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【专题讲义】北师大版九年级数学上册
第7讲 相似三角形的性质、应用与位似综合复习专题精讲（培优版）
授课主题 第07讲----相似三角形的性质、应用与位似
授课类型 T同步课堂 P实战演练 S归纳总结
教学目标 掌握相似三角形的性质； 掌握利用相似三角形测高的常见模型； 了解位似及相关特征； 进一步提高综合分析问题的能力及将数学应用到实际生活中的能力。
授课日期及时段
T（Textbook-Based）——同步课堂
一、知识框架 二、知识概念 （一）黄金分割 在线段AB上，点C把线段AB分成两条线段AC和BC(AC＞BC)，如果AC＝AB，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比，黄金比约为0.618，一条线段的黄金分割点有2个.（二）相似三角形的性质 1、相似三角形对应角相等，对应边成比例.
2、相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比. 3、相似三角形周长的比等于相似比. 4、相似三角形面积的比等于相似比的平方.（三）利用三角形相似测量高度方法 1、利用阳光下的影子测量物高 根据太阳光线是平行的，寻找相似三角形. 在同一时刻， 2、利用标杆测量物高 观测者的眼睛、标杆顶端、旗杆顶端“三点一线”. 3、利用镜子原理测量物高 借助“反射角等于入射角”找出相等的角，得到三角形相似.（四）图形的位似 1、位似图形的定义 两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，并且对应边互相平行或位于同一直线上，像这样的两个图形叫做位似图形，这个交点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比 (?http:?/??/?baike.baidu.com?/?view?/?777411.htm" \t "_blank?)。 2、图形位似的性质位似 (?http:?/??/?baike.baidu.com?/?view?/?1101680.htm" \t "_blank?)图形的任意一对对应点与位似中心 (?http:?/??/?baike.baidu.com?/?view?/?785535.htm" \t "_blank?)在同一直线上，它们到位似中心的距离之比等于相似比 (?http:?/??/?baike.baidu.com?/?view?/?4246210.htm" \t "_blank?)。 位似图形对应线段 (?http:?/??/?baike.baidu.com?/?view?/?476943.htm" \t "_blank?)的比等于相似比； （2）位似图形的对应角都相等； （3）位似图形对应点连线的交点是位似中心； （4）位似图形面积 (?http:?/??/?baike.baidu.com?/?view?/?1541581.htm" \t "_blank?)的比等于相似比的平方； （5）位似 (?http:?/??/?baike.baidu.com?/?view?/?1101680.htm" \t "_blank?)图形高、周长 (?http:?/??/?baike.baidu.com?/?view?/?933551.htm" \t "_blank?)的比都等于相似比 (?http:?/??/?baike.baidu.com?/?view?/?4246210.htm" \t "_blank?)； （6）位似图形对应边互相平行或在同一直线上。 考点一：黄金分割例1、已知线段AB=8，点C是AB的黄金分割点，则AC= 例2、如图，在△ABC中，AB=AC，AC的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E，若AE=BC，则点E是线段AB的黄金分割点吗？说明你的理由． 考点二：相似三角形的性质例1、两个相似三角形的面积比为4：9，周长和是20cm，则这两个三角形的周长分别是（ ） A．8cm和12cm B．7cm和13cm C．9cm和11cm D．6cm和14cm例2、以边长为1的正方形ABCD的边AB为对角线作第二个正方形AEBO1，再以BE为对角线作第三个正方形EFBO2，如此作下去，…，则所作的第n个正方形的面积Sn= ． 