2020春人教版八年级数学下册第十六章 二次根式综合检测卷(PDF版 含答案)

书
１　
　　　
八年级（下）
　数 学 　　第十六章　综合检测卷
时间：１００分钟　　满分：１２０分
题　号 一 二 三 总分
得　分
一、选择题（共１０小题，每小题３分，计３０分．每小题只有一个选项是符合题意的）
１．在实数范围内分解因式４ａ３－８ａ的结果是 （　　）
Ａ．４ａ（ａ２－２）　　　　　　　　　　Ｂ．２ａ（ａ＋２）（ａ－２）
Ｃ．４ａ（ａ＋槡２）（ａ－槡２） Ｄ．ａ（ａ＋２）（ａ－２）
２．下面关于二次根式 １６－２槡 ｘ的说法正确的是 （　　）
Ａ．没有最大值，最小值为０ Ｂ．没有最大值，没有最小值
Ｃ．最大值为４，最小值为０ Ｄ．最大值为４，没有最小值
３．若ｘ＝槡２＋
１
３槡２０１９，ｙ＝槡２－
１
３槡２０１９，则ｘ
２＋２ｘｙ＋ｙ２的值为 （　　）
Ａ．１２　　　　　　Ｂ．４　　　　　　Ｃ．２０１９　　　　　　Ｄ．８
４．全国数学联赛是展现学生优秀数学思维的重要平台．某班级对全班学生的数
学素质及思维进行了考察，规定１００分为一类，８０分为二类，６０分为三类，４０
分及以下为四类，小琪的测试卷如图所示，如果你是老师，小琪应属于（　　）
姓名小琪　得分　？　
填空（每小题２０分，共１００分）
①｜１－槡２｜－（π－２）
０＝槡２
②若ｘ的平方根是±２，则ｘ２＝４
③槡１１＋２的值在４和５之间
④（－１３）
－２＋１＝－８
⑤槡１６的平方根是±４
　　　　　第４题图
Ａ．一类 Ｂ．二类 Ｃ．三类 Ｄ．四类
５．若ｘ为负数，要使得 １＋槡 ｘ＋
ｘ－１
ｘ＋２有意义，则表示ｘ的值是 （　　）
Ａ．－２＜ｘ＜－１ Ｂ．－１≤ｘ＜０ Ｃ．０＜ｘ＜１ Ｄ．－２＜ｘ＜０
６．等腰三角形的两条边长分别为３槡５和５槡３，则这个三角形的周长为 （　　）
Ａ．６槡５＋５槡３ Ｂ．１０槡３＋３槡５
Ｃ．６槡５＋５槡３或１０槡３＋３槡５ Ｄ．４槡３＋６槡５
７．化简ａ １
槡ａ
可运用如下方法：原式 ＝ ａ槡
２× １
槡ａ
＝ ａ２×１
槡 ａ
＝槡ａ，那么化简
ａ －５
槡 ａ
的结果是 （　　）
Ａ． －５槡 ａ Ｂ．
１
ａ槡５ Ｃ．－ －５槡 ａ Ｄ．－５ －槡 ａ
８．数学探究课上，爱动脑筋的李晓强同学通过自己的“智慧”得出了“２＝－２”的
论断，下面是他的推导过程：
∵２槡３＝ ２
２
槡 ×３＝槡１２…（１）
－２槡３＝ （－２）
２
槡 ×３＝槡１２…（２）
∴２槡３＝－２槡３…（３）
∴２＝－２…（４）
上面的推导中开始出错的步骤是 （　　）
Ａ．（１） Ｂ．（２） Ｃ．（３） Ｄ．（４）
９．已知槡ｙ＝
１
槡ｂ
－槡ｂ，则 ４ｙ＋ｙ槡
２的值是 （　　）
Ａ．ｂ＋１ｂ Ｂ．ｂ－
１
ｂ Ｃ．
１
ｂ－１ Ｄ．以上都不是
１０．现定义一种新的运算：对于任意不相等的两个非负实数 ａ和 ｂ，ａ?ｂ＝
ａ＋槡 ｂ
ａ－ｂ，则下列关于这种运算的几个结论：①３?２＝槡５；②ａ?ｂ＋ｂ?ａ＝０；
③ａ?（ｂ＋ｃ）＝ａ?ｂ＋ａ?ｃ；④不存在这样的实数ａ和ｂ，使得ａ?ｂ＝０．其中
错误结论的个数是 （　　）
Ａ．１个 Ｂ．２个 Ｃ．３个 Ｄ．４个
