等式性质与不等式性质
【教材分析】
本节内容是《普通高中课程标准实验教科书》（人民教育出版社A版教材）高中数学必修一第二章第一节的内容，主要讲解不等关系及不等式的性质及其运用；
现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，数学中，我们用不等式来表示不等关系。不等式的性质是解决不等式问题的基本依据，凡是不等式的变形、运算都要严格按照不等式的性质进行。因此，不等式的性质是学习本章后续内容的重要保障；
本节通过类比等式的性质，猜想并证明不等式的性质，并用不等式的性质证明简单的不等式，是体会化归与转化，类比等数学思想，和培养学生数学运算能力，逻辑推理能力的良好素材。
在高中数学中，不等式的地位不仅特殊，而且重要，它与高中数学几乎所有章节都有联系，尤其与函数、方程等联系紧密，因此，不等式才成为高考中经久不衰的热点、重点，有时也是难点。
【教学目标】
课程目标 学科素养
A．通过具体情景，让学生感受在现实世界和日常生活中存在的不等关系，理解和掌握列不等式的步骤； B．能灵活用作差法比较两个数与式的大小，提高数学运算能力； C．培养学生观察、类比、辨析、运用的 综合思维能力，体会化归与转化、类比等数学思想，提高学生数学运算和逻辑 推理能力； 1．数学抽象：在实际问题中发现不等关系，并表示出不等关系； 2．逻辑推理：作差法的原理； 3．数学运算：用作差法比较大小； 4．直观想象：在几何图形中发现不等式； 5．数学建模：能够在实际问题中构建不等关系，解决问题；
【教学重难点】
1．将不等关系用不等式表示出来，用作差法比较两个式子大小；
2．在实际情景中建立不等式（组），准确用作差法比较大小；
【教学准备】
多媒体
【教学过程】
第一课时 教学设计
情景引入，温故知新 （一）情境导学 1．购买火车票有一项规定：随同成人旅行，身高超过1.1 m（含1.1 m）而不超过1.5 m的儿童，享受半价客票、加快票和空调票（简称儿童票），超1.5 m时应买全价票。每一成人旅客可免费携带一名身高不足1.1米的儿童，超过一名时，超过的人数应买儿童票。从数学的角度，应如何理解和表示“不超过”“超过”呢？ 2．展示新闻报道：明天白天广州的最低温度为18℃，白天最高温度为30℃。 师：明天白天广州的温度t℃满足怎样的不等关系？ 生：t大于或等于18小于或等于30 老师引出课题板书：不等关系与不等式 师：常见的不等号有？ 生：大于（>），小于（<），大于或等于（），小于或等于（），不等于（）。 老师总结板书：不等式的定义：用不等号（<，>，≥，≤，≠）表示不等关系的式子叫做不等式。 1．师：你能用数学表达式表示情景中的不等关系吗？ 2．师：两个指示标志分别表示什么意思？ 生：速度大于或等于80，高度小于或等于4．5 3．师：在这两则报道中，同学们都准确的描述出蕴含的不等关系。 师：你能举出生活中含有不等关系的例子吗？ 生： 师：不等关系用什么表示？ 生：不等式 （二）探索新知 探究一 用不等式表示不等关系 例1．某钢铁厂要把长度为4 000 mm的钢管截成500 mm和600 mm两种，按照生产的要求，600 mm钢管的数量不能超过500 mm钢管的3倍。试写出满足上述所有不等关系的不等式。 教师引导学生共同：[分析]应先设出相应变量，找出其中的不等关系，即①两种钢管的总长度不能超过4 000 mm；②截得600 mm钢管的数量不能超过500 mm钢管数量的3倍；③两种钢管的数量都不能为负。于是可列不等式组表示上述不等关系。 [解析]设截得500 mm的钢管x根，截得600 mm的钢管y根，依题意，可得不等式组：，即。 归纳总结；用不等式（组）表示实际问题中不等关系的步骤： ①审题。通读题目，分清楚已知量和待求量，设出待求量。找出体现不等关系的关键词：“至少”“至多”“不少于”“不多于”“超过”“不超过”等。②列不等式组：分析题意，找出已知量和待求量之间的约束条件，将各约束条件用不等式表示。 跟踪训练：1．某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本。