中小学教育资源及组卷应用平台
【专题讲义】北师大版九年级数学上册
第9讲 反比例函数与反比例函数图像综合复习专题精讲（提高版）
授课主题 第09讲---反比例函数与反比例函数图像
授课类型 T同步课堂 P实战演练 S归纳总结
教学目标 ①理解反比例函数的概念，能判断两个变量之间的关系是否是反比例函数关系；②能根据已知条件确定反比例函数的表达式及作出函数图像；③掌握函数图像的性质与系数k的几何意义。
授课日期及时段
T（Textbook-Based）——同步课堂
一、知识框架 二、知识概念 （一）反比例与反比例函数 1、反比例 如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个非零常数，那么这两个变量成反比例，用数学符号语言记为xy=k，或 (k≠0）。 成反比例的关系式不一定是反比例函数,但是反比例函数中的两个变量必成反比例关系。 2、反比例函数 （1）定义 一般地，形如（为常数，）的函数称为反比例函数。还可以写成。也可以写成xy＝k, 它表明在反比例函数中自变量x与其对应函数值y之积，总等于已知常数k. （2）反比例函数解析式的特征 ① 等号左边是函数，等号右边是一个分式。分子是不为零的常数（也叫做比例系数），分母中含有自变量，且指数为1. ② 比例系数 ③ 自变量的取值为一切非零实数。 ④ 函数的取值是一切非零实数。 （3）待定系数法 反比例函数解析式的确定：利用待定系数法（只需一对对应值或图像上一个点的坐标即可求出）。 （二）反比例函数的图像与性质 1、图像的画法：描点法列表（应以O为中心，沿O的两边分别取三对或以上互为相反的数） 描点（有小到大的顺序） 连线（从左到右光滑的曲线）2、图像特征：（1）反比例函数的图像是双曲线，（为常数，）中自变量，函数值，所以双曲线是不经过原点，断开的两个分支，延伸部分逐渐靠近坐标轴，但是永远不与坐标轴相交。 （2）反比例函数的图像是是轴对称图形（对称轴是或），也是中心对称图形。 （3）系数的几何意义：过双曲线 （）上任意引轴轴的垂线，所得矩形面积为。 考点一：反比关系与反比例函数定义例1、下列函数关系中是反比例函数的是（ ） A.等边三角形面积S与边长的关系 B.直角三角形两锐角A与B的关系 C.长方形面积一定时，长与宽的关系 D.等腰三角形顶角A与底角B的关系例2、下列函数是不是反比例函数，为什么？ （1） （2） （3）xy＝21 （4） （5） （6） （7）y＝x－4 （8） 例3、当m取什么值时，函数是反比例函数？ 考点二：反比例函数的表达式例1、若y与x成反比例，且x＝－3时，y＝7，则求y与x的函数关系式。 例2、已知函数y＝y1＋y2，y1与x成正比例，y2与x成反比例，且当x＝1时，y＝4；当x＝2时，y＝5 （1）求y与x的函数关系式 （2）当x＝－2时，求函数y的值 考点三：反比例函数的图像与性质例1、反比例函数（m为常数）当x＜0时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是（ ） A．m＜0 B． C． D．m≥例2、如图，正比例函数y1=k1x的图象与反比例函数y2=的图象相交于A，B两点，其中点A的横坐标为2，当y1＞y2时，x的取值范围是（ ） A．x＜﹣2或x＞2 B．x＜﹣2或0＜x＜2 C．﹣2＜x＜0或0＜x＜2 D．﹣2＜x＜0或x＞2 例3、关于x的函数y=k（x+1）和y=（k≠0）在同一坐标系中的图象大致是（ ） B． C． D．考点四：系数“k”的几何意义（初步）例1、如图，A、B两点在双曲线y=上，分别经过A、B两点向轴作垂线段，已知S阴影=1，则S1+S2=（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 例2、如图，A、B是双曲线y=上的两点，过A点作AC⊥x轴，交OB于D点，垂足为C．若△ADO的面积为1，D为OB的中点，则k的值为（ ） A． B． C．3 D．4
