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【专题讲义】北师大版九年级数学上册
第1讲 特殊的平行四边形综合复习专题精讲（培优版）
授课主题 第01讲-----特殊的平行四边形
授课类型 T同步课堂 P实战演练 S归纳总结
教学目标 熟练掌握菱形、矩形、正方形的性质与判定； 熟练掌握特殊的平行四边形之间的区别和联系； 综合利用不同特殊平行边形的性质与判定进行证明或解决相关问题。
授课日期及时段
T（Textbook-Based）——同步课堂
知识梳理 知识概念 （一）菱形1、定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形． 2、菱形的性质： ???? ①菱形具有平行四边形的一切性质； ②菱形的四条边都相等； ???? ③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角； ???? ④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线． 3、菱形的面积计算①利用平行四边形的面积公式． ??②菱形面积=ab．（a、b是两条对角线的长度）4、菱形的判定：①一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等=菱形）；
②四条边都相等的四边形是菱形． ③对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）．
（二）矩形1、定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形． 2、矩形的性质： ??? 平行四边形的性质矩形都具有； ??? 角：矩形的四个角都是直角； ??? 边：邻边垂直； ??? 对角线：矩形的对角线相等； ???? 矩形是轴对称图形，又是中心对称图形． 3、由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．4、矩形的判定：
①有一个角是直角的平行四边形是矩形；
②有三个角是直角的四边形是矩形；
③对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”）说明：证明一个四边形是矩形，若题设条件与这个四边形的对角线有关，通常证这个四边形的对角线相等．
题设中出现多个直角或垂直时，常采用“三个角是直角的四边形是矩形”来判定矩形．（三）正方形1、定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
2、正方形的性质：
①正方形的四条边都相等，四个角都是直角； ②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；
③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质． 两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．正方形的判定：
①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；
②先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角．
③还可以先判定四边形是平行四边形，再用1或2进行判定． 考点一： 菱形的性质与判定例1、如图，四边形ABCD是菱形，AC=8，DB=6，DH⊥AB于H，则DH等于（ ） A． B． C．5 D．4例2、如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，E、F分别是AB，AD的中点，DE、BF相交于点G，连接BD，CG．有下列结论：①∠BGD=120°；②BG+DG=CG；③△BDF≌△CGB；④S△ABD=AB2 其中正确的结论有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 例3、如图：在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线交BC于点E（尺规作图的痕迹保留在图中了），连接EF． （1）求证：四边形ABEF为菱形； （2）AE，BF相交于点O，若BF=6，AB=5，求AE的长． 考点二： 矩形的性质与判定例1、矩形具有而菱形不具有的性质是（ ） A．对角线相等 B．两组对边分别平行 C．对角线互相平分 D．两组对角分别相等例2、矩形ABCD中，AB=2，AD=1，点M在边CD上，若AM平分∠DMB，则DM的长是（ ） A． B． C． D． 例3、如图，在?ABCD中，∠ABD的平分线BE交AD于点E，∠CDB的平分线DF交BC于点F． （1）求证：△ABE≌△CDF； （2）若AB=DB，求证：四边形DFBE是矩形． 考点三：正方形的性质与判定例1、正方形具有而菱形不一定具有的性质是（ ） A．对角线互相垂直 B．对角线相等 C．