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【专题讲义】北师大版九年级数学上册
第3讲 正方形综合复习专题精讲（提高版）
温故知新
一、平行四边形的性质与判定
1、平行四边形的定义：两线对边分别平行的四边形叫做平行四边形，平行四边形不相邻的两顶点连成的线段叫做它的对角线。
2、平行四边形的性质：平行四边形的对边相等,对角相等,对角线互相平分。
3、平行四边形的判别方法：
平行四边形中有4条判定定理：简记为一组两组两条
一组（对边平行且相等） 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
两组（对边平行、对边相等） 两组对边分别平行的四边形是平行四边形
两组对边分别相等的四边形是平行四边形
两条（对角线相互平分） 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形
◆二、菱形的性质与判定：
1、菱形的定义： 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形，菱形是特殊的平行四边形。
2、菱形的性质：
（1）对边平行，四边相等。（2）对角相等，邻角互补。
（3）对角线互相垂直平分且每一条对角线平分一组对角。
四边形
四边形
3、菱形的判定：
（1）有一组邻边相等的平行四边形是菱形。
（2）对角线互相垂直的平行四边形。
（3）四条边都相等的四边形。
（4）菱形的面积=边长×高=对角线的乘积的一半。
◆三、矩形的性质与判定：
矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形（矩形是特殊的平行四边形）。
※推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
智慧乐园
知识要点一
正方形的定义及性质
（1）正方形的定义：一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形。
它包含两层意思：正方形是特殊的矩形，又是特殊的菱形。
（2）正方形的性质：
正方形具有矩形和菱形的一切性质。
边：对边平行，四边相等。
角：四个角是直角。
对角线：互相垂直平分且相等，每一条对角线平分一组对角。
典例分析
例1、下列说法正确的是（ ）
A．对角线相等且互相垂直的四边形是菱形
B．对角线互相垂直平分的四边形是正方形
C．对角线互相垂直的四边形是平行四边形
D．对角线相等且互相平分的四边形是矩形
例2、已知：如图，∠MON=45°，OA1=1，作正方形A1B1C1A2，面积记作S1；再作第二个正方形A2B2C2A3，面积记作S2；继续作第三个正方形A3B3C3A4，面积记作S3；点A1、A2、A3、A4…在射线ON上，点B1、B2、B3、B4…在射线OM上，…依此类推，则第6个正方形的面积S6是（ ）
A．256 B．900 C．1024 D．4096
例3、如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ACB的角平分线分别交AB、BD于M、N两点，若AM=2，则正方形的边长为（ ）
A．4 B．3 C．2+ D．
例4、如图，正方形AEFG的顶点E，G在正方形ABCD的边AB，AD上，连接BF，DF．则BE：CF的值为 ．
例5、如图，正方形ABCD中，以对角线BD为边作菱形BDFE，使B，C，E三点在同一直线上，连接BF，交CD与点G．
（1）求证：CG=CE；
（2）若正方形边长为4，求菱形BDFE的面积．
例6、【阅读发现】如图①，在正方形ABCD的外侧，作两个等边三角形ABE和ADF，连结ED与FC交于点M，则图中△ADE≌△DFC，可知ED=FC，求得∠DMC= 90° ．
【拓展应用】如图②，在矩形ABCD（AB＞BC）的外侧，作两个等边三角形ABE和ADF，连结ED与FC交于点M．
（1）求证：ED=FC．
（2）若∠ADE=20°，求∠DMC的度数．
举一反三
1、如图，在平面直角坐标系中，正方形A1B1C1D1、D1E1E2B2、A2B2C2D2、D2E3E4B3、A3B3C3D3，…，按图示的方式放置，其中点B1在y轴上，点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3，…，在x轴上，已知正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O=60°，B1C1∥B2C2∥B3C3，…，则正方形A2016B2016C2016D2016的边长是（ ）
A．（）2015 B．（）2016 C．（）2016 D．（）2015
2、如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边BC、CD上的点，∠EAF=45°，△ECF的周长为4，则正方形ABCD的边长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