P(Practice-Oriented)——实战演练
课堂狙击1、下列表达式中，表示是的反比例函数的是（ ） ① ②. ③ ④是常数， A.①②④ B.①③④ C.②③ D.①③ 2、如果直角三角形的面积一定，那么下列关于这个直角三角形边的关系中，正确的是（ ） A．两条直角边成正比例 B．两条直角边成反比例 C．一条直角边与斜边成正比例 D．一条直角边与斜边成反比例3、若是反比例函数，则、的取值是（ ） A. B. C . D. 4、函数是反比例函数，则m的值是（ ） A．m=±1 B．m=1 C．m=± D．m=﹣1 5、在同一直角坐标系中，一次函数y=kx﹣k与反比例函数y=（k≠0）的图象大致是（ ） A． B． C． D． 6、己知反比例函数y=，当1＜x＜3时，y的取值范围是（ ） A．0＜y＜l B．1＜y＜2 C．2＜y＜6 D．y＞6 7、如图，在平面直角坐标系中，点A是x轴正半轴上的一个定点，点P是双曲线y=（x＞0）上的一个动点，PB⊥y轴于点B，当点P的横坐标逐渐增大时，四边形OAPB的面积将会（ ） A．逐渐增大 B．不变 C．逐渐减小 D．先增大后减小 8、某种灯的使用寿命为1000小时，它的可使用天数与平均每天使用的小时数之间的函数关系式为 . 9、一个反比例函数y=（k≠0）的图象经过点P（-2，-1），则该反比例函数的解析式是________． 10、已知函数 y=（5m﹣3）x2﹣n+（n+m）， （1）当m，n为何值时是一次函数？ （2）当m，n为何值时，为正比例函数？ （3）当m，n为何值时，为反比例函数？ 11、如图，一次函数y=﹣x+4的图象与反比例函数y=（k为常数，且k≠0）的图象交于A（1，a），B两点． （1）求反比例函数的表达式（及点B的坐标）； （2）在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，求满足条件的点P的坐标及△PAB的面积． 课后反击1、若y与x成正比例，x与z成反比例，则y与z之间的关系是（ ）． A. 成正比例 B. 成反比例 C. 不成正比例也不成反比例 D. 无法确定 2、在下列选项中，是反比例函数关系的为（ ） A．在直角三角形中，30°角所对的直角边y与斜边x之间的关系 B．在等腰三角形中，顶角y与底角x之间的关系 C．圆的面积S与它的直径d之间的关系 D．面积为20的菱形，其中一条对角线y与另一条对角线x之间的关系 3、下列函数，①y=2x，②y=x，③y=x-1，④y=是反比例函数的个数有（ ）． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 4、若函数y=（m+2）|m|-3是反比例函数，则m的值是（ ）． A．2 B．-2 C．±2 D．0 5、已知函数y=（m+2）是反比例函数，且图象在第二、四象限内，则m的值是（ ） A．3 B．﹣3 C．±3 D．﹣ 6、在反比例函数y=图象上有两点A（x1，y1），B （x2，y2），x1＜0＜x2，y1＜y2，则m的取值范围是（ ） A．m＞ B．m＜ C．m≥ D．m≤ 7、若ab＜0，则正比例函数y=ax与反比例函数y=在同一坐标系中的大致图象可能是（ ） A． B． C． D． 8、若点（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）都是反比例函数y=﹣图象上的点，并且y1＜0＜y2＜y3，则下列各式中正确的是（ ） A．x1＜x2＜x3 B．x1＜x3＜x2 C．x2＜x1＜x3 D．x2＜x3＜x19、有一面积为S的梯形，其上底是下底长的，若下底长为x，高为y，则y与x的函数关系是 ． 10、一批零件300个，一个工人每小时做15个，用关系式表示人数x与完成任务所需的时间y之间的函数关系式为________． 