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【专题讲义】北师大版九年级数学上册
第4讲 一元二次方程的应用综合复习专题精讲（提高版）
温故知新
解下列关于方程：
(1) (2) (3)x 2-2x=-1
课堂导入
1、初一学过一元一次方程的应用，实际上是据实际题意，设未知数，列出一元一次方程求解，从而得到问题的解决．但有的实际问题，列出的方程不是一元一次方程，是一元二次方程，这就是我们本节课所研究的问题-------一元二次方程的应用。
2、从列方程解应用题的方法来说，列出的一元二次方程解应用题与列出一元一次方程解应用题类似，都是根据问题中的相等关系列出方程、解方程、判断根是否适合题意、作出正确的答案．列出一元二次方程解应用问题
3、列方程解应用问题的步骤：
①审题；②找相等关系；③设未知数；④列方程；⑤解方程；⑥答。
一元二次方程数字问题
1、两位数表示：十位数字 × 10 + 个位数字
2、三位数字：百位数字 × 100 + 十位数字 × 10 +个位数字
3、三个连续偶数：
三个连续整数：
典例分析
例1．有两个连续整数，它们的平方和为25，求这两个数。
举一反三
1、一个两位数，十位数字与个位数字之和是6，把这个数的个位数字与十位数字对调后，所得的新两位数与原来的两位数的积是1008，求这个两位数．
1、矩形面积= 长 × 宽
2、三角形面积 =
3、梯形面积=× （上底 + 下底）× 高
4、圆的面积= 为半径）
典例分析
例1．有一块长方形的铝皮，长24cm、宽18cm，在四角都截去相同的小正方形，折起来做成一个没盖的盒子，使底面积是原来面积的一半，求盒子的高．
例2．如图，利用一面墙（墙的长度不超过45m），用80m长的篱笆围一个矩形场地．
⑴怎样围才能使矩形场地的面积为750m2?
⑵能否使所围矩形场地的面积为810m2，为什么?
举一反三
1、如图，在一块长为32m，宽为20m长方形的土地上修筑两条同样宽度的道路，余下部分作为耕地要使耕地的面积是540m2，求小路宽的宽度．
2.如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=6厘米，BC=8厘米．点P从A点开始沿AB边向点B以1厘米/秒的速度移动（到达点B即停止运动），点Q从B点开始沿BC边向点C以2厘米/秒的速度移动（到达点C即停止运动）．
（1）如果P、Q分别从A、B两点同时出发，经过几秒钟，△PBQ的面积等于△ABC的三分之一？
（2）如果P、Q两点分别从A、B两点同时出发，而且动点P从A点出发，沿AB移动（到达点B即停止运动），动点Q从B出发，沿BC移动（到达点C即停止运动），几秒钟后，P、Q相距6厘米？
3.如图，有长为22米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为14米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在BC上用其他材料造了宽为1米的两个小门．
（1）设花圃的宽AB为x米，请你用含x的代数式表示BC的长 米；
（2）若此时花圃的面积刚好为45m2，求此时花圃的宽．
一元二次方程的利润问题
1、每件利润=售价 - 进价
总利润=每件利润 × 销售量
利润率 =
利润 = 进价 × 利润率
售价 = 进价 ×
典例分析
某市场销售一批名牌衬衫，平均每天可销售20件，每件赢利40元．为了扩大销售，增加赢利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．求：
（1）若商场平均每天要赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？
（2）要使商场平均每天赢利最多，请你帮助设计方案．
举一反三
1．某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施，调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台，商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？
2.西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜，以3元/千克的价格出售,每天可售出200千克.为了促销,该经营户决定降价销售.经调查发现,这种小型西瓜每降价O.1元/千克，每天可多售出40千克.另外，每天的房租等固定成本共24元.该经营户要想每天盈利2O0元，应将每千克小型西瓜的售价降低多少元?