对角线互相平分 D．对角相等例2、如图，正方形AEFG的边AE放置在正方形ABCD的对角线AC上，EF与CD交于点M，得四边形AEMD，且两正方形的边长均为2，则两正方形重合部分（阴影部分）的面积为（ ） A．﹣4+4 B．4+4 C．8﹣4 D．+1 例3、已知：如图，点E，F，P，Q分别是正方形ABCD的四条边上的点， 并且AF=BP=CQ=DE． 求证：（1）EF=FP=PQ=QE； （2）四边形E FPQ是正方形． 考点四： 线段和最短问题矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点B的坐标为（3，4），D是OA的中点，点E在AB上，当△CDE的周长最小时，点E的坐标为（ ） A．（3，1） B．（3，） C．（3，） D．（3，2） 例2、已知菱形OABC在平面直角坐标系的位置如图所示，顶点A（5，0），OB=4，点P是对角线OB上的一个动点，D（0，1），当CP+DP最短时，点P的坐标为（ ） A．（0，0） B．（1，） C．（，） D．（，） 考点五：折叠问题例1、如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH．若BE：EC=2：1，则线段CH的长是（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 例2、如图，把矩形ABCD沿对角线BD折叠使点C落在F处，BF交AD于点E． （1）求证：△BEA≌△DEF； （2）若AB=2，AD=4，求AE的长．
P(Practice-Oriented)——实战演练
课堂狙击1、下列性质中，菱形对角线不具有的是（ ） A．对角线互相垂直 B．对角线所在直线是对称轴 C．对角线相等 D．对角线互相平分 2、如图，菱形ABCD的周长为8cm，高AE的长为cm，则对角线BD的长为（ ） A．2cm B．3cm C．cm D．2cm 3、如图，在菱形ABCD中，下列结论中错误的是（ ） A．∠1=∠2 B．AC⊥BD C．AB=AD D．AC═BD 4、如图，把菱形ABCD沿AH折叠，使B点落在BC上的E点处，若∠B=70°，则∠EDC的大小为（ ） A．10° B．15° C．20° D．30° 5、如图所示，矩形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于E，∠CAE=15°，则下面的结论：①△ODC是等边三角形；②BC=2AB；③∠AOE=135°； ④S△AOE=S△COE，其中正确结论有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6、如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=2，O是AD的中点，连接OB、OC，点E在线段BC上（点E不与点B、C重合），过点E作EM⊥OB于M，EN⊥OC于N，则EM+EN的值为（ ） A．6 B．1.5 C． D． 7、如图，P是边长为1的正方形ABCD的对角线BD上的一点，点E是AB的中点，则PA+PE的最小值是（ ） A． B． C． D． 8、如图，已知点E，F分别是?ABCD的边BC，AD上的中点，且∠BAC=90°． （1）求证：四边形AECF是菱形； （2）若∠B=30°，BC=10，求菱形AECF面积． 9、如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在DG上，BC=1，CE=3，H是AF的中点，求CH的长． 课后反击1、在平面中，下列命题为真命题的是（ ） A．四边相等的四边形是正方形 B．对角线相等的四边形是菱形 C．四个角相等的四边形是矩形 D．对角线互相垂直的四边形是平行四边形 2、已知菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为6cm、8cm，则此菱形的面积为（ ） A．48cm2 B．24cm2 C．18cm2 D．12cm2 3、如图所示，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，H为AD边的中点，菱形ABCD的周长为36，则OH的长等于（ ） A．4.5 B．5 C．6 D．9 4、已知菱形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，∠DAO=30°，点D的坐标为（0，2），动点P从点A出发，沿A→B→C→D→A→B→…的路线，以每秒1个单位长度的速度在菱形ABCD的边上移动，当移动到第2016秒时，点P的坐标为（ ） A．（﹣2，0） B．（0，﹣2） C．（2，0） D．（0，2） 5、如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF，则CF的长为（ ） A． B． C． D． 