二、填空题（共６小题，每小题３分，计１８分）
１１．数学课上，小梦同学说：“因为槡９＝３，所以槡９不是二次根式．”你认为小梦的
说法对吗？　　　　（填对或错）．
１２．神威·太湖之光是我国自主研发的超级计算机，其运算峰值已经达到每秒
１２．５亿次，多次位居世界第一．某同学对此十分感兴趣，自己设计了一个简易的
程序计算，若其开始输入的值是－２槡２，则最后输出的结果是　　　　　．
第１２题图
　　
第１４题图
１３．已知 ａ槡 ＋９是最简二次根式，且它与槡３２可以进行合并，则ａ＝　　　　．
１４．实数 ａ，ｂ在数轴上对应点的位置如图所示，化简｜ａ｜＋ （ｂ－ａ）槡
２的结
果是　　　　．
１５．方程４槡３（ｘ＋槡２）＝２（槡３ｘ－槡６）的解是　　　　．
１６．下面是小倩完成的作业题，请参考小倩的方法解答下面的问题．
　　
　（槡６－槡５）（槡６＋槡５）
２
＝（槡６－槡５）（槡６＋槡５）（槡６＋槡５）
＝［（槡６－槡５）（槡６＋槡５）］（槡６＋槡５）
＝（６－５）（槡６＋槡５）
＝槡６＋槡５．
计算：槡６－槡( )５
２０１９× 槡６＋槡( )５
２０２０＝　　　　　　　　　　　　　　　．
三、解答题（计７２分）
１７．（本题满分８分）
把下列各式化为最简二次根式：
（１） １３２－１１槡
２；　　　（２）－６ ２
槡３
；
（３）２ ４ａ３ｂ２槡 ｃ（ａ＞０，ｂ＞０）；　　（４）
２０ｘ２ｙ２
ｚ槡 ５
．
１８．（本题满分６分）
计算：
（１）（３槡１８＋
１
５槡５０－４
１
槡２
）÷槡３２；
（２）（ ａ２槡 ｂ＋槡ａ）（槡ｂ－ ａｂ槡
２）＋５ａｂ １
槡ａｂ
．
１９．（本题满分１０分）
先化简，再求值：
（１）５ ｘ
槡５
－５４
４ｘ
槡５
＋ｘ ４５
槡ｘ
，其中ｘ＝４；
（２）ａ＋槡ａｂ
槡ａｂ＋ｂ
＋槡ａｂ－ｂ
ａ－槡ａｂ
，其中ａ＝２＋槡３，ｂ＝２－槡３．
２０．（本题满分１０分）
已知ｘ为任意实数，试化简代数式 ｘ＋１ － ｘ２－４ｘ槡 ＋４
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２
２１．（本题满分１２分）
观察下列各式：
１＋１
１２
＋１
２槡 ２
＝１＋ １１×２
１＋１
２２
＋１
３槡 ２
＝１＋ １２×３
１＋１
３２
＋１
４槡 ２
＝１＋ １３×４
．．．
请利用你所发现的规律，解决下列问题：
（１）第５个算式为　　　　；
（２）求 １＋１
１２
＋１
２槡 ２
＋ １＋１
２２
＋１
３槡 ２
＋ １＋１
３２
＋１
４槡 ２
＋．．．＋ １＋１
９９２
＋ １
１００槡 ２
的值；
（３）请直接写出 １＋１
１２
＋１
２槡 ２
＋ １＋１
２２
＋１
３槡 ２
＋．．．＋ １＋１
ｎ２
＋ １
ｎ( )＋１槡 ２
的结果．
２２．（本题满分１２分）
阅读理解：对于任意正整数ａ，ｂ，∵（槡ａ－槡ｂ）
２
≥０，∴ａ－２槡ａｂ＋ｂ≥０，∴ａ＋
ｂ≥２ ａｂ槡 ，只有当ａ＝ｂ时，等号成立；结论：在 ａ＋ｂ≥２槡ａｂ（ａ，ｂ均为正实
数）中，只有当ａ＝ｂ时，ａ＋ｂ有最小值２槡ａｂ．
根据上述内容，回答下列问题：
（１）若ａ＋ｂ＝９，槡ａｂ≤　　　　．