一元二次方程的其他问题
1、平均变化率问题 增长率
（1）原产量+增产量=实际产量．
（2）单位时间增产量=原产量×增长率．
（3）实际产量=原产量×（1+增长率）．
2、相互问题（传播、循环）
典例分析
例1.某钢铁厂去年一月份某种钢的产量为5000吨，三月份上升到7200吨，这两个月平均
每月增长的百分率是多少？
例2.（1）参加一次聚会的每两人都握了一次手,所有人共握手15次,有多少人参加聚会?
(2) 某初三毕业班的每一个同学都把自己的照片向全班其他的同学各送一张留作纪念，全班共送了3080张照片．如果该班有x名同学，根据题意可列出方程为?
举一反三
有一人患了流感，经过两轮传染后共有169人患了流感．
（1）求每一轮传染中平均一个人传染了几个人？
（2）如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少人患上流感？
2、某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出多少小分支？
3.要组织一场篮球联赛,赛制为单循环形式,即每两队之间都赛一场,计划安排28场比赛,应邀请多少个球队参加比赛?
课堂闯关
初出茅庐
1．如图，一农户要建一个矩形花圃，花圃的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的篱笆围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门，花圃面积为80m2，设与墙垂直的一边长为xm（已标注在图中），则可以列出关于x的方程是（ ）
x（26﹣2x）=80 B．x（24﹣2x）=80
C．（x﹣1）（26﹣2x）=80 D．x（25﹣2x）=80
2．某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由560元降为315元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．设每次降价的百分率为x，下面所列的方程中正确的是（ ）
A．560（1+x）2=315 B．560（1﹣x）2=315
C．560（1﹣2x）2=315 D．560（1﹣x2）=315
3．有x支球队参加篮球比赛，共比赛了45场，每两队之间都比赛一场，则下列方程中符合题意的是（ ）
A．x（x﹣1）=45 B．x（x+1）=45 C．x（x﹣1）=45 D．x（x+1）=45
4．某公司今年销售一种产品，一月份获得利润10万元，由于产品畅销，利润逐月增加，一季度共获利36.4万元，已知2月份和3月份利润的月增长率相同．设2，3月份利润的月增长率为x，那么x满足的方程为（ ）
A．10（1+x）2=36.4 B．10+10（1+x）2=36.4
C．10+10（1+x）+10（1+2x）=36.4 D．10+10（1+x）+10（1+x）2=36.4
5．餐桌桌面是长为160cm，宽为100cm的长方形，妈妈准备设计一块桌布，面积是桌面的2倍，且使四周垂下的边等宽．若设垂下的桌布宽为xcm，则所列方程为（ ）
A．（160+x）（100+x）=160×100×2 B．（160+2x）（100+2x）=160×100×2
C．（160+x）（100+x）=160×100 D．2（160x+100x）=160×100
6．某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个．设该厂八、九月份平均每月的增长率为x，那么方程是 ．
7．如图，在长70m，宽40m的长方形花园中，欲修宽度相等的观赏路（如阴影部分所示），要使观赏路面积占总面积的，则路宽x应满足的方程是 ．
8．参加一次聚会的每两人都握了一次手，所有人共握手10次，有 人参加聚会．
优学学霸
1．如图所示，某幼儿园有一道长为16米的墙，计划用32米长的围栏靠墙围成一个面积为120平方米的矩形草坪ABCD．求该矩形草坪BC边的长．
2．龙华天虹商场以120元/件的价格购进一批上衣，以200元/件的价格出售，每周可售出100件．为了促销，该商场决定降价销售，尽快减少库存．经调查发现，这种上衣每降价5元/件，每周可多售出20件．另外，每周的房租等固定成本共3000元．该商场要想每周盈利8000元，应将每件上衣的售价降低多少元？
考场直播
