集合的概念
【教学目标】
1．知识与技能：
（1）通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；
（2）知道常用数集及其专用记号；
（3）了解集合中元素的确定性、互异性、无序性；
（4）会用集合语言表示有关数学对象；
（5）培养学生抽象概括的能力。
2．过程与方法：
（1）让学生经历从集合实例中抽象概括出集合共同特征的过程，感知集合的含义。
（2）让学生归纳整理本节所学知识。
3．情感、态度与价值观：
使学生感受到学习集合的必要性，增强学习的积极性。
【教学重难点】
教学重点：集合的含义与表示方法。
教学难点：表示法的恰当选择。
【教学过程】
一、创设情景，揭示课题。
1．教师首先提出问题：在初中，我们已经接触过一些集合，你能举出一些集合的例子吗？
引导学生回忆。举例和互相交流。与此同时，教师对学生的活动给予评价。
2．接着教师指出：那么，集合的含义是什么呢？这就是我们这一堂课所要学习的内容。
二、研探新知。
1．教师利用多媒体设备向学生投影出下面9个实例：
（1）1—20以内的所有质数；
（2）我国古代的四大发明；
（3）所有的正方形；
（4）海南省在2004年9月之前建成的所有立交桥；
（5）到一个角的两边距离相等的所有的点；
（6）方程的所有实数根；
（7）不等式的所有解；
（8）国兴中学2004年9月入学的高一学生的全体。
2．教师组织学生分组讨论：这8个实例的共同特征是什么？
3．每个小组选出—位同学发表本组的讨论结果，在此基础上，师生共同概括出8个实例的特征，并给出集合的含义。
一般地，我们把研究对象统称为元素（element），把一些元素组成的总体叫做集合（set）(简称为集)。
4．教师指出：集合常用大写字母A，B，C，D，…表示，元素常用小写字母…表示。
三、质疑答辩，排难解惑，发展思维。
1．教师引导学生阅读教材中的相关内容，思考：集合中元素有什么特点？并注意个别辅导，解答学生疑难。使学生明确集合元素的三大特性，即：确定性。互异性和无序性。只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合相等。
2．教师组织引导学生思考以下问题：
判断以下元素的全体是否组成集合，并说明理由：
（1）大于3小于11的偶数；
（2）我国的小河流。
让学生充分发表自己的建解。
3．让学生自己举出一些能够构成集合的例子以及不能构成集合的例子，并说明理由。教师对学生的学习活动给予及时的评价。
4．教师提出问题，让学生思考
如果用A表示高—（3）班全体学生组成的集合，用表示高一（3）班的一位同学，是高一（4）班的一位同学，那么与集合A分别有什么关系？由此引导学生得出元素与集合的关系有两种：属于和不属于。
如果是集合A的元素，就说属于集合A，记作。
如果不是集合A的元素，就说不属于集合A，记作。
5．教师引导学生回忆数集扩充过程，然后阅读教材中的相交内容，写出常用数集的记号。
6．教师引导学生阅读教材中的相关内容，并思考。讨论下列问题：
（1）要表示一个集合共有几种方式？
（2）试比较自然语言、列举法和描述法在表示集合时，各自有什么特点？适用的对象是什么？
（3）如何根据问题选择适当的集合表示法？
使学生弄清楚三种表示方式的优缺点和体会它们存在的必要性和适用对象。
四、典例剖析
例1．用例举法表示集合．
答案：
例2．下列命题：
（1）若，则；
（2）表示只有一个元素的集合；
（3）方程的解的集合可表示成；
其中正确的命题个数是（1）答案：（2）
例3．已知，且，求实数的值。
解：或。或。但时，与集合中元素的互异性矛盾，
五、随堂练习。
1．已知集合中的三个元素可成为的三边长，那么一定不是_____．
答案：D
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
2．设都是非零实数，可能取的值组成的集合是．
3．已知，且，则的值为
4．对于集合，若，则，那么的值为____或____．
5．给出下面三个关系式：其中正确的个数是____．
