∴EA=EP，∴四边形AEPM为菱形．
（2）解：P为EF中点时，S菱形AEPM=S四边形EFBM
∵四边形AEPM为菱形，∴AD⊥EM，
∵AD⊥BC，∴EM∥BC，
又∵EF∥AB，∴四边形EFBM为平行四边形．
作EN⊥AB于N，则S菱形AEPM=EP?EN=EF?EN=S四边形EFBM．
考场直播
1、如图，ABCD是一张平行四边形纸片，要求利用所学知识作出一个菱形，甲、乙两位同学的作法如下：则关于甲、乙两人的作法，下列判断正确的 （ ）
A．仅甲正确 B．仅乙正确
C．甲、乙均正确 D．甲、乙均错误
【解析】选：C．
2、能够判定一个四边形是菱形的条件是（ ）
A．对角线互相垂直平分 B．对角线互相平分且相等
C．对角线相等且互相垂直 D．对角线互相垂直
【解析】选A
3、如图，菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，且AC=8，BD=6，则菱形ABCD的高DH= 4.8 ．
【解析】在菱形ABCD中，AC⊥BD，
∵AC=8，BD=6，∴OA=AC=×8=4，OB=BD=×6=3，
在Rt△AOB中，AB==5，
∵DH⊥AB，∴菱形ABCD的面积=AC?BD=AB?DH，
即×6×8=5?DH，解得DH=4.8，故答案为：4.8．
自我挑战
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1、如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E为BC的中点，则下列等式中一定成立的是（ ）
A．AB=BE B．AC=2AB
C．AB=2OE D．AC=2OE
【解析】选C．
2、如图所示，在菱形ABCD中，∠BAD=70°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，垂足为E，连接DF，则∠CDF等于（ ）
A．75° B．70°
C．60° D．55°
【解析】选A．
3、如图，菱形ABCD中，∠A=60°，周长是16，则菱形的面积是（ ）
A．16 B．16
C．16 D．8
【解析】选D．
4、如图，等边△ABC沿射线BC向右平移到△DCE的位置，连接AD，BD，则下列结论：
①AD=BC=CE；
②BD，AC互相平分；
③四边形ACED是菱形；
④四边形ABED的面积为AB2．
其中正确的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【解析】①②③④正确，选A．
5、如图，下列选项中能使平行四边形ABCD是菱形的条件有（ ）
①AC⊥BD ②BA⊥AD ③AB=BC ④AC=BD．
A．①③ B．②③
C．③④ D．①②③
【解析】选：A．
6、在△ABC中，点D，E，F分别是边BC，CA，AB的中点，使四边形AFDE为菱形，应添加的条件是 AF=AE （添加一个条件即可）．
【解析】添加AF=AE，
∵点D，E，F分别是边BC，CA，AB的中点，
∴DF∥AC，DE∥AB，∴四边形AFDE为平行四边形，
∵AF=AE，∴四边形AFDE为菱形，故答案为：AF=AE．
7、如图，在菱形ABCD中，E，F分别是AD，BD的中点，若EF=2，则菱形ABCD的周长是 16 ．
【解析】∵E，F分别是AD，BD的中点，∴EF为△ABD的中位线，
∴AB=2EF=4，
∵四边形ABCD为菱形，∴AB=BC=CD=DA=4，
∴菱形ABCD的周长=4×4=16．故答案为16．
8、如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E、F在对角线AC上，且∠ABF=∠CDE，
AE=CF．
（1）求证：△ABF≌△CDE；
（2）当四边形ABCD满足什么条件时，四边形BFDE是菱形？为什么？
【解析】（1）证明：∵AB∥CD，∴∠BAC=∠DCA．
∵AE=CF，∴AE+EF=CF+EF，即AF=CE．
在△ABF和△CDE中，，
又∵∠ABF=∠CDE，∴△ABF≌△CDE（AAS）；
（2）解：当四边形ABCD满足AB=AD时，四边形BEDF是菱形．理由如下：
连接BD交AC于点O，如图所示：
由（1）得：△ABF≌△CDE，
∴AB=CD，BF=DE，∠AFB=∠CED，
∴BF∥DE．
∵AB∥CD，AB=CD，∴四边形ABCD是平行四边形．
又∵AB=AD，∴平行四边形ABCD是菱形．
∴BD⊥AC．
∵BF=DE，BF∥DE，
∴四边形BEDF是平行四边形，∴四边形BEDF是菱形．
学霸说：
（1）菱形具有平行四边形的一切性质；
（2）菱形的四条边都相等；
（3）菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；
（4）掌握菱形的性质和三角形中位线定理。
套路揭密：
（1）考查菱形的判定、平行四边形的判定．矩形的判断等知识，解题的关键是记住这些知识灵活解决问题，所有中考常考题型；
（2）考查菱形的对角线互相垂直平分的性质，勾股定理，根据菱形的面积的两种表示方法列出方程是解题的关键。
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