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【专题讲义】北师大版九年级数学上册
第14讲 图形的相似综合复习专题精讲（提高版）
授课主题 第14讲-----图形的相似
授课类型 T同步课堂 P实战演练 S归纳总结
教学目标 熟练利用成比例线段计算线段的长度； 掌握平行线分线段成比例的常见模型，并准确计算线段长度； 掌握判定三角形相似的三个条件，熟练进行相关证明； 熟练运用三角形相似解决测高等实际问题； 理解三角形相似的性质及图形的位似，并能进行简单计算。
授课日期及时段
T（Textbook-Based）——同步课堂
知识梳理知识概念 （一）比例的性质 1.比例中项； 2.合分比性质； 3.等比性质（二）平行线分线段成比例定理 1.两条直线被一组平行线所截，所得的线段成比例。 2.如右图所示，所得的对应线段成比例的有：= ，，等等。 3.所得的线段必须是对应的，否则不成比例。 4.平行线段分线段成比例定理的常见变形如下图所示： （三）平行线分线段成比例定理的推论 平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例。 1.一定要注意三边的对应的关系，不要写错 2.平行于三角形的一边的直线可以与三角形的两边相交，也可以与三角形的两边的延长线相交，如下图所示，若DE∥BC，则有 （四）相似三角的判定方法 1、如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似． 2、如果一个三角的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似． 3、如果一个三角形的三条边分别与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似． （五）相似三角形基本类型 1、平行线型：常见的有如下两种，DE∥BC，则△ADE∽△ABC 2、相交线型：常见的有如下四种情形 （1）如图，已知∠1=∠B，则由公共角∠A得，△ADE∽△ABC （2）如下左图，已知∠1=∠B，则由公共角∠A得，△ADC∽△ACB （3）如下右图，已知∠B=∠D，则由对顶角∠1=∠2得，△ADE∽△ABC 3、旋转型：已知∠BAD=∠CAE，∠B=∠D，则△ADE∽△ABC， 右图为常见的基本图形． 4、母子型：已知∠ACB=90°，AB⊥CD，则△CBD∽△ABC∽△ACD． 5、斜交型： 如图：其中∠1=∠2，则△ADE∽△ABC称为“斜交型”的相似三角形。 （有“反A共角型”、“反A共角共边型”、 “蝶型”） 6、垂直型：有“双垂直共角型”、“双垂直共角共边型（也称“射影定理型”）”“三垂直型”） （六）黄金分割 （七）相似三角形的性质 1、相似三角形对应角相等，对应边成比例.
2、相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比. 3、相似三角形周长的比等于相似比. 4、相似三角形面积的比等于相似比的平方.（八）利用三角形相似测量高度方法 1、利用阳光下的影子测量物高 根据太阳光线是平行的，寻找相似三角形. 在同一时刻， 2、利用标杆测量物高 3、利用镜子原理测量物高（九）图形的位似 1、位似图形的定义 2、图形位似的性质考点一：成比例线段与平行线分线段成比例例1、（1）已知=，求的值． （2）已知==，求的值． 例2、如图，在△ABC中，D为AB上的一点，过点D作DE∥BC交AC于点E，过点D作DF∥AC交BC 于点F，则下列结论错误的是（ ） A．= B．= C．= D．=考点二：三角形相似的条件例1、如图，在正方形ABCD中，E是AD的中点，F是CD上一点，且CF=3FD．则图中相似三角形的对数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 例2、在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边从点A开始向点B以2cm/秒的速度移动，点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/秒的速度移动，如果P、Q同时出发，用t（秒）表示运动时间（0≤t≤6），那么当t为何值时，△APQ与△ABD相似？说明理由． 考点三： 利用三角形相似测高例1、如图，数学兴趣小组的小颖想测量教学楼前的一棵树的树高，下午课外活动时她测得一根长为1m的竹竿的影长是0.8m，但当她马上测量树高时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图），他先测得留在墙壁上的影高为1.2m，又测得地面的影长为2.6m，请你帮她算一下，树高是（ ） A．3.25m B．4.25m C．4.45m D．