11、已知关于x的一次函数y=kx+1和反比例函数y=的图象都经过点（2，m），则一次函数的解析式是________． 12、 已知函数y=（m+1）x|2m|﹣1， ①当m何值时，y是x的正比例函数？ ②当m何值时，y是x的反比例函数？（上述两个问均要求写出解析式） 13、已知反比例函数y=的图象的一支位于第一象限． （1）判断该函数图象的另一支所在的象限，并求m的取值范围； （2）如图，O为坐标原点，点A在该反比例函数位于第一象限的图象上，点B与点A关于x轴对称，若△OAB的面积为6，求m的值． 1、若是反比例函数，则a的取值为（ ） A．1 B．﹣1 C．±l D．任意实数 2、已知反比例函数y=，当1＜x＜2时，y的取值范围是（ ） A．0＜y＜5 B．1＜y＜2 C． 5＜y＜10 D．y＞10有3、已知点M (－2，3 )在双曲线上，则下列各点一定在该双曲线上的是( ) A．(3，-2 ) B．(-2，-3 ) C．(2，3 ) D．(3，2) 4、矩形面积为4，它的长与宽之间的函数关系用图象大致可表示为（ ） 5、如图，在平面直角坐标系中，过点M（0，2）的直线l与x轴平行，且直线l分别与反比例函数y=（x＞0）和y=（x＜0）的图象交于点P、点Q． （1）求点P的坐标； （2）若△POQ的面积为8，求k的值．
S(Summary-Embedded)——归纳总结
1、反比例函数的定义 2、反比例函数的表达式特征与待定系数法 3、反比例函数的图像与性质 4、系数k的几何意义 熟练掌握反比例函数的定义与表达式特征及函数图像的性质是解题的关键；在利用k的几何意义解题时需要仔细观察图形特征；反比例函数知识点与其他知识点综合时需要善于发现问题的本质，寻找解题思路。 本节课我学到了 我需要努力的地方是
体系搭建
典例分析
实战演练
直击中考
重点回顾
名师点拨
学霸经验
PAGE
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
页 1
中小学教育资源及组卷应用平台
【专题讲义】北师大版九年级数学上册
第9讲 反比例函数与反比例函数图像综合复习专题精讲（解析版）
参考答案
授课主题 第09讲---反比例函数与反比例函数图像
授课类型 T同步课堂 P实战演练 S归纳总结
教学目标 ①理解反比例函数的概念，能判断两个变量之间的关系是否是反比例函数关系；②能根据已知条件确定反比例函数的表达式及作出函数图像；③掌握函数图像的性质与系数k的几何意义。
授课日期及时段
T（Textbook-Based）——同步课堂
一、知识框架 二、知识概念 （一）反比例与反比例函数 1、反比例 如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个非零常数，那么这两个变量成反比例，用数学符号语言记为xy=k，或 (k≠0）。 成反比例的关系式不一定是反比例函数,但是反比例函数中的两个变量必成反比例关系。 2、反比例函数 （1）定义 一般地，形如（为常数，）的函数称为反比例函数。还可以写成。也可以写成xy＝k, 它表明在反比例函数中自变量x与其对应函数值y之积，总等于已知常数k. （2）反比例函数解析式的特征 ① 等号左边是函数，等号右边是一个分式。分子是不为零的常数（也叫做比例系数），分母中含有自变量，且指数为1. ② 比例系数 ③ 自变量的取值为一切非零实数。 ④ 函数的取值是一切非零实数。 （3）待定系数法 反比例函数解析式的确定：利用待定系数法（只需一对对应值或图像上一个点的坐标即可求出）。 （二）反比例函数的图像与性质 1、图像的画法：描点法列表（应以O为中心，沿O的两边分别取三对或以上互为相反的数） 描点（有小到大的顺序） 连线（从左到右光滑的曲线）2、图像特征：（1）反比例函数的图像是双曲线，（为常数，）中自变量，函数值，所以双曲线是不经过原点，断开的两个分支，延伸部分逐渐靠近坐标轴，但是永远不与坐标轴相交。 （2）反比例函数的图像是是轴对称图形（对称轴是或），也是中心对称图形。 （3）系数的几何意义：过双曲线 （）上任意引轴轴的垂线，所得矩形面积为。 考点一：反比关系与反比例函数定义例1、下列函数关系中是反比例函数的是（ ） A.等边三角形面积S与边长的关系 B.直角三角形两锐角A与B的关系 C.长方形面积一定时，长与宽的关系 D.等腰三角形顶角A与底角B的关系 【解析】 C例2、下列函数是不是反比例函数，为什么？ （1） （2） （3）xy＝21 （4） （5） （6） （7）y＝x－4 （8） 【解析】（2）（3）（5）（8）是反比例函数。 例3、当m取什么值时，函数是反比例函数？ 【解析】m的取值必须满足两个条件，即m－2≠0且3－m2＝－1；解得m＝－2考点二：反比例函数的表达式例1、若y与x成反比例，且x＝－3时，y＝7，则求y与x的函数关系式。 【解析】利用待定系数法来确定k的值，由于只有一个系数k，只需一组x、y的值就可以求出。y= -。例2、已知函数y＝y1＋y2，y1与x成正比例，y2与x成反比例，且当x＝1时，y＝4；当x＝2时，y＝5 （1）求y与x的函数关系式 （2）当x＝－2时，求函数y的值 【解析】设y1＝k1x（k1≠0），（k2≠0），则，代入数值求得k1＝2，k2＝2，则。 考点三：反比例函数的图像与性质例1、反比例函数（m为常数）当x＜0时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是（ ） A．m＜0 B． C． D．m≥ 【解析】根据题意得：1﹣2m＜0，解得：m＞．故选：C．例2、如图，正比例函数y1=k1x的图象与反比例函数y2=的图象相交于A，B两点，其中点A的横坐标为2，当y1＞y2时，x的取值范围是（ ） A．x＜﹣2或x＞2 B．x＜﹣2或0＜x＜2 C．﹣2＜x＜0或0＜x＜2 D．﹣2＜x＜0或x＞2 【解析】∵反比例函数与正比例函数的图象均关于原点对称，∴A、B两点关于原点对称， ∵点A的横坐标为2，∴点B的横坐标为﹣2，故选D． 例3、关于x的函数y=k（x+1）和y=（k≠0）在同一坐标系中的图象大致是（ ） A． B． C． D． 【解析】D．考点四：系数“k”的几何意义（初步）例1、如图，A、B两点在双曲线y=上，分别经过A、B两点向轴作垂线段，已知S阴影=1，则S1+S2=（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【解析】根据反比例函数的图象的性质得两个矩形的面积都等于|k|=4，S1+S2=4+4﹣1×2=6．故选：D．例2、如图，A、B是双曲线y=上的两点，过A点作AC⊥x轴，交OB于D点，垂足为C．若△ADO的面积为1，D为OB的中点，则k的值为（ ） A． B． C．3 D．4 【解析】过点B作BE⊥x轴于点E， ∵D为OB的中点，∴CD是△OBE的中位线，即CD=BE． 设A（x，），则B（2x，），CD=，AD=﹣， ∵△ADO的面积为1，∴AD?OC=1，（﹣）?x=1，解得k=，故选：B．
P(Practice-Oriented)——实战演练
课堂狙击1、下列表达式中，表示是的反比例函数的是（ ） ① ②. ③ ④是常数， A.①②④ B.①③④ C.②③ D.①③ 【解析】 D. 2、如果直角三角形的面积一定，那么下列关于这个直角三角形边的关系中，正确的是（ ） A．两条直角边成正比例 B．两条直角边成反比例 C．一条直角边与斜边成正比例 D．一条直角边与斜边成反比例 【解析】B．3、若是反比例函数，则、的取值是 （ ） A. B. C . D. 【解析】B． 4、函数是反比例函数，则m的值是（ ） A．m=±1 B．m=1 C．m=± D．