根据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2 000本，若把提价后杂志的定价设为x元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元？ 2．某工厂在招标会上，购得甲材料x t，乙材料y t，若维持工厂正常生产，甲、乙两种材料总量至少需要120 t，则x、y应满足的不等关系是（ ） A．x＋y>120 B．x＋y<120 C．x＋y≥120 D．x＋y≤120 [解析] 提价后杂志的定价为x元，则销售的总收入为（8－×0.2）x万元，那么不等关系“销售的收入不低于20万元”用不等式可以表示为： （8－×0.2）x≥20. [解析]由题意可得x＋y≥120，故选C． 探究二 比较数或式子的大小 我们学习了关于实数大小比较的一个基本事实： （1）数轴上的任意两点中，右边点对应的实数比左边点对应的实数______。 根据这个公理，我们可用什么方法来比较实数的大小？ 步骤是什么？第一步，第二步，第三步，第四步 学生回答： ；；。 生：作差比较法 生：作差，变形，判号，定论。 指出：作差比较法是证明不等式的重要方法，它将比较实数的大小转化为判断差的符号 例2．已知x＜y＜0，比较（x2＋y2）（x－y）与（x2－y2）（x＋y）的大小。 [解析]∵x＜y＜0，xy＞0，x－y＜0，∴（x2＋y2）（x－y）－（x2－y2）（x＋y）＝－2xy（x－y）＞0，∴（x2＋y2）（x－y）＞（x2－y2）（x＋y）。 师生共同归纳总结：比较两个实数（或代数式）大小的步骤 （1）作差：对要比较大小的两个数（或式子）作差； （2）变形：对差进行变形（因式分解、通分、配方等）； （3）判断差的符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号； （4）作出结论。这种比较大小的方法通常称为作差比较法。其思维过程：作差→变形→判断符号→结论，其中变形是判断符号的前提。 跟踪训练1．设M＝x2，N＝－x－1，则M与N的大小关系是（ ） A．M>N B．M＝N C．M
0，∴M>N，故选A． 2．比较x2＋y2＋1与2（x＋y－1）的大小； 3．设a∈R且a≠0，比较a与的大小。 [解析]2．x2＋y2＋1－2（x＋y－1）＝x2－2x＋1＋y2－2y＋2＝（x－1）2＋（y－1）2＋1＞0，∴x2＋y2＋1＞2（x＋y－1）。 3．由a－＝ 当a＝±1时，a＝； 当－1＜a＜0或a＞1时，a＞；当a＜－1或0＜a＜1时，a＜。 通过生活中熟悉的情景，引导学生发现不等关系，并学会运用不等式（组）表示不等关系；培养学生数学建模的核心素养； 由典型问题的分析解决，体会建立不等式（组）的一般方法和难点所在；培养和提升学生运用数学眼光分析表达问题的能力，发展数学抽象和数学建模的核心素养 用数学语言表示不等关系。 通过练习巩固分析表达不等关系，教会学生解决和研究问题，提升数学抽象能力。 复习作差比较法，代数式大小的方法，理解作差法的原理，通过练习达到灵活运用； 通过练习巩固作差法，发展学生数学运算素养，提供运算的准确性、灵活性和速度。
三、达标检测 1．完成一项装修工程，请木工需付工资每人500元，请瓦工需付工资每人400元，现有工人工资预算20 000元，设木工x（x≥0）人，瓦工y（y≥0）人，则关于工资x，y满足的不等关系是（ ） A．5x+4y<200 B．5x+4y≥200 C．5x+4y=200 D．5x+4y≤200 【答案】 D 2．若A= +3与B= +2，则A与B的大小关系是（ ） A．A>B B．A0，所以A>B，故选A． 【答案】A 3．已知甲、乙两种食物的维生素A，B含量如下表： 设用x kg的甲种食物与y kg的乙种食物配成混合食物，并使混合食物内至少含有56 000单位的维生素A和63 000 单位的维生素B．试用不等式组表示x，y所满足的不等关系。 