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【专题讲义】北师大版九年级数学上册
第5讲 平行线分线段成比例综合复习专题精讲（培优版）
授课主题 第05讲----平行线分线段成比例
授课类型 T同步课堂 P实战演练 S归纳总结
教学目标 掌握比例的性质及其简单应用； 结合现实情境感受学习线段的比的必要性，借助几何直观了解线段的比和成比例线段； 探索并掌握基本事实“两直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例”及其推论； 进一步体会由特殊到一般的归纳推理的思想和方法。
授课日期及时段
T（Textbook-Based）——同步课堂
知识框架 知识概念 （一）线段的比 如果选用同一个长度单位量得两条线段AB，CD的长度分别是m，n，那么这两条线段的比就是它们长度的比，即AB：CD=m：n，或写成=，其中AB，CD分别叫做这个线段比的前项和后项。 1.确定两条线段的比的关键是两条线段的长度单位要统一 2.两条线段的比值是长度比，所以结果是正数，没有单位 3.图上距离与实际长度的比值通常称为比例尺（二）成比例线段 四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的比，即＝，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段． 1. 四条线段a，b，c，d成比例，只能记作＝ 或a：b=c：d，不能写成其他形式。四条线段成比例时，一定要将这四条线段按顺序写出。 2.判断给定的四条线段是否成比例的方法 （1）排：先将四条线段的长度统一单位，再按大小顺序排列好； （2）算：分别求出前两条线段的长度之比与后两条线段的长度之比； （3）判：若这两个比相等，则这四条线段是成比例线段，否则不是。（三）比例的性质 1.基本性质：如果＝，那么ad＝bc；如果＝，那么b2=a c，b叫做a、 c 的比例中项 2.合分比性质：如果＝，那么＝ 3.等比性质：如果＝＝…＝(b＋d＋…＋n≠0)，那么＝.（四）平行线分线段成比例定理 1.两条直线被一组平行线所截，所得的线段成比例。 2.如下图所示，所得的对应线段成比例的有：= ，，等等。 3.所得的线段必须是对应的，否则不成比例。 4.平行线段分线段成比例定理的常见变形如下图所示： （五）平行线分线段成比例定理的推论 平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例。 1.一定要注意三边的对应的关系，不要写错 2.平行于三角形的一边的直线可以与三角形的两边相交，也可以与三角形的两边的延长线相交，如下图所示，若DE∥BC，则有 考点一：线段的比例1、已知2x+4y=0，且x≠0，则y与x的比是（ ） A．﹣ B． C．﹣2 D．2 例2、在比例尺为1：5000的地图上，量得甲、乙两地的距离为25cm，则甲、乙两地间的实际距离是（ ） A．1250km B．125km C．12.5km D．1.25km考点二：成比例线段 例1、已知线段a=l，c=5，线段b是线段a、c的比例中项，线段b的值为（ ） A．2.5 B． C．±2.5 D．±例2、已知a，b，c，d四条线段依次成比例，其中a＝3 cm，b＝(x－1)cm，c＝5 cm，d＝(x＋1)cm.求x的值． 考点三：比例的性质例1、若互不相等的四条线段的长a、b、c、d满足 ，m是任意实数，则下列各式中，一定成立的是（ ） A． B． C． D．例2、已知，则的值是（ ） A．3 B．4 C．﹣4 D．﹣3例3、阅读下列解题过程，然后解题： 题目：已知（a、b、c互不相等），求x+y+z的值． 解：设=k，则x=k（a﹣b），y=k（b﹣c），z=k（c﹣a）， ∴x+y+z=k（a﹣b+b﹣c+c﹣a）=k?0=0，∴x+y+z=0． 依照上述方法解答下列问题： a，b，c为非零实数，且a+b+c≠0，当时，求的值． 考点四：平行线分线段成比例定理及其推论例1．如图，l1∥l2∥l3，下列比例式错误的是( ) A.＝ B.＝ C.＝ D.＝ 例2、如图，直线l1∥l2∥l3，已知AG＝0.6 cm，BG＝1.2 cm，CD＝1.5 cm，则CH＝____cm. 例3、如图，AD是△ABC的中线，AE=EF=FC，BE交AD于点G，则= ． 例4、如图，D为△ABC的BC边的中点，E为AC边上的一点，AC=3CE，BE和AD交于G点，则AG：GD=（ ） A．2 B．3 C．3或4 D．4 例5、如图，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，∠DAB=90°，AC⊥BC，AC=BC，∠ABC的平分线分别交AD、AC于点E，F，则的值是（ ） A． B． C． D．