6．集合，则集合中元素的个数是____．
7．设集合，则下列关系是成立的是__（3）__．
（1） （2） （3） （4）
六、归纳整理，整体认识。
在师生互动中，让学生了解或体会下例问题：
1．本节课我们学习过哪些知识内容？
2．你认为学习集合有什么意义？
3．选择集合的表示法时应注意些什么？
七、承上启下，留下悬念。
八、作业布置。
1．元素与集合的关系有多少种？如何表示？类似地集合与集合间的关系又有多少种呢？如何表示？
集合间的基本关系
【教学目标】
1．知识与技能
（1）了解集合之间包含与相等的含义，能写出给定集合的子集。
（2）理解子集，真子集的概念。
（3）能使用图表达集合间的关系，体会直观图示对理解抽象概念的作用。
（4）感受集合语言的意义和作用。
2．过程与方法
让学生通过类比，发现集合间的基本关系，并通过观察身边的实例，体验其现实意义。
3．情感、态度与价值观
树立数形结合的思想。
体会类比对发现新结论的作用。
【教学重难点】
一、重点：
集合间的包含与相等关系，子集与真子集的概念。
二、难点：
1．难点是属于关系与包含关系的区别。
2．空集的概念
【教学方法】
让学生通过观察、类比、思考、交流、讨论，发现集合间的基本关系。
【教学准备】
投影仪.
【教学过程】
一、复习探究 创设情景
问题1：集合中元素的特征是什么？集合的两种表示方法？
例题：如何用适当的方法表示下列集合？
（1）10以内3的倍数；
（2）1000以内3的倍数
例题：用适当的符号填空： 0 N； Q； -1.5 R。
问题2：实数有相等.大小关系，如5=5，5＜7，5＞3，3≤3等等，类比实数之间的关系，你会想到集合之间有什么关系呢？
（让学生自由发言，教师不要急于做出判断。而是继续引导学生；欲知谁正确，让我们一起来观察研探。）
二、研探新知 揭示课题
问题3：观察下面几个例子，你能发现两个集合间有什么关系了吗？
（1）A=｛1,2,3｝ B=｛1,2,3,4,5｝；
（2）A＝ B＝
（3）C＝ D＝
（4）E=｛2,4,6｝ F=｛6,4,2｝
组织学生充分讨论.交流，使学生发现两个集合所含元素范围存在各种关系，从而类比得出两个集合之间的关系：
①一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为B的子集。
记作：（或B ）
读作：A含于B(或B包含A)
②如果两个集合所含的元素完全相同，那么我们称这两个集合相等.（已学概念）
引导学生类比表示集合间关系的符号与表示两个实数大小关系的等号之间有什么类似之处，强化学生对符号所表示意义的理解。
指出：为了直观地表示集合间的关系，我们常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图。如图l表示问题3中（1）和（2）和图2表示问题3中的（3），（4）Venn图。
图1 图2
问题4：与实数中的结论“若”相类比，在集合中，你能得出什么结论？
教师引导学生通过类比，思考。得出结论：若
巩固：请同学们举出几个具有包含关系相等关系的集合实例，并用Venn图表示。
（学生主动发言，教师给予评价.也可给出反例：A=， B＝来说明集合间不全是只有包含的关系，同时也强调判定时，要关注A中任意一个元素。）
三、学生自主学习，阅读理解
然后引导学生阅读相关内容，并思考回答下例问题：
问题5：
（1）集合A是集合B的真子集的含义是什么？ A＝中的元素是什么？什么叫空集？
（2）集合A是集合B的真子集与集合A是集合B的子集之间有什么区别？
（3）包含关系与属于关系有什么区别？试结合实例作出解释。
（4）空集是任何集合的子集吗？空集是任何集合的真子集吗？
（5）能否说任何一个集合是它本身的子集，即AA？
（6）对于集合A，B，C，D，如果AB，BC，那么集合A与C有什么关系？
教师巡视指导，解答学生在自主学习中遇到的困惑，然后让学生发表对上述问题看法.（能够用数学语言给予解释，）训练学生数学地思考问题的习惯。
四、巩固深化，发展思维
1．学生在教师的引导启发下完成下列两道例题：
