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【专题讲义】北师大版九年级数学上册
第3讲 图形的相似综合复习专题精讲（培优版）
授课主题 第03讲-----图形的相似
授课类型 T同步课堂 P实战演练 S归纳总结
教学目标 熟练利用成比例线段计算线段的长度； 掌握平行线分线段成比例的常见模型，并准确计算线段长度； 掌握判定三角形相似的三个条件，熟练进行相关证明； 熟练运用三角形相似解决测高等实际问题； 理解三角形相似的性质及图形的位似，并能进行简单计算。
授课日期及时段
T（Textbook-Based）——同步课堂
知识梳理知识概念 （一）比例的性质 1.比例中项； 2.合分比性质； 3.等比性质（二）平行线分线段成比例定理 1.两条直线被一组平行线所截，所得的线段成比例。 2.如右图所示，所得的对应线段成比例的有：= ，，等等。 3.所得的线段必须是对应的，否则不成比例。 4.平行线段分线段成比例定理的常见变形如下图所示： （三）平行线分线段成比例定理的推论 平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例。 1.一定要注意三边的对应的关系，不要写错 2.平行于三角形的一边的直线可以与三角形的两边相交，也可以与三角形的两边的延长线相交，如下图所示，若DE∥BC，则有 （四）相似三角的判定方法 1、如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似． 2、如果一个三角的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似． 3、如果一个三角形的三条边分别与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似． （五）相似三角形基本类型 1、平行线型：常见的有如下两种，DE∥BC，则△ADE∽△ABC 2、相交线型：常见的有如下四种情形 （1）如图，已知∠1=∠B，则由公共角∠A得，△ADE∽△ABC （2）如下左图，已知∠1=∠B，则由公共角∠A得，△ADC∽△ACB （3）如下右图，已知∠B=∠D，则由对顶角∠1=∠2得，△ADE∽△ABC 3、旋转型：已知∠BAD=∠CAE，∠B=∠D，则△ADE∽△ABC， 右图为常见的基本图形． 4、母子型：已知∠ACB=90°，AB⊥CD，则△CBD∽△ABC∽△ACD． 5、斜交型： 如图：其中∠1=∠2，则△ADE∽△ABC称为“斜交型”的相似三角形。 （有“反A共角型”、“反A共角共边型”、 “蝶型”） 6、垂直型：有“双垂直共角型”、“双垂直共角共边型（也称“射影定理型”）”“三垂直型”） （六）黄金分割 （七）相似三角形的性质 1、相似三角形对应角相等，对应边成比例.
2、相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比. 3、相似三角形周长的比等于相似比. 4、相似三角形面积的比等于相似比的平方.（八）利用三角形相似测量高度方法 1、利用阳光下的影子测量物高 根据太阳光线是平行的，寻找相似三角形. 在同一时刻， 2、利用标杆测量物高 3、利用镜子原理测量物高 （九）图形的位似 1、位似图形的定义 2、图形位似的性质考点一：成比例线段与平行线分线段成比例例1、已知， （1）求的值； （2）如果，求x的值． 例2、如图，AC∥BD，AD、BC相交于E，EF∥BD，求证：+=． 考点二：三角形相似的条件例1、如图，在正方形ABCD中，E是AD的中点，F是CD上一点，且CF=3FD．则图中相似三角形的对数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4例2、在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边从点A开始向点B以2cm/秒的速度移动，点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/秒的速度移动，如果P、Q同时出发，用t（秒）表示运动时间（0≤t≤6），那么当t为何值时，△APQ与△ABD相似？说明理由． 考点三： 利用三角形相似测高例1、如图，数学兴趣小组的小颖想测量教学楼前的一棵树的树高，下午课外活动时她测得一根长为1m的竹竿的影长是0.8m，但当她马上测量树高时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图），他先测得留在墙壁上的影高为1.2m，又测得地面的影长为2.6m，请你帮她算一下，树高是（ ） A．3.25m B．4.25m C．4.45m D．4.75m 例2、如图，某水平地面上建筑物的高度为AB，在点D和点F处分别竖立高是2米的标杆CD和EF，两标杆相隔52米，并且建筑物AB、标杆CD和EF在同一竖直平面内，从标杆CD后退2米到点G处，在G处测得建筑物顶端A和标杆顶端C在同一条直线上；从标杆FE后退4米到点H处，在H处测得建筑物顶端A和标杆顶端E在同一条直线上，求建筑物的高． 