3、如图，四边形ABCD是正方形，以CD为边作等边三角形CDE，BE与AC相交于点M，则∠AMD的度数是（ ）
A．75° B．60° C．54° D．67.5°
4、如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（0，3），点B的坐标是（﹣4，0），以AB为边作正方形ABCD，连接OD，DB．则△DOB的面积是 ．
5、如图，设四边形ABCD是边长为1的正方形，以正方形ABCD的对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以第二个正方形的对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去…，记正方形ABCD的边长a1=1，依上述方法所作的正方形的边长依次为a2，a3，a4，…，则an= ．
6、如图，四边形ABCD是边长为a的正方形，点G、E分别是边AB、BC的中点，∠AEF=90°，且EF交正方形外角的平方线CF于点F．
（1）证明：△AGE≌△ECF；
（2）求△AEF的面积．
知识要点二
正方形的判定
判定方法
（1）有一组邻边相等的矩形是正方形。
（2）有一个角是直角的菱形是正方形。
（3）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形。
（4）有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形。
典例分析
例1、下列说法不正确的是（ ）
A．有一个角是直角的平行四边形是正方形
B．对角线相等的菱形是正方形
C．对角线互相垂直的矩形是正方形
D．一组邻边相等的矩形是正方形
例2、如图，在△ABC中，点E，D，F分别在边AB、BC、CA上，且DE∥CA，DF∥BA．下列四个判断中，不正确的是（ ）
A．四边形AEDF是平行四边形
B．如果∠BAC=90°，那么四边形AEDF是矩形
C．如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形
D．如果AD⊥BC且AB=AC，那么四边形AEDF是正方形
例3、如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，且EC=3AE，直角三角形FEG的两直角边EF、EG分别交BC、DC于点M、N．若正方形ABCD的边长为a，则重叠部分四边形EMCN的面积为 ．
例4、已知：如图，在△ABC中，AB=AC，D是的BC边的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足
分别是E、F．
（1）求证：DE=DF；
（2）只添加一个条件，使四边形EDFA是正方形，并给出证明．
举一反三
1、菱形，矩形，正方形都具有的性质是（ ）
A．对角线相等且互相平分 B．对角线相等且互相垂直平分
C．对角线互相平分 D．四条边相等，四个角相等
2、如图，有一块边长为4的正方形塑料模板ABCD，将一块足够大的直角三角板的直角顶点落在A点，两条直角边分别与CD交于点F，与CB延长线交于点E．则四边形AECF的面积是 ．
3、如图，过正方形ABCD的顶点D作DE∥AC交BC的延长线于点E．
（1）判断四边形ACED的形状，并说明理由；
（2）若BD=8cm，求线段BE的长．
考场直播
1、如图，正方形ABGD中，AB=AD=6，梯形ABCD中，DE⊥DC交AB于E，DF平分∠EDC交BC于F，连结EF．
（1）证明：EF=CF；
（2）当时，求EF的长．
自我挑战
建议用时：30分钟
1、如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边BC、CD上的点，∠EAF=45°，△ECF的周长为4，则正方形ABCD的边长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2、如图，四边形ABCD是正方形，以CD为边作等边三角形CDE，BE与AC相交于点M，则∠AMD的度数是（ ）
A．75° B．60° C．54° D．67.5°
3、如图，E是边长为1的正方形ABCD的对角线BD上一点，且BE=BC，P为CE上任意一点，PQ⊥BC于点Q，PR⊥BE于点R，则PQ+PR的值是（ ）
A． B． C． D．
4、如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，A的坐标为（，1），则点C的坐标为（ ）
A．（﹣，1） B．（﹣1，﹣） C．（﹣1，） D．（1，﹣）
5、如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=8，以斜边AC为边作正方形ACDE，连接BE，则BE的长是（ ）