（２）若ｍ＞０，当ｍ为何值时，ｍ＋１ｍ有最小值，最小值是多少？
２３．（本题满分１４分）
某居民小区有块形状为长方形的绿地，长方形绿地 ＡＢＣＤ的长 ＢＣ为
槡５１２ｍ，宽ＡＢ为槡１２８ｍ，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛（即图
中阴影部分），长方形花坛的长为 槡( )３９＋１ ｍ，宽为 槡( )３９－１ ｍ．
（１）长方形ＡＢＣＤ的周长和面积各是多少？
（２）除过修建花坛的地方，需要在其他地方铺上可以涵养水源的海绵透水地
砖，已知每块地砖的面积为０．２５ｍ２，现有两家商家可供选择，若在Ａ商家购
买，每块地砖的价格为４５元，５００块以下不优惠，５００块以上则全部打八折；
若在Ｂ商家购买，每块地砖为４０元，超过５００块以上的部分打九折出售，若
不能同时在两家购买，假如你是项目负责人，你应该怎样选择能使花费最
少，最少花费是多少元？
　第２３题图
核 心 素 养 加 练
（本题满分１２分）
数学阅读：古希腊的几何学家海伦，约公元５０年，在数学史上以解决几何测
量问题而闻名．在他的著作《度量》一书中，给出了如下公式：若一个三角形
的三边分别为 ａ，ｂ，ｃ，记 ｐ＝１２（ａ＋ｂ＋ｃ），那么三角形的面积为：Ｓ＝
ｐ（ｐ－ａ）（ｐ－ｂ）（ｐ－ｃ槡 ）（海伦公式）．我国南宋时期数学家秦九韶（约１２０２～约
１２６１），曾 提 出 利 用 三 角 形 的 三 边 求 面 积 的 秦 九 韶 公 式 Ｓ＝
１
４［ａ
２ｂ２－（ａ
２＋ｂ２－ｃ２
２ ）
２
槡
］．海伦公式和秦九韶公式实质上是同一个公式，
所以我们一般也称此公式为海伦－秦九韶公式．
数学应用：
如图①，在△ＡＢＣ中，已知ＡＢ＝９，ｐ＝１２，Ｓ△ＡＢＣ＝１２槡５．
（１）求边ＢＣ和ＡＣ的长度；
（２）如图②，ＡＤ，ＢＥ为△ＡＢＣ的两条角平分线，它们的交点为 Ｉ，求△ＡＢＩ
的面积．
题图
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章
检
测
卷
第十六章　综合检测卷
１．Ｃ　【解析】４ａ３－８ａ＝４ａ（ａ２－２）＝４ａ［ａ２－（槡２）
２
］＝
４ａ（ａ 槡＋２）（ａ 槡－２）．
２．Ａ　【解析】∵１６－２ｘ≥０，∴ １６－２槡 ｘ≥０，∴二次
根式没有最大值，最小值为０．
３．Ｄ　【解析】ｘ２＋２ｘｙ＋ｙ２＝（ｘ＋ｙ）２，把 ｘ 槡＝ ２＋
１
３槡２０１９，ｙ 槡＝２－
１
３槡２０１９代入上式得，原式 ＝
（槡２＋
１
３槡 槡２０１９＋２－
１
３槡２０１９）
２
＝（槡２２）
２
＝８．
４．Ｄ　【解析】①∵ 槡１－２ －（π－２）
０
槡＝２－１－１＝
槡２－２，∴小琪的答案是错误的；②∵ｘ的平方根
是±２，那么ｘ＝４，∴ｘ２＝１６，因此小琪的答案是错
误的；③∵因为 槡３＜ １１＜４，所以 槡５＜ １１＋２＜６，因
此小琪的答案是错误的；④∵（－１３）
－２
＋１＝９＋１＝
１０，∴小琪的答案是错误的；⑤ 槡∵ １６＝４，４的平
方根为±２，因此小琪的答案是错误的，∴小琪的
得分在４０分以下，属于四类
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．