【解析】由题意知x kg的甲种食物中含有维生素A 600x单位，含有维生素B 800x单位，y kg的乙种食物中含有维生素A 700y单位，含有维生素B 400y单位，则x kg的甲种食物与y kg的乙种食物配成的混合食物总共含有维生素A（600x+700y）单位，含有维生素B（800x+400y）单位，则有 4．将一个三边长度分别为5，12，13的三角形的各边都缩短x，构成一个钝角三角形，试用不等式（组）表示x应满足的不等关系。 【解析】各边都缩短x后，长度仍然为正数，只要最短边大于零即可，因此5-x>0.而要构成三角形，还要满足（5-x）+（12-x）>13-x。当三角形是钝角三角形时，应使最大角是钝角，此时只需最长边所对的角是钝角即可，因此（5-x）2+（12-x）2<（13-x）2，故x应满足的不等关系为
5．比较下列各组中的两个实数或代数式的大小： （1）2x2+3与x+2，x∈R； （2）a+2与，a∈R，且a≠1． 【解析】 （1）因为（2x2+3）-（x+2）=2x2-x+1=2 >0，所以2x2+3>x+2． （2）（a+2）- 。 由于a2+a+1= >0，所以当a>1时， >0，即a+2> ； 当a<1时， <0，即a+2< 。 故当a>1时，a+2> ； 当a<1时，a+2< 。 通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。
四、小结 1．不等式与不等关系 （1）不等式的定义所含的两个要点。 ①不等符号>，<，≥，≤或≠。 ②所表示的关系是不等关系。 （2）不等式中的文字语言与符号语言之间的转换。 2．比较两个实数A、B大小的依据 文字语言符号表示如果a>b，那么a－b是 ； 如果ab?________ a五、作业 1．习题2.1 2．预习下节课内容 生学生根据课堂学习，自主总结知识要点，及运用的思想方法。注意总结自己在学习中的易错点； 巩固今天所学内容题培养学生的自学能力，也为下一节学习不等式性质做准备
第二课时 教学设计
（一）温故知新 你能回忆起等式的基本性质吗？ 性质1 若a=b ，则b=a； 性质2 若a=b，b=c，则a=c； 性质3 若a=b， 则a±c=b±c； 性质4 若a=b， 则ac=bc； 性质5 若a=b， ，则； 类比等式的性质，你能猜想出不等式的性质，并加以证明吗？ （二）探索新知 不等式的性质 （1）对称性 文字语言不等式两边互换后，再将不等号改变方向，所得不等式与原不等式等价符号语言a>b?b证明：∵a>b，∴a-b>0. 由正数的相反数是负数，得-（a-b）<0. 即b-a<0，∴bb． 跟踪训练。1．与m≥（n-2）2等价的是（ ）。 A．m<（n-2）2 B．（n-2）2≥m C．（n-2）2≤m D．（n-2）2b，b>c?a>c变形a≥b，b≥c?a≥c； a你能证明吗？ （3）加法法则 文字语言不等式的两边都加上同一个实数，所得的不等式与原不等式同向。符号语言a>b?a+c>b+c变形a证明：∵（a+c）-（b+c）=a-b>0，∴a+c>b+c． （4）乘法法则 文字语言不等式的两边都乘同一个正数时，不等号的方向不变；都乘同一个负数时，不等号的方向一定要改变。符号语言a>b，c>0?ac>bc a>b，c<0?ac0?ac≥bc；a≥b，c<0?ac≤bc a0?acbc a≤b，c>0?ac≤bc；a≤b，c<0?ac≥bc作用不等式的同解变形
证明：ac-bc=（a-b）c．∵a>b，∴a-b>0.根据同号相乘得正，异号相乘得负，得当c>0时，（a-b）c>0，即ac>bc； 当c<0时，（a-b）c<0，即acbc a>b． 2．ac>bc?a>b，c>0或ab，c>d?a+c>b+d变形a证 ?a+c>b+d． 归纳总结：1．此性质可以推广到任意有限个同向不等式的两边分别相加，即两个或两个以上的同向不等式两边分 别相加，所得不等式与原不等式同向。 2．两个同向不等式只能两边同时分别相加，而不能两 边同时分别相减。 3．该性质不能逆推，如a+c>b+da>b，c>d． （6）乘法单调性 文字语言两边都是正数的两个同向不等式相乘，所得的不等式与原不等式同向。符号语言a>b>0，c>d>0?ac>bd作用两个不等式相乘的变形
