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【专题讲义】北师大版九年级数学上册
第2讲 矩形综合复习专题精讲（提高版）
= 温故知新
复习平行四边形的性质
边 对边相等，对边平行
角 对角相等，邻角互补
对角线 对角线互相平分
智慧乐园
活动一：拿出自制平行四边形学具，分组活动,交流回答下列问题
问题一：平行四边形在拖动过程中，什么在发生变化？
问题二：平行四边形的一个内角由锐角变为钝角的过程中，会发生什么特殊情况？这时的图形是什么图形？
INCLUDEPICTURE "http://www.cbe21.com/subject/maths/images/030201/281/281002.jpg" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://www.cbe21.com/subject/maths/images/030201/281/281002.jpg" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://www.cbe21.com/subject/maths/images/030201/281/281002.jpg" \* MERGEFORMATINET
学生归纳得出矩形定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形
活动二：矩形是一个特殊的平行四边形，除了具有平行四边形的所有性质外，还有哪些特
殊性质呢？(小组讨论，得出猜测)
猜想1：矩形的四个角都是直角
猜想2：矩形的对角线相等
知识要点一
矩形的定义及性质
（1）矩形的定义
定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
注意：①矩形一定是平行四边形，但平行四边形不一定是矩形；
②矩形必须具备的两个条件：它是一个平行四边形，它有一个直角。
（2）矩形的性质：①矩形的四个角都是直角；②矩形的对角线相等；
③矩形具有平行四边形的所有性质；④矩形是轴对称图形。
（3）直角三角形斜边上的中线
直角三角形斜边上中线的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
典例分析
例1、如图，在矩形ABCD中，点O为对角线AC、BD的交点，点E为BC上一点，连接EO，并延长交AD于点F，则图中全等三角形共有（ ）
A．3对 B．4对
C．5对 D．6对
例2、如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，AD=2，DE=2，则四边形OCED的面积（ ）
A．2 B．4
C．4 D．8
例3、如图所示，矩形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于E，∠CAE=15°，则下面的结论：
①△ODC是等边三角形；②BC=2AB；③∠AOE=135°；④S△AOE=S△COE，
其中正确结论有（ ）
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
例4、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D，E，F分别为AB，AC，BC的中点，则DC和EF的大小关系是（ ）
A．DC＞EF B．DC＜EF
C．DC=EF D．无法比较
例5、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，将边BC沿斜边上的中线CD折叠到CB′，若
∠B=50°，则∠ACB′= ．
例6、如图，在矩形ABCD中，AB=5，AD=3，点P是AB边上一点（不与A，B重合），连接CP，过点P作PQ⊥CP交AD边于点Q，连接CQ．
（1）当△CDQ≌△CPQ时，求AQ的长；
（2）取CQ的中点M，连接MD，MP，若MD⊥MP，求AQ的长．
举一反三
1、如图，矩形ABCD中，O为AC中点，过点O的直线分别与AB、CD交于点E、F，连结BF交AC于点M，连结DE、BO．若∠COB=60°，FO=FC，则下列结论：①FB垂直平分OC；②△EOB≌△CMB；③DE=EF；④S△AOE：S△BCM=2：3．其中正确结论的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
2、如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D为斜边AC的中点，BD=6cm，则AC的长为（ ）
A．3 B．6
C． D．12
3、已知：如图，矩形ABCD中，AC与BD交于O点，若点E是AO的中点，点F是OD的中点．求证：BE=CF．