4.75m 例2、如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板DEF来测量操场旗杆AB的高度，他们通过调整测量位置，使斜边DF与地面保持平行，并使边DE与旗杆顶点A在同一直线上，已知DE=0.5米，EF=0.25米，目测点D到地面的距离DG=1.5米，到旗杆的水平距离DC=20米，求旗杆的高度． 考点四：相似三角形的性质与位似 例1、如果两个相似三角形的相似比是2：3，较小三角形的面积为4cm2，那么较大三角形的面积 cm2． 例2、有一块直角边AB=3cm，BC=4cm的Rt△ABC的铁片，现要把它加工成一个正方形（加工中的损耗忽略不计），则正方形的边长为（ ） A． B． C． D．例3、如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，6），B（﹣9，﹣3），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是（ ） A．（﹣1，2） B．（﹣9，18） C．（﹣9，18）或（9，﹣18） D．（﹣1，2）或（1，﹣2）
P(Practice-Oriented)——实战演练
课堂狙击1、已知，则的值是（ ） A． B． C． D． 2、如图所示，△ABC中若DE∥BC，EF∥AB，则下列比例式正确的是（ ） A． B． C． D． 3、如图，∠A=∠B=90°，AB=7，AD=2，BC=3，在边AB上取点P，使得△PAD与△PBC相似，则这样的P点共有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4、如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE∥AC，AE、CD相交于点O，若S△DOE：S△COA=1：25，则S△BDE与S△CDE的比是（ ） A．1：3 B．1：4 C．1：5 D．1：25 5、已知，如图所示的一张三角形纸片ABC，边AB的长为20cm，AB边上的高为25cm，在三角形纸片ABC中从下往上依次裁剪去宽为4cm的矩形纸条，若剪得的其中一张纸条是正方形，那么这张正方形纸条是（ ） A．第4张 B．第5张 C．第6张 D．第7张 6、如图，在平面直角坐标中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，点A，B，E在x轴上，若正方形BEFG的边长为6，则C点坐标为（ ） A．（3，2） B．（3，1） C．（2，2） D．（4，2） 7、如图所示，Rt△ABC中，已知∠BAC=90°，AB=AC=2，点D在BC上运动（不能到达点B，C），过点D作∠ADE=45°，DE交AC于点E． （1）求证：△ABD∽△DCE； （2）当△ADE是等腰三角形时，求AE的长． 8、如图，一位同学想利用树影测量树AB的高，他在某一时刻测得直立于地面上的一根长为1m的竹竿影长为0.9m，但他马上测量树AB的影长时，因树AB靠近一幢建筑物，有一部分影子落在建筑物的墙上，他先测得落在建筑物墙上的影高CD为1.2m，又测得落在地面上的影长为2.7m，求树AB的高． 课后反击1、在比例尺为1：10000的地图上，一块面积为2cm2的区域表示的实际面积是（ ） A．2000000cm2 B．20000m2 C．4000000m2 D．40000m2 2、已知=，那么下列等式中不一定正确的是（ ） A．2x=5y B．= C．= D．= 3、如图，AB∥EF∥CD，BC、AD相交于点O，F是AD的中点，则下列结论中错误的是（ ） A．= B．= C．= D．= 4、如图，在△ABC与△ADE中，∠BAC=∠D，要使△ABC与△ADE相似，还需满足下列条件中的（ ） A．= B．= C．= D．= 5、如图，在△ABC中，BF平分∠ABC，AF⊥BF于点F，D为AB的中点，连接DF延长交AC于点E．若AB=10，BC=16，则线段EF的长为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 6、兴趣小组的同学要测量树的高度．在阳光下，一名同学测得一根长为l米的竹竿的影长为0.5米，同时另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的第一级台阶上，测得此影子长为0.2米，一级台阶高为0.3米，如图所示，若此时落在地面上的影长为4.4米，则树高为（ ） A．9.5米 B．10.75米 C．11.8米 D．9.8米 7、如图，在△ABC中，AB=8cm，BC=16cm，动点P从点A开始沿AB边运动，速度为2cm/s；动点Q从点B开始沿BC边运动，速度为4cm/s；如果P、Q两动点同时运动，那么何时△QBP与△ABC相似？ 