考点四：相似三角形的性质与位似 例1、一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC=12cm，高AD=8cm，把它加工成矩形零件如图，要使矩形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．且矩形的长与宽的比为3：2，求这个矩形零件的边长． 例2、△ABC经过一定的运动得到△A1B1C1，然后以点A1为位似中心按比例尺A1B2：A1B1=2：1，△A1B1C1放大为△A1B2C2，如果△ABC上的点P的坐标为（a，b），那么这个点在△A1B2C2中的对应点P2的坐标为（ ） A．（a+3，b+2） B．（a+2，b+3） C．（2a+6，2b+4） D．（2a+4，2b+6）
P(Practice-Oriented)——实战演练
课堂狙击1、已知，则的值是（ ） A． B． C． D． 2、如图，△ABC中，AB=AC，D为BC中点，在BA的延长线上取一点E，使得ED=EC，ED与AC交于点F，则的值为（ ） A． B． C． D． 3、如图，∠A=∠B=90°，AB=7，AD=2，BC=3，在边AB上取点P，使得△PAD与△PBC相似，则这样的P点共有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4、如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE∥AC，AE、CD相交于点O，若S△DOE：S△COA=1：25，则S△BDE与S△CDE的比是（ ） A．1：3 B．1：4 C．1：5 D．1：25 5、已知，如图所示的一张三角形纸片ABC，边AB的长为20cm，AB边上的高为25cm，在三角形纸片ABC中从下往上依次裁剪去宽为4cm的矩形纸条，若剪得的其中一张纸条是正方形，那么这张正方形纸条是（ ） A．第4张 B．第5张 C．第6张 D．第7张 6、如图，直线l1∥l2∥l3，一等腰直角三角形ABC的三个顶点A，B，C分别在l1，l2，l3上， ∠ACB=90°，AC交l2于点D，已知l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为3，则的值为（ ） A． B． C． D． 7、如图所示，Rt△ABC中，已知∠BAC=90°，AB=AC=2，点D在BC上运动（不能到达点B，C），过点D作∠ADE=45°，DE交AC于点E． （1）求证：△ABD∽△DCE； （2）当△ADE是等腰三角形时，求AE的长． 8、如图，为了测量路灯S的高度，把一根1.5m长的竹竿AB竖立在地面上，测得竹竿的影长BC为1m，然后拿着竹竿沿DB方向远离路灯方向走了4米到B′，再把竹竿竖立在地面上（即A′B′），测得竹竿的影长为1.8m，求路灯的高度． 课后反击1、如图，在平面直角坐标中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，点A，B，E在x轴上，若正方形BEFG的边长为6，则C点坐标为（ ） A．（3，2） B．（3，1） C．（2，2） D．（4，2） 2、如图，AC∥BD，AD与BC交于点E，过点E作EF∥BD，交线段AB于点F，则下列各式错误的是（ ） A．= B．= C．+=1 D．= 3、为了加强视力保护意识，小明要在书房里挂一张视力表．由于书房空间狭小，他想根据测试距离为5m的大视力表制作一个测试距离为3m的小视力表．如图，如果大视力表中“E”的高度是3.5cm，那么小视力表中相应“E”的高度是（ ） A．3cm B．2.5cm C．2.3cm D．2.1cm 4、如图，在△ABC与△ADE中，∠BAC=∠D，要使△ABC与△ADE相似，还需满足下列条件中的（ ） A．= B．= C．= D．= 5、2015年6月27日，四川共青图雨城区委在中里镇文化馆举办了第二期青年剪纸培训，参加培训的小王想把一块Rt△ABC废纸片剪去一块矩形BDEF纸片，如图所示，若∠C=30°，AB=10cm，则该矩形BDEF的面积最大为（ ） A．4cm3 B．5cm3 C．10cm3 D．25cm3 6、兴趣小组的同学要测量树的高度．在阳光下，一名同学测得一根长为l米的竹竿的影长为0.5米，同时另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的第一级台阶上，测得此影子长为0.2米，一级台阶高为0.3米，如图所示，若此时落在地面上的影长为4.4米，则树高为（ ） A．9.5米 B．10.75米 C．11.8米 D．9.8米 7、如图，在△ABC中，AB=8cm，BC=16cm，动点P从点A开始沿AB边运动，速度为2cm/s；动点Q从点B开始沿BC边运动，速度为4cm/s；如果P、Q两动点同时运动，那么何时△QBP与△ABC相似？ 