集合的概念
【学习目标】
1．掌握集合的表示方法，能在具体问题中选择适当的方法表示集合。
2．通过实例和阅读自学体会用列举法和描述法表示集合的方法和特点，培养自主探究意识和自学能力。
【学习重点】
集合的含义与表示方法，用集合语言表达数学对象或数学内容。
【学习难点】
区别元素与集合等概念及其符号表示。
【自学导引】
1．把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来表示集合的方法叫做列举法。
2．用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法。
3．写出不等式的解集：。
4．所有偶数的集合可表示为：。
5．方程的所有实数根组成的集合为：。
【学习过程】
一、用列举法表示集合
例1 用列举法表示下列集合：
（1）15的正约数组成的集合；
（2）平方后仍为原数的数组成的集合。
解：（1），故集合为。
（2）平方后仍为原数的数构成的集合是。
点评 用列举法表示集合时，里面元素与顺序无关，该法表示集合直观明了。
变式迁移1用列举法表示下列集合：
（1）不大于10的非负偶数集；
（2）由所确定的实数集合。
解：（1）
（2）
二、用描述法表示集合
例2 用描述法表示下列集合：
（1）正偶数集；（2）被3除余2的正整数集；
（3）不等式2x＋5<3的解集；（4）第一、三象限点的集合。
分析：（1）中的正偶数都能被2整除，所以正偶数可以表示为的形式；
（2）中被3除余2的正整数满足，则；
（4）中的点满足.
解：（1）。
（2）。
（3）或。
（4）。
点评：用描述法表示集合，一要看集合的代表元素是什么，是点集还是数集；二是看元素满足什么条件，一般情况下，用符号语言表示元素满足的条件。
变式迁移2 用适当方法表示下列集合：
（1）函数的图象上所有点的集合；
（2）一次函数与的图象的交点组成的集合；
（3）不等式的解集；
（4）自然数中不大于10的质数集。
解：
（1）。
（2）。
用列举法表示为：。
（3）
（4）。
三、集合语言与数学语言的转换
例3 已知集合，若A中的元素至多只有一个，求a的取值范围。
分析：讨论关于x的方程实数根的情况，从中确定a的取值范围，依题意方程有一个实数根或两个相等的实数根或无实数根。
解：（1）时，原方程为，，符合题意。
（2）时，方程为一元二次方程。由，得。
∴当时，方程无实数根或有两个相等的实数根。
综合（1）（2），知或。
点评：“”这种情况最容易被忽视，只有在“”的条件下，方程是一元二次方程，才能用判别式Δ解决问题。
变式迁移3 设集合，求实数m、n的值。
解：∵，
∴方程有两等根，
由根与系数的关系得，．
1．在用列举法表示集合时应注意以下四点：
（1）元素间用“，”分隔；
（2）元素不重复；
（3）不考虑元素顺序；
（4）对于含有较多元素的集合，如果构成该集合的元素有明显规律，可用列举法，但是必须把元素间的规律显示清楚后方能用省略号。
2．使用描述法时应注意以下四点：
（1）写清楚该集合中元素的代号（字母或用字母表示的元素符号）；
（2）说明该集合中元素的特征；
（3）不能出现未被说明的字母；
（4）用于描述的语句力求简明、确切。
【达标检测】
一、选择题
1．集合用描述法表示应是（ ）
A．{是不大于9的非负奇数}
B．
C．
D．
答案：A
2．在直角坐标系内，坐标轴上的点的集合可表示为（ ）
A．
B．
C．
D．
答案：C
3．下列语句：
①0与{0}表示同一个集合；
②由1，2，3组成的集合可表示为或；
③方程的所有解的集合可表示为；
④集合可以用列举法表示。
正确的是（ ）
A．只有①和④
B．只有②和③
C．只有②
D．以上语句都不对
答案：C
4．由大于－3且小于11的偶数组成的集合是（ ）
A．{x|－3B．{x|－3C．{x|－3D．{x|－3答案：D
5．下列集合中表示同一集合的是（ ）
A．M={（3，2）}，N={（2，3）}
B．M={3，2}，N={2，3}
C．M={（x，y）|x＋y=1}，N={y|x＋y=1}
D．M={1，2}，N={（1，2）}
答案：B
二、填空题
6．下列可以作为方程组的解集的是__________（填序号）。
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）。
答案：（3）（5）（6）
7．已知，且，，则满足条件的a的值为________。
答案：0，1，2
解析：∵且
∴且
∴又