6、如图，矩形ABCD的面积为5，它的两条对角线交于点O1，以AB、AO1为两邻边作平行四边形ABC1O1，平行四边形ABC1 O1的对角线交BD于点O2，同样以AB、AO2为两邻边作平行四边形ABC2O2，…，依此类推，则平行四边形ABC2016O2016的面积为（ ） A． B． C． D． 7、已知：如图，在菱形ABCD中，F为边BC的中点，DF与对角线AC交于点M，过M作ME⊥CD于点E，∠1=∠2．（1）若CE=1，求BC的长； （2）求证：AM=DF+ME． 1、下列说法：①三角形的三条高一定都在三角形内；②有一个角是直角的四边形是矩形； ③有一组邻边相等的平行四边形是菱形；④两边及一角对应相等的两个三角形全等； ⑤一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；其中正确的个数有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2、如图，正方形ABCD的面积为1，则以相邻两边中点连线EF为边正方形EFGH的周长为（ ） A． B．2 C．+1 D．2+1 3、如图，在?ABCD中，对角线AC与BD交于点O，若增加一个条件，使?ABCD成为菱形，下列给出的条件不正确的是（ ） A．AB=AD B．AC⊥BD C．AC=BD D．∠BAC=∠DAC 4、如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC于E， ∠EDC：∠EDA=1：3，且AC=10，则DE的长度是（ ） A．3 B．5 C． D． 5、如图，正方形ABCD的边长为2，点E在AB边上．四边形EFGB也为正方形，设△AFC的面积为S，则（ ） A．S=2 B．S=2.4 C．S=4 D．S与BE长度有关 6、在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F． （1）求证：△AEF≌△DEB； （2）证明四边形ADCF是菱形； （3）若AC=4，AB=5，求菱形ADCF的面积．
S(Summary-Embedded)——归纳总结
1、菱形、矩形、正方形的性质与判定； 2、最短问题与翻折问题的解决。 本单元内容较多，准确理解性质及判定定理多加练习是解决本单元问题的关键，同时注意总结最短问题及翻折问题的解题思路。本节课我学到 我需要努力的地方是
体系搭建
实战演练
直击中考
重点回顾
名师点拨
学霸经验
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【专题讲义】北师大版九年级数学上册
第1讲 特殊的平行四边形综合复习专题精讲（解析版）
参考答案
授课主题 第01讲-----特殊的平行四边形
授课类型 T同步课堂 P实战演练 S归纳总结
教学目标 熟练掌握菱形、矩形、正方形的性质与判定； 熟练掌握特殊的平行四边形之间的区别和联系； 综合利用不同特殊平行边形的性质与判定进行证明或解决相关问题。
授课日期及时段
T（Textbook-Based）——同步课堂
知识梳理 知识概念 （一）菱形1、定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形． 2、菱形的性质： ???? ①菱形具有平行四边形的一切性质； ②菱形的四条边都相等； ???? ③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角； ???? ④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线． 3、菱形的面积计算①利用平行四边形的面积公式． ??②菱形面积=ab．（a、b是两条对角线的长度）4、菱形的判定：①一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等=菱形）；
②四条边都相等的四边形是菱形． ③对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）．
（二）矩形1、定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形． 2、矩形的性质： ??? 平行四边形的性质矩形都具有； ??? 角：矩形的四个角都是直角； ??? 边：邻边垂直； ??? 对角线：矩形的对角线相等； ???? 矩形是轴对称图形，又是中心对称图形． 3、由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．4、矩形的判定：
①有一个角是直角的平行四边形是矩形；
②有三个角是直角的四边形是矩形；
③对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”）说明：证明一个四边形是矩形，若题设条件与这个四边形的对角线有关，通常证这个四边形的对角线相等．
题设中出现多个直角或垂直时，常采用“三个角是直角的四边形是矩形”来判定矩形．（三）正方形1、定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
2、正方形的性质：