考点三：利用三角形相似测高 例1、某数学课外实习小组想利用树影测量树高，他们在同一时刻测得一身高为1.5米的同学的影子长为1.35米，因大树靠近一栋建筑物，大树的影子不全在地面上，他们测得地面部分的影子长BC=3.6米，墙上影子高CD=1.8米，求树高AB。 例2、如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板DEF来测量操场旗杆AB的高度，他们通过调整测量位置，使斜边DF与地面保持平行，并使边DE与旗杆顶点A在同一直线上，已知DE=0.5米，EF=0.25米，目测点D到地面的距离DG=1.5米，到旗杆的水平距离DC=20米，求旗杆的高度． 例3、小红用下面的方法来测量学校教学大楼AB的高度：如图，在水平地面点E处放一面平面镜，镜子与教学大楼的距离AE=20米．当她与镜子的距离CE=2.5米时，她刚好能从镜子中看到教学大楼的顶端B．已知她的眼睛距地面高度DC=1.6米，请你帮助小红测量出大楼AB的高度（注：入射角=反射角）． 考点四：图形的位似 例1、对于平面图形上的任意两点P，Q，如果经过某种变换得到新图形上的对应点P′，Q′，保持PQ=P′Q′，我们把这种变换称为“等距变换”，下列变换中不一定是等距变换的是（ ） A．平移 B．旋转 C．轴对称 D．位似例2、如图，在平面直角坐标中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，点A，B，E在x轴上，若正方形BEFG的边长为6，则C点坐标为（ ） A．（3，2） B．（3，1） C．（2，2） D．（4，2）
P(Practice-Oriented)——实战演练
课堂狙击1、将一个三角形改成与它相似的三角形，如果面积扩大为原来的9倍，那么周长扩大为原来的（ ）A．9倍 B．3倍 C．81倍 D．18倍 2、己知两个相似三角形周长的比为3：2，其中较小的三角形面积为12，则较大的三角形的面积是（ ）A．27 B．24 C．18 D．16 3、已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为，则△ABC与△DEF对应中线的比为（ ）A． B． C． D． 4、如图，以点O为位似中心，将△ABC缩小后得到△A′B′C′，已知OB=3OB′，则△A′B′C′与△ABC的面积比为（ ） A．1：3 B．1：4 C．1：5 D．1：9 5、如图，为了测量一水塔的高度，小强用2米的竹竿做测量工具，移动竹竿，使竹竿、水塔的顶端的影子恰好落在地面的同一点．此时，竹竿与这一点相距8米，与水塔相距32米，则水塔的高度为 米． 6、两个相似三角形周长之比为4∶9，面积之和为291，则面积分别是 。7、在同一时刻两根木竿在太阳光下的影子如图所示，其中木竿AB=2.5m，它的影子BC=2m，木竿PQ的影子有一部分落在了墙上，PM=1.6m，MN=1m，求木竿PQ的长度． 8、如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成正方形零件PQMN，使正方形PQMN的边QM在BC上，其余两个项点P，N分别在AB，AC上．求这个正方形零件PQMN面积S. 9、“福龙丽景”的居民筹集资金650元，计划在楼前一块上底5m、下底10m的梯形（如图①）空地上种植花草，美化环境． （1）试求△AED与△BEC的面积比； （2）他们在△AED和△BEC地带上种康乃馨，单价为10元/m2，共花250元．若其余地带（△ABE和△DCE）可种兰花或茉莉花，单价分别为20元/m2、15元/m2，那么应选择种哪种花，刚好用完所筹集资金？ （3）若梯形ABCD为等腰梯形（如图②），请你设计一种花坛图案，即在梯形内找到一点P，使得△APB≌△DPC，S△APD=S△BPC，并说明理由． 课后反击1、如图，已知点P是线段AB的黄金分割点，AP＞PB，若AB=1，则AP长约为（ ） A．1 B．0.618 C．0.5 D．0.382 2、两个相似三角形，他们的周长分别是36和12．周长较大的三角形的最大边为15，周长较小的三角形的最小边为3，则周长较大的三角形的面积是（ ） A．52 B．54 C．56 D．58 3、已知两个相似三角形的对应边长分别为9cm和11cm，它们的周长相差20cm，则这两个三角形的周长分别为（ ） A．45cm，65cm B．90cm，110cm C．45cm，55cm D．70cm，90cm 4、如图，M是Rt△ABC 的斜边BC上一点（M不与B、C重合），过点M作直线截△ABC，所得的三角形与△ABC相似，这样的直线共有（ ） A．