8、如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，已知纸板的两条直角边DE=40cm，EF=20cm，测得边DF离地面的高度AC=1.5m，CD=8m，求树高AB． 1、如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与左图中△ABC相似的是（ ） A． B． C． D． 2、如图，王华晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为1米，继续往前走3米到达E处时，测得影子EF的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么路灯A的高度AB等于（ ） A．4.5米 B．6米 C．7.2米 D．8米 3、如图，△ABC与△DEF均为等边三角形，O为BC、EF的中点，则AD：BE的值为（ ） A．：1 B．：1 C．5：3 D．不确定 4、如图，CB=CA，∠ACB=90°，点D在边BC上（与B、C不重合），四边形ADEF为正方形，过点F作FG⊥CA，交CA的延长线于点G，连接FB，交DE于点Q，给出以下结论：①AC=FG；②S△FAB：S四边形CBFG=1：2；③∠ABC=∠ABF；④AD2=FQ?AC，其中正确的结论的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4
S(Summary-Embedded)——归纳总结
成比例线段 平行线分线段成比例 三角形相似的条件 利用三角形相似测高 5、相似三角形的性质与位似 熟练掌握平行线分线段成比例、三角形相似的常见模型，掌握对应的性质，并多加练习和总结，是解决本章内容的关键；对于动点类的题，以不变的数量关系，列方程解决，克服畏难心理是前提。本节课我学到 我需要努力的地方是
体系搭建
实战演练
直击中考
重点回顾
名师点拨
学霸经验
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【专题讲义】北师大版九年级数学上册
第3讲 图形的相似综合复习专题精讲（解析版）
参考答案
授课主题 第03讲-----图形的相似
授课类型 T同步课堂 P实战演练 S归纳总结
教学目标 熟练利用成比例线段计算线段的长度； 掌握平行线分线段成比例的常见模型，并准确计算线段长度； 掌握判定三角形相似的三个条件，熟练进行相关证明； 熟练运用三角形相似解决测高等实际问题； 理解三角形相似的性质及图形的位似，并能进行简单计算。
授课日期及时段
T（Textbook-Based）——同步课堂
知识梳理知识概念 （一）比例的性质 1.比例中项； 2.合分比性质； 3.等比性质（二）平行线分线段成比例定理 1.两条直线被一组平行线所截，所得的线段成比例。 2.如右图所示，所得的对应线段成比例的有：= ，，等等。 3.所得的线段必须是对应的，否则不成比例。 4.平行线段分线段成比例定理的常见变形如下图所示： （三）平行线分线段成比例定理的推论 平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例。 1.一定要注意三边的对应的关系，不要写错 2.平行于三角形的一边的直线可以与三角形的两边相交，也可以与三角形的两边的延长线相交，如下图所示，若DE∥BC，则有 （四）相似三角的判定方法 1、如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似． 2、如果一个三角的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似． 3、如果一个三角形的三条边分别与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似． （五）相似三角形基本类型 1、平行线型：常见的有如下两种，DE∥BC，则△ADE∽△ABC 2、相交线型：常见的有如下四种情形 （1）如图，已知∠1=∠B，则由公共角∠A得，△ADE∽△ABC （2）如下左图，已知∠1=∠B，则由公共角∠A得，△ADC∽△ACB （3）如下右图，已知∠B=∠D，则由对顶角∠1=∠2得，△ADE∽△ABC 3、旋转型：已知∠BAD=∠CAE，∠B=∠D，则△ADE∽△ABC， 右图为常见的基本图形． 4、母子型：已知∠ACB=90°，AB⊥CD，则△CBD∽△ABC∽△ACD． 5、斜交型： 如图：其中∠1=∠2，则△ADE∽△ABC称为“斜交型”的相似三角形。 （有“反A共角型”、“反A共角共边型”、 “蝶型”） 6、垂直型：有“双垂直共角型”、“双垂直共角共边型（也称“射影定理型”）”“三垂直型”） （六）黄金分割 （七）相似三角形的性质 1、相似三角形对应角相等，对应边成比例.