２
５．Ｂ　【解析】∵ｘ为负数，∴ｘ＜０，要使得 １＋槡 ｘ＋
ｘ－１
ｘ＋２有意义，则
１＋ｘ≥０，
ｘ＋２≠０{ ，解得 ｘ≥ －１，∴ｘ的取
值范围是－１≤ｘ＜０．
６．Ｃ　【解析】分 槡３５是腰长和底边两种情况讨论求
解．当 槡３５是腰长时，三角形的三边分别为 槡３ ５，
槡３５，槡５３，能组成三角形，周长 槡 槡＝３５＋３５＋
槡 槡 槡５３＝６ ５＋５ ３；当 槡３ ５是底边时，三角形的三
边分别为 槡３５，槡５ ３， 槡５ ３，能组成三角形，周长 ＝
槡 槡 槡 槡 槡３５＋５３＋５ ３＝１０ ３＋３ ５，综上所述，这个
三角形的周长为 槡 槡６５＋５３或 槡 槡１０３＋３５．
７．Ｃ　【解析】∵ａ －５
槡 ａ
有意义，∴ａ＜０，∴ａ
－５
槡 ａ
＝－ （－ａ）２×５－槡 ａ
＝－ －５槡 ａ．
８．Ｂ　【解析】（２）左边是负数右边是正数，故（２）错
误．∴推导中开始出错的步骤是第（２）步．
９．Ｃ　【解析】由已知条件得 ｙ＝（１
槡ｂ
－槡ｂ）
２＝１ｂ＋
ｂ－２，则ｙ＋２＝１ｂ＋ｂ，（ｙ＋２）
２＝ｙ２＋４ｙ＋４＝
（
１
ｂ＋ｂ）
２＝１
ｂ２
＋ｂ２＋２，则 ｙ２＋４ｙ＝１
ｂ２
＋ｂ２－２＝
（
１
ｂ－ｂ）
２．∵槡ｙ＝
１
槡ｂ
－槡ｂ，∴０＜ｂ≤１，∴
１
ｂ－ｂ≥０．
∴ ４ｙ＋ｙ槡
２＝｜１ｂ－ｂ｜＝
１
ｂ－ｂ．
１０．Ａ　【解析】①当ａ＝３，ｂ＝２时，原式 ＝槡３＋２３－２ ＝
槡５，正确；②原式 ＝
ａ＋槡 ｂ
ａ－ｂ ＋
ｂ＋槡 ａ
ｂ－ａ ＝
ａ＋槡 ｂ
ａ－ｂ －
ａ＋槡 ｂ
ａ－ｂ＝０，正确；③左边＝
ａ＋（ｂ＋ｃ槡 ）
ａ－（ｂ＋ｃ），右边＝
ａ＋槡 ｂ
ａ－ｂ＋
ａ＋槡 ｃ
ａ－ｃ，观察可知左边≠右边，错误；④
由于ａ，ｂ是非负实数，且不相等，故 ａ＋ｂ＞０，且
ａ－ｂ≠０，∵ａ?ｂ＝ ａ＋槡 ｂａ－ｂ，∴不存在这样的实数
ａ和ｂ，使得ａ?ｂ＝０，正确．
１１．错　【解析】 槡∵ ９中被开方数 ９＞０且含有
“槡　”， 槡∴ ９是二次根式．∴小红的说法错误．
１２．０　【解析】当输入的值为 槡－２ ２， 槡∵ －２ ２＜０，
∴ （ 槡－２２）槡
２
＋１２×（ 槡－２ ２） 槡＝２， 槡∵ ２＞０，
∴（槡 槡２－２）
２
＝０，∵０≤０，∴输出的值为０．
１３．－７　【解析】∵ ａ槡 ＋９是最简二次根式，且它与
槡３２可以进行合并，而 槡 槡３２＝４ ２，∴ａ＋９＝２，
∴ａ＝－７．
１４．ｂ－２ａ　【解析】由题可知，ａ＜０，ｂ－ａ＞０，｜ａ｜＋
（ｂ－ａ）槡
２＝－ａ＋（ｂ－ａ）＝ｂ－２ａ．
１５．ｘ 槡＝－３２　【解析】由方程 槡４３（ｘ 槡＋２）＝２（槡３ｘ－
槡６）整理得 槡２ ３ｘ 槡＝－６ ６，解得 ｘ＝ 槡
－６ ６
槡２３
＝
槡－３２，即ｘ 槡＝－３２．
１６．槡 槡６＋５　【解析】（槡 槡６－５）
２０１９
×（槡 槡６＋５）
２０２０
＝
章
检
测
卷
５）２０１９×（槡 槡６＋５） 槡 槡＝６＋５．
１７．解：（１）原式 ＝ （１３＋１１）（１３－１１槡 ） 槡＝ ４８＝４
槡３； （２分）!!!!!!!!!!!!!!!