例：某工厂生产的产品在质量和长度上都合格时，该产品才合格。若用A表示合格产品，B表示质量合格的产品的集合，C表示长度合格的产品的集合。则下列包含关系哪些成立？
试用Venn图表示这三个集合的关系。
例2 写出集合{0，1，2)的所有子集，并指出哪些是它的真子集。
问题6（提供给有余力的学生）
发散训练1．探讨｛1,2｝ ｛1，2,3｝ ｛1,,2,3,4｝的子集个数，能发现什么规律呢？
发散训练2. 已知 ｛1,2｝
发散训练3．思考： 0，{0}与三者之间有什么关系？
练习：教师针对不同问题给予解决
五、归纳整理，整体认识
请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些，所涉及到的主要数学思想方法有哪些。
集合的基本运算
【教学目标】
知识与技能：
1．理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；
2．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；
3．能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用。
过程与方法：
针对具体实例，通过类比实数间的加法运算引入了集合间“并”的运算，并在此基础上进一步扩展到集合的“交”的运算和“补”的运算。类比方法的使用体现了知识之间的联系，渗透了数学学习的方法。
情感、态度与价值观：
1．类比方法让学生体会知识间的联系；
2．Venn图表达集合运算让学生体会数形结合思想方法的应用对理解抽象概念的作用；
3．通过集合运算的学习逐渐发展学生使用集合语言进行交流的能力。
【教学重难点】
教学重点：集合的交集与并集、补集的概念；
教学难点：集合的交集与并集、补集“是什么”，“为什么”，“怎样做”。
【教学过程】
一、复习回顾。
1．什么叫集合是集合的子集？
2．关于子集、集合相等和空集，有哪些性质？
（1）；
（2）若，且，则；
（3）若则；
（4）．
二、创设情境，新课引入。
问：实数有加法运算，两个集合是否也可以相加呢？考察下列各个集合，你能说出集合C与集合A，B之间的关系吗？
（1）；
（2），，．
三、师生互动，新课讲解。
1．并集
一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集（union set）。
记作：A∪B 读作：“A并B”即：A∪B={x|x∈A，或x∈B}
例1：（1）设A={4，5，6，8}，B={3，5，7，8}，求：A∪B。
（2）设集合A={x|－1说明：两个集合求并集，结果还是一个集合，是由集合A与B的所有元素组成的集合（重复元素只看成一个元素）。
你会用表示上述例题中的两个并集吗？请你用Venn图表示出不同关系的两个集合的并集。
让学生动手操作，教师指导。
在上图中我们除了研究集合A与B的并集外，它们的公共部分还应是我们所关心的，我们称其为集合A与B的交集。你能从上面的例题1中并类比“并集”的概念归纳出“交集”的概念吗？
学生归纳得：
2．交集
一般地，由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B的交集（intersection set）。
记作：A∩B 读作：“A交B”即：A∩B={x|∈A，且x∈B}
交集的Venn图表示
说明：两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合A与B的公共元素组成的集合。
例2：（1）设A={4，5，6，8}，B={3，5，7，8}，求：AB。
（2）设集合A={x|－1例3（课本P12例4）设平面内直线l1上的点的集合为L1，直线l2上点的集合为L2，试用集合的运算表示l1，l2的位置关系。
请你结合上述例子用Venn图表示出不同关系的两个集合的交集。
说明：当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集。
变式训练：求下列各图中集合A与B的并集与交集。