8、小红用下面的方法来测量学校教学大楼AB的高度：如图，在水平地面点E处放一面平面镜，镜子与教学大楼的距离AE=20米．当她与镜子的距离CE=2.5米时，她刚好能从镜子中看到教学大楼的顶端B．已知她的眼睛距地面高度DC=1.6米，请你帮助小红测量出大楼AB的高度（注：入射角=反射角）． 1、如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与左图中△ABC相似的是（ ） A． B． C． D． 2、如图，王华晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为1米，继续往前走3米到达E处时，测得影子EF的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么路灯A的高度AB等于（ ） A．4.5米 B．6米 C．7.2米 D．8米 3、如图，△ABC与△DEF均为等边三角形，O为BC、EF的中点，则AD：BE的值为（ ） A．：1 B．：1 C．5：3 D．不确定 4、如图，CB=CA，∠ACB=90°，点D在边BC上（与B、C不重合），四边形ADEF为正方形，过点F作FG⊥CA，交CA的延长线于点G，连接FB，交DE于点Q，给出以下结论： ①AC=FG；②S△FAB：S四边形CBFG=1：2；③∠ABC=∠ABF；④AD2=FQ?AC， 其中正确的结论的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4
S(Summary-Embedded)——归纳总结
成比例线段 2、平行线分线段成比例 三角形相似的条件 4、利用三角形相似测高 5、相似三角形的性质与位似 熟练掌握平行线分线段成比例、三角形相似的常见模型，掌握对应的性质，并多加练习和总结，是解决本章内容的关键；对于动点类的题，以不变的数量关系，列方程解决，克服畏难心理是前提。本节课我学到 我需要努力的地方是
体系搭建
实战演练
直击中考
重点回顾
名师点拨
学霸经验
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【专题讲义】北师大版九年级数学上册
第14讲 图形的相似综合复习专题精讲（解析版）
参考答案
授课主题 第14讲-----图形的相似
授课类型 T同步课堂 P实战演练 S归纳总结
教学目标 熟练利用成比例线段计算线段的长度； 掌握平行线分线段成比例的常见模型，并准确计算线段长度； 掌握判定三角形相似的三个条件，熟练进行相关证明； 熟练运用三角形相似解决测高等实际问题； 理解三角形相似的性质及图形的位似，并能进行简单计算。
授课日期及时段
T（Textbook-Based）——同步课堂
知识梳理知识概念 （一）比例的性质 1.比例中项； 2.合分比性质； 3.等比性质（二）平行线分线段成比例定理 1.两条直线被一组平行线所截，所得的线段成比例。 2.如右图所示，所得的对应线段成比例的有：= ，，等等。 3.所得的线段必须是对应的，否则不成比例。 4.平行线段分线段成比例定理的常见变形如下图所示： （三）平行线分线段成比例定理的推论 平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例。 1.一定要注意三边的对应的关系，不要写错 2.平行于三角形的一边的直线可以与三角形的两边相交，也可以与三角形的两边的延长线相交，如下图所示，若DE∥BC，则有 （四）相似三角的判定方法 1、如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似． 2、如果一个三角的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似． 3、如果一个三角形的三条边分别与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似． （五）相似三角形基本类型 1、平行线型：常见的有如下两种，DE∥BC，则△ADE∽△ABC 2、相交线型：常见的有如下四种情形 （1）如图，已知∠1=∠B，则由公共角∠A得，△ADE∽△ABC （2）如下左图，已知∠1=∠B，则由公共角∠A得，△ADC∽△ACB （3）如下右图，已知∠B=∠D，则由对顶角∠1=∠2得，△ADE∽△ABC 3、旋转型：已知∠BAD=∠CAE，∠B=∠D，则△ADE∽△ABC， 右图为常见的基本图形． 4、母子型：已知∠ACB=90°，AB⊥CD，则△CBD∽△ABC∽△ACD． 5、斜交型： 如图：其中∠1=∠2，则△ADE∽△ABC称为“斜交型”的相似三角形。 （有“反A共角型”、“反A共角共边型”、 “蝶型”） 6、垂直型：有“双垂直共角型”、“双垂直共角共边型（也称“射影定理型”）”“三垂直型”） （六）黄金分割 （七）相似三角形的性质 1、相似三角形对应角相等，对应边成比例.