知识要点二
矩形的判定
判定方法
（1）方法一：（定义判断）有一个角是直角的平行四边形是矩形；
（2）方法二：（对角线判定）对角线相等的平行四边形是矩形；或对角线相等且互相
平分的四边形是矩形；
（3）方法三：（角判定）有三个角是直角的平行四边形是矩形。
典例分析
例1、在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是一个学习小组拟定的方案，其中正确的是（ ）
A．测量对角线是否相互平分 B．测量两组对边是否分别相等
C．测量对角线是否相等 D．测量其中三个角是否都为直角
例2、如图，要使?ABCD成为矩形，需添加的条件是（ ）
A．AB=BC B．AO=BO
C．∠1=∠2 D．AC⊥BD
例3、如图，在锐角△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过O作直线MN∥BC，设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F，下列结论中正确的是（ ）
①OE=OF； ②CE=CF； ③若CE=12，CF=5，则OC的长为6；
④当AO=CO时，四边形AECF是矩形．
A．①② B．①④
C．①③④ D．②③④
例4、在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，DF=BE，连接AF，BF．
（1）求证：四边形BFDE为矩形；
若AE=3，BF=4，AF平分∠DAB，求BE的长．
举一反三
1、如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AC=BD，则下列条件能判定四边形ABCD为矩形的是（ ）
A．AB=CD B．OA=OC，OB=OD
C．AC⊥BD D．AB∥CD，AD=BC
2、如图，已知MN∥PQ，EF与MN，PQ分别交于A、C两点，过A、C两点作两组内错角的平分线，分别交于点B、D，则四边形ABCD是 ．
3、如图，将?ABCD的边AB延长到点E，使BE=AB，连接DE，交边BC于点F．
（1）求证：△BEF≌△CDF；
（2）连接BD、CE，若∠BFD=2∠A，求证：四边形BECD是矩形．
课堂闯关
初出茅庐
建议用时：10分钟
1、如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AC=4，则四边形OCED的周长为（ ）
A．4 B．8
C．10 D．12
2、如图，矩形ABCD的顶点A、C分别在直线a、b上，且a∥b，∠1=60°，则∠2的度数为（ ）
A．30° B．45°
C．60° D．75°
3、下列说法正确的是（ ）
A．对角线相等的四边形是矩形 B．对角线互相平分的四边形是平行四边形
C．平行四边形的对角线相等 D．有一个角是直角的四边形是矩形
4、如图，在平行四边形ABCD中，延长AD到点E，使DE=AD，连接EB，EC，DB请你添加一个条件 ，使四边形DBCE是矩形．
5、如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，将△BCD沿CD折叠，B点恰好落在AB的中点E处，则∠A等于 度．
6、如图，在直角三角形ABC中，斜边上的中线CD=AC，则∠B等于 ．
优学学霸
建议用时：15分钟
1、如图，四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，E、F分别是AC、BD的中点，
∠BAC=15°，∠DAC=45°，则的值为 ．
2、如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=3，M是边CD上一点，将△ADM沿直线AM对折，得到△ANM．
（1）当AN平分∠MAB时，求DM的长；
（2）连接BN，当DM=1时，求△ABN的面积；
（3）当射线BN交线段CD于点F时，求DF的最大值．
考场直播
如图，已知四边形ABCD是平行四边形，对角线相交于点O，要使它成为矩形，那么需要添加的条件可以是（ ）
A．AB=BC B．AB=AC
C．AC=BD D．AC⊥BD
2、如图，在△ABC中，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，BE与CD相交于点F，BF=2CE，H是BC边的中点，连接DH与BE相交于点G．下列结论中：①∠A=67.5°；②DF=AD；③BE=2BG；④DH⊥BC，正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
3、如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，垂足为点E，若∠EAC=2∠CAD，则∠BAE= 度．
