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【专题讲义】北师大版九年级数学上册
第13讲 一元二次方程计算专项巩固综合复习专题精讲（提高版）
授课主题 第13讲---一元二次方程计算专项巩固
授课类型 T同步课堂 P实战演练 S归纳总结
教学目标 理解掌握一元二次方程的概念，理解方程根的含义； 熟练掌握直接开平方法、配方法解方程的步骤及原理；能把普通的一元二次方程化成一般形式，并使用公式法解方程；能熟练使用因式分解法解方程； 能积累一定的计算技巧，能熟练使用适当的方法准确解方程，进一步提高计算能力。
授课日期及时段
T（Textbook-Based）——同步课堂
知识框架 知识概念 一元二次方程一元二次方程（1）定义：只含有一个未知数的整式方程，并且可以化成ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为常数，a ≠0)的形式，这样的方程叫做一元二次方程．（2）一般形式：我们把ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为常数，a≠0)称为一元二次方程的一般形式，其中ax2，bx， c分别称为二次项，一次项和常数项，a，b分别称为二次项系数和一次项系数． （3）“解”的含义：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根． （4）近似解：对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)来说，求近似解的过程就是找到这样的x，使ax2＋bx＋c的值接近0，则可大致确定x的取值范围． （二）直接开平方法与配方法平方根的定义：若x2=a (a≥0), 则x叫做a的平方根，.用式子表示为x=± 配方法：通过配方，把方程的一边化为完全平方式，另一边化为非负数，然后利用开平方的方法求出一元二次方程的根3、用配方法解一元二次方程的步骤是： ① 二次项系数化为1； ② 将常数项移至方程右边； ③ 方程两边都加上一次项系数一半的平方； 把原方程变形为(x＋m)2＝n的形式；⑤ 如果右边是非负数，就可以用开平方法解这个一元二次方程．（三）公式法1、一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0) 当b2－4ac＞0时，它的根是 ，一元二次方程有两个不相等的实数根； 当b2－4ac=0时，它的根是，一元二次方程有两个相等的实数根； 当b2－4ac<0时，一元二次方程无实数根 2、公式法：利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法。 利用公式法求根的一般步骤： （1）将方程化为ax2+bx+c=0 (a≠0)，确定a,b,c的值 （2）把a,b,c的值直接代入公式，求得方程的解x1, x2（三）分解因式法1、理论依据：，则或；利用提公因式、运用公式、十字相乘等分解因式方法将原方程化成两个因式相乘等于0的形式。 2、利用分解因式法解一元二次方程的步骤（1）将所有项移至等号左边 ，等号右边为0. （2）将方程的左边分解成的形式。 （3）令或，得到两个一元一次方程。 （4）解这两个一元一次方程，他们的解就是一元二次方程的解。 考点一：一元二次方程的概念例1、关于x的方程ax2－4x＋1＝0是一元二次方程，则( ) A．a>0 B．a≠0 C．a＝1 D．a≥0例2、将方程＝化成一般形式正确的是( ) A．3(x＋1)＝2(x2－3) B．2x2－3x－9＝0 C．3x＋3＝2x2－6 D．2x2＋3x－9＝0例3、关于x的一元二次方程(m－1)x|m|＋1－2x＝3是一元二次方程，则m＝____．例4、已知关于x的方程(m2－4)x2＋(m－2)x＋4m＝0，当m___时，它是一元二次方程，当m____时，它是一元一次方程．考点二： 一元二次方程的解例1、已知m是方程x2－x－1＝0的一个根，则代数式m2－m的值是( ) －1 B．0 C．1 D．2例2、关于x的一元二次方程(a－2)x2＋x＋a2－4＝0的一个根为0，则a＝____考点三：估算一元二次方程的近似解例1、方程x2－2x－2＝0的一较小根为x1，下面对x1的估计正确的是( ) A．－2P(Practice-Oriented)——实战演练