P(Practice-Oriented)——实战演练
课堂狙击1、已知＝，则下列式子中正确的是( ) A．a∶b＝c2∶d2 B．a∶b＝d∶c C．a∶b＝(a＋c)∶(b＋d) D．a∶b＝(a－d)∶(b－d) 2、已知四条线段满足a = ，将它改写成为比例式，下面正确的是（ ） A． B． C． D． 3、如图，已知在△ABC中，点D，E，F分别是边AB，AC，BC上的点，DE∥BC，EF∥AB，且AD∶DB＝3∶5，那么CF∶CB等于( ) A．5∶8 B．3∶8 C．3∶5 D．2∶5 4、如图，点F是矩形ABCD的边CD上一点，射线BF交AD的延长线于点E，则下列结论错误的是（ ） A．= B．= C．= D．= 5、如图，在△ABC中，已知MN∥BC，DN∥MC.小红同学由此得出了以下四个结论：①＝；②＝；③＝；④＝.其中正确结论的个数为( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6、已知三条线段的长分别为1 cm，2 cm， cm，如果另外一条线段与它们是成比例线段，试求出另外一条线段的长． 7、如图，AB∥CD∥EF，AF与BE相交于点G，且AG=2，GD=1，DF=5，那么的值等于 ． 8、如图，△ABC的顶点A是线段PQ的中点，PQ∥BC，连接PC、QB，分别交AB、AC于M、N，连接MN，若MN=1，BC=3，求线段PQ的长． 课后反击1、若2a＝3b＝4c，且abc≠0，则的值是( )A．2 B．－2 C．3 D．－3 2、下列结论中，错误的是（ ） A．若=，则= B．若=，则= C．若==（b﹣d≠0），则= D．若=，则a=3，b=4 3、已知△ABC的三边长分别为a，b，c，且(a－c)∶(a＋b)∶(c－b)＝－2∶7∶1，则△ABC是( ) A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 4、如图所示，△ABC中若DE∥BC，EF∥AB，则下列比例式正确的是（ ） A． B． C． D． 5、已知，则k的值是 ． 6、如图，已知AD、BC相交于点O，AB∥CD∥EF，如果CE=2，EB=4，FD=1.5，那么AD= ． 已知，（1）求的值； （2）如果，求x的值． 8、如图，点E是?ABCD的边AB延长线上的一点，DE交BC于点F，＝，EF＝2，BF＝1.5.求DF，BC的长． 9、如图，点E为AC的中点，点F在AB上，且AF∶AB＝2∶5，FE与BC的延长线交于点D，求EF∶ED的值． 1、若x：y=1：3，2y=3z，则的值是（ ） ﹣5 B．﹣ C． D．5 2、如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=6，DB=3，AE=4，则EC的长为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 3、如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C；直线DF分别交l1，l2，l3于点D，E，F．AC与DF相交于点H，且AH=2，HB=1，BC=5，则的值为（ ） A . B．2 C． D．4、如图，直线l1∥l2∥l3，一等腰直角三角形ABC的三个顶点A，B，C分别在l1，l2，l3上，∠ACB=90°，AC交l2于点D，已知l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为3，则的值为（ ） A． B． C． D． 5、如果===k（b+d+f≠0），且a+c+e=3（b+d+f），那么k= ． 6、如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E在AC边上，且AE：EC=1：2，BE交AD于P，则AP：PD等于（ ） A．1：1 B．1：2 C．2：3 D．4：3
S(Summary-Embedded)——归纳总结
如果＝，那么ad＝bc.如果ad＝bc(a，b，c，d都不等于0)，那么____． 如果＝，那么＝.如果＝＝…＝(b＋d＋…＋n≠0)，那么____ 平行线分线段成比例是相似三角形证明的基础，要掌握平行线分线段的性质，便于相似三角形的学习。 本节课我学到了 我需要努力的地方是