A． B．14 C． D．
6、如图，以Rt△ABC的斜边BC为一边在△ABC的同侧作正方形BCEF，设正方形的中心为O，连接AO，如果AB=4，AO=6，那么AC的长等于 ．
7、如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE．
（1）求证：CE=CF；
（2）若点G在AD上，且∠GCE=45°，则GE=BE+GD成立吗？为什么？
A
B
C
D
1
2
A
B
C
D
矩形的性质：矩形具有平行四边形的一切性质。
（1）边：对边平行且相等。
（2）角：四个角都是直角。
（3）对角线：互相平分且相等。
矩形的判定：
（1）有一个角是直角的平行四边形。
（2）对角线相等的平行四边形。
（3）有三个角是直角的四边形。
学霸说：
熟练掌正方形的性质，三角形的全等判定及性质，勾股定理的应用，直角三角形斜边上中线的性质等是解题的关键；
套路揭密：
（1）考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法；
（2）几何图形中，仔细分析图形的构成并熟练掌握各种性质是解题的关键。
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【专题讲义】北师大版九年级数学上册
第3讲 正方形综合复习专题精讲（解析版）
参考答案
温故知新
一、平行四边形的性质与判定
1、平行四边形的定义：两线对边分别平行的四边形叫做平行四边形，平行四边形不相邻的两顶点连成的线段叫做它的对角线。
2、平行四边形的性质：平行四边形的对边相等,对角相等,对角线互相平分。
3、平行四边形的判别方法：
平行四边形中有4条判定定理：简记为一组两组两条
一组（对边平行且相等） 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
两组（对边平行、对边相等） 两组对边分别平行的四边形是平行四边形
两组对边分别相等的四边形是平行四边形
两条（对角线相互平分） 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形
◆二、菱形的性质与判定：
1、菱形的定义： 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形，菱形是特殊的平行四边形。
2、菱形的性质：
（1）对边平行，四边相等。（2）对角相等，邻角互补。
（3）对角线互相垂直平分且每一条对角线平分一组对角。
四边形
四边形
3、菱形的判定：
（1）有一组邻边相等的平行四边形是菱形。
（2）对角线互相垂直的平行四边形。
（3）四条边都相等的四边形。
（4）菱形的面积=边长×高=对角线的乘积的一半。
◆三、矩形的性质与判定：
矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形（矩形是特殊的平行四边形）。
※推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
智慧乐园
知识要点一
正方形的定义及性质
（1）正方形的定义：一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形。
它包含两层意思：正方形是特殊的矩形，又是特殊的菱形。
（2）正方形的性质：
正方形具有矩形和菱形的一切性质。
边：对边平行，四边相等。
角：四个角是直角。
对角线：互相垂直平分且相等，每一条对角线平分一组对角。
典例分析
例1、下列说法正确的是（ ）
A．对角线相等且互相垂直的四边形是菱形
B．对角线互相垂直平分的四边形是正方形
C．对角线互相垂直的四边形是平行四边形
D．对角线相等且互相平分的四边形是矩形
【解答】解：选D．
例2、已知：如图，∠MON=45°，OA1=1，作正方形A1B1C1A2，面积记作S1；再作第二个正方形A2B2C2A3，面积记作S2；继续作第三个正方形A3B3C3A4，面积记作S3；点A1、A2、A3、A4…在射线ON上，点B1、B2、B3、B4…在射线OM上，…依此类推，则第6个正方形的面积S6是（ ）
A．256 B．900 C．1024 D．4096
【解答】解：∵∠MON=45°，
∴△OA1B1是等腰直角三角形，
∵OA1=1，
∴正方形A1B1C1A2的边长为1，
∵B1C1∥OA2，
∴∠B2B1C1=∠MON=45°，
∴△B1C1B2是等腰直角三角形，
∴正方形A2B2C2A3的边长为：1+1=2，
同理，第3个正方形A3B3C3A4的边长为：2+2=4，
第4个正方形A4B4C4A5的边长为：4+4=8，
第5个正方形A5B5C5A6的边长为：8+8=16，
第6个正方形A6B6C6A7的边长为：16+16=32，
所以，第6个正方形的面积S6是：322=1024．故选C．
例3、如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ACB的角平分线分别交AB、BD于M、N两点，若AM=2，则正方形的边长为（ ）