课堂狙击1、下列方程中，不是一元二次方程的是（ ） A. 2x2+7=0 B. 2x2+2x+1=0 C. 5x2++4=0 D. 3x2+(1+x) +1=0 2、 方程x2－2(3x－2)+(x+1)=0的一般形式是（） A. x2－5x+5=0 B .x2+5x+5=0 C. x2+5x－5=0 D.x2+5=0 3、已知关于x的一元二次方程x2＋ax＋b＝0有一个非零根－b，则a－b的值为( ) A．1 B．－1 C．0 D．－2 4、根据下列表格中的对应值，判断方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，a，b，c为常数)一个解x的范围是( )x3.233.243.253.26 ax2＋bx＋c－0.06－0.020.030.09 A．31 D．k<1 9、现定义运算“★”，对于任意实数a、b，都有a★b=a2﹣3a+b，如：3★5=32﹣3×3+5，若x★2=6，则实数x的值是（ ） ﹣4或﹣1 B．4或﹣1 C．4或﹣2 D．﹣4或2 10、一元二次方程(a＋1)x2－ax＋a2－1＝0的一个根为0，则a＝____． 11、若实数a、b满足（4a+4b）（4a+4b﹣2）﹣8=0，则a+b= ． 12、用适当方法解下列方程①(x+1)2－144=0 ② x2+8x―9=0 ③ x一l0x十25＝7 ④3x2+8x―3=0 ⑤ 2x2－4x－1=0 ⑥ 2x2+4x－16=0 (2x＋3)2－2x－3＝0 ⑧ (2x－1)2－x2＝0 ⑨ x(2x－4)＝5－8x 13、解应用类方程①（x﹣2500）（8+×4）=5000 ②（x﹣3）（500﹣10×）=800 ③(15x)2＋(20x)2＝1002 ④ (30－2x)(20－x)＝532 x[80－2(x－10)]＝1 200 ⑥ [(20－9x)＋(20－6x)]×4x＝50 课后反击1、将方程＝化成一般形式正确的是( ) A．3(x＋1)＝2(x2－3) B．2x2－3x－9＝0 C．3x＋3＝2x2－6 D．2x2＋3x－9＝0 2、若x=1是方程ax2+bx+c=0的解，则( ) A.a+b+c=1 B.a－b+c=0 C.a+b+c=0 D.a－b－c=03、关于x的方程(x+m)2=n,下列说法正确的是（ ） A.有两个解x=± B.当n≥0时，有两个解x=±－m C.当n≥0时，有两个解x=± D.当n≤0时，方程无实根 4、方程(x＋2)2＝3(2＋x)最适合的解法是( )A．直接开平方法 B．因式分解法 C．公式法 D．配方法5、若实数范围内定义一种运算“*”，使a*b＝(a＋1)2－ab，则方程(x＋2)*5＝0的解为____． 6、已知实数x满足(x2－x)2－4(x2－x)－5＝0，则x2－x的值是____． 7、用适当的方法解下列方程 2x2－7x＋6＝0 3x2＝5x－2 x2－2x－5＝0 (2x－1)2＝x(3x＋2)－7 x2－2x－3＝0 x2－x－12＝0 (x＋3)(x－4)＝－12 2x(x＋2)＝－(x＋2) x2－3x＋1＝0 (x＋3)2＝4 （x+2）（x﹣3）=x+2 x2＝10(x－3)+x 8、解应用类方程 (30－x)·(20－x)＝551 (2x＋×2)·400＋×2×300＋200×80＝47200 [32－(－0.1x＋30.5)]x＝25 200(1－20%)(1+x)2＝193.6 (a－21)(350－10a)＝400 (x+0.1+x+1.4+0.1)·x＝1.8 n(n－1)＝1980 [1000－20(x－25)]x＝27000. ·(6－x)·2x＝8 －x2+x＝14 (8－x)2+(6+x)2＝102 x2＝1002+(300－2x)2 －n2+25n－12＝ HYPERLINK "http://www.mathschina.com/Index.html" ×122 +＝17 1、用配方法解一元二次方程x2﹣2x﹣3=0时，方程变形正确的是（ ） A．（x﹣1）2=2 B．（x﹣1）2=4 C．（x﹣1）2=1 D．（x﹣1）2=7 2、若一元二次方程ax2=b（ab＞0）的两个根分别是m+1与2m﹣4，则= ． 3、一元二次方程x2+2x﹣6=0的根是（ ） A．x1=x2= B．x1=0，x2=﹣2 C．x1=，x2=﹣3 D．x1=﹣，x2=3 4、已知△ABC中，AB=3，BC=4，AC的长是方程x2﹣12x+35=0的根，则△ABC的周长等于（ ） A．12 B．14 C．12或14 D．以上都不是 5、已知关于x的方程x2+（1﹣m）x+=0有两个不相等的实数根，则m的最大整数值是 ． 6、关于x的一元二次方程为（m﹣1）x2﹣2mx+m+1=0． （1）求出方程的根； （2）m为何整数时，此方程的两个根都为正整数？