自我挑战
建议用时：30分钟
1、如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它成为矩形，那么需要添加的条件是（ ）
A．AB=CD B．AD=BC
C．AB=BC D．AC=BD
2、如图，在矩形ABCD中（AD＞AB），点E是BC上一点，且DE=DA，AF⊥DE，垂足为点F，在下列结论中，不一定正确的是（ ）
A．△AFD≌△DCE B．AF=AD
C．AB=AF D．BE=AD﹣DF
3、如图，将矩形纸片ABCD沿其对角线AC折叠，使点B落到点B′的位置，AB′与CD交于点E，若AB=8，AD=3，则图中阴影部分的周长为（ ）
A．11 B．16 C．19 D．22
4、如图，在矩形ABCD中，AB=3，对角线AC，BD相交于点O，AE垂直平分OB于点E，则AD的长为 ．
5、如图是一张长方形纸片ABCD，已知AB=8，AD=7，E为AB上一点，AE=5，现要剪下一张等腰三角形纸片（△AEP），使点P落在长方形ABCD的某一条边上，则等腰三角形AEP的底边长是 ．
6、如图，AC为矩形ABCD的对角线，将边AB沿AE折叠，使点B落在AC上的点M处，将边CD沿CF折叠，使点D落在AC上的点N处．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）若AB=6，AC=10，求四边形AECF的面积．
7、如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于F，且AF=BD，连接BF．
（1）求证：D是BC的中点．
（2）如果AB=AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论．
8、如图，矩形ABCD中，点E为矩形的边CD上任意一点，点P为线段AE中点，连接BP并延长交边AD于点F，点M为边CD上一点，连接FM，且∠1=∠2．
（1）若AD=2，DE=1，求AP的长；
（2）求证：PB=PF+FM．
学霸说：
熟练掌握矩形的性质，三角形的全等判定及性质，勾股定理的应用，直角三角形斜边上中线的性质等是解题的关键；
套路揭密：
（1）考查矩形的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法；
（2）几何图形中，仔细分析图形的构成并熟练掌握各种性质是解题的关键。
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【专题讲义】北师大版九年级数学上册
第2讲 矩形综合复习专题精讲（解析版）
参考答案
= 温故知新
复习平行四边形的性质
边 对边相等，对边平行
角 对角相等，邻角互补
对角线 对角线互相平分
智慧乐园
活动一：拿出自制平行四边形学具，分组活动,交流回答下列问题
问题一：平行四边形在拖动过程中，什么在发生变化？
问题二：平行四边形的一个内角由锐角变为钝角的过程中，会发生什么特殊情况？这时的图形是什么图形？
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学生归纳得出矩形定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形
活动二：矩形是一个特殊的平行四边形，除了具有平行四边形的所有性质外，还有哪些特
殊性质呢？(小组讨论，得出猜测)
猜想1：矩形的四个角都是直角
猜想2：矩形的对角线相等
知识要点一
矩形的定义及性质
（1）矩形的定义
定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
注意：①矩形一定是平行四边形，但平行四边形不一定是矩形；
②矩形必须具备的两个条件：它是一个平行四边形，它有一个直角。
（2）矩形的性质：①矩形的四个角都是直角；②矩形的对角线相等；
③矩形具有平行四边形的所有性质；④矩形是轴对称图形。
（3）直角三角形斜边上的中线
直角三角形斜边上中线的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
典例分析
例1、如图，在矩形ABCD中，点O为对角线AC、BD的交点，点E为BC上一点，连接EO，并延长交AD于点F，则图中全等三角形共有（ ）
A．3对 B．4对
C．5对 D．6对
【解析】选D
例2、如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，AD=2，DE=2，则四边形OCED的面积（ ）
A．2 B．4
C．4 D．8
【解析】 选A
例3、如图所示，矩形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于E，∠CAE=15°，则下面的结论：