①正方形的四条边都相等，四个角都是直角； ②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；
③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质． 两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．正方形的判定：
①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；
②先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角．
③还可以先判定四边形是平行四边形，再用1或2进行判定． 考点一： 菱形的性质与判定例1、如图，四边形ABCD是菱形，AC=8，DB=6，DH⊥AB于H，则DH等于（ ） A． B． C．5 D．4 【解析】A． 例2、如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，E、F分别是AB，AD的中点，DE、BF相交于点G，连接BD，CG．有下列结论：①∠BGD=120°；②BG+DG=CG；③△BDF≌△CGB；④S△ABD=AB2 其中正确的结论有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解析】①由菱形的性质可得△ABD、BDC是等边三角形， ∠DGB=∠GBE+∠GEB=30°+90°=120°，故①正确； ②∵∠DCG=∠BCG=30°，DE⊥AB， ∴可得DG=CG（30°角所对直角边等于斜边一半）、BG=CG，故可得出BG+DG=CG，即②也正确； ③首先可得对应边BG≠FD，因为BG=DG，DG＞FD，故可得△BDF不全等△CGB，即③错误； ④S△ABD=AB?DE=AB?BE=AB?AB=AB2，即④正确． 综上可得①②④正确，共3个．故选C．例3、如图：在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线交BC于点E（尺规作图的痕迹保留在图中了），连接EF． （1）求证：四边形ABEF为菱形； （2）AE，BF相交于点O，若BF=6，AB=5，求AE的长． 【解析】（1）证明：由尺规作∠BAF的角平分线的过程可得AB=AF， ∠BAE=∠FAE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠FAE=∠AEB， ∴∠BAE=∠AEB，∴AB=BE，∴BE=FA， ∴四边形ABEF为平行四边形， ∵AB=AF，∴四边形ABEF为菱形； （2）解：∵四边形ABEF为菱形，∴AE⊥BF，BO=FB=3，AE=2AO， 在Rt△AOB中，AO==4，∴AE=2AO=8．考点二： 矩形的性质与判定例1、矩形具有而菱形不具有的性质是（ ） A．对角线相等 B．两组对边分别平行 C．对角线互相平分 D．两组对角分别相等 【解析】A． 例2、矩形ABCD中，AB=2，AD=1，点M在边CD上，若AM平分∠DMB，则DM的长是（ ） A． B． C． D． 【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴CD=AB=2，AB∥CD， BC=AD=1，∠C=90°， ∴∠BAM=∠AMD，∵AM平分∠DMB，∴∠AMD=∠AMB，∴∠BAM=∠AMB， ∴BM=AB=2，∴CM===， ∴DM=CD﹣CM=2﹣；故选：D．例3、如图，在?ABCD中，∠ABD的平分线BE交AD于点E，∠CDB的平分线DF交BC于点F． （1）求证：△ABE≌△CDF； （2）若AB=DB，求证：四边形DFBE是矩形． 【解析】证明：（1）∵∠ABD的平分线BE交AD于点E， ∴∠ABE=∠ABD，∵∠CDB的平分线DF交BC于点F， ∴∠CDF=∠CDB，∵在平行四边形ABCD中，∴AB∥CD，∴∠ABD=∠CDB， ∴∠CDF=∠ABE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD=AB，∠A=∠C， 即，∴△ABE≌△CDF（ASA）； （2）∵△ABE≌△CDF，∴AE=CF， ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC， ∴DE∥BF，DE=BF，∴四边形DFBE是平行四边形，∵AB=DB，BE平分∠ABD， ∴BE⊥AD，即∠DEB=90°．∴平行四边形DFBE是矩形．考点三：正方形的性质与判定例1、正方形具有而菱形不一定具有的性质是（ ） A．对角线互相垂直 B．对角线相等 C．对角线互相平分 D．对角相等 【解析】B． 例2、如图，正方形AEFG的边AE放置在正方形ABCD的对角线AC上，EF与CD交于点M，得四边形AEMD，且两正方形的边长均为2，则两正方形重合部分（阴影部分）的面积为（ ） A．﹣4+4 B．4+4 C．8﹣4 D．