0条 B．2条 C．3条 D．无数条 5、如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，6），B（﹣9，﹣3），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是（ ） A．（﹣1，2） B．（﹣9，18） C．（﹣9，18）或（9，﹣18） D．（﹣1，2）或（1，﹣2） 6、如图，△ABC是一块锐角三角形的材料，边BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是 mm． 7、赵亮同学想利用影长测量学校旗杆的高度，如图，他在某一时刻立1米长的标杆测得其影长为1.2米，同时旗杆的投影一部分在地面上，另一部分在某一建筑的墙上，分别测得其长度为9.6米和2米，则学校旗杆的高度为 米． 8、为了测量校园水平地面上一棵树的高度，数学兴趣小组利用一根标杆、皮尺，设计如图所示的测量方案．已知测量同学眼睛A、标杆顶端F、树的顶端E在同一直线上，此同学眼睛距地面1.6米，标杆高为3.2米，且BC=2米，CD=6米，求树ED的高． 9、学习投影后，小明、小颖利用灯光下自己的影子长度来测量一路灯的高度，并探究影子长度的变化规律．如图，在同一时间，身高为1.6m的小明（AB）的影子BC长是3m，而小颖（EH）刚好在路灯灯泡的正下方H点，并测得HB=6m． （1）请在图中画出形成影子的光线，并确定路灯灯泡所在的位置G； （2）求路灯灯泡的垂直高度GH； （3）如果小明沿线段BH向小颖（点H）走去，当小明走到BH中点B1处时，求其影子B1C1的长；当小明继续走剩下路程的到B2处时，求其影子B2C2的长；当小明继续走剩下路程的到B3处，…按此规律继续走下去，当小明走剩下路程的到Bn处时，其影子BnCn的长为 m．（直接用n的代数式表示） 1、小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上，如图，此时测得地面上的影长为8米，坡面上的影长为4米．已知斜坡的坡角为30°，同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，则树的高度为（ ） A. （6+）米 B.12米 C. （4﹣2）米 D. 10米2、已知，△ABC∽△DEF，△ABC的周长为3，△DEF的周长为1，则△ABC与△DEF的面积之比为__________． 3、小明想利用太阳光测量楼高．他带着皮尺来到一栋楼下，发现对面墙上有这栋楼的影子，针对这种情况，他设计了一种测量方案，具体测量情况如下： 如示意图，小明边移动边观察，发现站到点E处时，可以使自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子重叠，且高度恰好相同．此时，测得小明落在墙上的影子高度CD=1.2m，CE=0.8m，CA=30m（点A、E、C在同一直线上）．已知小明的身高EF是1.7m，请你帮小明求出楼高AB．（结果精确到0.1m）
S(Summary-Embedded)——归纳总结
1、三角形相似的性质 2、利用三角形相似测高的三种模型 3、图形位似的概念及位似图形的性质 在应用三角形相似的知识解决实际问题时，从实际模型中找出相似三角形是解题的关键，从而利用对应边成比例来计算出高。 本节课我学到了 我需要努力的地方是
体系搭建
典例分析
实战演练
直击中考
重点回顾
名师点拨
学霸经验
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【专题讲义】北师大版九年级数学上册
第7讲 相似三角形的性质、应用与位似综合复习专题精讲（解析版）
参考答案
授课主题 第07讲----相似三角形的性质、应用与位似
授课类型 T同步课堂 P实战演练 S归纳总结
教学目标 掌握相似三角形的性质； 掌握利用相似三角形测高的常见模型； 了解位似及相关特征； 进一步提高综合分析问题的能力及将数学应用到实际生活中的能力。
授课日期及时段
T（Textbook-Based）——同步课堂
一、知识框架 二、知识概念 （一）黄金分割 在线段AB上，点C把线段AB分成两条线段AC和BC(AC＞BC)，如果AC＝AB，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比，黄金比约为0.618，一条线段的黄金分割点有2个.（二）相似三角形的性质 1、相似三角形对应角相等，对应边成比例.