①△ODC是等边三角形；②BC=2AB；③∠AOE=135°；④S△AOE=S△COE，
其中正确结论有（ ）
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
【解析】①正确；③正确；④正确；故选C．
例4、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D，E，F分别为AB，AC，BC的中点，则DC和EF的大小关系是（ ）
A．DC＞EF B．DC＜EF
C．DC=EF D．无法比较
【解析】∵E、F分别为AC、BC的中点，∴EF=AB，
在Rt△ABC中，D是AB的中点，∴CD=AB，∴CD=EF，故选：C．
例5、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，将边BC沿斜边上的中线CD折叠到CB′，若
∠B=50°，则∠ACB′= 10° ．
【解析】∵∠ACB=90°，∠B=50°，∴∠A=40°，
∵∠ACB=90°，CD是斜边上的中线，∴CD=BD，CD=AD，
∴∠BCD=∠B=50°，∠DCA=∠A=40°，
由翻折变换的性质可知，∠B′CD=∠BCD=50°，
∴∠ACB′=∠B′CD﹣∠DCA=10°，故答案为：10°．
例6、如图，在矩形ABCD中，AB=5，AD=3，点P是AB边上一点（不与A，B重合），连接CP，过点P作PQ⊥CP交AD边于点Q，连接CQ．
（1）当△CDQ≌△CPQ时，求AQ的长；
（2）取CQ的中点M，连接MD，MP，若MD⊥MP，求AQ的长．
【解析】（1）∵△CDQ≌△CPQ，∴DQ=PQ，PC=DC，
∵AB=DC=5，AD=BC=3，∴PC=5，在Rt△PBC中，PB==4，
∴PA=AB﹣PB=5﹣4=1，
设AQ=x，则DQ=PQ=3﹣x，在Rt△PAQ中，（3﹣x）2=x2+12，解得x=，∴AQ=．
（2）如图2，过M作EF⊥CD于F，则EF⊥AB，∵MD⊥MP，∴∠PMD=90°，
∴∠PME+∠DMF=90°，∵∠FDM+∠DMF=90°，∴∠MDF=∠PME，
∵M是QC的中点，∴DM=QC，PM=QC，∴DM=PM，
在△MDF和△PME中，，∴△MDF≌△PME（AAS），∴ME=DF，PE=MF，
∵EF⊥CD，AD⊥CD，∴EF∥AD，
∵QM=MC，∴DF=CF=DC=，
∴ME=，
∵ME是梯形ABCQ的中位线，
∴2ME=AQ+BC，即5=AQ+3，∴AQ=2．
举一反三
1、如图，矩形ABCD中，O为AC中点，过点O的直线分别与AB、CD交于点E、F，连结BF交AC于点M，连结DE、BO．若∠COB=60°，FO=FC，则下列结论：①FB垂直平分OC；②△EOB≌△CMB；③DE=EF；④S△AOE：S△BCM=2：3．其中正确结论的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【解析】
①正确；
②错误；
③正确；
④正确；
所以其中正确结论的个数为3个；故选B
2、如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D为斜边AC的中点，BD=6cm，则AC的长为（ ）
A．3 B．6
C． D．12
【解析】选：D．
3、已知：如图，矩形ABCD中，AC与BD交于O点，若点E是AO的中点，点F是OD的中点．求证：BE=CF．
【解析】∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OC=AC，OB=OD=BD，AC=BD，∴OA=OC=OB=OD，
∵点E是AO的中点，点F是OD的中点∴OE=OA，OF=OD，∴OE=OF，
在△OBE和△OCF中，，∴△OBE≌△OCF（SAS），∴BE=CF．
知识要点二
矩形的判定
判定方法
（1）方法一：（定义判断）有一个角是直角的平行四边形是矩形；
（2）方法二：（对角线判定）对角线相等的平行四边形是矩形；或对角线相等且互相
平分的四边形是矩形；
（3）方法三：（角判定）有三个角是直角的平行四边形是矩形。
典例分析
例1、在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是一个学习小组拟定的方案，其中正确的是（ ）
A．测量对角线是否相互平分 B．测量两组对边是否分别相等
C．测量对角线是否相等 D．测量其中三个角是否都为直角
【解析】选D．
例2、如图，要使?ABCD成为矩形，需添加的条件是（ ）
A．AB=BC B．AO=BO
C．∠1=∠2 D．AC⊥BD
【解析】选B．