A．4 B．3 C．2+ D．
【解答】解：过点M作MF⊥AC于点F，如图所示．
∵MC平分∠ACB，四边形ABCD为正方形，
∴∠CAB=45°，FM=BM．
在Rt△AFM中，∠AFM=90°，∠FAM=45°，AM=2，
∴FM=AM?sin∠FAM=．
AB=AM+MB=2+．
故选C．
例4、如图，正方形AEFG的顶点E，G在正方形ABCD的边AB，AD上，连接BF，DF．则BE：CF的值为 ．
【解答】解：设正方形ABCD的边长为a，正方形AEFG的边长为b，
则BE=a﹣b，
∵正方形AEFG的顶点E，
∴AF平分∠BAD，
∵四边形ABCD是正方形，
∴CA平分∠BAD，
∴点F在正方形ABCD的对角线上，
∵G在正方形ABCD的边AB，AD上，
∴CF=a﹣b，
∴BE：CF=（a﹣b）：（a﹣b）=．
故答案为：．
例5、如图，正方形ABCD中，以对角线BD为边作菱形BDFE，使B，C，E三点在同一直线上，连接BF，交CD与点G．
（1）求证：CG=CE；
（2）若正方形边长为4，求菱形BDFE的面积．
【解答】解：连接DE，则DE⊥BF，
∵∠ODG+∠OGD=90°，∠CBG+∠CGB=90°，∠CGB=∠OGD
∴∠CDE=∠CBG，
又∵BC=DC，∠BCG=∠DCE，
∴△BCG≌△DCE（ASA），
∴CG=CE，
（2）正方形边长BC=4，则BD=BC=4，
菱形BDFE的面积为S=4×4=16．
答：菱形BDFE的面积为16．
例6、【阅读发现】如图①，在正方形ABCD的外侧，作两个等边三角形ABE和ADF，连结ED与FC交于点M，则图中△ADE≌△DFC，可知ED=FC，求得∠DMC= 90° ．
【拓展应用】如图②，在矩形ABCD（AB＞BC）的外侧，作两个等边三角形ABE和ADF，连结ED与FC交于点M．
（1）求证：ED=FC．
（2）若∠ADE=20°，求∠DMC的度数．
【解答】解：如图①中，∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB=CD，∠ADC=90°，
∵△ADE≌△DFC，
∴DF=CD=AE=AD，
∵∠FDC=60°+90°=150°，
∴∠DFC=∠DCF=∠ADE=∠AED=15°，
∴∠FDE=60°+15°=75°，
∴∠MFD+∠FDM=90°，
∴∠FMD=90°，
故答案为90°
（1）∵△ABE为等边三角形，
∴∠EAB=60°，EA=AB．
∵△ADF为等边三角形，
∴∠FDA=60°，AD=FD．
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠BAD=∠ADC=90°，DC=AB．
∴EA=DC．
∵∠EAD=∠EAB+∠BAD=150°，∠CDF=∠FDA+∠ADC=150°，
∴∠EAD=∠CDF．
在△EAD和△CDF中，
，
∴△EAD≌△CDF．
∴ED=FC；
（2）∵△EAD≌△CDF，
∴∠ADE=∠DFC=20°，
∴∠DMC=∠FDM+∠DFC=∠FDA+∠ADE+∠DFC=60°+20°+20°=100°．
举一反三
1、如图，在平面直角坐标系中，正方形A1B1C1D1、D1E1E2B2、A2B2C2D2、D2E3E4B3、A3B3C3D3，…，按图示的方式放置，其中点B1在y轴上，点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3，…，在x轴上，已知正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O=60°，B1C1∥B2C2∥B3C3，…，则正方形A2016B2016C2016D2016的边长是（ ）
A．（）2015 B．（）2016 C．（）2016 D．（）2015
【解答】解：如图所示：∵正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O=60°，B1C1∥B2C2∥B3C3…
∴D1E1=B2E2，D2E3=B3E4，∠D1C1E1=∠C2B2E2=∠C3B3E4=30°，
∴D1E1=C1D1sin30°=，则B2C2=（）1，
同理可得：B3C3==（）2，
故正方形AnBnCnDn的边长是：（）n﹣1．
则正方形A2016B2016C2016D2016的边长是：（）2015．
故选：D．
2、如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边BC、CD上的点，∠EAF=45°，△ECF的周长为4，则正方形ABCD的边长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【解答】解：将△DAF绕点A顺时针旋转90度到△BAF′位置，
由题意可得出：△DAF≌△BAF′，
∴DF=BF′，∠DAF=∠BAF′，