2、相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比. 3、相似三角形周长的比等于相似比. 4、相似三角形面积的比等于相似比的平方.（三）利用三角形相似测量高度方法 1、利用阳光下的影子测量物高 根据太阳光线是平行的，寻找相似三角形. 在同一时刻， 2、利用标杆测量物高 观测者的眼睛、标杆顶端、旗杆顶端“三点一线”. 3、利用镜子原理测量物高 借助“反射角等于入射角”找出相等的角，得到三角形相似.（四）图形的位似 1、位似图形的定义 两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，并且对应边互相平行或位于同一直线上，像这样的两个图形叫做位似图形，这个交点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比 (?http:?/??/?baike.baidu.com?/?view?/?777411.htm" \t "_blank?)。 2、图形位似的性质位似 (?http:?/??/?baike.baidu.com?/?view?/?1101680.htm" \t "_blank?)图形的任意一对对应点与位似中心 (?http:?/??/?baike.baidu.com?/?view?/?785535.htm" \t "_blank?)在同一直线上，它们到位似中心的距离之比等于相似比 (?http:?/??/?baike.baidu.com?/?view?/?4246210.htm" \t "_blank?)。 位似图形对应线段 (?http:?/??/?baike.baidu.com?/?view?/?476943.htm" \t "_blank?)的比等于相似比； （2）位似图形的对应角都相等； （3）位似图形对应点连线的交点是位似中心； （4）位似图形面积 (?http:?/??/?baike.baidu.com?/?view?/?1541581.htm" \t "_blank?)的比等于相似比的平方； （5）位似 (?http:?/??/?baike.baidu.com?/?view?/?1101680.htm" \t "_blank?)图形高、周长 (?http:?/??/?baike.baidu.com?/?view?/?933551.htm" \t "_blank?)的比都等于相似比 (?http:?/??/?baike.baidu.com?/?view?/?4246210.htm" \t "_blank?)； （6）位似图形对应边互相平行或在同一直线上。 考点一：黄金分割例1、已知线段AB=8，点C是AB的黄金分割点，则AC= 【解析】根据黄金分割点的概念，应有两种情况， 当AC是较长线段时，AC=4×=2﹣2； 当AC是较短线段时，则AC=4﹣2+2=6﹣2． 故本题答案为：2﹣2或6﹣2．例2、如图，在△ABC中，AB=AC，AC的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E，若AE=BC，则点E是线段AB的黄金分割点吗？说明你的理由． 【解析】点E是线段AB的黄金分割点．证明（略）考点二：相似三角形的性质例1、两个相似三角形的面积比为4：9，周长和是20cm，则这两个三角形的周长分别是（ ） A．8cm和12cm B．7cm和13cm C．9cm和11cm D．6cm和14cm【解析】A．例2、以边长为1的正方形ABCD的边AB为对角线作第二个正方形AEBO1，再以BE为对角线作第三个正方形EFBO2，如此作下去，…，则所作的第n个正方形的面积Sn= ． 【解析】∵正方形ABCD的边长为1， ∴AB=1，AC=， ∴AE=AO1=，则：AO2=AB=， ∴S2=，S3=，S4=， ∴作的第n个正方形的面积Sn=．故答案为：．考点三：利用三角形相似测高 例1、某数学课外实习小组想利用树影测量树高，他们在同一时刻测得一身高为1.5米的同学的影子长为1.35米，因大树靠近一栋建筑物，大树的影子不全在地面上，他们测得地面部分的影子长BC=3.6米，墙上影子高CD=1.8米，求树高AB。【解析】过点D作DE⊥AB于E，
根据题题意得：四边形BCDE是矩形，