3．全集
一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集（universe set），通常记作U。
问：在问题中，我们若把集合C作为全集，请你说出集合A与B有怎样的关系吗？
由此你能归纳出补集概念吗？你会用Venn图表示表示出它们的关系吗？
通过学生思考、讨论、归纳出：
4．补集：
对于全集U的一个子集A，由全集U中所有不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集（complementary set），简称为集合A的补集，记作：，即：={x|x∈U且xA}
补集的Venn图表示
说明：补集的概念必须要有全集的限制
例4（课本P13例5、例6）①设U={x|x是小于9的正实数}，A={1，2，3}，B={3，4，5，6}，求，。
②设全集U={x|x是三角形}，A={x|x是锐角三角形}，B={x|x是钝角三角形}，求A∩B，（A∪B）。
课堂练习：（课本P13练习NO：1，2，3）
结论归纳（重要）：
（1）求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法。
（2）集合基本运算的一些结论：
A∩BA，A∩BB，A∩A=A，A∩=，A∩B=B∩A
AA∪B，BA∪B，A∪A=A，A∪=A，A∪B=B∪A
（）∪A=U，（）∩A=
若A∩B=A，则AB，反之也成立
若A∪B=B，则AB，反之也成立
若x∈（A∩B），则x∈A且x∈B
若x∈（A∪B），则x∈A，或x∈B
摩根律
四、课本小结，巩固反思。
求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法。
充分条件与必要条件
【教学目标】
1．使学生正确理解充分条件、必要条件和充要条件三个概念，并能在判断、论证中正确运用。
2．在师生、学生间的数学交流中增强逻辑思维活动，为用等价转化思想解决数学问题打下基础。
【教学重点】
正确理解三个概念，并在分析中正确判断。
【教学难点】
充分性与必要性的推导顺序。
【课时安排】
1课时
【教材分析】
这一大节通过若干实例，讲述充分条件、必要条件和充要条件的有关知识。
这一大节的重点是充要条件。学习简易逻辑知识，主要是为了培养学生进行简单推理的技能，发展学生的思维能力，在这方面，逻辑联结词“或”、“且”、“非”与充要条件的有关内容是十分必要的。
关于充分条件、必要条件与充要条件，本章对教学要求的尺度，还是控制在对初中代数、几何的有关问题的理解上为宜。
【教学过程】
一、复习引入：
同学们，当某一天你和你的妈妈在街上遇到老师的时候，你向老师介绍你的妈妈说：“这是我的妈妈”。那么，大家想一想这个时候你的妈妈还会不会补充说：“你是她的孩子”呢？不会了！为什么呢？因为前面你所介绍的她是你的妈妈就足于保证你是她的孩子。那么，这在数学中是一层什么样的关系呢？今天我们就来学习这个有意义的课题——充分条件与必要条件。
二、讲解新课：
1．符号“”的含义
前面我们讨论了“若p则q”形式的命题，其中有的命题为真，有的命题为假。“若p则q”为真，是指由p经过推理可以得出q，也就是说，如果p成立，那么q一定成立，记作pq，或者qp；如果由p推不出q，命题为假，记作pq。
简单地说，“若p则q”为真，记作pq（或qp）；
“若p则q”为假，记作pq（或qp）。
符号“”叫做推断符号。
例如，“若x>0，则x2>0”是一个真命题，可写成：x>0 x2>0；
又如，“若两三角形全等，则两三角形的面积相等”是一个真命题，可写成：两三角形全等两三角形面积相等。
说明：
（1） “pq”表示“若p则q”为真；也表示“p蕴含q”。
（2）“pq”也可写为“qp”，有时也用“p→q”。
2．什么是充分条件？什么是必要条件？
如果已知pq，那么我们就说，p是q的充分条件，q是p的必要条件。
在上面是两个例子中，“x>0”是“x2>0”的充分条件，“x2>0”是“x>0”的必要条件；“两三角形全等”是“两三角形面积相等”的充分条件，“两三角形面积相等”是“两三角形全等”的必要条件。