证明：∵a>b>0，c>0，∴ac>bc． ∵c>d>0，b>0，∴bc>bd．∴ac>bd． 归纳总结：1．这一性质可以推广到任意有限个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘，这就是说，两个或更多个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘，所得不等式与 原不等式同向。 2．a>b>0，cbd． 3．该性质不能逆推，如ac>bd a>b，c>d． （7）正值不等式可乘方 文字语言当不等式的两边都是正数时，不等式两边同时乘方所得的不等式与原不等式同向。符号语言a>b>0?an>bn（n∈N，且n≥1）作用不等式两边的乘方变形
性质（7）可看作性质（6）的推广： 当n是正奇数时，由a>b可得an>bn。 跟踪训练：1．给出下列结论： ①若ac>bc，则a>b；②若ab；④若a>b，c>d，则a－c>b－d； ⑤若a>b，c>d，则ac>bd． 其中正确结论的序号是___③_。 解析 ①当c>0时，由ac>bc?a>b，当c<0时，由ac>bc?a0，∴·ab<·ab，即bb，故③正确。 ④∵c>d，∴－c<－d，又a>b，两不等式不等号的方向 不同，不能相加，∴a－c>b－d错误。 ⑤?ac>bd，?acbd，ac>bd． 反思利用不等式性质判断不等式是否成立的方法： （1）运用不等式的性质判断。要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不能凭想象捏造性质。 （2）特殊值法。取特殊值时，要遵循如下原则：一是满足题设条件； 二是取值要简单，便于验证计算。 典例解析：用不等式的性质证明不等式 例1 已知a>b>0，c。 解析 ∵c－d>0，又∵a>b>0，∴a＋（－c）>b＋（－d）>0，即a－c>b－d>0，∴0<<，又∵e<0，∴>。 跟踪训练：1．若bc－ad≥0，bd>0，求证：≤。 解析：∵bc－ad≥0，∴ad≤bc，∴ad＋bd≤bc＋bd，∵bd>0，∴>0，∴≤，∴≤。 归纳总结：利用不等式的性质证明不等式注意事项 （1）利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式。解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用。 （2）应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则。 典例解析：利用不等式的性质求取值范围 例2 已知－≤α<β≤，求，的范围。 解析 ∵－≤α<β≤，∴－≤<，－<≤。两式相加，得－<<。∵－<≤，∴－≤－<，∴－≤<。 又∵α<β，∴<0.∴－≤<0. 规律总结：求取值范围的问题要注意解题方法是否符合不等式的性质，是否使范围扩大或缩小。 跟踪训练1．已知1三、达标检测 1．已知abd C．< D．ad>bc 解析：根据不等式的同向同正的可乘性知，B正确。 答案：B 2．若A、B、C∈R，且a>b，则下列不等式中一定成立的是（ ） A．a＋b≥b－c B．ac≥bc C．>0 D．（a－b）c2≥0 解析：∵a>b，∴a－b>0.选项A中，当c＝0时，（a＋b）－（b－c）＝a＋c，由于a∈R，则选项A不成立；选项B中，ac－bc＝c（a－b），由于c∈R，则选项B不成立；选项C中，由于c∈R，则c2≥0，∴≥0，则选项C不成立；选项D中，a－b>0，c2≥0，∴（a－b）c2≥0，则选项D成立。 答案：D 3．设2b>0，c－d>0.∴0<－<－。 又∵a>b>0，∴－>－>0. ∴>，即－>－。 两边同乘以－1，得<。 通过练习巩固本节所学知识，提高学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的逻辑推理和数学运算素养。