S(Summary-Embedded)——归纳总结
1、一元二次方程的定义 2、方程的解，及解的含义 3、直接开平方法、配方法（解二次项系数为1与不为1的方程）、公式法、因式分解法熟练掌握方程解法是前提 通过一定的运算积累，达到熟能生巧是提升计算能力的关键 熟练掌握十字相乘法解方程是提升计算速度的保障本节课我学到了 我需要努力的地方是
体系搭建
典例分析
实战演练
直击中考
重点回顾
名师点拨
学霸经验
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第13讲 一元二次方程计算专项巩固综合复习专题精讲（解析版）
参考答案
授课主题 第13讲---一元二次方程计算专项巩固
授课类型 T同步课堂 P实战演练 S归纳总结
教学目标 理解掌握一元二次方程的概念，理解方程根的含义； 熟练掌握直接开平方法、配方法解方程的步骤及原理；能把普通的一元二次方程化成一般形式，并使用公式法解方程；能熟练使用因式分解法解方程； 能积累一定的计算技巧，能熟练使用适当的方法准确解方程，进一步提高计算能力。
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一．知识框架 二．知识概念 一元二次方程一元二次方程（1）定义：只含有一个未知数的整式方程，并且可以化成ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为常数，a ≠0)的形式，这样的方程叫做一元二次方程．（2）一般形式：我们把ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为常数，a≠0)称为一元二次方程的一般形式，其中ax2，bx， c分别称为二次项，一次项和常数项，a，b分别称为二次项系数和一次项系数． （3）“解”的含义：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根． （4）近似解：对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)来说，求近似解的过程就是找到这样的x，使ax2＋bx＋c的值接近0，则可大致确定x的取值范围． （二）直接开平方法与配方法平方根的定义：若x2=a (a≥0), 则x叫做a的平方根，.用式子表示为x=± 配方法：通过配方，把方程的一边化为完全平方式，另一边化为非负数，然后利用开平方的方法求出一元二次方程的根3、用配方法解一元二次方程的步骤是： ① 二次项系数化为1； ② 将常数项移至方程右边； ③ 方程两边都加上一次项系数一半的平方； 把原方程变形为(x＋m)2＝n的形式；⑤ 如果右边是非负数，就可以用开平方法解这个一元二次方程．（三）公式法1、一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0) 当b2－4ac＞0时，它的根是 ，一元二次方程有两个不相等的实数根； 当b2－4ac=0时，它的根是，一元二次方程有两个相等的实数根； 当b2－4ac<0时，一元二次方程无实数根 2、公式法：利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法。 利用公式法求根的一般步骤： （1）将方程化为ax2+bx+c=0 (a≠0)，确定a,b,c的值 （2）把a,b,c的值直接代入公式，求得方程的解x1, x2（三）分解因式法1、理论依据：，则或；利用提公因式、运用公式、十字相乘等分解因式方法将原方程化成两个因式相乘等于0的形式。 2、利用分解因式法解一元二次方程的步骤（1）将所有项移至等号左边 ，等号右边为0. （2）将方程的左边分解成的形式。 （3）令或，得到两个一元一次方程。 （4）解这两个一元一次方程，他们的解就是一元二次方程的解。考点一：一元二次方程的概念例1、关于x的方程ax2－4x＋1＝0是一元二次方程，则( ) A．a>0 B．a≠0 C．a＝1 D．a≥0 【解析】B例2、将方程＝化成一般形式正确的是( ) A．3(x＋1)＝2(x2－3) B．2x2－3x－9＝0 C．3x＋3＝2x2－6 D．2x2＋3x－9＝0 【解析】B例3、关于x的一元二次方程(m－1)x|m|＋1－2x＝3是一元二次方程，则m＝____．【解析】-1例4、已知关于x的方程(m2－4)x2＋(m－2)x＋4m＝0，当m___时，它是一元二次方程，当m____时，它是一元一次方程． 【解析】≠±2；＝－2 考点二： 一元二次方程的解例1、已知m是方程x2－x－1＝0的一个根，则代数式m2－m的值是( ) －1 B．0 C．1 D．2【解析】C 例2、关于x的一元二次方程(a－2)x2＋x＋a2－4＝0的一个根为0，则a＝____【解析】-2考点三：估算一元二次方程的近似解例1、方程x2－2x－2＝0的一较小根为x1，下面对x1的估计正确的是( ) A．－2P(Practice-Oriented)——实战演练
课堂狙击1、下列方程中，不是一元二次方程的是（） A. 2x2+7=0 B. 2x2+2x+1=0 C. 5x2++4=0 D. 3x2+(1+x) +1=0 【解析】C 2、 方程x2－2(3x－2)+(x+1)=0的一般形式是（） A. x2－5x+5=0 B .x2+5x+5=0 C. x2+5x－5=0 D.x2+5=0 【解析】A 3、已知关于x的一元二次方程x2＋ax＋b＝0有一个非零根－b，则a－b的值为( ) A．1 B．－1 C．0 D．－2 【解析】A 4、根据下列表格中的对应值，判断方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，a，b，c为常数)一个解x的范围是( )x3.233.243.253.26 ax2＋bx＋c－0.06－0.020.030.09 A．31 D．k<1 【解析】D9、现定义运算“★”，对于任意实数a、b，都有a★b=a2﹣3a+b，如：3★5=32﹣3×3+5，若x★2=6，则实数x的值是（ ） ﹣4或﹣1 B．4或﹣1 C．4或﹣2 D．﹣4或2【解析】B 10、一元二次方程(a＋1)x2－ax＋a2－1＝0的一个根为0，则a＝____．【解析】111、若实数a、b满足（4a+4b）（4a+4b﹣2）﹣8=0，则a+b= ． 【解析】﹣或1． 12、用适当方法解下列方程①(x+1)2－144=0 ② x2+8x―9=0 ③ x一l0x十25＝7 【解析】x1=11,x2=-13 x1=1，x2=―9 x1=5+，x2=5- ④3x2+8x―3=0 ⑤ 2x2－4x－1=0 ⑥ 2x2+4x－16=0 【解析】x1=，x2=―3 x1=1+,x2=1- x1=2，x2=―4(2x＋3)2－2x－3＝0 ⑧ (2x－1)2－x2＝0 ⑨ x(2x－4)＝5－8x【解析】x1＝－，x2＝－1 x1＝，x2＝1 x1＝，x2＝13、解应用类方程①（x﹣2500）（8+×4）=5000 ②（x﹣3）（500﹣10×）=800【解析】x1=x2=2750 x1=7，x2=5． ③(15x)2＋(20x)2＝1002 ④ (30－2x)(20－x)＝532 【解析】x1＝4，x2＝－4 x1＝1，x2＝34. x[80－2(x－10)]＝1 200 ⑥ [(20－9x)＋(20－6x)]×4x＝50【解析】x1＝20，x2＝30. x1＝，x2＝1课后反击1、将方程＝化成一般形式正确的是( ) A．3(x＋1)＝2(x2－3) B．2x2－3x－9＝0 C．3x＋3＝2x2－6 D．2x2＋3x－9＝0 【解析】B 2、若x=1是方程ax2+bx+c=0的解，则( ) A.a+b+c=1 B.a－b+c=0 C.a+b+c=0 D.a－b－c=0【解析】C 3、关于x的方程(x+m)2=n,下列说法正确的是（ ） A.有两个解x=± B.当n≥0时，有两个解x=±－m C.当n≥0时，有两个解x=± D.当n≤0时，方程无实根 【解析】B 4、方程(x＋2)2＝3(2＋x)最适合的解法是( )A．