m=﹣1 【解析】m﹣1≠0，m2﹣2=﹣1．故选：D． 5、在同一直角坐标系中，一次函数y=kx﹣k与反比例函数y=（k≠0）的图象大致是（ ） A． B． C． D． 【解析】A． 6、己知反比例函数y=，当1＜x＜3时，y的取值范围是（ ） A．0＜y＜l B．1＜y＜2 C．2＜y＜6 D．y＞6 【解析】C． 7、如图，在平面直角坐标系中，点A是x轴正半轴上的一个定点，点P是双曲线y=（x＞0）上的一个动点，PB⊥y轴于点B，当点P的横坐标逐渐增大时，四边形OAPB的面积将会（ ） A．逐渐增大 B．不变 C．逐渐减小 D．先增大后减小 【解析】设点P的坐标为（x，）， ∵PB⊥y轴于点B，点A是x轴正半轴上的一个定点， ∴四边形OAPB是个直角梯形， ∴四边形OAPB的面积=（PB+AO）?BO=（x+AO）?=+=+?， ∵AO是定值，∴点P的横坐标逐渐增大时四边形OAPB的面积逐渐减小．故选：C． 8、某种灯的使用寿命为1000小时，它的可使用天数与平均每天使用的小时数之间的函数关系式为 . 【解析】y＝ 9、一个反比例函数y=（k≠0）的图象经过点P（-2，-1），则该反比例函数的解析式是________． 【解析】y= 10、已知函数 y=（5m﹣3）x2﹣n+（n+m）， （1）当m，n为何值时是一次函数？ （2）当m，n为何值时，为正比例函数？ （3）当m，n为何值时，为反比例函数？ 【解析】（1）当函数是一次函数时，2﹣n=1，且5m﹣3≠0，解得：n=1且m≠； （2）当函数y=（5m﹣3）x2﹣n+（m+n）是正比例函数时，，解得：n=1，m=﹣1． （3）当函数y=（5m﹣3）x2﹣n+（m+n）是反比例函数时，，解得：n=3，m=﹣3． 11、如图，一次函数y=﹣x+4的图象与反比例函数y=（k为常数，且k≠0）的图象交于A（1，a），B两点． （1）求反比例函数的表达式（及点B的坐标）； （2）在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，求满足条件的点P的坐标及△PAB的面积． 【解析】（1）把点A（1，a）代入一次函数y=﹣x+4，得a=﹣1+4， 解得a=3，∴A（1，3），点A（1，3）代入反比例函数y=，得k=3，∴反比例函数的表达式y=， 两个函数解析式联立列方程组得，解得x1=1，x2=3， ∴点B坐标（3，1）； （2）作点B作关于x轴的对称点D，交x轴于点C，连接AD，交x轴于点P，此时PA+PB的值最小，∴D（3，﹣1），设直线AD的解析式为y=mx+n， 把A，D两点代入得，，解得m=﹣2，n=5， ∴直线AD的解析式为y=﹣2x+5，令y=0，得x=，∴点P坐标（，0）， S△PAB=S△ABD﹣S△PBD=×2×2﹣×2×=2﹣=．课后反击1、若y与x成正比例，x与z成反比例，则y与z之间的关系是（ ）． A. 成正比例 B. 成反比例 C. 不成正比例也不成反比例 D. 无法确定 【解析】B 2、在下列选项中，是反比例函数关系的为（ ） A．在直角三角形中，30°角所对的直角边y与斜边x之间的关系 B．在等腰三角形中，顶角y与底角x之间的关系 C．圆的面积S与它的直径d之间的关系 D．面积为20的菱形，其中一条对角线y与另一条对角线x之间的关系 【解析】D 3、下列函数，①y=2x，②y=x，③y=x-1，④y=是反比例函数的个数有（ ）． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【解析】 B 4、若函数y=（m+2）|m|-3是反比例函数，则m的值是（ ）． A．2 B．-2 C．±2 D．0 【解析】 A 5、已知函数y=（m+2）是反比例函数，且图象在第二、四象限内，则m的值是（ ） A．3 B．﹣3 C．±3 D．﹣ 【解析】B． 