2、相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比. 3、相似三角形周长的比等于相似比. 4、相似三角形面积的比等于相似比的平方.（八）利用三角形相似测量高度方法 1、利用阳光下的影子测量物高 根据太阳光线是平行的，寻找相似三角形. 在同一时刻， 2、利用标杆测量物高 3、利用镜子原理测量物高（九）图形的位似 1、位似图形的定义 2、图形位似的性质考点一：成比例线段与平行线分线段成比例例1、（1）已知=，求的值． （2）已知==，求的值． 【解析】（1）∵=， ∴b=a，则==﹣； （2）设===a，则x=2a，y=3a，z=4a，==． 例2、如图，在△ABC中，D为AB上的一点，过点D作DE∥BC交AC于点E，过点D作DF∥AC交BC 于点F，则下列结论错误的是（ ） A．= B．= C．= D．= 【解析】C．考点二：三角形相似的条件例1、如图，在正方形ABCD中，E是AD的中点，F是CD上一点，且CF=3FD．则图中相似三角形的对数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【解析】有三对相似三角形，Rt△ABE∽Rt△DEF，Rt△ABE∽Rt△EBF， Rt△EBF∽Rt△DEF．理由如下： 设正方形的边长为4a，则AE=DE=2a，DF=a，CF=3a， 在Rt△BCF中，BF==5a， 在Rt△ABE中，BE==2a， 在Rt△DEF中，EF==a， ∵BE2+EF2=BF2，∴△BEF为直角三角形，∠BEF=90°， ∵==2，==2， ∴=， ∴Rt△ABE∽Rt△DEF，同理得=， ∴Rt△ABE∽Rt△EBF， ∴Rt△EBF∽Rt△DEF． 故选：C．例2、在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边从点A开始向点B以2cm/秒的速度移动，点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/秒的速度移动，如果P、Q同时出发，用t（秒）表示运动时间（0≤t≤6），那么当t为何值时，△APQ与△ABD相似？说明理由． 【解析】设AP=2tcm，DQ=tcm，∵AB=12cm，AD=6cm，∴AQ=（6﹣t）cm， ∵∠A=∠A， ∴①当 =时，△APQ∽△ABD， ∴=，解得：t=3； ②当 =时，△APQ∽△ADB，∴=，解得：t=1.2． ∴当t=3或1.2时，△APQ与△ABD相似．考点三： 利用三角形相似测高例1、如图，数学兴趣小组的小颖想测量教学楼前的一棵树的树高，下午课外活动时她测得一根长为1m的竹竿的影长是0.8m，但当她马上测量树高时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图），他先测得留在墙壁上的影高为1.2m，又测得地面的影长为2.6m，请你帮她算一下，树高是（ ） A．3.25m B．4.25m C．4.45m D．4.75m 【解析】如图，设BD是BC在地面的影子，树高为x， 根据竹竿的高与其影子的比值和树高与其影子的比值相同得 而CB=1.2，∴BD=0.96，∴树在地面的实际影子长是0.96+2.6=3.56， 再竹竿的高与其影子的比值和树高与其影子的比值相同得，∴x=4.45，∴树高是4.45m．故选C． 例2、如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板DEF来测量操场旗杆AB的高度，他们通过调整测量位置，使斜边DF与地面保持平行，并使边DE与旗杆顶点A在同一直线上，已知DE=0.5米，EF=0.25米，目测点D到地面的距离DG=1.5米，到旗杆的水平距离DC=20米，求旗杆的高度． 【解析】由题意可得：△DEF∽△DCA，则=， ∵DE=0.5米，EF=0.25米，DG=1.5m，DC=20m， ∴=，解得：AC=10， 故AB=AC+BC=10+1.5=11.5（m）， 答：旗杆的高度为11.5m．考点四：相似三角形的性质与位似 例1、如果两个相似三角形的相似比是2：3，较小三角形的面积为4cm2，那么较大三角形的面积9 cm2． 【解析】9 cm2． 例2、有一块直角边AB=3cm，BC=4cm的Rt△ABC的铁片，现要把它加工成一个正方形（加工中的损耗忽略不计），则正方形的边长为（ ） A． B． C． D．【解析】如图，过点B作BP⊥AC，垂足为P，BP交DE于Q． ∵S△ABC=AB?BC=AC?BP，∴BP===． ∵DE∥AC，∴∠BDE=∠A，∠BED=∠C，∴△BDE∽△BAC， ∴．设DE=x，则有：，解得x=，故选：D．例3、如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，6），B（﹣9，﹣3），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是（ ） A．（﹣1，2） B．（﹣9，18） C．（﹣9，18）或（9，﹣18） D．（﹣1，2）或（1，﹣2） 【解析】∵A（﹣3，6），B（﹣9，﹣3），以原点O为位似中心， 相似比为，把△ABO缩小， ∴点A的对应点A′的坐标为（﹣3×，6×）或[﹣3×（﹣），6×（﹣）]， 即A′点的坐标为（﹣1，2）或（1，﹣2）．故选D．