+1 【解析】∵四边形ABCD是正方形，∴∠D=90°，∠ACD=45°，AD=CD=2， 则S△ACD=AD?CD=×2×2=2；AC=AD=2，则EC=2﹣2， ∵△MEC是等腰直角三角形，∴S△MEC=ME?EC=（2﹣2）2=6﹣4， ∴阴影部分的面积=S△ACD﹣S△MEC=2﹣（6﹣4）=4﹣4．故选：A． 例3、已知：如图，点E，F，P，Q分别是正方形ABCD的四条边上的点， 并且AF=BP=CQ=DE． 求证：（1）EF=FP=PQ=QE； （2）四边形E FPQ是正方形． 【解析】证明：（1）∵四边形ABCD是正方形， ∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=AD， ∵AF=BP=CQ=DE，∴DF=CE=BQ=AP， 在△APF和△DFE和△CEQ和△BQP中，， ∴△APF≌△DFE≌△CEQ≌△BQP（SAS）， ∴EF=FP=PQ=QE； （2）∵EF=FP=PQ=QE，∴四边形EFPQ是菱形， ∵△APF≌△BQP，∴∠AFP=∠BPQ， ∵∠AFP+∠APF=90°，∴∠APF+∠BPQ=90°，∴∠FPQ=90°，∴四边形EFPQ是正方形． 考点四： 线段和最短问题矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点B的坐标为（3，4），D是OA的中点，点E在AB上，当△CDE的周长最小时，点E的坐标为（ ） A．（3，1） B．（3，） C．（3，） D．（3，2） 【解析】如图，作点D关于直线AB的对称点H，连接CH与AB的交 点为E，此时△CDE的周长最小． ∵D（，0），A（3，0），∴H（，0）， ∴直线CH解析式为y=﹣x+4， ∴x=3时，y=，∴点E坐标（3，）故选：B． 例2、已知菱形OABC在平面直角坐标系的位置如图所示，顶点A（5，0），OB=4，点P是对角线OB上的一个动点，D（0，1），当CP+DP最短时，点P的坐标为（ ） A．（0，0） B．（1，） C．（，） D．（，） 【解析】如图连接AC，AD，分别交OB于G、P，作BK⊥OA于K． ∵四边形OABC是菱形， ∴AC⊥OB，GC=AG，OG=BG=2，A、C关于直线OB对称， ∴PC+PD=PA+PD=DA，∴此时PC+PD最短，在RT△AOG中，AG===， ∴AC=2，∵OA?BK=?AC?OB， ∴BK=4，AK==3， ∴点B坐标（8，4）， ∴直线OB解析式为y=x，直线AD解析式为y=﹣x+1， 由解得，∴点P坐标（，）．故选D．考点五：折叠问题例1、如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH．若BE：EC=2：1，则线段CH的长是（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【解析】设CH=x，则DH=EH=9﹣x， ∵BE：EC=2：1，BC=9，∴CE=BC=3， ∴在Rt△ECH中，EH2=EC2+CH2， 即（9﹣x）2=32+x2，解得：x=4，即CH=4．故选（B）．例2、如图，把矩形ABCD沿对角线BD折叠使点C落在F处，BF交AD于点E． （1）求证：△BEA≌△DEF； （2）若AB=2，AD=4，求AE的长． 【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD，∠A=∠C=90°， ∵把矩形ABCD沿对角线BD折叠使点C落在F处，BF交AD于点E， ∴DF=CD，∠F=∠C=90°，∴AB=FD，∠A=∠F， 在△BEA和△DEF中∴△BEA≌△DEF（AAS）； （2）解：∵△BEA≌△DEF，∴BE=DE=AD﹣AE=4﹣AE， 在Rt△BAE中，由勾股定理得：AB2+AE2=BE2，∴22+AE2=（4﹣AE）2，解得：AE=．
P(Practice-Oriented)——实战演练
课堂狙击1、下列性质中，菱形对角线不具有的是（ ） A．对角线互相垂直 B．对角线所在直线是对称轴 C．对角线相等 D．对角线互相平分 【解析】C． 2、如图，菱形ABCD的周长为8cm，高AE的长为cm，则对角线BD的长为（ ） A．2cm B．3cm C．cm D．2cm 【解析】如图，设AC，BD相较于点O，∵菱形ABCD的周长为8cm， ∴AB=BC=2cm，∵高AE长为cm，∴BE==1（cm）， ∴CE=BE=1cm，∴AC=AB=2cm，∴△ACB是等边三角形， ∴OA=1cm，AC⊥BD，∴OB==（cm），∴BD=2OB=2cm，故选：D． 3、如图，在菱形ABCD中，下列结论中错误的是（ ） A．∠1=∠2 B．AC⊥BD C．AB=AD D．AC═BD 【解析】D． 4、如图，把菱形ABCD沿AH折叠，使B点落在BC上的E点处，若∠B=70°，则∠EDC的大小为（ ） A．10° B．15° C．20° D．30° 【解析】根据菱形的对角相等得∠ADC=∠B=70°． ∵AD=AB=AE，∴∠AED=∠ADE．根据折叠得∠AEB=∠B=70°． ∵AD∥BC，∴∠DAE=∠AEB=70°， ∴∠ADE=∠AED=（180°﹣∠DAE）÷2=55°．∴∠EDC=70°﹣55°=15°．