2、相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比. 3、相似三角形周长的比等于相似比. 4、相似三角形面积的比等于相似比的平方.（八）利用三角形相似测量高度方法 1、利用阳光下的影子测量物高 根据太阳光线是平行的，寻找相似三角形. 在同一时刻， 2、利用标杆测量物高 3、利用镜子原理测量物高 （九）图形的位似 1、位似图形的定义 2、图形位似的性质考点一：成比例线段与平行线分线段成比例例1、已知， （1）求的值； （2）如果，求x的值． 【解析】（1）∵==，∴令===k，则x=2k，y=3k，z=4k， ∴===﹣1； （2）∵x=2k，y=3k，z=4k，=y﹣z， ∴x+3=（y﹣z）2，即2k+3=（3k﹣4k）2，解得k=﹣1或k=3（舍去），∴x=﹣2．例2、如图，AC∥BD，AD、BC相交于E，EF∥BD，求证：+=． 【解析】∵AC∥BD，EF∥BD，∴，， ∴==1，∴+=．考点二：三角形相似的条件例1、如图，在正方形ABCD中，E是AD的中点，F是CD上一点，且CF=3FD．则图中相似三角形的对数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【解析】有三对相似三角形，Rt△ABE∽Rt△DEF，Rt△ABE∽Rt△EBF， Rt△EBF∽Rt△DEF．理由如下： 设正方形的边长为4a，则AE=DE=2a，DF=a，CF=3a， 在Rt△BCF中，BF==5a， 在Rt△ABE中，BE==2a， 在Rt△DEF中，EF==a， ∵BE2+EF2=BF2，∴△BEF为直角三角形，∠BEF=90°， ∵==2，==2， ∴=， ∴Rt△ABE∽Rt△DEF，同理得=， ∴Rt△ABE∽Rt△EBF， ∴Rt△EBF∽Rt△DEF． 故选：C． 例2、在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边从点A开始向点B以2cm/秒的速度移动，点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/秒的速度移动，如果P、Q同时出发，用t（秒）表示运动时间（0≤t≤6），那么当t为何值时，△APQ与△ABD相似？说明理由． 【解析】设AP=2tcm，DQ=tcm，∵AB=12cm，AD=6cm，∴AQ=（6﹣t）cm， ∵∠A=∠A， ∴①当 =时，△APQ∽△ABD， ∴=，解得：t=3； ②当 =时，△APQ∽△ADB，∴=，解得：t=1.2． ∴当t=3或1.2时，△APQ与△ABD相似． 考点三： 利用三角形相似测高例1、如图，数学兴趣小组的小颖想测量教学楼前的一棵树的树高，下午课外活动时她测得一根长为1m的竹竿的影长是0.8m，但当她马上测量树高时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图），他先测得留在墙壁上的影高为1.2m，又测得地面的影长为2.6m，请你帮她算一下，树高是（ ） A．3.25m B．4.25m C．4.45m D．4.75m 【解析】如图，设BD是BC在地面的影子，树高为x， 根据竹竿的高与其影子的比值和树高与其影子的比值相同得 而CB=1.2，∴BD=0.96，∴树在地面的实际影子长是0.96+2.6=3.56， 再竹竿的高与其影子的比值和树高与其影子的比值相同得，∴x=4.45，∴树高是4.45m．故选C． 例2、如图，某水平地面上建筑物的高度为AB，在点D和点F处分别竖立高是2米的标杆CD和EF，两标杆相隔52米，并且建筑物AB、标杆CD和EF在同一竖直平面内，从标杆CD后退2米到点G处，在G处测得建筑物顶端A和标杆顶端C在同一条直线上；从标杆FE后退4米到点H处，在H处测得建筑物顶端A和标杆顶端E在同一条直线上，求建筑物的高． 【解析】∵AB⊥BH，CD⊥BH，EF⊥BH，∴AB∥CD∥EF， ∴△CDG∽△ABG，△EFH∽△ABH， ∴=，=， ∵CD=DG=EF=2m，DF=52m，FH=4m，∴=，=， ∴=，解得BD=52， ∴=，解得AB=54． 答：建筑物的高为54米． 