P(Practice-Oriented)——实战演练
课堂狙击1、已知，则的值是（ ） A． B． C． D． 【解析】D． 2、如图所示，△ABC中若DE∥BC，EF∥AB，则下列比例式正确的是（ ） A． B． C． D． 【解析】C． 3、如图，∠A=∠B=90°，AB=7，AD=2，BC=3，在边AB上取点P，使得△PAD与△PBC相似，则这样的P点共有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解析】设AP=x，则有PB=AB﹣AP=7﹣x， 当△PDA∽△CPB时，=，即=，解得：x=1或x=6， 当△PDA∽△PCB时，=，即=，解得：x=，则这样的点P共有3个，故选C． 4、如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE∥AC，AE、CD相交于点O，若S△DOE：S△COA=1：25，则S△BDE与S△CDE的比是（ ） A．1：3 B．1：4 C．1：5 D．1：25 【解析】B． 5、已知，如图所示的一张三角形纸片ABC，边AB的长为20cm，AB边上的高为25cm，在三角形纸片ABC中从下往上依次裁剪去宽为4cm的矩形纸条，若剪得的其中一张纸条是正方形，那么这张正方形纸条是（ ） A．第4张 B．第5张 C．第6张 D．第7张 【解析】正方形中平行于底边的边是4， 所以根据相似三角形的性质可设从顶点到这个正方形的线段为x， 则 =，解得x=5，所以另一段长为25﹣5=20， 因为20÷4=5，所以是第5张．故选：B． 6、如图，在平面直角坐标中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，点A，B，E在x轴上，若正方形BEFG的边长为6，则C点坐标为（ ） A．（3，2） B．（3，1） C．（2，2） D．（4，2） 【解析】A． 7、如图所示，Rt△ABC中，已知∠BAC=90°，AB=AC=2，点D在BC上运动（不能到达点B，C），过点D作∠ADE=45°，DE交AC于点E． （1）求证：△ABD∽△DCE； （2）当△ADE是等腰三角形时，求AE的长． 【解析】（1）∠B=∠C=45°．∠EDC=∠BAD．∴△ABD∽△DCE． （2）讨论：①若AD=AE时，∠DAE=90°，此时D点与点B重合，不合题意． ②若AD=DE时，△ABD与△DCE的相似比为1，此时△ABD≌△DCE， 于是AB=AC=2，BC=2，AE=AC﹣EC=2﹣BD=2﹣（2﹣2）=4﹣2 ③若AE=DE，此时∠DAE=∠ADE=45°， 如下图所示易知AD⊥BC，DE⊥AC，且AD=DC．由等腰三角形的 三线合一可知：AE=CE=AC=1． 8、如图，一位同学想利用树影测量树AB的高，他在某一时刻测得直立于地面上的一根长为1m的竹竿影长为0.9m，但他马上测量树AB的影长时，因树AB靠近一幢建筑物，有一部分影子落在建筑物的墙上，他先测得落在建筑物墙上的影高CD为1.2m，又测得落在地面上的影长为2.7m，求树AB的高． 【解析】过D作DE∥BC交AB于点E， 设墙上的影高CD落在地面上时的长度为xm，树高为hm， ∵某一时刻测得长为1m的竹竿影长为0.9m，墙上的影高CD为1.2m， ∴=，解得x=1.08（m），∴树的影长为：1.08+2.7=3.78（m）， ∴，解得h=4.2（m）．答：AB测的树高为4.2米． 课后反击1、在比例尺为1：10000的地图上，一块面积为2cm2的区域表示的实际面积是（ ） A．2000000cm2 B．20000m2 C．4000000m2 D．40000m2 【解析】B． 2、已知=，那么下列等式中不一定正确的是（ ） A．2x=5y B．= C．= D．= 【解析】D．3、如图，AB∥EF∥CD，BC、AD相交于点O，F是AD的中点，则下列结论中错误的是（ ） A．= B．= C．= D．= 【解析】C． 4、如图，在△ABC与△ADE中，∠BAC=∠D，要使△ABC与△ADE相似，还需满足下列条件中的（ ） A．= B．= C．= D．= 【解析】C．5、如图，在△ABC中，BF平分∠ABC，AF⊥BF于点F，D为AB的中点，连接DF延长交AC于点E．若AB=10，BC=16，则线段EF的长为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【解析】DE=8，∴EF=DE﹣DF=3，故选：B． 