四、小结 不等式的性质 性质别名性质内容注意1对称性a>b?____?2传递性a>b，b>c?_____?3可加性a>b?a＋c b＋c可逆4可乘性?ac bcc的 符号?ac bc5同向 可加性?a＋c b＋d同向6同向同正 可乘性?ac bd同向 同正 7可乘方性a>b>0?an>bn （n∈N*，n≥2）8可开方性a>b>0?> （n∈N*，n≥2）
五、作业 1．预习下节课内容 学生根据课堂学习，自主总结知识要点，及运用的思想方法。注意总结自己在学习中的易错点；
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基本不等式
【课时安排】
3课时
【第一课时】
【教学目标】
1．知识与技能：学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；
2．过程与方法：通过实例探究抽象基本不等式；
3．情态与价值：通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣。
【教学重难点】
教学重点：应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索不等式的证明过程；
教学难点：基本不等式等号成立条件。
【教学过程】
一、课题导入。
基本不等式的几何背景：
如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？
教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系。
二、讲授新课。
1．探究图形中的不等关系。
将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD中右个全等的直角三角形。设直角三角形的两条直角边长为a，b那么正方形的边长为。这样，4个直角三角形的面积的和是2ab，正方形的面积为。由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式：。
当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b时，正方形EFGH缩为一个点，这时有。
2．得到结论：一般的，如果
3．思考证明：你能给出它的证明吗？
证明：因为
当
所以，，即
4．（1）从几何图形的面积关系认识基本不等式
特别的，如果a>0，b>0，我们用分别代替a．b，可得，
通常我们把上式写作：
（2）从不等式的性质推导基本不等式
用分析法证明：
要证（1）
只要证a+b_____（2）
要证（2），只要证a+b-_____0（3）
要证（3），只要证（_____-_____）（4）
显然，（4）是成立的。当且仅当a=b时，（4）中的等号成立。
（3）理解基本不等式的几何意义
在右图中，AB是圆的直径，点C是AB上的一点，AC=a，BC=b。过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD、BD。你能利用这个图形得出基本不等式的几何解释吗？
易证Ｒt△AＣD∽Ｒt△DＣB，那么ＣD2＝ＣA·ＣB
即ＣD＝.
这个圆的半径为，显然，它大于或等于CD，即，其中当且仅当点C与圆心重合，即a＝b时，等号成立.
因此：基本不等式几何意义是“半径不小于半弦”
评述：1．如果把看作是正数a．b的等差中项，看作是正数a．b的等比中项，那么该定理可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项。
2．在数学中，我们称为a．b的算术平均数，称为a．b的几何平均数.本节定理还可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。
[补充例题]
例1：已知x、y都是正数，求证：
（1）≥2；
（2）（x＋y）（x2＋y2）（x3＋y3）≥８x3y3．
分析：在运用定理：时，注意条件a．b均为正数，结合不等式的性质(把握好每条性质成立的条件)，进行变形.