例3、如图，在锐角△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过O作直线MN∥BC，设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F，下列结论中正确的是（ ）
①OE=OF； ②CE=CF； ③若CE=12，CF=5，则OC的长为6；
④当AO=CO时，四边形AECF是矩形．
A．①② B．①④
C．①③④ D．②③④
【解析】①正确；②错误；③错误；④正确；故选B．
例4、在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，DF=BE，连接AF，BF．
（1）求证：四边形BFDE为矩形；
（2）若AE=3，BF=4，AF平分∠DAB，求BE的长．
【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴DF∥BE，
又∵DF=BE，∴四边形BFDE是平行四边形，
又∵DE⊥AB，∴∠DEB=90°，
∴平行四形BFDE是矩形；
（2）解：∵四边形BFDE是矩形，
∴DF∥AB，DE=BF=4，DF=BE，∴∠DAF=∠FAB，
又∵AF平分∠DAB，∴∠DAF=∠FAB，∴∠DFA=∠DAF，∴DA=DF，
又∵DE⊥AB，∴∠DEA=90°，
在Rt△ADE中
AD===5，∴BE=5．
举一反三
1、如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AC=BD，则下列条件能判定四边形ABCD为矩形的是（ ）
A．AB=CD B．OA=OC，OB=OD
C．AC⊥BD D．AB∥CD，AD=BC
【解析】选B．
2、如图，已知MN∥PQ，EF与MN，PQ分别交于A、C两点，过A、C两点作两组内错角的平分线，分别交于点B、D，则四边形ABCD是 矩形 ．
【解析】矩形．
3、如图，将?ABCD的边AB延长到点E，使BE=AB，连接DE，交边BC于点F．
（1）求证：△BEF≌△CDF；
（2）连接BD、CE，若∠BFD=2∠A，求证：四边形BECD是矩形．
【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∵AB=CD，AB∥CD．∵BE=AB，∴BE=CD．
∵AB∥CD，∴∠BEF=∠CDF，∠EBF=∠DCF，
在△BEF与△CDF中，，
∴△BEF≌△CDF（ASA）；
（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD，∠A=∠DCB，
∵AB=BE，∴CD=EB，∴四边形BECD是平行四边形，∴BF=CF，EF=DF，
∵∠BFD=2∠A，∴∠BFD=2∠DCF，∴∠DCF=∠FDC，∴DF=CF，
∴DE=BC，∴四边形BECD是矩形．
课堂闯关
初出茅庐
建议用时：10分钟
1、如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AC=4，则四边形OCED的周长为（ ）
A．4 B．8
C．10 D．12
【解析】选B
2、如图，矩形ABCD的顶点A、C分别在直线a、b上，且a∥b，∠1=60°，则∠2的度数为（ ）
A．30° B．45°
C．60° D．75°
【解析】过点D作DE∥a，∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=∠ADC=90°，
∴∠3=90°﹣∠1=90°﹣60°=30°，
∵a∥b，∴DE∥a∥b，∴∠4=∠3=30°，∠2=∠5，∴∠2=90°﹣30°=60°．故选C．
3、下列说法正确的是（ ）
A．对角线相等的四边形是矩形 B．对角线互相平分的四边形是平行四边形
C．平行四边形的对角线相等 D．有一个角是直角的四边形是矩形
【解析】选B．
4、如图，在平行四边形ABCD中，延长AD到点E，使DE=AD，连接EB，EC，DB请你添加一个条件 EB=DC ，使四边形DBCE是矩形．
【解析】答案是：EB=DC．
5、如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，将△BCD沿CD折叠，B点恰好落在AB的中点E处，则∠A等于 30 度．
【解析】∵在Rt△ABC中，CE是斜边AB的中线，
∴AE=CE，∴∠A=∠ACE，
∵△CED是由△CBD折叠而成，∴∠B=∠CED，
∵∠CEB=∠A+∠ACE=2∠A，∴∠B=2∠A，
∵∠A+∠B=90°，∴∠A=30°．故答案为：30．
6、如图，在直角三角形ABC中，斜边上的中线CD=AC，则∠B等于 30° ．
【解析】∵CD是斜边AB上的中线，∴CD=AD，又CD=AC，
∴△ADC是等边三角形，∴∠A=60°，
∴∠B=90°﹣∠A=30°．故答案为：30°．
优学学霸
建议用时：15分钟