某商场以每件20元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销售量m（件）与每件的销售价x（元）满足关系：m=140﹣2x．如果商场要想每天获得800元的销售利润，又让顾客得到实惠，每件商品的售价应定为多少？
自我挑战
1．某超市一月份的营业额为100万元，三月份的营业额为144万元，如果每月比上月增长的百分数相同，则平均每月的增长率为（ ）
A．10% B．15% C．20% D．25%
2．要组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛．设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为（ ）
A．x（x+1）=28 B．x（x﹣1）=28 C．x（x+1）=28 D．x（x﹣1）=28
3．用一条长为40cm的绳子围成一个面积为acm2的长方形，a的值不可能为（ ）
A．20 B．40 C．100 D．120
4．某市2013年生产总值（GDP）比2012年增长了12%，由于受到国际金融危机的影响，预计今年比2013年增长7%．若这两年GDP年平均增长率为x%，则x%满足的关系是（ ）
A．12%+7%=x% B．（1+12%）（1+7%）=2（1+x%）
C．12%+7%=2?x% D．（1+12%）（1+7%）=（1+x%）2
5．某厂改进工艺降低了某种产品的成本，两个月内从每件产品250元，降低到了每件160元，平均每月降低率为（ ）
A．15% B．20% C．5% D．25%
6．如图，在一块矩形的荒地上修建两条互相垂直且宽度相同的小路，使剩余面积是原矩形面积的一半，具体尺寸如图所示．求小路的宽是多少？设小路的宽是xm，根据题意可列方程为 ．
7．一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m．如果梯子的顶端下滑1m，梯子的底端滑动xm，可得方程 ．
8．某印刷厂1月份印刷了60册书籍，2月和3月份印刷书籍的册数按相同增长率x增长，第3月份印刷了书籍达到200万册．为求出x，可列出方程 ．
9．如图，A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB=16cm，AD=6cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达B为止，点Q以2 cm/s的速度向D移动．
（1）P、Q两点从出发开始到几秒？四边形PBCQ的面积为33cm2；
（2）P、Q两点从出发开始到几秒时？点P和点Q的距离是10cm．
10．商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价2元，商场平均每天可多售出 4件．设每件商品降价x元．据此规律，请回答：
（1）每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2100元？
（2）商场日盈利能否达到2200元？请说明理由．
知识要点一
知识要点二
一元二次方程的面积问题
知识要点三
知识要点四
学霸说
者
注意以下几个问题：
（1）为计算简便、直接求得，可以直接设增长的百分率为x．
（2）认真审题，弄清基数，增长了，增长到等词语的关系．
（3）用直接开平方法做简单，不要将括号打开．
规律：
设某产量原来的产值是a，平均每次增长的百分率为x，则增长一次后的产值为a（1+x），增长两次后的产值为a（1+x）2 ，…………增长n次后的产值为S=a（1+x）．
裸裸的残酷的掠夺，激起了当地土著民族顽强的反抗。
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【专题讲义】北师大版九年级数学上册
第4讲 一元二次方程的应用综合复习专题精讲（解析版）
参考答案
温故知新
解下列关于方程：
(1) (2) (3)x 2-2x=-1
【解答】 ：（1） （2）无实数解 （3）
课堂导入
1、初一学过一元一次方程的应用，实际上是据实际题意，设未知数，列出一元一次方程求解，从而得到问题的解决．但有的实际问题，列出的方程不是一元一次方程，是一元二次方程，这就是我们本节课所研究的问题-------一元二次方程的应用。
2、从列方程解应用题的方法来说，列出的一元二次方程解应用题与列出一元一次方程解应用题类似，都是根据问题中的相等关系列出方程、解方程、判断根是否适合题意、作出正确的答案．列出一元二次方程解应用问题
3、列方程解应用问题的步骤：