∴A的取值为0，1，2．
8．已知集合，则M中的元素最多有________个。
答案：9
三、解答题
9．用另一种方法表示下列集合。
（1）{绝对值不大于2的整数}；
（2）{能被3整除，且小于10的正数}；
（3）；
（4）；
（5）。
解:（1）。
（2）。
（3）∵，∴，又∵且，
∴或1或2或3或4．
∴集合可以表示为{0，1，2，3，4}。
（4）。
（5）。
10．已知数集M满足条件：若，则∈M（，），已知，试把由此确定的M的其他元素全部求出来。
解：∵，则。
∴
，，
则集合M的其他元素为，，。
即。
7 / 7
集合间的基本关系
【学习目标】
了解子集、真子集、空集的概念，掌握用Venn图表示集合的方法，通过子集理解两集合相等的意义。
1．一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作(或)，读作“A含于B”(或“B包含A”)。
2．如果集合A是集合B的子集()，且集合B是集合A的子集()，此时，集合A与集合B中的元素是一样的，因此集合A与集合B相等，记作．
3．如果集合，但存在元素，且，我们称集合A是集合B的真子集，记作 (或)。
4．不含任何元素的集合叫做空集，记作。
5．空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。
【学习过程】
写出给定集合的子集
【例1】（1）写出集合的所有子集，并指出其中哪些是它的真子集；
（2）填写下表，并回答问题。
原集合 子集 子集的个数
由此猜想：含n个元素的集合的所有子集的个数是多少？真子集的个数及非空真子集的个数呢？
解 （1）不含任何元素的集合：；
含有一个元素的集合：{0}，{1}，{2}；
含有两个元素的集合：{0，1}，{0，2}，{1，2}；
含有三个元素的集合：{0，1，2}。
故集合{0，1，2}的所有子集为，{0}，{1}，{2}，{0，1}，{0，2}，{1，2}，{0，1，2}。
其中除去集合{0，1，2}，剩下的都是{0，1，2}的真子集。
（2）
原集合 子集 子集的个数
? ? 1
{a} ?，{a} 2
{a，b} ?，{a}，{b}，{a，b} 4
{a，b，c} ?，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c} 8
这样，含n个元素的集合{a1，a2，…，an}的所有子集的个数是2n，真子集的个数是2n－1，非空真子集的个数是2n－2
规律方法 （1）分类讨论是写出所有子集的有效方法，一般按集合中元素个数的多少来划分，遵循由少到多的原则，做到不重不漏。
（2）集合A中有n个元素，则集合A有个子集，有个真子集，个非空子集，个非空真子集。
变式迁移1 已知集合满足，写出集合。
解 由已知条件知所求为：{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}，{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}，{1，2，3，4，5}。
集合基本关系的应用
【例2】（1）已知集合，，且．求实数的取值范围；（2）本例（1）中，若将“”改为“”，其他条件不变，则实数的取值范围是什么？
解 （1）∵，
①当时，，解得．
②当时，有，
解得，
综上得．
（2）显然，又，∴，
如图所示，
∴，解得。
规律方法 （1）分析集合关系时，首先要分析、简化每个集合。
（2）此类问题通常借助数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值，做到准确无误，一般含“=”用实心点表示，不含“=”用空心点表示。
（3）此类问题还应注意“空集”这一“陷阱”，尤其是集合中含有字母参数时，初学者会想当然认为非空集合而丢解，因此分类讨论思想是必须的。
变式迁移2 已知，，若，求实数所构成的集合。
解 由得或．
∴
由知或或
若，则；
若，则；
若，则。
∴。
集合相等关系的应用
【例3】已知集合，且，求x，y的值。
解 方法一 ∵，
∴集合A与集合B中的元素相同，
∴或，
解得x，y的值为或或
验证得，当，时，
A={2，0，0}这与集合元素的互异性相矛盾，舍去。
∴x，y的取值为或
规律方法 集合相等则元素相同，但要注意集合中元素的互异性，防止错解。
变式迁移3 含有三个实数的集合可表示为，也可表示为，求a，b．
解 由集合相等得：，易知，
∴，即，∴且，∴．
综上所述：，.