1、如图，四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，E、F分别是AC、BD的中点，
∠BAC=15°，∠DAC=45°，则的值为 ．
【解析】连接BE，ED，
∵∠ABC=∠ADC=90°且E为AC中点，∴DE=AC，BE=AC，
∴BE=DE，∵F为BD中点，∴EF⊥BD，
∵∠ABC=∠ADC=90°，∴A，B，C，D四点共圆，
∵∠BAC=15°，∠DAC=45°，∴∠BAD=60°，∴∠BED=120°，∴∠FED=60°，
∴EF=DE，
∵CD=DE，
∴=．
故答案为：．
2、如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=3，M是边CD上一点，将△ADM沿直线AM对折，得到△ANM．
（1）当AN平分∠MAB时，求DM的长；
（2）连接BN，当DM=1时，求△ABN的面积；
（3）当射线BN交线段CD于点F时，求DF的最大值．
【解析】（1）由折叠性质得：△ANM≌△ADM，∴∠MAN=∠DAM，
∵AN平分∠MAB，∠MAN=∠NAB，
∴∠DAM=∠MAN=∠NAB，
∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB=90°，
∴∠DAM=30°，
∴DM=AD?tan∠DAM=3×tan30°=3×=；
（2）延长MN交AB延长线于点Q，如图1所示：
∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥DC，∴∠DMA=∠MAQ，
由折叠性质得：△ANM≌△ADM，
∴∠DMA=∠AMQ，AN=AD=3，MN=MD=1，∴∠MAQ=∠AMQ，∴MQ=AQ，
设NQ=x，则AQ=MQ=1+x，
∵∠ANM=90°，∴∠ANQ=90°，
在Rt△ANQ中，由勾股定理得：AQ2=AN2+NQ2，∴（x+1）2=32+x2，解得：x=4，
∴NQ=4，AQ=5，∵AB=4，AQ=5，∴S△NAB=S△NAQ=×AN?NQ=××3×4=；
（3）过点A作AH⊥BF于点H，如图2所示：
∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥DC，∴∠HBA=∠BFC，
∵∠AHB=∠BCF=90°，∴△ABH∽△BFC，∴=，∵AH≤AN=3，AB=4，
∴当点N、H重合（即AH=AN）时，AH最大，BH最小，CF最小，DF最大，此时点M、F重合，B、N、M三点共线，如图3所示：由折叠性质得：AD=AH，∵AD=BC，∴AH=BC，
在△ABH和△BFC中，，∴△ABH≌△BFC（AAS），∴CF=BH，
由勾股定理得：BH===，∴CF=，
∴DF的最大值=DC﹣CF=4﹣．
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如图，已知四边形ABCD是平行四边形，对角线相交于点O，要使它成为矩形，那么需要添加的条件可以是（ ）
A．AB=BC B．AB=AC
C．AC=BD D．AC⊥BD
【解析】选：C．
2、如图，在△ABC中，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，BE与CD相交于点F，BF=2CE，H是BC边的中点，连接DH与BE相交于点G．下列结论中：①∠A=67.5°；②DF=AD；③BE=2BG；④DH⊥BC，正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
【解析】①正确；②正确；④正确；③错误．故选C．
3、如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，垂足为点E，若∠EAC=2∠CAD，则∠BAE= 22.5 度．
【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD，OA=OC，OB=OD，
∴OA=OB═OC，∴∠OAD=∠ODA，∠OAB=∠OBA，
∴∠AOE=∠OAD+∠ODA=2∠OAD，
∵∠EAC=2∠CAD，∴∠EAO=∠AOE，
∵AE⊥BD，∴∠AEO=90°，∴∠AOE=45°，
∴∠OAB=∠OBA==67.5°，∴∠BAE=∠OAB﹣∠OAE=22.5°．答案为22.5°．
自我挑战
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1、如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它成为矩形，那么需要添加的条件是（ ）
A．AB=CD B．AD=BC
C．AB=BC D．AC=BD
【解析】选：D．