∴BE=CD=1.8m， ∴ 解得：AE=4，
∴AB=AE+BE=4+1.8=5.8（m），树高AB为5.8m． 例2、如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板DEF来测量操场旗杆AB的高度，他们通过调整测量位置，使斜边DF与地面保持平行，并使边DE与旗杆顶点A在同一直线上，已知DE=0.5米，EF=0.25米，目测点D到地面的距离DG=1.5米，到旗杆的水平距离DC=20米，求旗杆的高度． 【解析】由题意可得：△DEF∽△DCA，则=， ∵DE=0.5米，EF=0.25米，DG=1.5m，DC=20m， ∴=，解得：AC=10，故AB=AC+BC=10+1.5=11.5（m），旗杆的高度为11.5m． 例3、小红用下面的方法来测量学校教学大楼AB的高度：如图，在水平地面点E处放一面平面镜，镜子与教学大楼的距离AE=20米．当她与镜子的距离CE=2.5米时，她刚好能从镜子中看到教学大楼的顶端B．已知她的眼睛距地面高度DC=1.6米，请你帮助小红测量出大楼AB的高度（注：入射角=反射角）． 【解析】∵根据反射定律知：∠FEB=∠FED，∴∠BEA=∠DEC ∵∠BAE=∠DCE=90°∴△BAE∽△DCE∴； ∵CE=2.5米，DC=1.6米，∴； ∴AB=12.8 ∴大楼AB的高为12.8米．考点四：图形的位似 例1、对于平面图形上的任意两点P，Q，如果经过某种变换得到新图形上的对应点P′，Q′，保持PQ=P′Q′，我们把这种变换称为“等距变换”，下列变换中不一定是等距变换的是（ ） A．平移 B．旋转 C．轴对称 D．位似【解析】位似变换的性质：位似变换的两个图形是相似形，则位似变换不一定是等距变换，故选：D．例2、如图，在平面直角坐标中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，点A，B，E在x轴上，若正方形BEFG的边长为6，则C点坐标为（ ） A．（3，2） B．（3，1） C．（2，2） D．（4，2）【解析】 ∵正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图 形，且相似比为，∴=， ∵BG=6，∴AD=BC=2， ∵AD∥BG，∴△OAD∽△OBG，∴=，∴=， 解得：OA=1，∴OB=3，∴C点坐标为：（3，2），故选：A．
P(Practice-Oriented)——实战演练
课堂狙击1、将一个三角形改成与它相似的三角形，如果面积扩大为原来的9倍，那么周长扩大为原来的（ ）A．9倍 B．3倍 C．81倍 D．18倍【解析】B． 2、己知两个相似三角形周长的比为3：2，其中较小的三角形面积为12，则较大的三角形的面积是（ ）A．27 B．24 C．18 D．16【解析】A3、已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为，则△ABC与△DEF对应中线的比为（ ）A． B． C． D．【解析】A 4、如图，以点O为位似中心，将△ABC缩小后得到△A′B′C′，已知OB=3OB′，则△A′B′C′与△ABC的面积比为（ ） A．1：3 B．1：4 C．1：5 D．1：9【解析】∵OB=3OB′，∴， ∵以点O为位似中心，将△ABC缩小后得到△A′B′C′，∴△A′B′C′∽ABC， ∴=．∴=，故选D 5、如图，为了测量一水塔的高度，小强用2米的竹竿做测量工具，移动竹竿，使竹竿、水塔的顶端的影子恰好落在地面的同一点．此时，竹竿与这一点相距8米，与水塔相距32米，则水塔的高度为 10 米． 【解析】∵BC⊥AD，ED⊥AD，∴BC∥DE，∴△ABC∽△ADE， ∴，即， ∴DE=10，即水塔的高度是10米． 6、两个相似三角形周长之比为4∶9，面积之和为291，则面积分别是 。【解析】48 ； 243 7、在同一时刻两根木竿在太阳光下的影子如图所示，其中木竿AB=2.5m，它的影子BC=2m，木竿PQ的影子有一部分落在了墙上，PM=1.6m，MN=1m，求木竿PQ的长度． 【解析】过N点作ND⊥PQ于D，如图所示： ∴， 又∵AB=2，BC=1.6，DN=PM=1.2，NM=0.8， ∴QD===1.5，∴PQ=QD+DP=QD+NM=1.5+1=2.5（m）．