直接开平方法 B．因式分解法 C．公式法 D．配方法 【解析】B5、若实数范围内定义一种运算“*”，使a*b＝(a＋1)2－ab，则方程(x＋2)*5＝0的解为____．【解析】x1＝，x2＝ 6、已知实数x满足(x2－x)2－4(x2－x)－5＝0，则x2－x的值是____．【解析】57、用适当的方法解下列方程 2x2－7x＋6＝0 【解析】 x1=7+，x2=7- x1＝2，x2＝ 3x2＝5x－2 x2－2x－5＝0 【解析】 x1＝1，x2＝ x1＝2＋，x2＝2－ (2x－1)2＝x(3x＋2)－7 x2－2x－3＝0 【解析】x1＝2，x2＝4 x1＝－1，x2＝3 x2－x－12＝0 (x＋3)(x－4)＝－12【解析】x1＝4，x2＝－3 x1＝0，x2＝1 2x(x＋2)＝－(x＋2) x2－3x＋1＝0【解析】x1＝－2，x2＝－ x1＝，x2＝(x＋3)2＝4 （x+2）（x﹣3）=x+2 【解析】 x1＝－1，x2＝－5 x1=﹣2，x2=4x2＝10(x－3)+x 【解析】x＝5或x＝6. 8、解应用类方程 (30－x)·(20－x)＝551 (2x＋×2)·400＋×2×300＋200×80＝47 200 【解析】x1＝1，x2＝49 x1＝25，x2＝14 [32－(－0.1x＋30.5)]x＝25 200(1－20%)(1+x)2＝193.6 【解析】x1＝－25，x2＝10. x1＝0.1，x2＝－2.1 (a－21)(350－10a)＝400 (x+0.1+x+1.4+0.1)·x＝1.8 【解析】a1＝25，a2＝31. x1＝－1.8，x2＝1.n(n－1)＝1980 [1000－20(x－25)]x＝27000.【解析】n1＝45，n2＝－44 x1＝45，x2＝30.·(6－x)·2x＝8 －x2+x＝14 【解析】x1＝2，x2＝4. x1＝7，x2＝5 (8－x)2+(6+x)2＝102 x2＝1002+(300－2x)2 【解析】x1＝0，x2＝2. x1＝200－，x2＝200+ －n2+25n－12＝ HYPERLINK "http://www.mathschina.com/Index.html" ×122 +＝17 【解析】n1＝4，n2＝21 x1＝16，x2＝4 1、用配方法解一元二次方程x2﹣2x﹣3=0时，方程变形正确的是（ ） A．（x﹣1）2=2 B．（x﹣1）2=4 C．（x﹣1）2=1 D．（x﹣1）2=7【解析】B2、若一元二次方程ax2=b（ab＞0）的两个根分别是m+1与2m﹣4，则= ．【解析】∵x2=， ∴x=±，∴方程的两个根互为相反数， ∴m+1+2m﹣4=0，解得m=1， ∴一元二次方程ax2=b的两个根分别是2与﹣2，∴=2， ∴=4． 故答案为：4． 3、一元二次方程x2+2x﹣6=0的根是（ ） A．x1=x2= B．x1=0，x2=﹣2 C．x1=，x2=﹣3 D．x1=﹣，x2=3【解析】C 4、已知△ABC中，AB=3，BC=4，AC的长是方程x2﹣12x+35=0的根，则△ABC的周长等于（ ） A．12 B．14 C．12或14 D．以上都不是【解析】A5、已知关于x的方程x2+（1﹣m）x+=0有两个不相等的实数根，则m的最大整数值是 ．【解析】06、关于x的一元二次方程为（m﹣1）x2﹣2mx+m+1=0． （1）求出方程的根； （2）m为何整数时，此方程的两个根都为正整数？【解析】（1）根据题意，得m≠1．∵a=m﹣1，b=﹣2m，c=m+1，∴△=b2﹣4ac=（﹣2m）2﹣4（m﹣1）（m+1）=4，则x1==，x2=1； （2）由（1）知，x1==1+， ∵方程的两个根都为正整数，∴是正整数， ∴m﹣1=1或m﹣1=2，解得m=2或3．即m为2或3时，此方程的两个根都为正整数．
S(Summary-Embedded)——归纳总结
1、一元二次方程的定义 2、方程的解，及解的含义 3、直接开平方法、配方法（解二次项系数为1与不为1的方程）、公式法、因式分解法熟练掌握方程解法是前提 通过一定的运算积累，达到熟能生巧是提升计算能力的关键 熟练掌握十字相乘法解方程是提升计算速度的保障本节课我学到了 我需要努力的地方是
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