（２）原式＝－６×槡６３ 槡＝－２６； （２分）!!!!
（３）原式＝２×２ 槡ａｂ ａｃ＝４ 槡ａｂ ａｃ； （２分）!!!
（４）原式＝ ２０ｘ
２ｙ槡
２
ｚ槡
５
＝２ｘｙ ５槡ｚ
ｚ３
． （２分）
!!!
１８．解：（１）原式＝（槡 槡 槡９２＋２－２２） 槡÷４２
槡 槡＝８２÷４２＝２； （３分）!!!!
（２）原式＝（ 槡ａ ｂ＋槡ａ）（槡ｂ－ 槡ｂ ａ）＋５ａｂ×
１
槡ａｂ
＝ａｂ－ 槡ａｂ ａｂ＋槡ａｂ－ａｂ＋５ａｂ×槡
ａｂ
ａｂ
＝槡ａｂ－ 槡ａｂ ａｂ＋５槡ａｂ
＝（６－ａｂ）槡ａｂ． （３分）!!!!!!
１９．解：（１）原式 ＝５× ５槡ｘ５ －
５
４×
２５槡ｘ
５ ＋ｘ×
３５槡ｘ
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ｘ
３
（槡 槡６－５）（槡 槡６＋５[ ]）
２０１９×（槡 槡６＋ ５）＝（６－
＝ ５槡ｘ－
１
２ ５槡ｘ＋３５槡ｘ
＝７５槡ｘ２ ，
当ｘ＝４，原式＝ 槡７× ５×４２ 槡＝７５； （５分）!!
（２）原式＝槡ａ（槡ａ＋槡ｂ）
槡ｂ（槡ａ＋槡ｂ）
＋槡ｂ（槡ａ－槡ｂ）
槡ａ（槡ａ－槡ｂ）
＝槡
槡
ａ
ｂ
＋槡
槡
ｂ
ａ
＝槡ａｂｂ ＋
槡ａｂ
ａ ＝
ａ＋ｂ
ａｂ槡ａｂ，
∵ａ 槡＝２＋３，ｂ 槡＝２－３，∴ａｂ＝（ 槡２＋３）（ 槡２－３）＝
１，ａ＋ｂ＝４，∴原式＝４１ 槡×１＝４． （５分）!!!
２０．解：原式＝ ｘ＋１ － （ｘ－２）槡
２
＝ ｘ＋１ － ｘ－２． （４分）
!!!!!
当ｘ＜－１时，原式＝－（ｘ＋１）－（２－ｘ）＝－３；
当－１≤ｘ≤２时，原式＝ｘ＋１－（２－ｘ）＝２ｘ－１；
当ｘ＞２时，原式＝ｘ＋１－（ｘ－２）＝３． （１０分）
!
２１．解：（１） １＋１
５２
＋１
６槡 ２
＝１＋ １５×６ （２分）!!!
（２）原式 ＝１＋ １１×２＋１＋
１
２×３＋… ＋１＋
１
９９×１００
＝１×９９＋１－１２＋
１
２－
１
３＋
１
３－
１
４＋
…＋１９９－
１
１００
＝９９＋１－１１００
＝９９９９１００； （７分）!!!!!!!!!