故选B． 5、如图所示，矩形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于E，∠CAE=15°，则下面的结论：①△ODC是等边三角形；②BC=2AB；③∠AOE=135°； ④S△AOE=S△COE，其中正确结论有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解析】②错误，故选C． 6、如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=2，O是AD的中点，连接OB、OC，点E在线段BC上（点E不与点B、C重合），过点E作EM⊥OB于M，EN⊥OC于N，则EM+EN的值为（ ） A．6 B．1.5 C． D． 【解析】连接OE，∵△OBE的面积+△OCE的面积=△OBC的面积， ∴OB?EM+OC?EN=BC?AB， ∴（EM+EN）×=×2×3，得：EM+EN=；故选D． 7、如图，P是边长为1的正方形ABCD的对角线BD上的一点，点E是AB的中点，则PA+PE的最小值是（ ） A． B． C． D． 【解析】连接AC，EC，EC与BD交于点P，此时PA+PE的最小， ∵正方形ABCD中，AB=BC=1，E为AB中点，∴BE=， ∴EC==，故选A． 8、如图，已知点E，F分别是?ABCD的边BC，AD上的中点，且∠BAC=90°． （1）求证：四边形AECF是菱形； （2）若∠B=30°，BC=10，求菱形AECF面积． 【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD=BC，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点E是BC边的中点， ∴AE=BC=CE，同理，AF=AD=CF， ∴AE=CE=AF=CF，∴四边形AECF是菱形； （2）解：连接EF交AC于点O，如图所示： 在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=30°，BC=10，∴AC=BC=5，AB=AC=5， ∵四边形AECF是菱形，∴AC⊥EF，OA=OC，∴OE是△ABC的中位线，∴OE=AB=， ∴EF=5，∴菱形AECF的面积=AC?EF=×5×5=． 9、如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在DG上，BC=1，CE=3，H是AF的中点，求CH的长． 【解析】∵正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上， BC=1，CE=3，∴AB=BC=1，CE=EF=3，∠E=90°， 延长AD交EF于M，连接AC、CF， 则AM=BC+CE=1+3=4，FM=EF﹣AB=3﹣1=2，∠AMF=90°， ∵四边形ABCD和四边形GCEF是正方形，∴∠ACD=∠GCF=45°， ∴∠ACF=90°，∵H为AF的中点，∴CH=AF， 在Rt△AMF中，由勾股定理得：AF===2 ∴CH=AF=． 课后反击1、在平面中，下列命题为真命题的是（ ） A．四边相等的四边形是正方形 B．对角线相等的四边形是菱形 C．四个角相等的四边形是矩形 D．对角线互相垂直的四边形是平行四边形 【解析】C． 2、已知菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为6cm、8cm，则此菱形的面积为（ ） A．48cm2 B．24cm2 C．18cm2 D．12cm2 【解析】B． 3、如图所示，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，H为AD边的中点，菱形ABCD的周长为36，则OH的长等于（ ） A．4.5 B．5 C．6 D．9 【解析】∵四边形ABCD为菱形，且周长为36，∴AB=BC=CD=AD=9， 又∵O为BD中点，H为AD的中点，∴OH为△ABD的中位线，∴OH=AB=4.5，故选A． 4、已知菱形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，∠DAO=30°，点D的坐标为（0，2），动点P从点A出发，沿A→B→C→D→A→B→…的路线，以每秒1个单位长度的速度在菱形ABCD的边上移动，当移动到第2016秒时，点P的坐标为（ ） A．（﹣2，0） B．（0，﹣2） C．（2，0） D．（0，2） 【解析】在RT△AOD中，∵∠AOD=90°，∠DAO=30°，OD=2， ∴AD=2OD=4，OA==2， ∵点P的运动速度为1米/秒，∴从点A到点B所需时间==4秒， ∴沿A→B→C→D→A所需的时间=4×4=16秒．∵=126， ∴移动到第2016秒和第16秒的位置相同，当P运动到第16秒时点P在点A处， ∴移动到第2016秒时，点P的坐标为（﹣2，0）．故选A． 5、如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF，则CF的长为（ ） A． B． C． D． 