①审题；②找相等关系；③设未知数；④列方程；⑤解方程；⑥答。
一元二次方程数字问题
1、两位数表示：十位数字 × 10 + 个位数字
2、三位数字：百位数字 × 100 + 十位数字 × 10 +个位数字
3、三个连续偶数：
三个连续整数：
典例分析
例1．有两个连续整数，它们的平方和为25，求这两个数。
举一反三
1、一个两位数，十位数字与个位数字之和是6，把这个数的个位数字与十位数字对调后，所得的新两位数与原来的两位数的积是1008，求这个两位数．
【解答】解：设原两位数的个位数字为x，十位数字为（6-x），根据题意可知，
[10（6-x）+x][10x+（6-x）]=1008，
即x2-6x+8=0，解得x1=2，x2=4，∴6-x=4，或6-x=2，
∴10（6-x）+x=42或10（6-x）+x=24，
答：这个两位数是42或24
1、矩形面积= 长 × 宽
2、三角形面积 =
3、梯形面积=× （上底 + 下底）× 高
4、圆的面积= 为半径）
典例分析
例1．有一块长方形的铝皮，长24cm、宽18cm，在四角都截去相同的小正方形，折起来做成一个没盖的盒子，使底面积是原来面积的一半，求盒子的高．
【解答】解：设盒子高是xcm．
列方程得（24-2x）?（18-2x）=0.5×24×18，
解得x=3或x=18（不合题意，舍去）．
答：盒子高是3cm．
例2．如图，利用一面墙（墙的长度不超过45m），用80m长的篱笆围一个矩形场地．
⑴怎样围才能使矩形场地的面积为750m2?
⑵能否使所围矩形场地的面积为810m2，为什么?
【解答】解：⑴设所围矩形ABCD的长AB为x米，则宽AD为米．
依题意，得 即，
解此方程，得
∵墙的长度不超过45m，∴不合题意，应舍去．
当时，
所以，当所围矩形的长为30m、宽为25m时，能使矩形的面积为750m２．
⑵不能．因为由得
又∵＝(－80)2－4×1×1620=－80＜0，
∴上述方程没有实数根．
因此，不能使所围矩形场地的面积为810m2
举一反三
1、如图，在一块长为32m，宽为20m长方形的土地上修筑两条同样宽度的道路，余下部分作为耕地要使耕地的面积是540m2，求小路宽的宽度．
【解答】解：设道路的宽为x米．依题意得：（32-x）（20-x）=540，解之得x1=2，x2=50（不合题意舍去）．
答：道路宽为2m．
2.如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=6厘米，BC=8厘米．点P从A点开始沿AB边向点B以1厘米/秒的速度移动（到达点B即停止运动），点Q从B点开始沿BC边向点C以2厘米/秒的速度移动（到达点C即停止运动）．
（1）如果P、Q分别从A、B两点同时出发，经过几秒钟，△PBQ的面积等于△ABC的三分之一？
（2）如果P、Q两点分别从A、B两点同时出发，而且动点P从A点出发，沿AB移动（到达点B即停止运动），动点Q从B出发，沿BC移动（到达点C即停止运动），几秒钟后，P、Q相距6厘米？
【解答】解：（1）设t秒后，△PBQ的面积等于是△ABC的三分之一，根据题意得：
×2t（6﹣t）=××6×8，
解得：t=2或4．
答：2秒或4秒后，△PBQ的面积等于是△ABC的三分之一．
（2）设x秒时，P、Q相距6厘米，根据题意得：
（6﹣x）2+（2x）2=36，
解得：x=0（舍去）或x=．
答：秒时，P、Q相距6厘米
3.如图，有长为22米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为14米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在BC上用其他材料造了宽为1米的两个小门．
（1）设花圃的宽AB为x米，请你用含x的代数式表示BC的长 （24﹣3x） 米；
（2）若此时花圃的面积刚好为45m2，求此时花圃的宽．
【解答】解：（1）BC=22+2﹣3x=24﹣3x．
故答案为（24﹣3x）；
（2）x（24﹣3x）=45，
化简得：x2﹣8x+15=0，
解得：x1=5，x2=3．
当x=5时，24﹣3x=9＜14，符合要求；
当x=3时，24﹣3x=15＞14，不符合要求，舍去．
答：花圃的宽为5米
一元二次方程的利润问题
1、每件利润=售价 - 进价
总利润=每件利润 × 销售量
利润率 =
利润 = 进价 × 利润率
售价 = 进价 ×
典例分析
例1．某市场销售一批名牌衬衫，平均每天可销售20件，每件赢利40元．为了扩大销售，增加赢利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．求：