3．充分条件与必要条件的判断
直接利用定义判断：即“若pq成立，则p是q的充分条件，q是p的必要条件”。（条件与结论是相对的）
三、范例
【例1】指出下列各组命题中，p是q的什么条件，q是p的什么条件：
（1） p：x=y；q：x2=y2。
（2） p：三角形的三条边相等；q：三角形的三个角相等。
分析：可根据“若p则q”与“若q则p”的真假进行判断。
解：（1）由pq，即x=yx2=y2，知p是q的充分条件，q是p的必要条件。
（2）由pq，即三角形的三条边相等三角形的三个角相等，知p是q的充分条件，q是p的必要条件；
又由qp，即三角形的三个角相等三角形的三条边相等，知q也是p的充分条件，p也是q的必要条件。
【例2】如图1，有一个圆A，在其内又含有一个圆B． 请回答：
（1）命题：若“A为绿色”，则“B为绿色”中，“A为绿色”是“B为绿色”的什么条件；“B为绿色”又是“A为绿色”的什么条件。
（2）命题：若“红点在B内”，则“红点一定在A内”中，“红点在B内”是“红点在A内”的什么条件；“红点在A内”又是“红点在B内”的什么条件。
解法1(直接判断)：（1）∵“A为绿色B为绿色”是真的，∴由定义知，“A为绿色”是“B为绿色”的充分条件；“B为绿色”是“A为绿色”的必要条件。
（2）如图2（1），∵“红点在B内红点在A内”是真的，∴由定义知，“红点在B内”是“红点在A内”的充分条件；“红点在A内”是“红点在B内”的必要条件。
解法2(利用逆否命题判断)：（1）它的逆否命题是：若“B不为绿色”则“A不为绿色”。 ∵“B不为绿色 A不为绿色”为真，∴“A为绿色”是“B为绿色”的充分条件；“B为绿色”是“A为绿色”的必要条件。
（2）它的逆否命题是：若“红点不在A内”，则“红点一定不在B内”。 如图2（2），∵“红点不在A内红点一定不在B内”为真，∴“红点在B内”是“红点在A内”的充分条件；“红点在A内”是“红点在B内”的必要条件。
如何理解充分条件与必要条件中的“充分”和“必要”呢？下面我们以例2为例来说明。
先说充分性：说条件是充分的，也就是说条件是充足的，条件是足够的，条件是足以保证的。例如，说“A为绿色”是“B为绿色”的一个充分条件，就是说“A为绿色”，它足以保证“B为绿色”。它符合上述的“若p则q”为真（即pq）的形式。
再说必要性：必要就是必须，必不可少。从例2的图可以看出，如果“B为绿色”，A可能为绿色，A也可能不为绿色。但如果“B不为绿色”，那么“A不可能为绿色”。因此，必要条件简单说就是：有它不一定，没它可不行。它满足上述的“若非q则非p”为真（即┐q┐p）的形式。
总之，数学上的充分条件、必要条件的“充分”、“必要”两词，与日常生活中的“充分”、“必要”意义相近，不过，要准确理解它们，还是应该以数学定义为依据。
例2的问题，若用集合观点又怎样解释呢？请同学们想一想。
四、练习：
用“充分”或“必要”填空，并说明理由：
1．“a和b都是偶数”是“a+b也是偶数”的 充分 条件；
2．“四边相等”是“四边形是正方形”的 必要 条件；
3．“x3”是“|x|3”的 充分 条件；
4．“x-1=0”是“x2-1=0”的 充分 条件；
5．“两个角是对顶角”是“这两个角相等”的 充分 条件；
6．“至少有一组对应边相等”是“两个三角形全等”的必要条件；
7．对于一元二次方程ax2+bx+c=0（其中a，b，c都不为0）来说，“b2-4ac0”是“这个方程有两个正根”的 必要 条件；
8．“a=2，b=3”是“a + b=5”的 充分 条件；
9．“a + b是偶数”是“a和b都是偶数”的 必要 条件；
10．“个位数字是5的自然数”是“这个自然数能被5整除”的 充分 条件。
五、小结：
本节主要学习了推断符号“”的意义，充分条件与必要条件的概念，以及判断充分条件与必要条件的方法。
判断充分条件与必要条件的依据是：
若pq（或若┐q┐p），则p是q的充分条件；
若qp（或若┐p┐q），则p是q的必要条件。
【作业布置】