体系搭建
典例分析
实战演练
直击中考
重点回顾
名师点拨
学霸经验
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【专题讲义】北师大版九年级数学上册
第5讲 平行线分线段成比例综合复习专题精讲（解析版）
参考答案
授课主题 第05讲----平行线分线段成比例
授课类型 T同步课堂 P实战演练 S归纳总结
教学目标 掌握比例的性质及其简单应用； 结合现实情境感受学习线段的比的必要性，借助几何直观了解线段的比和成比例线段； 探索并掌握基本事实“两直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例”及其推论； 进一步体会由特殊到一般的归纳推理的思想和方法。
授课日期及时段
T（Textbook-Based）——同步课堂
知识框架 知识概念 （一）线段的比 如果选用同一个长度单位量得两条线段AB，CD的长度分别是m，n，那么这两条线段的比就是它们长度的比，即AB：CD=m：n，或写成=，其中AB，CD分别叫做这个线段比的前项和后项。 1.确定两条线段的比的关键是两条线段的长度单位要统一 2.两条线段的比值是长度比，所以结果是正数，没有单位 3.图上距离与实际长度的比值通常称为比例尺（二）成比例线段 四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的比，即＝，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段． 1. 四条线段a，b，c，d成比例，只能记作＝ 或a：b=c：d，不能写成其他形式。四条线段成比例时，一定要将这四条线段按顺序写出。 2.判断给定的四条线段是否成比例的方法 （1）排：先将四条线段的长度统一单位，再按大小顺序排列好； （2）算：分别求出前两条线段的长度之比与后两条线段的长度之比； （3）判：若这两个比相等，则这四条线段是成比例线段，否则不是。（三）比例的性质 1.基本性质：如果＝，那么ad＝bc；如果＝，那么b2=a c，b叫做a、 c 的比例中项 2.合分比性质：如果＝，那么＝ 3.等比性质：如果＝＝…＝(b＋d＋…＋n≠0)，那么＝.（四）平行线分线段成比例定理 1.两条直线被一组平行线所截，所得的线段成比例。 2.如下图所示，所得的对应线段成比例的有：= ，，等等。 3.所得的线段必须是对应的，否则不成比例。 4.平行线段分线段成比例定理的常见变形如下图所示： （五）平行线分线段成比例定理的推论 平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例。 1.一定要注意三边的对应的关系，不要写错 2.平行于三角形的一边的直线可以与三角形的两边相交，也可以与三角形的两边的延长线相交，如下图所示，若DE∥BC，则有 考点一：线段的比例1、已知2x+4y=0，且x≠0，则y与x的比是（ ） A．﹣ B． C．﹣2 D．2 【解析】A． 例2、在比例尺为1：5000的地图上，量得甲、乙两地的距离为25cm，则甲、乙两地间的实际距离是（ ） A．1250km B．125km C．12.5km D．1.25km 【解析】设甲、乙两地间的实际距离为x，则：=，解得x=125000cm=1.25km．故选：D．考点二：成比例线段 例1、已知线段a=l，c=5，线段b是线段a、c的比例中项，线段b的值为（ ） A．2.5 B． C．±2.5 D．± 【解析】∵线段b是线段a、c的比例中项，∴b2=ac， 即b2=1×5，解得b=﹣（舍去）或b=， ∴线段b的值为． 故选B．例2、已知a，b，c，d四条线段依次成比例，其中a＝3 cm，b＝(x－1)cm，c＝5 cm，d＝(x＋1)cm.求x的值． 【解析】依题意，得＝，解得x＝4，经检验，x＝4是原方程的解，∴x＝4 考点三：比例的性质例1、若互不相等的四条线段的长a、b、c、d满足 ，m是任意实数，则下列各式中，一定成立的是（ ） A． B． C． D．【解析】A，根据分式的基本性质，错误； B，根据比例的性质可知该等式不成立，错误． C，根据乘法交换律，交换两内项的位置，应是， 错误； D，若 ，根据分式的合比性质，得①，②． ①÷②，得D正确．例2、已知，则的值是（ ） A．3 B．4 C．﹣4 D．﹣3【解析】A． 例3、阅读下列解题过程，然后解题： 题目：已知（a、b、c互不相等），求x+y+z的值． 