考点四：相似三角形的性质与位似 例1、一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC=12cm，高AD=8cm，把它加工成矩形零件如图，要使矩形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．且矩形的长与宽的比为3：2，求这个矩形零件的边长． 【解析】如图所示∵四边形PQMN是矩形，∴BC∥PQ，∴△APQ∽△ABC， ∴，由于矩形长与宽的比为3：2，∴分两种情况： ①若PQ为长，PN为宽，设PQ=3k，PN=2k，则，解得：k=2， ∴PQ=6cm，PN=4cm； ②PN为6，PQ为宽，设PN=3k，PQ=2k，则，解得：k=， ∴PN=cm，PQ=cm； 综上所述：矩形的长为6cm，宽为4cm；或长为cm，宽为cm． 例2、△ABC经过一定的运动得到△A1B1C1，然后以点A1为位似中心按比例尺A1B2：A1B1=2：1，△A1B1C1放大为△A1B2C2，如果△ABC上的点P的坐标为（a，b），那么这个点在△A1B2C2中的对应点P2的坐标为（ ） A．（a+3，b+2） B．（a+2，b+3） C．（2a+6，2b+4） D．（2a+4，2b+6） 【解析】△A1B1C1是由△ABC通过平移得到的， 其平移规律是右移三个单位后，再上移2个单位， 所以点P移到P1的坐标为（a+3，b+2）． △A1B2C2是由三角线A1B1C1通过位似变换得到的， 所以在△A1B2C2上的各点坐标，都做了相应的位似变换，即乘以了2． ∴点P1的对应点P2的坐标为（2a+6，2b+4）．故选C．
P(Practice-Oriented)——实战演练
课堂狙击1、已知，则的值是（ ） A． B． C． D． 【解析】D． 2、如图，△ABC中，AB=AC，D为BC中点，在BA的延长线上取一点E，使得ED=EC，ED与AC交于点F，则的值为（ ） A． B． C． D． 【解析】过点D作DG∥AC，交EB于点G，连接AD，如图所示： ∵D为BC中点，DG∥AC，∴G为AB的中点，∠EAC=∠DGE， ∴DG是△ABC的中位线，∴AC=2DG， ∵AB=AC，ED=EC，∴∠B=∠ACB，∠EDC=∠ECD， ∵∠EDC=∠B+∠DEG，∠ECD=∠ACB+∠ACE，∴∠ACE=∠EDG， 在△ACE和△GED中，，∴△ACE≌△GED（AAS），∴AE=DG， ∵AB=AC，D为BC中点，∴AD⊥BC，∴∠ADB=90°，∴DG=AB=AG=BG，∴AE=AG，∵DG∥AC，∴AF：DG=AE：GE=1：2，即DG=2AF，∴AC=4AF，∴=；故选：B． 3、如图，∠A=∠B=90°，AB=7，AD=2，BC=3，在边AB上取点P，使得△PAD与△PBC相似，则这样的P点共有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解析】设AP=x，则有PB=AB﹣AP=7﹣x， 当△PDA∽△CPB时，=，即=，解得：x=1或x=6， 当△PDA∽△PCB时，=，即=，解得：x=，则这样的点P共有3个，故选C． 4、如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE∥AC，AE、CD相交于点O，若S△DOE：S△COA=1：25，则S△BDE与S△CDE的比是（ ） A．1：3 B．1：4 C．1：5 D．1：25 【解析】B． 5、已知，如图所示的一张三角形纸片ABC，边AB的长为20cm，AB边上的高为25cm，在三角形纸片ABC中从下往上依次裁剪去宽为4cm的矩形纸条，若剪得的其中一张纸条是正方形，那么这张正方形纸条是（ ） A．第4张 B．第5张 C．第6张 D．第7张 【解析】正方形中平行于底边的边是4， 所以根据相似三角形的性质可设从顶点到这个正方形的线段为x， 则 =，解得x=5，所以另一段长为25﹣5=20， 因为20÷4=5，所以是第5张．故选：B． 6、如图，直线l1∥l2∥l3，一等腰直角三角形ABC的三个顶点A，B，C分别在l1，l2，l3上， ∠ACB=90°，AC交l2于点D，已知l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为3，则的值为（ ） A． B． C． D． 