（1）若商场平均每天要赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？
（2）要使商场平均每天赢利最多，请你帮助设计方案．
解：设每天利润为w元，每件衬衫降价x元，
根据题意得w=（40-x）（20+2x）=-2x2+60x+800=-2（x-15）2+1250
（1）当w=1200时，-2x2+60x+800=1200，
解之得x1=10，x2=20．
根据题意要尽快减少库存，所以应降价20元．
答：每件衬衫应降价20元．
（2）解：商场每天盈利（40-x）（20+2x）=-2（x-15）2+1250．
当x=15时，商场盈利最多，共1250元．
答：每件衬衫降价15元时，商场平均每天盈利最多．
举一反三
1．某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施，调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台，商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？
【解答】解：设每台冰箱应降价x元 ,那么
(8+×4) ×(2400－x－2000)=4800
所以(x - 200)(x - 100)=0
x = 100或200
所以每台冰箱应降价100或200元.
2.西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜，以3元/千克的价格出售,每天可售出200千克.为了促销,该经营户决定降价销售.经调查发现,这种小型西瓜每降价O.1元/千克，每天可多售出40千克.另外，每天的房租等固定成本共24元.该经营户要想每天盈利2O0元，应将每千克小型西瓜的售价降低多少元?
【解答】解：设应将每千克小型西瓜的售价降低x元根据题意，得：
解得：＝0.2，＝0.3
答：应将每千克小型西瓜的售价降低0.2或0.3元。
一元二次方程的其他问题
1、平均变化率问题 增长率
（1）原产量+增产量=实际产量．
（2）单位时间增产量=原产量×增长率．
（3）实际产量=原产量×（1+增长率）．
2、相互问题（传播、循环）
典例分析
例1.某钢铁厂去年一月份某种钢的产量为5000吨，三月份上升到7200吨，这两个月平均
每月增长的百分率是多少？
【解答】解：设平均每月的增长率为x，据题意得：
5000（1+x）2=7200 （1+x）2=1.44 1+x=±1.2．
x1=0.2，x2=-2.2（不合题意，舍去）．取x=0.2=20％．
例2.（1）参加一次聚会的每两人都握了一次手,所有人共握手15次,有多少人参加聚会?
【解答】解：设有n人，
（n-6）（n+5）=0， n=6或n=-5（舍去）．
参加这次聚会有6人．
(2) 某初三毕业班的每一个同学都把自己的照片向全班其他的同学各送一张留作纪念，全班共送了3080张照片．如果该班有x名同学，根据题意可列出方程为?
【解答】解：全班有x名学生，那么每名学生送照片x-1张；
全班应该送照片x（x-1），
则可列方程为：x（x-1）=3080．
举一反三
1、有一人患了流感，经过两轮传染后共有169人患了流感．
（1）求每一轮传染中平均一个人传染了几个人？
（2）如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少人患上流感？
【解答】解：（1）设平均一人传染了x人，
x+1+（x+1）x=169
x1=12或x2=-14（舍去）．
答：平均一人传染12人．
（2）经过三轮传染后患上流感的人数为：169+12×169=2197（人），
答：经过三轮传染后患上流感的人数为2197人．
2、某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出多少小分支？
【解答】分析:由题意设每个支干长出的小分支的数目是x个，每个小分支又长出x个分支，则又长出个分支，则共有+x+1个分支，即可列方程求得x的值．
解答：解：设每个支干长出的小分支的数目是x个，
根据题意列方程得：+x+1=91，
解得：x=9或x=-10（不合题意，应舍去）；∴x=9；
答：每支支干长出9个小分支．
3.要组织一场篮球联赛,赛制为单循环形式,即每两队之间都赛一场,计划安排28场比赛,应邀请多少个球队参加比赛?