6、在反比例函数y=图象上有两点A（x1，y1），B （x2，y2），x1＜0＜x2，y1＜y2，则m的取值范围是（ ） A．m＞ B．m＜ C．m≥ D．m≤ 【解析】B． 7、若ab＜0，则正比例函数y=ax与反比例函数y=在同一坐标系中的大致图象可能是（ ） A． B． C． D． 【解析】B． 8、若点（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）都是反比例函数y=﹣图象上的点，并且y1＜0＜y2＜y3，则下列各式中正确的是（ ） A．x1＜x2＜x3 B．x1＜x3＜x2 C．x2＜x1＜x3 D．x2＜x3＜x1 【解析】D． 9、有一面积为S的梯形，其上底是下底长的，若下底长为x，高为y，则y与x的函数关系是 ． 【解析】y＝ 10、一批零件300个，一个工人每小时做15个，用关系式表示人数x与完成任务所需的时间y之间的函数关系式为________． 【解析】y＝ 11、已知关于x的一次函数y=kx+1和反比例函数y=的图象都经过点（2，m），则一次函数的解析式是________． 【解析】y=x+1 12、 已知函数y=（m+1）x|2m|﹣1， ①当m何值时，y是x的正比例函数？ ②当m何值时，y是x的反比例函数？（上述两个问均要求写出解析式） 【解析】①∵函数y=（m+1）x|2m|﹣1是正比例函数，∴|2m|﹣1=1，且m+1≠0，解得，m=1； 即当m=1时，y是x的正比例函数； ②∵函数y=（m+1）x|2m|﹣1是反比例函数，∴|2m|﹣1=﹣1，且m+1≠0，解得，m=0； 即当m=0时，y是x的反比例函数． 13、已知反比例函数y=的图象的一支位于第一象限． （1）判断该函数图象的另一支所在的象限，并求m的取值范围； （2）如图，O为坐标原点，点A在该反比例函数位于第一象限的图象上，点B与点A关于x轴对称，若△OAB的面积为6，求m的值． 【解析】（1）根据反比例函数的图象关于原点对称知，该函数图象的另一支在第三象限，且m﹣7＞0，则m＞7； （2）∵点B与点A关于x轴对称，若△OAB的面积为6，∴△OAC的面积为3． 设A（x，），则x?=3，解得m=13． 1、若是反比例函数，则a的取值为（ ） A．1 B．﹣1 C．±l D．任意实数 【解析】A． 2、已知反比例函数y=，当1＜x＜2时，y的取值范围是（ ） A．0＜y＜5 B．1＜y＜2 C． 5＜y＜10 D．y＞10有【解析】C3、已知点M (－2，3 )在双曲线上，则下列各点一定在该双曲线上的是( ) A．(3，-2 ) B．(-2，-3 ) C．(2，3 ) D．(3，2) 【解析】A 4、矩形面积为4，它的长与宽之间的函数关系用图象大致可表示为（ ） 【解析】B 5、如图，在平面直角坐标系中，过点M（0，2）的直线l与x轴平行，且直线l分别与反比例函数y=（x＞0）和y=（x＜0）的图象交于点P、点Q． （1）求点P的坐标； （2）若△POQ的面积为8，求k的值． 【解析】（1）∵PQ∥x轴，∴点P的纵坐标为2， 把y=2代入y=得x=3，∴P点坐标为（3，2）； （2）∵S△POQ=S△OMQ+S△OMP，∴|k|+×|6|=8， ∴|k|=10，而k＜0，∴k=﹣10．
S(Summary-Embedded)——归纳总结
1、反比例函数的定义 2、反比例函数的表达式特征与待定系数法 3、反比例函数的图像与性质 4、系数k的几何意义 熟练掌握反比例函数的定义与表达式特征及函数图像的性质是解题的关键；在利用k的几何意义解题时需要仔细观察图形特征；反比例函数知识点与其他知识点综合时需要善于发现问题的本质，寻找解题思路。 本节课我学到了 我需要努力的地方是
体系搭建
典例分析
实战演练
直击中考
重点回顾
名师点拨
学霸经验
PAGE
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
页 1