【课堂小结】
1．元素、集合间的关系用符号“∈”或“”表示，集合、集合间的关系用“?”、“=”等表示。
2．在特定的情况下集合也可以作为元素，如集合，则此时，而不能是．
3．解集合关系的问题时还需注意以下几个方面：
（1）判断两个集合间的关系：①先用列举法表示两个集合再判断；②分类讨论。
（2）解数集问题学会运用数轴表示集合。
（3）集合与集合间的关系可用Venn图直观表示。
【课时作业】
一、选择题
1．下列命题
①空集没有子集；②任何集合至少有两个子集；③空集是任何集合的真子集；④若时，则。其中正确的个数是( )
A．0
B．1
C．2
D．3
答案 B
解析 仅④是正确的。
2．已知集合，，则能使成立的实数的取值范围是( )
A．
B．
C．
D．
答案 B
解析 ∵，∴
∴．
3．设，，则A与B的关系是( )
A．
B．
C．
D．
答案 D
解析 ∵B的子集为{1}，{2}，{1，2}，，
∴，
∴．
4．若集合，集合，则A与B的关系是( )
A．
B．AB
C．
D．
答案 A
5．在以下六个写法中：①；②；③；④；⑤；⑥，其中错误写法的个数是( )
A．3个
B．4个
C．5个
D．6个
答案 B
二、填空题
6．满足的集合A的个数是________。
答案 7
解析 本题即求集合的非空子集个数，共个。
7．设，若，则的值为________。
答案 或0
8．若，则的所有取值组成的集合为________________。
答案：
三、解答题
9．设集合，，且，求实数A、B的值。
解：∵且，∴．
若，则，这与元素互异性矛盾，∴．
若，则或(舍)。
∴，∴，即.
若，则，得，即 (舍去)。
故，即为所求。
5 / 7
集合的基本运算
【学习目标】
1．理解并集、交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集。
2．体验通过实例的分析和阅读来自学探究集合间的关系与运算的过程，培养学生的自学阅读能力和自主探究能力。
3．能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用。
【学习重难点】
1．学习重点：并集、交集、补集的含义，利用维恩图与数轴进行交并补的运算。
2．学习难点：弄清并集、交集、补集的概念，符号之间的区别与联系。
【学习过程】
1．一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与集合B的并集，记作（读作“A并B”），即。
2．由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为集合A与B的交集，记作，读作A交B，即。
3． _____A_____， _____A_____，__________，．
4．若，则_____A_____，_____B_____。
5．，，，．
一、求两个集合的交集与并集
例1 求下列两个集合的并集和交集。
（1），；
（2）。
解：（1）如图所示，，
。
（2）结合数轴（如图所示）得：
。
点评:求两个集合的交集依据它们的定义，借用Venn图或结合数轴分析两个集合的元素的分布情况，有利于准确写出交集。
变式迁移1
（1）设集合等于（ ）
A．
B．
C．
D．
（2）若将（1）中A改为，求．
（1）答案 A
解析 画出数轴，故。
（2）解 如图所示，
当时，；
当时，；
当时。
二、已知集合的交集、并集求参数问题
例2：已知集合，若，求的值。
分析:由题目可获取以下主要信息：①集合A、B中均含有参数；②且．解答此题可由条件知，从而有或，解得后再进行检验。
解：∵，
∴，∴或，∴或．
当时，。
此时。故舍去。
当时，，不符合要求，舍去。
经检验可知符合题意。
点评：处理与集合元素有关问题时，最后结果要检验，一方面看是否符合题意，一方面看是否符合集合元素的三大特征。