【解答】解：设邀请x个球队参加比赛，
依题意得1+2+3+…+x-1=15， 即∴x2-x-30=0，
∴x=6或x=-5（不合题意，舍去）．
答：应邀请6个球队参加比赛．
课堂闯关
初出茅庐
1．如图，一农户要建一个矩形花圃，花圃的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的篱笆围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门，花圃面积为80m2，设与墙垂直的一边长为xm（已标注在图中），则可以列出关于x的方程是（ ）
x（26﹣2x）=80 B．x（24﹣2x）=80
C．（x﹣1）（26﹣2x）=80 D．x（25﹣2x）=80
【解答】解：设与墙垂直的一边长为xm，则与墙平行的一边长为（26﹣2x）m，
根据题意得：x（26﹣2x）=80．
故选A．
2．某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由560元降为315元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．设每次降价的百分率为x，下面所列的方程中正确的是（ ）
A．560（1+x）2=315 B．560（1﹣x）2=315
C．560（1﹣2x）2=315 D．560（1﹣x2）=315
【解答】解：设每次降价的百分率为x，由题意得：
560（1﹣x）2=315，
故选：B．
3．有x支球队参加篮球比赛，共比赛了45场，每两队之间都比赛一场，则下列方程中符合题意的是（ ）
A．x（x﹣1）=45 B．x（x+1）=45 C．x（x﹣1）=45 D．x（x+1）=45
【解答】解：∵有x支球队参加篮球比赛，每两队之间都比赛一场，
∴共比赛场数为x（x﹣1），
∴共比赛了45场，
∴x（x﹣1）=45，
故选A．
4．某公司今年销售一种产品，一月份获得利润10万元，由于产品畅销，利润逐月增加，一季度共获利36.4万元，已知2月份和3月份利润的月增长率相同．设2，3月份利润的月增长率为x，那么x满足的方程为（ ）
A．10（1+x）2=36.4 B．10+10（1+x）2=36.4
C．10+10（1+x）+10（1+2x）=36.4 D．10+10（1+x）+10（1+x）2=36.4
【解答】解：设二、三月份的月增长率是x，依题意有
10+10（1+x）+10（1+x）2=36.4，
故选D．
5．餐桌桌面是长为160cm，宽为100cm的长方形，妈妈准备设计一块桌布，面积是桌面的2倍，且使四周垂下的边等宽．若设垂下的桌布宽为xcm，则所列方程为（ ）
A．（160+x）（100+x）=160×100×2 B．（160+2x）（100+2x）=160×100×2
C．（160+x）（100+x）=160×100 D．2（160x+100x）=160×100
【解答】解：依题意得：桌布面积为：160×100×2，
桌面的长为：160+2x，宽为：100+2x，
则面积为=（160+2x）（100+2x）=2×160×100．
故选B．
6．某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个．设该厂八、九月份平均每月的增长率为x，那么方程是 50+50（1+x）+50（1+x）2=196 ．
【解答】解：∵七月份生产零件50万个，设该厂八九月份平均每月的增长率为x，
∴八月份的产量为50（1+x）万个，九月份的产量为50（1+x）2万个，
∴50+50（1+x）+50（1+x）2=196，
故答案为：50+50（1+x）+50（1+x）2=196．
7．如图，在长70m，宽40m的长方形花园中，欲修宽度相等的观赏路（如阴影部分所示），要使观赏路面积占总面积的，则路宽x应满足的方程是 （70﹣3x）（40﹣2x）=40×70×（1﹣） ．
【解答】解：设路宽为xm，
由题意得，（70﹣3x）（40﹣2x）=40×70×（1﹣）．
故答案为：（70﹣3x）（40﹣2x）=40×70×（1﹣）．
8．参加一次聚会的每两人都握了一次手，所有人共握手10次，有 5 人参加聚会．