设A是C的充分条件，B是C的充分条件，D是C的必要条件，D是B的充分条件，那么，D是A的什么条件？A是B的什么条件？
解：由题意作出逻辑图（右图），便知，D是A的必要条件；A是B的充分条件。
充分条件与必要条件
【教学目标】
1．使学生理解充要条件的概念，掌握充要条件的判断；
2．在师生、学生间的数学交流中增强逻辑思维活动，为用等价转化思想解决数学问题打下良好的逻辑基础。
【教学重难点】
教学重点：正确理解三个概念，并在分析中正确判断
教学难点：充分性与必要性的推导顺序
【授课类型】
新授课
【课时安排】
1课时
【内容分析】
这一节是在上一节学习了充分条件、必要条件概念的基础上，进一步学习充要条件的有关知识。重点是充要条件。关于充分条件、必要条件与充要条件，还是控制在对初中代数、几何的有关问题的理解上为宜。
【教学过程】：
一、复习引入：
1．什么叫做充分条件？什么叫做必要条件？
若pq（或若┐q┐p），则说p是q的充分条件，q是p的必要条件。
2．指出下列命题中，p是q的什么条件，q是p的什么条件：
（1）p：x>2，q：x>1；（2）p：x>1，q：x>2；
（3）p：x>0 ，y>0，q：x+y<0；（4）p：x=0，y=0，q：x2+y2=0.
解：（1）∵x>2x>1，∴p是q的充分条件，q是p的必要条件。
（2）∵x>1x>2，但x>2x>1，∴p是q的必要条件，q是p的充分条件。
（3）∵x>0 ，y>0x+y<0，x+y<0x>0 ，y>0，∴p不是q的充分条件，p也不是q的必要条件；q不是p的充分条件，q也不是p的必要条件。
（4）∵x=0，y=0x2+y2=0，∴p是q的充分条件，q是p的必要条件；又x2+y2=0x=0，y=0，∴q是p的充分条件，p是q的必要条件。
3．在问题（4）中，p既是q的充分条件，p又是q的必要条件，此时，我们统说，p是q的充分必要条件，简称充要条件。下面我们用数学语言来表述这个概念。
二、讲解新课：
1．什么是充要条件？
如果既有pq，又有qp，就记作pq。此时，p既是q的充分条件，p又是q的必要条件，我们就说，p是q的充分必要条件，简称充要条件。（当然此时也可以说q是p的充要条件）
例如，“x=0，y=0”是“x2+y2=0”的充要条件；“三角形的三条边相等”是“三角形的三个角相等”的充要条件。
说明：（1）符号“”叫做等价符号。“pq”表示“pq且pq”；也表示“p等价于q”。 “pq”有时也用“pq”；
（2）“充要条件”有时还可以改用“当且仅当”来表示，其中“当”表示“充分”，“仅当”表示“必要”。
2．几个相关的概念
若pq，但pq，则说p是q的充分而不必要条件；
若pq，但pq，则说p是q的必要而不充分条件；
若pq，且pq，则说p是q的既不充分也不必要条件。
例如，“x>2”是“x>1”的充分而不必要的条件；“x>1”是“x>2”的必要而不充分的条件；“x>0 ，y>0”是“x+y<0”的既不充分也不必要的条件。
3．充要条件的判断方法
四种“条件”的情况反映了命题的条件与结论之间的因果关系，所以在判断时应该：
（1）确定条件是什么，结论是什么；
（2）尝试从条件推出结论，从结论推出条件（方法有：直接证法或间接证法）；
（3）确定条件是结论的什么条件。
4．怎样用集合的观点对“充分”、“必要”、“充要”三种条件进行概括？
答：有两种说法：（1）若AB，则A是B的充分条件，B是A的必要条件；若A=B，则A是B的充要条件（此时B也是A的充要条件）。
在含有变量的命题中，凡能使命题为真的变量x的允许值集合，叫做此命题的真值集合。
（2）若pq，说明p的真值集合q的真值集合，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；若pq，说明p，q的真值集合相等，即p，q等价，则p是q充要条件（此时q也是p的充要条件）。
三、范例
指出下列各组命题中，p是q的什么条件（在“充分而不必要条件”、“必要而不充分条件”、“充要条件”、“既不充分也不必要条件”中选出一种）？
（1）p：(x-2)(x-3)=0；q：x-2=0.