∴∠EAF′=45°，
在△FAE和△EAF′中，
，
∴△FAE≌△EAF′（SAS），
∴EF=EF′，
∵△ECF的周长为4，
∴EF+EC+FC=FC+CE+EF′=FC+BC+BF′=DF+FC+BC=4，
∴2BC=4，
∴BC=2．
故选A．
3、如图，四边形ABCD是正方形，以CD为边作等边三角形CDE，BE与AC相交于点M，则∠AMD的度数是（ ）
A．75° B．60° C．54° D．67.5°
【解答】解：如图，连接BD，
∵∠BCE=∠BCD+∠DCE=90°+60°=150°，BC=EC，
∴∠EBC=∠BEC=（180°﹣∠BCE）=15°
∵∠BCM=∠BCD=45°，
∴∠BMC=180°﹣（∠BCM+∠EBC）=120°，
∴∠AMB=180°﹣∠BMC=60°
∵AC是线段BD的垂直平分线，M在AC上，
∴∠AMD=∠AMB=60°
故选B．
4、如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（0，3），点B的坐标是（﹣4，0），以AB为边作正方形ABCD，连接OD，DB．则△DOB的面积是 14 ．
【解答】解：过点D作DE⊥y轴，垂足为E．
∵A的坐标是（0，3），点B的坐标是（﹣4，0），
∴OA=3，OB=4．
∵ABCD为正方形，
∴AB=AD，∠DAB=90°．
∴∠DAE=∠AB0．
在△ABO和△DAE中，
∴△ABO≌△DAE．
∴AE=OB=4．
∴OE=AE+AO=4+3=7．
∴△OBD的面积=OB?OE=×4×7=14．
故答案为：14．
5、如图，设四边形ABCD是边长为1的正方形，以正方形ABCD的对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以第二个正方形的对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去…，记正方形ABCD的边长a1=1，依上述方法所作的正方形的边长依次为a2，a3，a4，…，则an= （）n﹣1 ．
【解答】解：由题意得，a1=1，
a2=a1=，
a3=a2=（）2，
a4=a3=（）3，
…，
an=an﹣1=（）n﹣1．
故答案为：（）n﹣1．
6、如图，四边形ABCD是边长为a的正方形，点G、E分别是边AB、BC的中点，∠AEF=90°，且EF交正方形外角的平方线CF于点F．
（1）证明：△AGE≌△ECF；
（2）求△AEF的面积．
【解答】（1）证明：∵G，E分别是正方形ABCD的边AB，BC的中点，
∴AG=GB=BE=EC，且∠AGE=180°﹣45°=135°；
又∵CF是∠DCH的平分线，
∴∠DCF=∠FCH=45°，
∠ECF=90°+45°=135°；
在△AGE和△ECF中，
；
∴△AGE≌△ECF；
（2）解：由△AGE≌△ECF，得AE=EF；
又∵∠AEF=90°，
∴△AEF是等腰直角三角形；
∵AB=a，E为BC中点，
∴BE=BC=AB=a，
根据勾股定理得：AE==a，
∴S△AEF=a2．
知识要点二
正方形的判定
判定方法
（1）有一组邻边相等的矩形是正方形。
（2）有一个角是直角的菱形是正方形。
（3）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形。
（4）有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形。
典例分析
例1、下列说法不正确的是（ ）
A．有一个角是直角的平行四边形是正方形
B．对角线相等的菱形是正方形
C．对角线互相垂直的矩形是正方形
D．一组邻边相等的矩形是正方形
【解答】解：选：A．
例2、如图，在△ABC中，点E，D，F分别在边AB、BC、CA上，且DE∥CA，DF∥BA．下列四个判断中，不正确的是（ ）
A．四边形AEDF是平行四边形
B．如果∠BAC=90°，那么四边形AEDF是矩形
C．如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形
D．如果AD⊥BC且AB=AC，那么四边形AEDF是正方形
【解答】解：选：D．
例3、如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，且EC=3AE，直角三角形FEG的两直角边EF、EG分别交BC、DC于点M、N．若正方形ABCD的边长为a，则重叠部分四边形EMCN的面积为 a2 ．
【解答】解：过E作EP⊥BC于点P，EQ⊥CD于点Q，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD=90°，
又∵∠EPM=∠EQN=90°，
∴∠PEQ=90°，
∴∠PEM+∠MEQ=90°，
∵三角形FEG是直角三角形，
∴∠NEF=∠NEQ+∠MEQ=90°，
∴∠PEM=∠NEQ，