【解答】解：设有 x人参加聚会，根据题意列方程得，
=10，
解得x1=5，x2=﹣4（不合题意，舍去）；
答：有 5人参加聚会．
故答案为：5．
优学学霸
1．如图所示，某幼儿园有一道长为16米的墙，计划用32米长的围栏靠墙围成一个面积为120平方米的矩形草坪ABCD．求该矩形草坪BC边的长．
【解答】解：设BC边的长为x米，则AB=CD=米，
根据题意得：×x=120，
解得：x1=12，x2=20，
∵20＞16，
∴x2=20不合题意，舍去，
答：矩形草坪BC边的长为12米．
2．龙华天虹商场以120元/件的价格购进一批上衣，以200元/件的价格出售，每周可售出100件．为了促销，该商场决定降价销售，尽快减少库存．经调查发现，这种上衣每降价5元/件，每周可多售出20件．另外，每周的房租等固定成本共3000元．该商场要想每周盈利8000元，应将每件上衣的售价降低多少元？
【解答】解：设每件上衣应降价x元，则每件利润为（80﹣x）元，
列方程得：（80﹣x）（100+x）﹣3000=8000，
解得：x1=30，x2=25
因为为了促销，该商场决定降价销售，尽快减少库存，
所以x=30．
答：应将每件上衣的售价降低30元．
考场直播
1．某商场以每件20元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销售量m（件）与每件的销售价x（元）满足关系：m=140﹣2x．如果商场要想每天获得800元的销售利润，又让顾客得到实惠，每件商品的售价应定为多少？
【解答】解：设每件商品的售价应定为x元，由题意，得
（x﹣20）（140﹣2x）=800，
整理，得x2﹣90x+1800=0，
解得x1=30，x2=60．
∵要让顾客得到实惠，
∴x=30，
答：每件商品的售价应定为30元．
自我挑战
1．某超市一月份的营业额为100万元，三月份的营业额为144万元，如果每月比上月增长的百分数相同，则平均每月的增长率为（ ）
A．10% B．15% C．20% D．25%
【解答】解：设增长率为x，根据题意得
100（1+x）2=144，
解得x=﹣2.2（不合题意舍去），x=0.2．
所以每月的增长率应为20%．
故选C．
2．要组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛．设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为（ ）
A．x（x+1）=28 B．x（x﹣1）=28 C．x（x+1）=28 D．x（x﹣1）=28
【解答】解：每支球队都需要与其他球队赛（x﹣1）场，但2队之间只有1场比赛，
所以可列方程为：x（x﹣1）=4×7．
故选：B．
3．用一条长为40cm的绳子围成一个面积为acm2的长方形，a的值不可能为（ ）
A．20 B．40 C．100 D．120
【解答】解：设围成面积为acm2的长方形的长为xcm，则宽为（40÷2﹣x）cm，依题意，得
x（40÷2﹣x）=a，整理，得
x2﹣20x+a=0，
∵△=400﹣4a≥0，
解得a≤100，
故选：D．
4．某市2013年生产总值（GDP）比2012年增长了12%，由于受到国际金融危机的影响，预计今年比2013年增长7%．若这两年GDP年平均增长率为x%，则x%满足的关系是（ ）
A．12%+7%=x% B．（1+12%）（1+7%）=2（1+x%）
C．12%+7%=2?x% D．（1+12%）（1+7%）=（1+x%）2
【解答】解：设2012年的国内生产总值为1，
∵2013年国内生产总值（GDP）比2012年增长了12%，
∴2013年的国内生产总值为1+12%；
∵2014年比2013年增长7%，
∴2014年的国内生产总值为（1+12%）（1+7%），
∵这两年GDP年平均增长率为x%，
∴2014年的国内生产总值也可表示为：（1+x%）2，
∴可列方程为：（1+12%）（1+7%）=（1+x%）2．
故选D．
5．某厂改进工艺降低了某种产品的成本，两个月内从每件产品250元，降低到了每件160元，平均每月降低率为（ ）
A．15% B．20% C．5% D．25%
【解答】解：如果设平均每月降低率为x，根据题意可得