变式迁移2：本例中，若将条件“”变为“”。则的值又是什么？
解 ∵且，∴，
∴或∴或．
而当时，，故舍去。
∴或．
三、并集、交集性质的综合应用
例3 设。
（1）若，求的值；
（2）若，求的值。
解：
化简集合A，得。
（1）由于，则有可知集合B或为空集，或只含有根0或．
①若，由，得．
②若，代入，
得，即或，
当时，，符合题意；
当时，，也符合题意。
③若，代入，
得，即或，
当时，②中已讨论，符合题意；
当时，，不合题意。
综合①②③得或．
（2）因为，所以，又，
而B至少只有两个根，且根据一元二次方程根的特点，
因此应有．由（1）知，．
点评：明确和的含义，根据问题的需要，将和转化为等价的关系式和是解决本题的关键。另外在时易忽视时的情况。
变式迁移3：已知集合，若，求实数的取值范围。
解 ∵，∴，
∴，∴．
【达标检测】
一、
1．的定义中“或”的意义与通常所说的“非此即彼”有原则的区别，它们是“相容”的。求A∪B时，相同的元素在集合中只出现一次。
2．，，这两个性质非常重要，另外，在解决有条件的集合问题时，不要忽视的情况
二、选择题
1．设集合，，则等于（ ）
A．
B．
C．
D．
答案 A
2．下列四个推理：①；②；③；④其中正确的个数是（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
答案 C
解析 ②③④正确。
3．设，，则等于（ ）
A．
B．
C．
D．
答案 A
解析 结合数轴知。
4．已知，，若，则实数的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
答案 C
解析 结合数轴知答案C正确。
5．满足条件的集合的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
答案 B
解析:由已知得或，共2个。
三、填空题
6．设集合，集合，则_________________________，A∩B=_________________________。
答案
7．设集合，，若，则实数的取值范围为____________________。
答案
解析 由，借助于数轴知．
8．已知集合，且，则____________________。
答案
解析 如图所示，
可知，，．
四、解答题
9．已知集合，，若，求及．
解： ∵，∴．
∴或．解得或。
若，则。
若，则。
10.设集合，，若，求实数的取值范围。
解 ，∵，
∴，集合B有两种情况，或。
（1）时，方程无实数根，
∴，∴．
（2）时，当时，，满足条件；
当时，若1，2是方程的根，
由根与系数的关系知矛盾，无解，∴．
综上，的取值范围是．
7 / 7
充分条件和必要条件
【课时安排】
2课时
【第一课时】
【学习目标】
针对具体命题，能说出命题的充分条件、必要条件。
【学习重难点】
对命题条件的充分性、必要性的判断。
【学习过程】
一、新旧知识连接：
请判断下列命题的真假：
（1）若，则；
（2）若，则；
（3）若，则；
（4）若，则。
二、我能自学：
1．把下列命题改写成“”或“”的形式：
（1）若，则；（2）若，则；
说出下列命题中是的什么条件：
（1）：若，：则；（2）：若，：则
（学生自练个别回答教师点评）
2．说出下列各题中是的什么条件：
（1）命题，命题
（2）命题，命题
（师生共析学生说出答案教师点评）
总结：从集合角度去理解命题：小充分大必要
【第二课时】
【学习目标】
能写出简单命题条件的证明。
【学习重难点】
掌握命题条件的充要性判断。
【学习过程】
一、新旧知识连接：
（1）“”是“”的 条件。反过来“”是“”的 条件。
（2）若、都是实数，从①；②；③；④；⑤；⑥中选出使、都不为0的充分条件是 。
二、例题赏析
1．要注意转换命题判定，培养思维的灵活性
例1：已知；q：x、y不都是，p是q的什么条件？