木竿PQ的长度为2.5m． 8、如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成正方形零件PQMN，使正方形PQMN的边QM在BC上，其余两个项点P，N分别在AB，AC上．求这个正方形零件PQMN面积S. 【解析】PN与AD交于点E，如图，设MN=xmm， 易得四边形MNED为矩形，则ED=MN=x， ∴AE=AD﹣ED=80﹣x， ∵PN∥BC，∴△APN∽△ABC， ∴=，即=， ∴PN=（80﹣x）， ∵PN=MN，∴（80﹣x）=x，解得x=48． 故正方形零件PQMN面积S为：48×48=2304（mm2）． 9、“福龙丽景”的居民筹集资金650元，计划在楼前一块上底5m、下底10m的梯形（如图①）空地上种植花草，美化环境． （1）试求△AED与△BEC的面积比； （2）他们在△AED和△BEC地带上种康乃馨，单价为10元/m2，共花250元．若其余地带（△ABE和△DCE）可种兰花或茉莉花，单价分别为20元/m2、15元/m2，那么应选择种哪种花，刚好用完所筹集资金？ （3）若梯形ABCD为等腰梯形（如图②），请你设计一种花坛图案，即在梯形内找到一点P，使得△APB≌△DPC，S△APD=S△BPC，并说明理由． 【解析】（1）∵梯形ABCD的边AD∥BC，∴△AED∽△BEC， ∴△AED与△BEC的面积比=（AD：BC）2=（5：10）2=1：4； （2）设△AED的边AD上的高为h， ∵△AED∽△BEC，∴△BEC的边BC上的高为h=2h， ∴×5h+×10×2h=250÷10，解得h=2， ∴梯形的高为h+2h=2+2×2=6， △ABE和△DCE的面积之和=×（5+10）×6﹣250÷10=45﹣25=20m2， ∴所种花的单价=（650﹣250）÷20=20元/m2， 答：选择种兰花，刚好用完所筹集资金； （3）∵△APB≌△DPC，∴点P在对称轴上， ∵AD=5cm，BC=10cm，S△APD=S△BPC，∴点P到AD的距离等于到BC的距离的2倍， 点P的位置如图所示． 课后反击1、如图，已知点P是线段AB的黄金分割点，AP＞PB，若AB=1，则AP长约为（ ） A．1 B．0.618 C．0.5 D．0.382 【解析】由于P为线段AB=1的黄金分割点，且AP是较长线段； 则AP=AB=≈0.618． 2、两个相似三角形，他们的周长分别是36和12．周长较大的三角形的最大边为15，周长较小的三角形的最小边为3，则周长较大的三角形的面积是（ ） A．52 B．54 C．56 D．58 【解析】B． 3、已知两个相似三角形的对应边长分别为9cm和11cm，它们的周长相差20cm，则这两个三角形的周长分别为（ ） A．45cm，65cm B．90cm，110cm C．45cm，55cm D．70cm，90cm 【解析】B． 4、如图，M是Rt△ABC 的斜边BC上一点（M不与B、C重合），过点M作直线截△ABC，所得的三角形与△ABC相似，这样的直线共有（ ） A．0条 B．2条 C．3条 D．无数条 【解析】C． 5、如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，6），B（﹣9，﹣3），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是（ ） A．（﹣1，2） B．（﹣9，18） C．（﹣9，18）或（9，﹣18） D．（﹣1，2）或（1，﹣2） 【解析】∵A（﹣3，6），B（﹣9，﹣3），以原点O为位似中心， 相似比为，把△ABO缩小，∴点A的对应点A′的坐标为 （﹣3×，6×）或[﹣3×（﹣），6×（﹣）] 即A′点的坐标为（﹣1，2）或（1，﹣2）．故选D 6、如图，△ABC是一块锐角三角形的材料，边BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是 48 mm． 【解析】∵正方形PQMN的QM边在BC上，∴PN∥BC， ∴△APN∽△ABC，∴． 设ED=x，∴PN=MN=ED=x，，∴解得：x=48， ∴这个正方形零件的边长是48mm． 故答案为：48． 