250（1﹣x）2=160，
∴x1=0.2，x2=1.8（不合题意，舍去）．
故选B．
6．如图，在一块矩形的荒地上修建两条互相垂直且宽度相同的小路，使剩余面积是原矩形面积的一半，具体尺寸如图所示．求小路的宽是多少？设小路的宽是xm，根据题意可列方程为 （30﹣x）（20﹣x）=×30×20 ．
【解答】解：设道路的宽应为x米，由题意有
（30﹣x）（20﹣x）=×30×20．
故答案为：（30﹣x）（20﹣x）=×30×20．
7．一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m．如果梯子的顶端下滑1m，梯子的底端滑动xm，可得方程 （6+x）2+（8﹣1）2=102 ．
【解答】解：设梯子的底端滑动xm．
=6，
（6+x）2+（8﹣1）2=102．
故答案为：（6+x）2+（8﹣1）2=102．
8．某印刷厂1月份印刷了60册书籍，2月和3月份印刷书籍的册数按相同增长率x增长，第3月份印刷了书籍达到200万册．为求出x，可列出方程 60+60（1+x）+60（1+x）2=200 ．
【解答】解：如果设2，3月份平均每月的增长率是x，
那么可以用x表示2，3月份的印刷书籍分别是60（1+x）、60（1+x）2，
然后根据题意可列出方程为60+60（1+x）+60（1+x）2=200．
故答案为：60+60（1+x）+60（1+x）2=200．
如图，A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB=16cm，AD=6cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达B为止，点Q以2 cm/s的速度向D移动．
（1）P、Q两点从出发开始到几秒？四边形PBCQ的面积为33cm2；
（2）P、Q两点从出发开始到几秒时？点P和点Q的距离是10cm．
【解答】解：（1）设P、Q两点从出发开始到x秒时四边形PBCQ的面积为33cm2，
则PB=（16﹣3x）cm，QC=2xcm，
根据梯形的面积公式得（16﹣3x+2x）×6=33，
解之得x=5，
（2）设P，Q两点从出发经过t秒时，点P，Q间的距离是10cm，
作QE⊥AB，垂足为E，
则QE=AD=6，PQ=10，
∵PA=3t，CQ=BE=2t，
∴PE=AB﹣AP﹣BE=|16﹣5t|，
由勾股定理，得（16﹣5t）2+62=102，
解得t1=4.8，t2=1.6．
答：（1）P、Q两点从出发开始到5秒时四边形PBCQ的面积为33cm2；
（2）从出发到1.6秒或4.8秒时，点P和点Q的距离是10cm．
10．商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价2元，商场平均每天可多售出 4件．设每件商品降价x元．据此规律，请回答：
（1）每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2100元？
（2）商场日盈利能否达到2200元？请说明理由．
【解答】解：（1）由题意，得
（30+4×）（50﹣x）=2100，
解得：x1=20，x2=15．
∵为了减少库存，
∴每件商品降价20元；
（2）设总盈利为W元，由题意，得
W=（30+4×）（50﹣x），
=﹣2x2+70x+1500，
=﹣2（x﹣）2+2112.5．
∴a=﹣2＜0，
∴W有最大值，
∴x=时，W最大=2112.5＜2200．
∴商场日盈利不能达到2200元
知识要点一
知识要点二
一元二次方程的面积问题
知识要点三
知识要点四
注意以下几个问题：
（1）为计算简便、直接求得，可以直接设增长的百分率为x．
（2）认真审题，弄清基数，增长了，增长到等词语的关系．
（3）用直接开平方法做简单，不要将括号打开．
规律：
设某产量原来的产值是a，平均每次增长的百分率为x，则增长一次后的产值为a（1+x），增长两次后的产值为a（1+x）2 ，…………增长n次后的产值为S=a（1+x）．
裸裸的残酷的掠夺，激起了当地土著民族顽强的反抗。
学霸说
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