【解析】如图，作BF⊥l3，AE⊥l3，∵∠ACB=90°，∴∠BCF+∠ACE=90°， ∵∠BCF+∠CFB=90°，∴∠ACE=∠CBF，在△ACE和△CBF中，，∴△ACE≌△CBF， ∴CE=BF=3，CF=AE=4， ∵l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为3，∴AG=1，BG=EF=CF+CE=7 ∴AB==5， ∵l2∥l3，∴=∴DG=CE=， ∴BD=BG﹣DG=7﹣=，∴=．故选A． 7、如图所示，Rt△ABC中，已知∠BAC=90°，AB=AC=2，点D在BC上运动（不能到达点B，C），过点D作∠ADE=45°，DE交AC于点E． （1）求证：△ABD∽△DCE； （2）当△ADE是等腰三角形时，求AE的长． 【解析】（1）∠B=∠C=45°．∠EDC=∠BAD．∴△ABD∽△DCE． （2）讨论：①若AD=AE时，∠DAE=90°，此时D点与点B重合，不合题意． ②若AD=DE时，△ABD与△DCE的相似比为1，此时△ABD≌△DCE， 于是AB=AC=2，BC=2，AE=AC﹣EC=2﹣BD=2﹣（2﹣2）=4﹣2 ③若AE=DE，此时∠DAE=∠ADE=45°， 如下图所示易知AD⊥BC，DE⊥AC，且AD=DC．由等腰三角形的 三线合一可知：AE=CE=AC=1． 8、如图，为了测量路灯S的高度，把一根1.5m长的竹竿AB竖立在地面上，测得竹竿的影长BC为1m，然后拿着竹竿沿DB方向远离路灯方向走了4米到B′，再把竹竿竖立在地面上（即A′B′），测得竹竿的影长为1.8m，求路灯的高度． 【解析】∵AB⊥DC′，DS⊥DC′，∴SD∥AB，∴△ABC∽△SDC， ∴=，即=，解得DB=h﹣1①， 同理，∵A′B′⊥DC′，∴△A′B′C′∽△SDC′， ∴=，=②， 把①代入②得，=，解得：h=9． 答：路灯离地面的高度是9米． 课后反击1、如图，在平面直角坐标中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，点A，B，E在x轴上，若正方形BEFG的边长为6，则C点坐标为（ ） A．（3，2） B．（3，1） C．（2，2） D．（4，2） 【解析】∵正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的 位似图形，且相似比为，∴=， ∵BG=6，∴AD=BC=2， ∵AD∥BG，∴△OAD∽△OBG，∴=， ∴=，解得：OA=1，∴OB=3，∴C点坐标为：（3，2），故选：A． 2、如图，AC∥BD，AD与BC交于点E，过点E作EF∥BD，交线段AB于点F，则下列各式错误的是（ ） A．= B．= C．+=1 D．= 【解析】D．3、为了加强视力保护意识，小明要在书房里挂一张视力表．由于书房空间狭小，他想根据测试距离为5m的大视力表制作一个测试距离为3m的小视力表．如图，如果大视力表中“E”的高度是3.5cm，那么小视力表中相应“E”的高度是（ ） A．3cm B．2.5cm C．2.3cm D．2.1cm 【解析】D． 4、如图，在△ABC与△ADE中，∠BAC=∠D，要使△ABC与△ADE相似，还需满足下列条件中的（ ） A．= B．= C．= D．= 【解析】C．5、2015年6月27日，四川共青图雨城区委在中里镇文化馆举办了第二期青年剪纸培训，参加培训的小王想把一块Rt△ABC废纸片剪去一块矩形BDEF纸片，如图所示，若∠C=30°，AB=10cm，则该矩形BDEF的面积最大为（ ） A．4cm3 B．5cm3 C．10cm3 D．25cm3 【解析】∵Rt△ABC中，∠C=30°，AB=10cm，∴BC==10cm． ∵EF∥BC，∴∠AEF=∠C=30°，设EF=x，则AF=x，∴BF=10﹣x， ∴S矩形BDEF=BD?BF=x?（10﹣x）=﹣x2+10x（0＜x＜10）， ∴当x=﹣=5时，S最大==25cm2．故选D． 6、兴趣小组的同学要测量树的高度．在阳光下，一名同学测得一根长为l米的竹竿的影长为0.5米，同时另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的第一级台阶上，测得此影子长为0.2米，一级台阶高为0.3米，如图所示，若此时落在地面上的影长为4.4米，则树高为（ ） A．