7、赵亮同学想利用影长测量学校旗杆的高度，如图，他在某一时刻立1米长的标杆测得其影长为1.2米，同时旗杆的投影一部分在地面上，另一部分在某一建筑的墙上，分别测得其长度为9.6米和2米，则学校旗杆的高度为 10 米． 【解析】1米长的标杆测得其影长为1.2米，即某一时刻实际高度和影长之比为定值，所以墙上的2米投射到地面上实际为2.4米，即旗杆影长为12米，因此旗杆总高度为10米． 8、为了测量校园水平地面上一棵树的高度，数学兴趣小组利用一根标杆、皮尺，设计如图所示的测量方案．已知测量同学眼睛A、标杆顶端F、树的顶端E在同一直线上，此同学眼睛距地面1.6米，标杆高为3.2米，且BC=2米，CD=6米，求树ED的高． 【解析】过A作AH垂直ED，垂足为H，交线段FC与G， 由题知，∵FG∥EH，∴△AFG∽△AEH，∴=， 又因为AG=BC=2，AH=BD=2+6=8，FG=FC﹣GC=3.2﹣1.6=1.6， 所以=，解得：EH=6.4， 则ED=EH+HD=6.4+1.6=8（m）．树ED的高为8米． 9、学习投影后，小明、小颖利用灯光下自己的影子长度来测量一路灯的高度，并探究影子长度的变化规律．如图，在同一时间，身高为1.6m的小明（AB）的影子BC长是3m，而小颖（EH）刚好在路灯灯泡的正下方H点，并测得HB=6m． （1）请在图中画出形成影子的光线，并确定路灯灯泡所在的位置G； （2）求路灯灯泡的垂直高度GH； （3）如果小明沿线段BH向小颖（点H）走去，当小明走到BH中点B1处时，求其影子B1C1的长；当小明继续走剩下路程的到B2处时，求其影子B2C2的长；当小明继续走剩下路程的到B3处，…按此规律继续走下去，当小明走剩下路程的到Bn处时，其影子BnCn的长为 m．（直接用n的代数式表示） 【解析】如图 （2）∵AB⊥HC，GH⊥HC，∴AB∥GH， ∴△ABC∽△GHC，∴，∵AB=1.6m，BC=3m，HB=6m ∴， ∴GH=4.8（m）． （3）同理△A1B1C1∽△GHC1， ∴， 设B1C1长为x（m），则， 解得：（m），即（m）． 同理，解得B2C2=1（m）， ∴， 解得：． 1、小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上，如图，此时测得地面上的影长为8米，坡面上的影长为4米．已知斜坡的坡角为30°，同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，则树的高度为（ ） A. （6+）米 B.12米 C. （4﹣2）米 D. 10米 【解析】A 2、已知，△ABC∽△DEF，△ABC的周长为3，△DEF的周长为1，则△ABC与△DEF的面积之比为__________． 【解析】9:1 3、小明想利用太阳光测量楼高．他带着皮尺来到一栋楼下，发现对面墙上有这栋楼的影子，针对这种情况，他设计了一种测量方案，具体测量情况如下： 如示意图，小明边移动边观察，发现站到点E处时，可以使自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子重叠，且高度恰好相同．此时，测得小明落在墙上的影子高度CD=1.2m，CE=0.8m，CA=30m（点A、E、C在同一直线上）．已知小明的身高EF是1.7m，请你帮小明求出楼高AB．（结果精确到0.1m） 【解析】过点D作DG⊥AB，分别交AB、EF于点G、H， ∵AB∥CD，DG⊥AB，AB⊥AC，∴四边形ACDG是矩形， ∴EH=AG=CD=1.2，DH=CE=0.8，DG=CA=30， ∵EF∥AB， ∴， 由题意，知FH=EF﹣EH=1.7﹣1.2=0.5， ∴，解得，BG=18.75， ∴AB=BG+AG=18.75+1.2=19.95≈20.0． ∴楼高AB约为20.0米．
S(Summary-Embedded)——归纳总结
1、三角形相似的性质 2、利用三角形相似测高的三种模型 3、图形位似的概念及位似图形的性质 在应用三角形相似的知识解决实际问题时，从实际模型中找出相似三角形是解题的关键，从而利用对应边成比例来计算出高。 本节课我学到了 我需要努力的地方是
体系搭建
典例分析
实战演练
直击中考
重点回顾
名师点拨
学霸经验
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