（2）p：同位角相等；q：两直线平行。 （3）p：x=3；q：x2=9．
（4）p：四边形的对角线相等；q：四边形是平行四边形。
解：（1）∵(x-2)(x-3)=0x-2=0，(x-2)(x-3)=0x-2=0，
∴p是q的必要而不充分的条件；
（2）∵同位角相等两直线平行，∴p是q的充要条件；
（3）∵x=3x2=9， x=3x2=9，∴p是q的充分而不必要的条件；
（4）∵四边形的对角线相等四边形是平行四边形，四边形的对角线相等四边形是平行四边形，
∴p是q的既不充分也不必要的条件。
全称量词与存在量词——全称量词
【教学目标】
1．知识目标：通过教学实例，理解全称量词的含义；能够用全称量词符号表示全称命题。
2．能力与方法：通过观察命题、科学猜想以及通过参与过程的归纳和问题的演绎，培养学生的观察能力和概括能力。
3．情感、态度与价值观：通过问题的辨析和探究，培养学生良好的学习习惯和反思意识。
【教学重难点】
理解全称量词的意义。
【教学过程】
一、情境设置。
哥德巴赫猜想是世界近代三大数学难题之一。1742年，由德国中学教师哥德巴赫在教学中首先发现的。
1742年6月7日哥德巴赫写信给当时的大数学家欧拉，正式提出了以下的猜想：
（1）任何一个大于6的偶数都可以表示成两个质数之和。
（2）任何一个大于9的奇数都可以表示成三个质数之和。
这就是哥德巴赫猜想。
欧拉在回信中说，他相信这个猜想是正确的，但他不能证明。从此，这道数学难题引起了几乎所有数学家的注意。哥德巴赫猜想由此成为数学皇冠上一颗可望不可及的“明珠”。
中国数学家陈景润于1966年证明：“任何充分大的偶数都是一个质数与两个质数的乘积的和”通常这个结果表示为“1+2”这是目前这个问题的最佳结果。
科学猜想也是命题。哥德巴赫猜想它是一个迄今为止仍然是一个没有得到正面证明也没有被推翻的命题。
二、新知探究。
观察以下命题：
（1）对任意，；
（2）所有的正整数都是有理数；
（3）若函数对定义域中的每一个，都有，则是偶函数；
（4）所有有中国国籍的人都是黄种人。
问题1．
（1）这些命题中的量词有何特点？
（2）上述4个命题，可以用同一种形式表示它们吗？
填一填：
全称量词：__________________________________________________
全称命题：__________________________________________________
全称命题的符号表示：________________________________________
你能否举出一些全称命题的例子？
试一试：判断下列全称命题的真假。
（1）所有的素数都是奇数；
（2）；
（3）每一个无理数，也是无理数。
（4），。
想一想：你是如何判断全称命题的真假的？
问题2．
下列命题中量词有何特点？与全称量词有何区别？
（1）存在一个使；
（2）至少有一个能被2和3整除；
（3）有些无理数的平方是无理数。
三、能力提升。
（1）下列命题中为全称命题的是（ ）
A．有些圆内接三角形是等腰三角形；
B．存在一个实数与它的相反数的和不为0；
C．所有矩形都有外接圆；
D．过直线外一点有一条直线和已知直线平行。
（2）下列全称命题中真命题的个数是（ ）
①末位是0的整数，可以被3整除；②对为奇数。