9.5米 B．10.75米 C．11.8米 D．9.8米 【解析】根据题意可构造相似三角形模型如图：延长FE交AB于G，则Rt△ABC∽Rt△AGF， ∴AG：GF=AB：BC=物高：影长=1：0.5 ∴GF=0.5AG又∵GF=GE+EF，BD=GE ∴GF=4.6 ∴AG=9.2 ∴AB=AG+GB=9.5，即树高为9.5米．故选A． 7、如图，在△ABC中，AB=8cm，BC=16cm，动点P从点A开始沿AB边运动，速度为2cm/s；动点Q从点B开始沿BC边运动，速度为4cm/s；如果P、Q两动点同时运动，那么何时△QBP与△ABC相似？ 【解析】设经过t秒时，以△QBC与△ABC相似， 则AP=2t，BP=8﹣2t，BQ=4t， ∵∠PBQ=∠ABC，∴当=时，△BPQ∽△BAC， 即=，解得t=2（s）； 当=时，△BPQ∽△BCA，即=，解得t=0.8（s）； 即经过2秒或0.8秒时，△QBC与△ABC相似．8、如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，已知纸板的两条直角边DE=40cm，EF=20cm，测得边DF离地面的高度AC=1.5m，CD=8m，求树高AB． 【解析】在△DEF和△DBC中，， ∴△DEF∽△DBC，∴=，即=，解得BC=4， ∵AC=1.5m，∴AB=AC+BC=1.5+4=5.5m，即树高5.5m．1、如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与左图中△ABC相似的是（ ） A． B． C． D． 【解析】B． 2、如图，王华晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为1米，继续往前走3米到达E处时，测得影子EF的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么路灯A的高度AB等于（ ） A．4.5米 B．6米 C．7.2米 D．8米【解析】B． 3、如图，△ABC与△DEF均为等边三角形，O为BC、EF的中点，则AD：BE的值为（ ） A．：1 B．：1 C．5：3 D．不确定【解析】连接OA、OD， ∵△ABC与△DEF均为等边三角形，O为BC、EF的中点， ∴AO⊥BC，DO⊥EF，∠EDO=30°，∠BAO=30°， ∴OD：OE=OA：OB=：1， ∵∠DOE+∠EOA=∠BOA+∠EOA即∠DOA=∠EOB， ∴△DOA∽△EOB，∴OD：OE=OA：OB=AD：BE=：1．故选：A． 4、如图，CB=CA，∠ACB=90°，点D在边BC上（与B、C不重合），四边形ADEF为正方形，过点F作FG⊥CA，交CA的延长线于点G，连接FB，交DE于点Q，给出以下结论：①AC=FG；②S△FAB：S四边形CBFG=1：2；③∠ABC=∠ABF；④AD2=FQ?AC，其中正确的结论的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4【解析】△FGA≌△ACD（AAS），∴AC=FG，①正确； ∵BC=AC，∴FG=BC， ∵∠ACB=90°，FG⊥CA，∴FG∥BC，∴四边形CBFG是矩形， ∴∠CBF=90°，S△FAB=FB?FG=S四边形CBFG，②正确； ∵CA=CB，∠C=∠CBF=90°，∴∠ABC=∠ABF=45°，③正确； ∵∠FQE=∠DQB=∠ADC，∠E=∠C=90°， ∴△ACD∽△FEQ，∴AC：AD=FE：FQ， ∴AD?FE=AD2=FQ?AC，④正确；故选：D．
S(Summary-Embedded)——归纳总结
成比例线段 平行线分线段成比例 三角形相似的条件 利用三角形相似测高 5、相似三角形的性质与位似 熟练掌握平行线分线段成比例、三角形相似的常见模型，掌握对应的性质，并多加练习和总结，是解决本章内容的关键；对于动点类的题，以不变的数量关系，列方程解决，克服畏难心理是前提。本节课我学到 我需要努力的地方是
体系搭建
实战演练
直击中考
重点回顾
名师点拨
学霸经验
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