解：设=k，则x=k（a﹣b），y=k（b﹣c），z=k（c﹣a）， ∴x+y+z=k（a﹣b+b﹣c+c﹣a）=k?0=0，∴x+y+z=0． 依照上述方法解答下列问题： a，b，c为非零实数，且a+b+c≠0，当时，求的值．【解析】本题考查了比例的性质．解题是，涉入了一个中介k，利用比例的性质得到a+b=2c，b+c=2a，c+a=2b，通过约分求得代数式的值． 解：设=k，所以a+b﹣c=kc ①， aib+c=kb ②，﹣a+b+c=ka ③， 由①+②+③，得a+b+c=k（a+b+c）． ∵a+b+c≠0，∴k=1． ∴a+b=2c，b+c=2a，c+a=2b． ∴==8． 考点四：平行线分线段成比例定理及其推论例1．如图，l1∥l2∥l3，下列比例式错误的是( ) A.＝ B.＝ C.＝ D.＝【解析】D 例2、如图，直线l1∥l2∥l3，已知AG＝0.6 cm，BG＝1.2 cm，CD＝1.5 cm，则CH＝____cm.【解析】0.5 例3、如图，AD是△ABC的中线，AE=EF=FC，BE交AD于点G，则= ． 【解析】∵AD是△ABC的中线，∴BD=CD， ∵AE=EF=FC，∴F是CE中点，∴DF∥GE， 又∵AE=EF，∴GE为△ADF的中位线， 即得DF∥BE，即=．故答案为：． 例4、如图，D为△ABC的BC边的中点，E为AC边上的一点，AC=3CE，BE和AD交于G点，则AG：GD=（ ） A．2 B．3 C．3或4 D．4 【解析】过点D作DF∥AC，交BE于F，由D为△ABC的BC边的中点，根据平行线分线段成比例定理， 即可得，又由AC=3CE，即可得=4． 此题难度适中，解题的关键是准确作出辅助线，注意对应线段的对应关系． 例5、如图，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，∠DAB=90°，AC⊥BC，AC=BC，∠ABC的平分线分别交AD、AC于点E，F，则的值是（ ） A． B． C． D．【解析】作FG⊥AB于点G，由AE∥FG，得出=， 求出Rt△BGF ≌Rt△BCF，再由AB=BC求解． 作FG⊥AB于点G，∵∠DAB=90°，∴AE∥FG，∴=，∵AC⊥BC，∴∠ACB=90°， 又∵BE是∠ABC的平分线，∴FG=FC， 在Rt△BGF和Rt△BCF中， ∴Rt△BGF≌Rt△BCF（HL）， ∴CB=GB， ∵AC=BC，∴∠CBA=45°，∴AB=BC，∴====+1． 故选：C．
P(Practice-Oriented)——实战演练
课堂狙击1、已知＝，则下列式子中正确的是( ) A．a∶b＝c2∶d2 B．a∶b＝d∶c C．a∶b＝(a＋c)∶(b＋d) D．a∶b＝(a－d)∶(b－d) 【解析】C 2、已知四条线段满足a = ，将它改写成为比例式，下面正确的是（ ） A． B． C． D． 【解析】C． 3、如图，已知在△ABC中，点D，E，F分别是边AB，AC，BC上的点，DE∥BC，EF∥AB，且AD∶DB＝3∶5，那么CF∶CB等于( ) A．5∶8 B．3∶8 C．3∶5 D．2∶5 【解析】A 4、如图，点F是矩形ABCD的边CD上一点，射线BF交AD的延长线于点E，则下列结论错误的是（ ） A．= B．= C．= D．= 【解析】先根据矩形的性质得AD∥BC，CD∥AB，再根据平行线分线段成比例定理，由DE∥BC得到=，=，则可对A、C进行判断；由DF∥AB得=，则可对B进行判断；由于=，利用BC=AD，则可对D进行判断． 5、如图，在△ABC中，已知MN∥BC，DN∥MC.小红同学由此得出了以下四个结论：①＝；②＝；③＝；④＝.其中正确结论的个数为( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解析】C 6、已知三条线段的长分别为1 cm，2 cm， cm，如果另外一条线段与它们是成比例线段，试求出另外一条线段的长． 【解析】设另一条线段长为x cm，有三种情况：①1×2＝x，解得x＝；②2×＝1·x，解得x＝2；③1×＝2x，解得x＝.综上所述，另外一条线段的长是2 cm或 cm或 cm 7、如图，AB∥CD∥EF，AF与BE相交于点G，且AG=2，GD=1，DF=5，那么的值等于 ． 【解析】首先求出AD的长度，然后根据平行线分线段成比例定理，列出比例式即可得到结论．故答案为：． 8、如图，△ABC的顶点A是线段PQ的中点，PQ∥BC，连接PC、QB，分别交AB、AC于M、N，连接MN，若MN=1，BC=3，求线段PQ的长． 