∵AC是∠BCD的角平分线，∠EPC=∠EQC=90°，
∴EP=EQ，四边形PCQE是正方形，
在△EPM和△EQN中，
，
∴△EPM≌△EQN（ASA）
∴S△EQN=S△EPM，
∴四边形EMCN的面积等于正方形PCQE的面积，
∵正方形ABCD的边长为a，
∴AC=a，
∵EC=3AE，
∴EC=a，
∴EP=PC=a，
∴正方形PCQE的面积=a×a=a2，
∴四边形EMCN的面积=a2，
例4、已知：如图，在△ABC中，AB=AC，D是的BC边的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足
分别是E、F．
（1）求证：DE=DF；
（2）只添加一个条件，使四边形EDFA是正方形，并给出证明．
【解答】解：（1）连接AD，
∵AB=AC，D是的BC边的中点，
∴AD是∠BAC的角平分线，
∵DE⊥AC，DF⊥AB，
∴DF=DE；
（2）添加∠BAC=90°，
∵DE⊥AC，DF⊥AB，
∴∠AFD=∠AED=90°，
∴四边形AFDE是矩形，
∵DF=DE，
∴四边形EDFA是正方形．
举一反三
1、菱形，矩形，正方形都具有的性质是（ ）
A．对角线相等且互相平分 B．对角线相等且互相垂直平分
C．对角线互相平分 D．四条边相等，四个角相等
【解答】解：A、不正确，菱形的对角线不相等；
B、不正确，菱形的对角线不相等，矩形的对角线不垂直；
C、正确，三者均具有此性质；
D、不正确，矩形的四边不相等，菱形的四个角不相等；
故选C．
2、如图，有一块边长为4的正方形塑料模板ABCD，将一块足够大的直角三角板的直角顶点落在A点，两条直角边分别与CD交于点F，与CB延长线交于点E．则四边形AECF的面积是 16 ．
【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠D=∠ABC=90°，AD=AB，
∴∠ABE=∠D=90°，
∵∠EAF=90°，
∴∠DAF+∠BAF=90°，∠BAE+∠BAF=90°，
∴∠DAF=∠BAE，
在△AEB和△AFD中，
∵，
∴△AEB≌△AFD（ASA），
∴S△AEB=S△AFD，
∴它们都加上四边形ABCF的面积，
可得到四边形AECF的面积=正方形的面积=16．
故答案为：16．
3、如图，过正方形ABCD的顶点D作DE∥AC交BC的延长线于点E．
（1）判断四边形ACED的形状，并说明理由；
（2）若BD=8cm，求线段BE的长．
【解答】解：（1）四边形ACED是平行四边形．
理由如下：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，
即AD∥CE，
∵DE∥AC，
∴四边形ACED是平行四边形；
（2）由（1）知，BC=AD=CE=CD，
∵BD=8cm，
∴BC=BD=×8=4cm，
∴BE=BC+CE=4+4=8cm．
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1、如图，正方形ABGD中，AB=AD=6，梯形ABCD中，DE⊥DC交AB于E，DF平分∠EDC交BC于F，连结EF．
（1）证明：EF=CF；
（2）当时，求EF的长．
【解答】证明：（1）∵正方形ABGD，
又∵DE⊥DC，
∴∠ADE+∠EDG=90°=∠GDC+∠EDG，
∴∠ADE=∠GDC．
又∵∠A=∠DGC，
且AD=GD，
在△ADE与△GDC中，
，
∴△ADE≌△GDC（ASA）．
∴DE=DC，且AE=GC．
在△EDF和△CDF中，
，
∴△EDF≌△CDF（SAS）．
∴EF=CF．
（2）∵，
∴AE=GC=2．
设EF=x，则BF=8﹣CF=8﹣x，BE=6﹣2=4．
由勾股定理，得x2=（8﹣x）2+42．
解之，得x=5，
即EF=5．
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1、如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边BC、CD上的点，∠EAF=45°，△ECF的周长为4，则正方形ABCD的边长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【解答】解：将△DAF绕点A顺时针旋转90度到△BAF′位置，
由题意可得出：△DAF≌△BAF′，
∴DF=BF′，∠DAF=∠BAF′，
∴∠EAF′=45°，
在△FAE和△EAF′中，
，
∴△FAE≌△EAF′（SAS），
∴EF=EF′，
∵△ECF的周长为4，
∴EF+EC+FC=FC+CE+EF′=FC+BC+BF′=DF+FC+BC=4，
∴2BC=4，
∴BC=2．
故选A．
2、如图，四边形ABCD是正方形，以CD为边作等边三角形CDE，BE与AC相交于点M，则∠AMD的度数是（ ）
A．75° B．60° C．54° D．67.5°
【解答】解：如图，连接BD，