（教师引导学生书写教师点评）
分析：要考虑p是q的什么条件，就是判断“若p则q”及“若q则p”的真假性。
从正面很难判断是，我们从它们的逆否命题来判断其真假性，“若p则q”的逆否命题是“若x、y不都是，则”真的，“若q则p”的逆否命题是“若，则x、y都是”假的，故p是q的充分不必要条件。
注：当一个命题很难判断其真假性时，我们可以从其逆否命题来着手。
练习：已知或；q：或，则是的什么条件？
2．要注意充要条件的传递性，培养思维的敏捷性
例2：若M是N的充分不必要条件，N是P的充要条件，Q是P的必要不充分条件，则M是Q的什么条件？（师生共同分析）
分析：命题的充分必要性具有传递性，显然M是Q的充分不必要条件。
3．充要性的求解是一种等价的转化
例3：求关于x的一元二次不等式于一切实数x都成立的充要条件。
分析：求一个问题的充要条件，就是把这个问题进行等价转化。
由题可知等价于或或.
4．充要性的证明，关键是理清题意，特别要认清条件与结论分别是什么
例4：证明：对于，是的必要不充分条件。
分析：要证明必要不充分条件，就是要证明两个，一个是必要条件，另一个是不充分条件
必要性：对于，如果
则，即
故是的必要条件
不充分性：对于，如果，如，，此时
故是的不充分条件
综上所述：对于，是的必要不充分条件
【达标检测】
1．若命题甲是命题乙的充分不必要条件，命题丙是命题乙的必要非充分条件，命题丁是命题丙的充要条件，那么：命题丁是命题甲的什么条件。（类比例2）
2．对于实数x、y，判断“”是“或”的什么条件。（类比例1）
3．已知，求证：的充要条件是：。（类比例4）
（学生自练个别回答教师点评）
3 / 3
全称量词与存在量词
——全称量词、存在量词
【学习目标】
1．掌握全称量词与存在量词的意义；
2．掌握含有量词的命题：全称命题和特称命题真假的判断。
【学习过程】
一、课前准备
复习1：写出下列命题的否定，并判断他们的真假：
（1）是有理数；
（2）5不是15的约数
（3）
（4）空集是任何集合的真子集
复习2：判断下列命题的真假，并说明理由：
（1），这里：是无理数，：是实数；
（2），这里：是无理数，：是实数；
（3），这里：，：；
（4），这里：，：。
二、新课导学
※ 学习探究
问题：
1．下列语句是命题吗？（1）与（3），（2）与（4）之间有什么关系？
（1）；
（2）是整数；
（3）对所有的；
（4）对任意一个，是整数。
2．下列语句是命题吗？（1）与（3），（2）与（4）之间有什么关系？
（1）；
（2）能被2和3整除；
（3）存在一个，使；
（4）至少有一个，能被2和3整除。
新知：
1．短语“ ”“ ”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“ ”表示，含有 的命题，叫做全称命题。其基本形式为：，读作：
2．短语“ ”“ ”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“ ”表示，含有 的命题，叫做特称称命题。
其基本形式，读作：
试试：判断下列命题是不是全称命题或者存在命题，如果是，用量词符号表示出来。
（1）中国所有的江河都流入大海；
（2）0不能作为除数；
（3）任何一个实数除以1，仍等于这个实数；
（4）每一个非零向量都有方向。
反思：注意哪些词是量词是解决本题的关键，还应注意全称命题和存在命题的结构形式。
※ 典型例题
例1判断下列全称命题的真假：
（1）所有的素数都是奇数；
（2）；
（3）对每一个无理数，也是无理数。
小结：要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合中每一个元素验证成立；但要判定全称命题是假命题，却只要能举出集合中的一个，使得不成立即可。
例2判断下列特称命题的真假：
（1）有一个实数，使；