解：∵x，y都是正数
∴＞0，＞0，x2＞0，y2＞0，x3＞0，y3＞0
（1）＝2即≥2．
（2）x＋y≥2＞0 ＋y2≥2＞0 3＋y3≥2＞0
∴（x＋y）（x2＋y2）（x3＋y3）≥2·2·2＝8x3y3
即（x＋y）（x2＋y2）（x3＋y3）≥8x3y3
3．随堂练习
（1）已知a．b．c都是正数，求证
（a＋b）（b＋c）（c＋a）≥8abc
分析：对于此类题目，选择定理：（a＞0，b＞0）灵活变形，可求得结果．
解：∵a，b，c都是正数
∴a＋b≥2＞0
b＋c≥2＞0
c＋a≥2＞0
∴（a＋b）（b＋c）（c＋a）≥2·2·2＝8abc
即（a＋b）（b＋c）（c＋a）≥8bc．
4．课时小结
本节课，我们学习了重要不等式a2＋b2≥2ab；两正数a．b的算术平均数（），几何平均数（）及它们的关系（≥）.它们成立的条件不同，前者只要求a．b都是实数，而后者要求a．b都是正数.它们既是不等式变形的基本工具，又是求函数最值的重要工具(下一节我们将学习它们的应用).我们还可以用它们下面的等价变形来解决问题：ab≤，ab≤（）2
【第二课时】
【教学目标】
1．知识与技能：进一步掌握基本不等式；会应用此不等式求某些函数的最值；能够解决一些简单的实际问题
2．过程与方法：通过两个例题的研究，进一步掌握基本不等式，并会用此定理求某些函数的最大、最小值。
3．情态与价值：引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德。
【教学重难点】
教学重点：基本不等式的应用。
教学难点：利用基本不等式求最大值、最小值。
【教学过程】
一、课题导入。
1．重要不等式：
如果
2．基本不等式：如果a，b是正数，那么
我们称的算术平均数，称的几何平均数?
成立的条件是不同的：前者只要求a，b都是实数，而后者要求a，b都是正数。
二、讲授新课。
例题（1）用篱笆围成一个面积为100m的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短。最短的篱笆是多少？
（2）段长为36 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？
解：（1）设矩形菜园的长为x m，宽为y m，则xy=100，篱笆的长为2（x+y） m。由，
可得，。等号当且仅当x=y时成立，此时x=y=10．
因此，这个矩形的长、宽都为10 m时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40m．
（2）解法一：设矩形菜园的宽为x m，则长为（36－2x）m，其中0＜x＜，其面积S＝x（36－2x）＝·2x（36－2x）≤
当且仅当2x＝36－2x，即x＝9时菜园面积最大，即菜园长9m，宽为9 m时菜园面积最大为81 m2
解法二：设矩形菜园的长为x m，宽为y m，则2(x+y)=36，x+y=18，矩形菜园的面积为xy m。由，可得
当且仅当x=y，即x=y=9时，等号成立。
因此，这个矩形的长、宽都为9m时，菜园的面积最大，最大面积是81m．
归纳：1．两个正数的和为定值时，它们的积有最大值，即若a，b∈R＋，且a＋b＝M，M为定值，则ab≤，等号当且仅当a＝b时成立．
2．两个正数的积为定值时，它们的和有最小值，即若a，b∈R＋，且ab＝P，P为定值，则a＋b≥2，等号当且仅当a＝b时成立．
例题：某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m3，深为3m，如果池底每1m2的造价为150元，池壁每1m2的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？
分析：此题首先需要由实际问题向数学问题转化，即建立函数关系式，然后求函数的最值，其中用到了均值不等式定理。
解：设水池底面一边的长度为xm，水池的总造价为l元，根据题意，得
当
因此，当水池的底面是边长为40m的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是297600元．
评述：此题既是不等式性质在实际中的应用，应注意数学语言的应用即函数解析式的建立，又是不等式性质在求最值中的应用，应注意不等式性质的适用条件。
归纳：用均值不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：
（1）先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；
（2）建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；
（3）在定义域内，求出函数的最大值或最小值；
（4）正确写出答案．
三、随堂练习。
1．已知x≠0，当x取什么值时，x2＋的值最小？最小值是多少？
四、课时小结。