2、如图，在矩形ABCD中（AD＞AB），点E是BC上一点，且DE=DA，AF⊥DE，垂足为点F，在下列结论中，不一定正确的是（ ）
A．△AFD≌△DCE B．AF=AD
C．AB=AF D．BE=AD﹣DF
【解析】选B．
3、如图，将矩形纸片ABCD沿其对角线AC折叠，使点B落到点B′的位置，AB′与CD交于点E，若AB=8，AD=3，则图中阴影部分的周长为（ ）
A．11 B．16 C．19 D．22
【解析】选D．
4、如图，在矩形ABCD中，AB=3，对角线AC，BD相交于点O，AE垂直平分OB于点E，则AD的长为 3 ．
【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴OB=OD，OA=OC，AC=BD，
∴OA=OB，∵AE垂直平分OB，∴AB=AO，
∴OA=AB=OB=3，∴BD=2OB=6，
∴AD===3；
故答案为：3．
5、如图是一张长方形纸片ABCD，已知AB=8，AD=7，E为AB上一点，AE=5，现要剪下一张等腰三角形纸片（△AEP），使点P落在长方形ABCD的某一条边上，则等腰三角形AEP的底边长是 5或4或5 ．
【解析】如图所示：
①当AP=AE=5时，∵∠BAD=90°，∴△AEP是等腰直角三角形，
∴底边PE=AE=5；
②当PE=AE=5时，∵BE=AB﹣AE=8﹣5=3，∠B=90°，
∴PB==4，∴底边AP===4；
③当PA=PE时，底边AE=5；
综上所述：等腰三角形AEP的对边长为5或4或5；
故答案为：5或4或5．
6、如图，AC为矩形ABCD的对角线，将边AB沿AE折叠，使点B落在AC上的点M处，将边CD沿CF折叠，使点D落在AC上的点N处．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）若AB=6，AC=10，求四边形AECF的面积．
【解析】（1）证明：∵折叠，
∴AM=AB，CN=CD，∠FNC=∠D=90°，∠AME=∠B=90°，
∴∠ANF=90°，∠CME=90°，∵四边形ABCD为矩形，∴AB=CD，AD∥BC，
∴AM=CN，∴AM﹣MN=CN﹣MN，即AN=CM，
在△ANF和△CME中，，
∴△ANF≌△CME（ASA），∴AF=CE，
又∵AF∥CE，∴四边形AECF是平行四边形；
（2）解：∵AB=6，AC=10，∴BC=8，
设CE=x，则EM=8﹣x，CM=10﹣6=4，
在Rt△CEM中，（8﹣x）2+42=x2，解得：x=5，
∴四边形AECF的面积的面积为：EC?AB=5×6=30．
7、如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于F，且AF=BD，连接BF．
（1）求证：D是BC的中点．
（2）如果AB=AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论．
【解析】（1）证明：∵AF∥BC，∴∠AFE=∠DCE
∵E是AD的中点，∴AE=DE．
∵∠AEF=∠DEC，∴△AEF≌△DEC． ∴AF=DC，
∵AF=BD∴BD=CD，∴D是BC的中点；
（2）四边形AFBD是矩形，
证明：∵AB=AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC，∴∠ADB=90°，
∵AF=BD，AF∥BC，∴四边形AFBD是平行四边形， ∴四边形AFBD是矩形．
8、如图，矩形ABCD中，点E为矩形的边CD上任意一点，点P为线段AE中点，连接BP并延长交边AD于点F，点M为边CD上一点，连接FM，且∠1=∠2．
（1）若AD=2，DE=1，求AP的长；
（2）求证：PB=PF+FM．
【解析】（1）∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADE=90°，
∵AD=2，DE=1，∴AE==，
∵点P为线段AE中点，∴AP=AE=；
（2）延长BF交CD的延长线于点N，∵点P为线段AE中点，∴AP=PE，
∵AB∥CD，∴∠PEN=∠PAB，∠2=∠N，
∵在△APB和△EPN中，，∴△APB≌△EPN（AAS），∴PB=PN，
∵∠1=∠2，∠2=∠N，∴∠1=∠N，
∴FN=FM，
∴PB=PN=PF+FN=PF+FM，
∴PB=PF+FM．
学霸说：
熟练掌握矩形的性质，三角形的全等判定及性质，勾股定理的应用，直角三角形斜边上中线的性质等是解题的关键；
套路揭密：
（1）考查矩形的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法；
（2）几何图形中，仔细分析图形的构成并熟练掌握各种性质是解题的关键。
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