（３）原式 ＝１＋ １１×２＋１＋
１
２×３＋… ＋１＋
１
ｎ×（ｎ＋１）
＝１×ｎ＋１－１２＋
１
２－
１
３＋
１
３－
１
４＋
…＋ １ｎ－２－
１
ｎ－１＋
１
ｎ－１－
１
ｎ
＝ｎ＋１－ １ｎ＋１
＝（ｎ＋１）
２－１
ｎ＋１
＝ｎ（ｎ＋２）ｎ＋１ ． （１２分）!!!!!!!
２２．解：（１）９２ （４分）!!!!!!!!!!!!
【解法提示】∵ａ＋ｂ≥２ａｂ槡 ，（ａ，ｂ均为正实数），
∴ａ＋ｂ＝９，则ａ＋ｂ≥２ａｂ槡 ，即槡ａｂ≤
９
２．
（２）由（１）得，ｍ＋１ｍ≥２ ｍ×
１
槡 ｍ
，即ｍ＋１ｍ≥２，
当ｍ＝１ｍ时，ｍ＝１（负数舍去），故当 ｍ＝１时，
ｍ＋１ｍ有最小值，最小值为２． （１２分）!!!!
２３．解：（１）长方形ＡＢＣＤ的周长＝２（槡 槡５１２＋ １２８）＝２
（ 槡 槡１６２＋８２） 槡＝４８２（ｍ），
长方形 ＡＢＣＤ的面积 槡 槡＝ ５１２× １２８＝（ 槡１６２×
槡８２）＝２５６（ｍ
２），
章
检
测
卷
（２）通道的面积 槡 槡＝ ５１２× １２８－（槡３９＋１）（槡３９－
１）＝２５６－（３９－１）＝２１８（ｍ２）
需要购买的地砖的数量为２１８÷０．２５＝８７２（块），
若在Ａ商家购买，则需要４５×８７２×０．８＝３１３９２（元），
若在Ｂ商家购买，则需要４０×５００＋４０×０．９×３７２＝
３３３９２（元）．
所以选择 Ａ商家购买比较划算，最少的费用为
３１３９２元． （１４分）
!!!!!!!!!!!!
核心素养加练
　 解：（１）∵ｃ＝ＡＢ＝９，ｐ＝１２，∴１２（ａ＋ｂ＋ｃ）＝
１
２（ａ＋ｂ＋９）＝１２，
∴Ｓ＝ ｐ（ｐ－ａ）（ｐ－ｂ）（ｐ－ｃ槡 ）
＝ １２（１２－ａ）（１２－ｂ）（１２－９槡 ） 槡＝１２５，
∴
ａ＋ｂ＝１５，
（１２－ａ）（１２－ｂ）＝２０{ ，解得 ｂ＝８，ａ＝７{ ．
∴ＢＣ＝７，ＡＣ＝８． （５分）
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!!!!!!!!!!
４
答：长方形 ＡＢＣＤ的周长是 槡４８２ｍ，面积是
２５６ｍ２． （６分）
!!!!!!!!!!!!!
（２）如解图，过点 Ｉ作 ＩＦ⊥ＡＢ，ＩＧ⊥ＡＣ，ＩＨ⊥ＢＣ，
垂足分别为点Ｆ，Ｇ，Ｈ，连接ＣＩ．
∵ＡＤ，ＢＥ分别为△ＡＢＣ的角平分线，
∴ＩＦ＝ＩＨ＝ＩＧ．
解图
∵Ｓ△ＡＢＣ＝Ｓ△ＡＢＩ＋Ｓ△ＡＣＩ＋Ｓ△ＢＣＩ，
∴１２（９·ＩＦ＋８·ＩＦ＋７·ＩＦ）＝
槡１２５，解得ＩＦ 槡＝５．
故Ｓ△ＡＢＩ＝
１
２ＡＢ·ＦＩ＝
１
２×９×
槡５＝ 槡
９５
２． （１２分）!!!!!!!!!!!!