【解析】：连接BF，∵BC=6，点E为BC的中点，∴BE=3， 又∵AB=4，∴AE==5，∴BH=，则BF=， ∵FE=BE=EC，∴∠BFC=90°，∴CF==．故选：D． 6、如图，矩形ABCD的面积为5，它的两条对角线交于点O1，以AB、AO1为两邻边作平行四边形ABC1O1，平行四边形ABC1 O1的对角线交BD于点O2，同样以AB、AO2为两邻边作平行四边形ABC2O2，…，依此类推，则平行四边形ABC2016O2016的面积为（ ） B． C． D．【解析】=S矩形ABCD，=， ∴=?S矩形ABCD=，同理可得：平行四边形ABO2C2的面积=， 平行四边形ABO3C3的面积=，…∴平行四边形ABC2016O2016的面积=．故选B． 7、已知：如图，在菱形ABCD中，F为边BC的中点，DF与对角线AC交于点M，过M作ME⊥CD于点E，∠1=∠2．（1）若CE=1，求BC的长； （2）求证：AM=DF+ME． 【解析】（1）解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD， ∴∠1=∠ACD，∵∠1=∠2，∴∠ACD=∠2，∴MC=MD， ∵ME⊥CD，∴CD=2CE，∵CE=1，∴CD=2，∴BC=CD=2； （2）证明：如图，∵F为边BC的中点，∴BF=CF=BC，∴CF=CE， 在菱形ABCD中，AC平分∠BCD，∴∠ACB=∠ACD， 在△CEM和△CFM中，∵，∴△CEM≌△CFM（SAS），∴ME=MF， 延长AB交DF的延长线于点G，∵AB∥CD， ∴∠G=∠2，∵∠1=∠2，∴∠1=∠G，∴AM=MG， 在△CDF和△BGF中， ∵， ∴△CDF≌△BGF（AAS），∴GF=DF，由图形可知，GM=GF+MF，∴AM=DF+ME． 1、下列说法：①三角形的三条高一定都在三角形内；②有一个角是直角的四边形是矩形； ③有一组邻边相等的平行四边形是菱形；④两边及一角对应相等的两个三角形全等； ⑤一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；其中正确的个数有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解析】正确的只有③，故选A． 2、如图，正方形ABCD的面积为1，则以相邻两边中点连线EF为边正方形EFGH的周长为（ ） A． B．2 C．+1 D．2+1 【解析】∵正方形ABCD的面积为1，∴BC=CD==1，∠BCD=90°， ∵E、F分别是BC、CD的中点，∴CE=BC=，CF=CD=， ∴CE=CF，∴△CEF是等腰直角三角形，∴EF=CE=， ∴正方形EFGH的周长=4EF=4×=2；故选：B． 3、如图，在?ABCD中，对角线AC与BD交于点O，若增加一个条件，使?ABCD成为菱形，下列给出的条件不正确的是（ ） A．AB=AD B．AC⊥BD C．AC=BD D．∠BAC=∠DAC 【解析】C． 4、如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC于E， ∠EDC：∠EDA=1：3，且AC=10，则DE的长度是（ ） A．3 B．5 C． D． 【解析】D． 5、如图，正方形ABCD的边长为2，点E在AB边上．四边形EFGB也为正方形，设△AFC的面积为S，则（ ） A．S=2 B．S=2.4 C．S=4 D．S与BE长度有关 【解析】连接FB∵四边形EFGB为正方形；∴∠FBA=∠BAC=45°， ∴FB∥AC；∴△ABC与△AFC是同底等高的三角形∴S=2；故选A 6、在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F． （1）求证：△AEF≌△DEB； （2）证明四边形ADCF是菱形； （3）若AC=4，AB=5，求菱形ADCF的面积． 【解析】（1）证明：①∵AF∥BC，∴∠AFE=∠DBE， ∵E是AD的中点，AD是BC边上的中线，∴AE=DE，BD=CD， 在△AFE和△DBE中，，∴△AFE≌△DBE（AAS）； （2）证明：由（1）知，△AFE≌△DBE，则AF=DB． ∵DB=DC，∴AF=CD．∵AF∥BC，∴四边形ADCF是平行四边形， ∵∠BAC=90°，D是BC的中点，E是AD的中点，∴AD=DC=BC，∴四边形ADCF是菱形； （3）连接DF，∵AF∥BD，AF=BD， ∴四边形ABDF是平行四边形， ∴DF=AB=5，∵四边形ADCF是菱形， ∴S菱形ADCF=AC?DF=×4×5=10．
S(Summary-Embedded)——归纳总结
1、菱形、矩形、正方形的性质与判定； 2、最短问题与翻折问题的解决。 本单元内容较多，准确理解性质及判定定理多加练习是解决本单元问题的关键，同时注意总结最短问题及翻折问题的解题思路。本节课我学到 我需要努力的地方是
体系搭建
实战演练
直击中考
重点回顾
名师点拨
学霸经验
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