∵∠BCE=∠BCD+∠DCE=90°+60°=150°，BC=EC，
∴∠EBC=∠BEC=（180°﹣∠BCE）=15°
∵∠BCM=∠BCD=45°，
∴∠BMC=180°﹣（∠BCM+∠EBC）=120°，
∴∠AMB=180°﹣∠BMC=60°
∵AC是线段BD的垂直平分线，M在AC上，
∴∠AMD=∠AMB=60°
故选B．
3、如图，E是边长为1的正方形ABCD的对角线BD上一点，且BE=BC，P为CE上任意一点，PQ⊥BC于点Q，PR⊥BE于点R，则PQ+PR的值是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：连接BP，过C作CM⊥BD，
∵S△BCE=S△BPE+S△BPC
=BC×PQ×+BE×PR×
=BC×（PQ+PR）×
=BE×CM×，
BC=BE，
∴PQ+PR=CM，
∵BE=BC=1，且正方形对角线BD=BC=，
又∵BC=CD，CM⊥BD，
∴M为BD中点，又△BDC为直角三角形，
∴CM=BD=，
即PQ+PR值是．
故选：D．
4、如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，A的坐标为（，1），则点C的坐标为（ ）
A．（﹣，1） B．（﹣1，﹣） C．（﹣1，） D．（1，﹣）
【解答】解：作AE⊥x轴于E，CF⊥x轴于F，如图所示：
则∠CFO=∠OEA=90°，
∴∠1+∠3=90°，
∵四边形OABC是正方形，
∴OC=OA，∠AOC=90°，
∴∠1+∠2=90°，
∴∠3=∠2，
在△OCF和△AOE中，，
∴△OCF≌△AOE（AAS），
∴OF=AE=1，CF=OE=，
∴点C的坐标为（﹣1，）；
故选：C．
5、如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=8，以斜边AC为边作正方形ACDE，连接BE，则BE的长是（ ）
A． B．14 C． D．
【解答】解：如图作BM⊥AC于M，延长BM交BD于N．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠AEN=∠EAM=∠AMN=90°，'
∴四边形AENM是矩形，
∴AE=NM，AM=EN，
在RT△ABC中，∵∠ABC=90°，AB=6，BC=8，
∴AC===10，
∵AB?CB=?AC?BM，
∴BM=，AM==，
在RT△BEN中，∵∠BNE=90°，EN=AM=，BN=BM+AE=，
∴BE===2．
故选A．
6、如图，以Rt△ABC的斜边BC为一边在△ABC的同侧作正方形BCEF，设正方形的中心为O，连接AO，如果AB=4，AO=6，那么AC的长等于 16 ．
【解答】解：如图，过O点作OG垂直AC，G点是垂足．
∵∠BAC=∠BOC=90°，
∴ABCO四点共圆，
∴∠OAG=∠OBC=45°
∴△AGO是等腰直角三角形，
∴2AG2=2GO2=AO2==72，
∴OG=AG=6，
∵∠BAH=∠0GH=90°，∠AHB=∠OHG，
∴△ABH∽△GOH，
∴=，
∵AB=4，OG=AG=6，
∴AH=2.4，
在直角△OHC中，∵HG=AG﹣AH=6﹣2.4=3.6，OG又是斜边HC上的高，
∴OG2=HG×GC，
而OG=6，GH=3.6，
∴GC=10．
∴AC=AG+GC=6+10=16．
故AC边的长是16．故答案为：16．
7、如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE．
（1）求证：CE=CF；
（2）若点G在AD上，且∠GCE=45°，则GE=BE+GD成立吗？为什么？
【解答】（1）证明：在正方形ABCD中，
∵，
∴△CBE≌△CDF（SAS）．
∴CE=CF．
（2）解：GE=BE+GD成立．
理由是：∵由（1）得：△CBE≌△CDF，
∴∠BCE=∠DCF，
∴∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD，即∠ECF=∠BCD=90°，
又∵∠GCE=45°，∴∠GCF=∠GCE=45°．
A
B
C
D
1
2
A
B
C
D
矩形的性质：矩形具有平行四边形的一切性质。
（1）边：对边平行且相等。
（2）角：四个角都是直角。
（3）对角线：互相平分且相等。
矩形的判定：
（1）有一个角是直角的平行四边形。
（2）对角线相等的平行四边形。
（3）有三个角是直角的四边形。
学霸说：
熟练掌正方形的性质，三角形的全等判定及性质，勾股定理的应用，直角三角形斜边上中线的性质等是解题的关键；
套路揭密：
（1）考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法；
（2）几何图形中，仔细分析图形的构成并熟练掌握各种性质是解题的关键。
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