本节课我们用两个正数的算术平均数与几何平均数的关系顺利解决了函数的一些最值问题。在用均值不等式求函数的最值，是值得重视的一种方法，但在具体求解时，应注意考查下列三个条件：（1）函数的解析式中，各项均为正数；（2）函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；（3）函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值即用均值不等式求某些函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等。
【第三课时】
【教学目标】
1．知识与技能：进一步掌握基本不等式；会用此不等式证明不等式，会应用此不等式求某些函数的最值，能够解决一些简单的实际问题；
2．过程与方法：通过例题的研究，进一步掌握基本不等式，并会用此定理求某些函数的最大、最小值。
3．情态与价值：引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德。
【教学重难点】
教学重点：掌握基本不等式，会用此不等式证明不等式，会用此不等式求某些函数的最值。
教学难点：利用此不等式求函数的最大、最小值。
【教学过程】
一、课题导入。
1．基本不等式：如果a，b是正数，那么
2．用基本不等式求最大（小）值的步骤。
二、讲授新课。
1．利用基本不等式证明不等式．
例题：已知m>0，求证。
[思维切入]因为m>0，所以可把和分别看作基本不等式中的a和b，直接利用基本不等式。
[证明]因为m>0，由基本不等式得
当且仅当=，即m=2时，取等号。
规律技巧总结，注意：m>0这一前提条件和=144为定值的前提条件。
三、随堂练习
[思维拓展1]已知a，b，c，d都是正数，求证．
[思维拓展2]求证．
例题：求证:．
思维切入：由于不等式左边含有字母a，右边无字母，直接使用基本不等式，无法约掉字母a，而左边．这样变形后，在用基本不等式即可得证．
[证明]
当且仅当=a-3即a=5时，等号成立．
规律技巧总结：通过加减项的方法配凑成基本不等式的形式．
2．利用不等式求最值
例3：（1）若x>0，求的最小值；
（2）若x<0，求的最大值．
[思维切入]本题（1）x>0和=36两个前提条件；（2）中x<0，可以用-x>0来转化．
解：（1）因为x>0由基本不等式得：
，当且仅当即x=时，取最小值12．
（2）因为x<0，所以-x>0，由基本不等式得：
，
所以．
当且仅当即x=-时，取得最大-12．
规律技巧总结：利用基本不等式求最值时，个项必须为正数，若为负数，则添负号变正．
随堂练习
[思维拓展1]求(x>5)的最小值．
[思维拓展2]若x>0，y>0，且，求xy的最小值．
四、课时小结。
用基本不等式证明不等式和求函数的最大、最小值。
五、作业布置。
1．证明：
2．若，则为何值时有最小值，最小值为几？
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二次函数与一元二次方程、不等式
【教材分析】
三个“二次”即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式是高中数学的重要内容，具有丰富的内涵和密切的联系，同时也是研究包含二次曲线在内的许多内容的工具高考试题中近一半的试题与这三个“二次”问题有关本节主要是帮助考生理解三者之间的区别及联系，掌握函数、方程及不等式的思想和方法。
【教学目标】
课程目标
1．通过探索，使学生理解二次函数与一元二次方程，一元二次不等式之间的联系。
2．使学生能够运用二次函数及其图像，性质解决实际问题。
3．渗透数形结合思想，进一步培养学生综合解题能力。
数学学科素养
1．数学抽象：一元二次函数与一元二次方程，一元二次不等式之间的联系；
2．逻辑推理：一元二次不等式恒成立问题；
3．数学运算：解一元二次不等式；
4．数据分析：一元二次不等式解决实际问题；
5．数学建模：运用数形结合的思想，逐步渗透一元二次函数与一元二次方程，一元二次不等式之间的联系。
【教学重难点】
重点：一元二次函数与一元二次方程的关系，利用二次函数图像求一元二次方程的实数根和不等式的解集；
难点：一元二次方程根的情况与二次函数图像与x轴位置关系的联系，数形结合思想的运用。
【教学准备】
【教学方法】以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。
教学工具：多媒体。
【教学过程】
一、情景导入
在初中，我们从一次函数的角度看一元一次方程、一元一次不等式，发现了三者之间的内在联系，利用这种联系可以更好地解决相关问题。类似地，能否从二次函数的观点看一元二次方程和一元二次不等式，进而得到一元二次不等式的求解方法呢？
要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察。研探。
预习课本，引入新课
阅读课本，思考并完成以下问题
1．二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系。
2．解一元二次不等方的步骤？
要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
三、新知探究
1．一元二次不等式与相应的一元二次函数及一元二次方程的关系如下表：