【解析】根据PQ∥BC可得，进而得出，再解答即可．∴PQ=3 课后反击1、若2a＝3b＝4c，且abc≠0，则的值是( )A．2 B．－2 C．3 D．－3 【解析】B 2、下列结论中，错误的是（ ） A．若=，则= B．若=，则= C．若==（b﹣d≠0），则= D．若=，则a=3，b=4【解析】D． 3、已知△ABC的三边长分别为a，b，c，且(a－c)∶(a＋b)∶(c－b)＝－2∶7∶1，则△ABC是( ) A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【解析】C 4、如图所示，△ABC中若DE∥BC，EF∥AB，则下列比例式正确的是（ ） A． B． C． D．【解析】用平行线分线段成比例定理以及比例的性质进行变形即可得到答案． 解：∵DE∥BC，EF∥AB，∴四边形DEFB是平行四边形，∴DE=BF，BD=EF； ∵DE∥BC，∴==，==， ∵EF∥AB，∴=，=，∴，故选C． 5、已知，则k的值是 ．【解析】根据比例的基本性质，三等式相加，即可得出k值；故答案为：2 6、如图，已知AD、BC相交于点O，AB∥CD∥EF，如果CE=2，EB=4，FD=1.5，那么AD= ． 【解析】根据平行线分线段成比例、比例的基本性质求得AF=3，则AD=AF+FD=4.5即可．故答案为：4.5． 已知，（1）求的值； （2）如果，求x的值．【解析】（1）令===k，则x=2k，y=3k，z=4k，再代入代数式进行计算即可； （2）把x=2k，y=3k，z=4k代入=y﹣z，求出k的值即可． ∴x=﹣2或6． 8、如图，点E是?ABCD的边AB延长线上的一点，DE交BC于点F，＝，EF＝2，BF＝1.5.求DF，BC的长． 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴＝，∴＝，∴DF＝6，又∵CD∥BE，∴＝，∴＝，∴CF＝4.5，∴BC＝FC＋BF＝6 9、如图，点E为AC的中点，点F在AB上，且AF∶AB＝2∶5，FE与BC的延长线交于点D，求EF∶ED的值． 【解析】作EG∥BC交AB于点G，∵点E为AC的中点，EG∥BC，∴AG＝BG，又∵AF∶AB＝2∶5，即AF∶FB＝2∶3，∴FG∶BG＝0.5∶2.5＝1∶5， 又∵EG∥BC，∴＝，即EF∶ED＝1∶5 1、若x：y=1：3，2y=3z，则的值是（ ） ﹣5 B．﹣ C． D．5 【解析】A 2、如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=6，DB=3，AE=4，则EC的长为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【解析】B 3、如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C；直线DF分别交l1，l2，l3于点D，E，F．AC与DF相交于点H，且AH=2，HB=1，BC=5，则的值为（ ） A . B．2 C． D．【解析】D 4、如图，直线l1∥l2∥l3，一等腰直角三角形ABC的三个顶点A，B，C分别在l1，l2，l3上，∠ACB=90°，AC交l2于点D，已知l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为3，则的值为（ ） A． B． C． D． 【解析】A 5、如果===k（b+d+f≠0），且a+c+e=3（b+d+f），那么k= ． 【解析】3 6、如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E在AC边上，且 AE：EC=1：2，BE交AD于P，则AP：PD等于（ ） A．1：1 B．1：2 C．2：3 D．4：3 【解析】过点D作DF∥BE，交AC于F， ∴AD是BC边上的中线，即BD=CD，∴EF=CF， ∵AE：EC=1：2，∴AE=EF=FC，∴AE：EF=1：1， ∴AP：PD=AE：EF=1：1．故选A．
S(Summary-Embedded)——归纳总结
如果＝，那么ad＝bc.如果ad＝bc(a，b，c，d都不等于0)，那么____． 如果＝，那么＝.如果＝＝…＝(b＋d＋…＋n≠0)，那么____ 平行线分线段成比例是相似三角形证明的基础，要掌握平行线分线段的性质，便于相似三角形的学习。 本节课我学到了 我需要努力的地方是
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