③角平分线上的任意一点到这个角的两边的距离相等；
A．0 B．1 C．2 D．3
全称量词与存在量词
——全称量词命题和存在量词命题的否定
【教学目标】
1．知识与技能目标：
（1）通过探究数学中一些实例，使学生归纳总结出含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律。
（2）通过例题和习题的教学，使学生能够根据含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律，正确地对含有一个量词的命题进行否定。
2．过程与方法目标：
使学生体会从具体到一般的认知过程，培养学生抽象、概括的能力。
3．情感态度价值观：
通过学生的举例，培养他们的辨析能力以及培养他们的良好的思维品质，在练习过程中进行辩证唯物主义思想教育。
【教学重难点】
教学重点：通过探究，了解含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律，会正确地对含有一个量词的命题进行否定。
教学难点：正确地对含有一个量词的命题进行否定。
【教学过程】
一、回顾。
我们在前两节课学习过全称命题和存在命题。对给定的命题p，如何得到命题p的否定（或非p），它们的真假性之间有何联系？
二、思考、分析。
判断下列命题是全称命题还是特称命题，你能写出下列命题的否定吗？
（1）所有的矩形都是平行四边形；
（2）每一个素数都是奇数；
（3）(x∈R，x2－2x＋1≥0。
（4）有些实数的绝对值是正数；
（5）某些平行四边形是菱形；
（6）(x∈R，x2＋1＜0。
三、推理、判断。
你能发现这些命题和它们的否定在形式上有什么变化？
（让学生自己表述）
前三个命题都是全称命题，即具有形式“”。
其中命题（1）的否定是“并非所有的矩形都是平行四边形”，也就是说，存在一个矩形不都是平行四边形；
命题（2）的否定是“并非每一个素数都是奇数”，也就是说，存在一个素数不是奇数；
命题（3）的否定是“并非(x∈R，x2－2x＋1≥0”，也就是说，(x∈R，x2－2x＋1＜0；后三个命题都是特称命题，即具有形式“”。
其中命题（4）的否定是“不存在一个实数，它的绝对值是正数”，也就是说，所有实数的绝对值都不是正数；
命题（5）的否定是“没有一个平行四边形是菱形”，也就是说，每一个平行四边形都不是菱形；
命题（6）的否定是“不存在x∈R，x2＋1＜0”，也就是说，(x∈R，x2＋1≥0；
四、发现、归纳。
从命题的形式上看，前三个全称命题的否定都变成了特称命题。后三个特称命题的否定都变成了全称命题。
一般地，对于含有一个量词的全称命题的否定，有下面的结论：
全称命题P：
它的否定￢P
￢P（x）
特称命题P：
它的否定￢P：
(x∈M，￢P（x）
全称命题和否定是特称命题。特称命题的否定是全称命题。
五、练习、感悟。
判断下列命题是全称命题还是特称命题，并写出它们的否定：
（1）p：所有能被3整除的整数都是奇数；
（2）p：每一个四边形的四个顶点共圆；
（3）p：对(x∈Z，x2个位数字不等于3；
（4）p：(x∈R，x2＋2x＋2≤0；
（5）p：有的三角形是等边三角形；
（6）p：有一个素数含三个正因数。
六、小结。
小结：如何写出含有一个量词的命题的否定，原先的命题与它的否定在形式上有什么变化？