判别式 Δ=b2-4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0
二次函数 y=ax2+bx+c （a>0）的图象
一元二次方程 ax2+bx+c=0 （a>0）的根 有两相异 实根x1，x2 （x1ax2+bx+c>0 （a>0）的解集 R
ax2+bx+c<0 （a>0）的解集
2．一元二次不等式ax+bx+c>0（a>0）的求解的算法。
（1）解ax+bx+c=0；
（2）判断开口方向；
（3）根据开口方向和两根画草图；
（4）不等式>0，看草图上方，写对应x的结果；
不等式<0，看草图下方，写对应x的结果。
四、典例分析、举一反三
题型一
解不等式
例1求下列不等式的解集
（1）
（2）
（3）
【答案】（1）
（2）
（3）
解题方法（解不等式）
（1）解ax2+bx+c=0；
（2）判断开口方向；
（3）根据开口方向和两根画草图；
（4）不等式>0，看草图上方，写对应x的结果；
不等式<0，看草图下方，写对应x的结果；
跟踪训练一
1．求下列不等式的解集
（1） ；
（2） ；
（3）
（4）
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）
题型二
一元二次不等式恒成立问题
例2（1）如果方程的两根为和3且，那么不等式的解集为____________。
（2）已知关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是（ ）
A．
B．
C．或
D．或
【答案】（1）
（2）A
【解析】（1）由韦达定理得，，代入不等式，得，，消去得，解该不等式得，因此，不等式的解集为，故答案为：。
（2）当时，不等式为恒成立，符合题意；
当时，若不等式对任意恒成立，则，解得；
当时，不等式不能对任意恒成立。
综上，的取值范围是。
解题方法（一元二次不等式恒成立问题）
1．恒大于零就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x轴上方，恒小于零就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x轴下方，从而确定的取值范围，进而求参数。 （若二次项系数带参数，考虑参数等于零、不等于零）
2．解决恒成立问题，一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数。
跟踪训练二
1．已知不等式的解集为或，则实数__________。
2．对任意实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是____。
【答案】1．6
2．
【解析】1．由题意可知，3为方程的两根，则，即。故答案为：6
2．①当，即时，不等式为：，恒成立，则满足题意
②当，即时，不等式恒成立则需：
，解得：
综上所述：
题型三
一元二次不等式的实际应用问题
例3
一家车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水生产的摩托车数量x（单位：辆）与创造的价值y（单位：元）之间有如下的关系：
若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收6000元以上，则在一个星期内大约应该生产多少辆摩托车？
【答案】见解析
【解析】设这家工厂在一个星期内大约应该利用这条流水线生产x辆摩托车，根据题意，得
移项整理，得
对于方程，=100>0，方程有两个实数根=50，=60.
画出二次函数y=的图像，结合图象得不等式的解集为{x|50
因为x只能取整数值，所以当这条流水线在一周内生产的摩托车数量在51~59辆时，这家工厂能够获得6000元以上的收益。
解题方法（一元二次不等式实际应用问题）
（1）根据题意列出相应的一元二次函数；
（2）由题意列出相应一元二次不等式；
（3）求出解集；
（4）结合实际情况写出最终结果。
跟踪训练三
1．用可围成32m墙的砖头，沿一面旧墙（旧墙足够长）围成猪舍四间（面积大小相等的长方形）。应如何围才能使猪舍的总面积最大？最大面积是多少？
【答案】当长方形一边（垂直于旧墙）为，另一边为4m时猪舍面积最大，最大值为。
【解析】设长方形的一边（垂直于旧墙）长为x m，则另一边长为，总面积
，，当时，。
答：当长方形一边（垂直于旧墙）为，另一边为4 m时猪舍面积最大，最大值为。
【课堂小结】
让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧
【板书设计】
(
2.
3
二次函数与一元二次方程、不等式
三个二次关系
例1
例2
例3
2
.
解一元二次
不等式
)
【教学反思】
本节通过画图，看图，分析图，小组讨论列出表格深化知识，抽象概括进行教学，让每个学生动手，动口，动脑，积极参与，提高教学效率和教学质量，使学生进一步理解数形结合和从特殊到一般的思想方法。
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