（2）存在两个相交平面垂直于同一条直线；
（3）有些整数只有两个正因数。
变式：判断下列命题的真假：
（1）；（2）。
小结：要判定特称命题“” 是真命题只要在集合中找一个元素，使成立即可；如果集合中，使成立的元素不存在，那么这个特称命题是假命题。
※ 动手试试
练1．判断下列全称命题的真假：
（1）每个指数函数都是单调函数；
（2）任何实数都有算术平方根；
（3）是无理数}，是无理数。
练2．判定下列特称命题的真假：
（1）；
（2）至少有一个整数，它既不是合数，也不是素数；
（3）是无理数}，是无理数。
【学习小结】
这节课你学到了一些什么？你想进一步探究的问题是什么？
【学习拓展】
数理逻辑又称符号逻辑，是用数学的方法研究推理过程的一门学问。德国启蒙思想家 莱布尼茨（1646—1716）是数理逻辑的创始人。
【学习评价】
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）。
A．很好
B．较好
C．一般
D．较差
【达标检测】
1．下列命题为特称命题的是（ ）。
A．二次函数的图像关于轴对称
B．正四棱柱都是平行六面体
C．不相交的两条直线都是平行线
D．存在实数大于等于3
2．下列特称命题中真命题的个数是（ ）。
（1）；（2）至少有一个整数它既不是合数也不是素数；（3）是无理数}，是无理数。
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
3．下列命题中假命题的个数（ ）。
（1）；
（2）；
（3）能被2和3整除；
（4）
A．0个
B．1个
C．2个
D．4个
4．下列命题中
（1）有的质数是偶数；（2）与同一个平面所成的角相等的两条直线平行；（3）有的三角形三个内角成等差数列；（4）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线，其中全称命题是 ，特称命题是 。
5．用符号“”与“”表示下列含有量词的命题。
（1）实数的平方大于等于0：
（2）存在一对实数使成立：
6．判断下列全称命题的真假：
（1）末位是0的整数可以被子5整除；
（2）负数的平方是正数；
（3）有些三角形不是等腰三角形；
（4）有的菱形是正方形。
6/ 6
全称量词与存在量词
——全称量词命题和存在量词命题的否定
【学习目标】
能够根据含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律，正确地对含有一个量词的命题进行否定。
【自主学习】
含有一个量词的命题的否定
（1）全称命题：，，它的否定非： ，全称命题的否定是 命题。
（2）特称命题：，，它的否定非： ，特称命题的否定是 命题。
【自主检测】
判断下列命题是全称命题还是特称命题，并对其否定：
（1）所有的矩形都是平行四边形；
（2）每一个素数都是奇数；
（3），；
（4）有些实数的绝对值是正数；
（5）某些平行四边 形是菱形；
，.
【典型例题】
例1.写出下列全称命题的否定
（1）：所有能被3整除的整数都是奇数；
（2）：每一个四边形的四个顶点共圆；
（3）：对任意，的个位数不是奇数。
例2.写出下列特称命题的否定
：存在一个实数，；
：有的三角形是等边三角形；
：有一个素数含有三个因数。
例3.写出下列命题的否定，并判断它们的真假
（1）：存在一个实数，；
（2）：任意两个等边三角形都是相似的。
【课堂检测】
1．写出下列命题的否定，并判断其真假。
（1）任何一个素数是奇数。
（2）所有的矩形都是平行四边形。
（3），，方程都有惟一解。
（4）某些平行四边形是菱形；
（5），；
※2．函数对一切实数，均有成立，且.
（1）求的值；
（2）当在上恒成立时，求的取值范围。
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