6、兴趣小组的同学要测量树的高度．在阳光下，一名同学测得一根长为l米的竹竿的影长为0.5米，同时另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的第一级台阶上，测得此影子长为0.2米，一级台阶高为0.3米，如图所示，若此时落在地面上的影长为4.4米，则树高为（ ） A．9.5米 B．10.75米 C．11.8米 D．9.8米 【解析】根据题意可构造相似三角形模型如图： 延长FE交AB于G，则Rt△ABC∽Rt△AGF， ∴AG：GF=AB：BC=物高：影长=1：0.5 ∴GF=0.5AG又∵GF=GE+EF，BD=GE ∴GF=4.6 ∴AG=9.2 ∴AB=AG+GB=9.5，即树高为9.5米．故选A． 7、如图，在△ABC中，AB=8cm，BC=16cm，动点P从点A开始沿AB边运动，速度为2cm/s；动点Q从点B开始沿BC边运动，速度为4cm/s；如果P、Q两动点同时运动，那么何时△QBP与△ABC相似？ 【解析】设经过t秒时，以△QBC与△ABC相似， 则AP=2t，BP=8﹣2t，BQ=4t， ∵∠PBQ=∠ABC，∴当=时，△BPQ∽△BAC， 即=，解得t=2（s）； 当=时，△BPQ∽△BCA，即=，解得t=0.8（s）； 即经过2秒或0.8秒时，△QBC与△ABC相似． 8、小红用下面的方法来测量学校教学大楼AB的高度：如图，在水平地面点E处放一面平面镜，镜子与教学大楼的距离AE=20米．当她与镜子的距离CE=2.5米时，她刚好能从镜子中看到教学大楼的顶端B．已知她的眼睛距地面高度DC=1.6米，请你帮助小红测量出大楼AB的高度（注：入射角=反射角）． 【解析】如图，∵根据反射定律知：∠FEB=∠FED， ∴∠BEA=∠DEC ∵∠BAE=∠DCE=90°∴△BAE∽△DCE∴； ∵CE=2.5米，DC=1.6米，∴； ∴AB=12.8 ∴大楼AB的高为12.8米． 1、如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与左图中△ABC相似的是（ ） A． B． C． D． 【解析】B． 2、如图，王华晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为1米，继续往前走3米到达E处时，测得影子EF的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么路灯A的高度AB等于（ ） A．4.5米 B．6米 C．7.2米 D．8米【解析】△GCD∽△ABD（两个角对应相等的两个三角形相似），∴， 设BC=x，则，同理，得，∴，∴x=3， ∴，∴AB=6．故选：B． 3、如图，△ABC与△DEF均为等边三角形，O为BC、EF的中点，则AD：BE的值为（ ） A．：1 B．：1 C．5：3 D．不确定【解析】连接OA、OD， ∵△ABC与△DEF均为等边三角形，O为BC、EF的中点， ∴AO⊥BC，DO⊥EF，∠EDO=30°，∠BAO=30°， ∴OD：OE=OA：OB=：1， ∵∠DOE+∠EOA=∠BOA+∠EOA即∠DOA=∠EOB， ∴△DOA∽△EOB，∴OD：OE=OA：OB=AD：BE=：1．故选：A． 4、如图，CB=CA，∠ACB=90°，点D在边BC上（与B、C不重合），四边形ADEF为正方形，过点F作FG⊥CA，交CA的延长线于点G，连接FB，交DE于点Q，给出以下结论： ①AC=FG；②S△FAB：S四边形CBFG=1：2；③∠ABC=∠ABF；④AD2=FQ?AC， 其中正确的结论的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4【解析】△FGA≌△ACD（AAS），∴AC=FG，①正确； ∵BC=AC，∴FG=BC， ∵∠ACB=90°，FG⊥CA，∴FG∥BC，∴四边形CBFG是矩形， ∴∠CBF=90°，S△FAB=FB?FG=S四边形CBFG，②正确； ∵CA=CB，∠C=∠CBF=90°，∴∠ABC=∠ABF=45°，③正确； ∵∠FQE=∠DQB=∠ADC，∠E=∠C=90°，∴△ACD∽△FEQ，∴AC：AD=FE：FQ， ∴AD?FE=AD2=FQ?AC，④正确；故选：D．
S(Summary-Embedded)——归纳总结
成比例线段 2、平行线分线段成比例 三角形相似的条件 4、利用三角形相似测高 5、相似三角形的性质与位似 熟练掌握平行线分线段成比例、三角形相似的常见模型，掌握对应的性质，并多加练习和总结，是解决本章内容的关键；对于动点类的题，以不变的数量关系，列方程解决，克服畏难心理是前提。本节课我学到 我需要努力的地方是
体系搭建
实战演练
直击中考
重点回顾
名师点拨
学霸经验
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