人教A 版（2019）数学必修（第一册）：第二章 一元二次函数、方程和不等式 学案（无答案）(3份打包)

等式性质与不等式性质

【学习目标】
梳理等式的性质，理解不等式的概念，掌握不等式的性质．
【学习重难点】
等式与不等式的性质。
【学习过程】
一、自主学习
知识点一：实数大小比较
1．文字叙述
如果a－b是正数，那么a>b；
如果a－b等于0，那么a＝b；
如果a－b是负数，那么a2．符号表示
a－b>0?a>b；
a－b＝0?a＝b；
a－b<0?a比较两实数a，b的大小，只需确定它们的差a－b与0的大小关系，与差的具体数值无关．因此，比较两实数a，b的大小，其关键在于经过适当变形，能够确认差a－b的符号，变形的常用方法有配方、分解因式等．
知识点二：不等式的性质
性质 别名 性质内容 注意
1 对称性 a>b?b2 传递性 a>b，b>c?a>c
3 可加性 a>b?a＋c>b＋c 可逆
4 可乘性 ?ac>bc c的符号
?ac5 同向 可加性 ?a＋c>b＋d 同向
6 同向同正 可乘性 ?ac>bd 同向
7 可乘方性 a>b>0?an>bn （n∈N，n≥2） 同正

（1）性质3是移项的依据．不等式中任何一项改变符号后，可以把它从一边移到另一边．即a＋b>c?a>c－b．性质3是可逆性的，即a>b?a＋c>b＋c．
（2）注意不等式的单向性和双向性．性质1和3是双向的，其余的在一般情况下是不可逆的．
（3）在应用不等式时，一定要搞清它们成立的前提条件．不可强化或弱化成立的条件．要克服“想当然”“显然成立”的思维定势．
教材解难：
教材P40思考
等式有下面的基本性质：
性质1：如果a＝b，那么b＝a；
性质2：如果a＝b，b＝c，那么a＝c；
性质3：如果a＝b，那么a±c＝b±c；
性质4：如果a＝b，那么ac＝bc；
性质5：如果a＝b，c≠0，那么＝．
基础自测：
1．大桥桥头竖立的“限重40吨”的警示牌，是提示司机要安全通过该桥，应使车和货物的总质量T满足关系（ ）
A．T<40
B．T>40
C．T≤40
D．T≥40
解析：“限重40吨”是不超过40吨的意思．
答案：C
2．设M＝x2，N＝－x－1，则M与N的大小关系是（ ）
A．M>N
B．M＝N
C．MD．与x有关
解析：因为M－N＝x2＋x＋1＝2＋>0，所以M>N．
答案：A
3．已知xA．x2B．x2>ax>a2
C．x2D．x2>a2>ax
解析：因为xa2；不等号两边同时乘x，则x2>ax，故x2>ax>a2．
答案：B
4．若1≤a≤5，－1≤b≤2，则a－b的取值范围为________．
解析：因为－1≤b≤2，所以－2≤－b≤1，
又1≤a≤5，所以－1≤a－b≤6．
答案：－1≤a－b≤6
二、素养提升
题型一：比较大小（教材P38例1）
例1：比较（x＋2）（x＋3）和（x＋1）（x＋4）的大小．
解析：因为（x＋2）（x＋3）－（x＋1）（x＋4）
＝（x2＋5x＋6）－（x2＋5x＋4）
＝2>0，
所以（x＋2）（x＋3）>（x＋1）（x＋4）．
通过考察这两个多项式的差与0的大小关系，可以得出它们的大小关系．
教材反思
用作差法比较两个实数大小的四步曲

跟踪训练1：若f（x）＝3x2－x＋1，g（x）＝2x2＋x－1，则f（x）与g（x）的大小关系是（ ）
A．f（x）B．f（x）＝g（x）
C．f（x）>g（x）
D．随x值变化而变化
解析：f（x）－g（x）＝（3x2－x＋1）－（2x2＋x－1）
＝x2－2x＋2＝（x－1）2＋1>0，
所以f（x）>g（x）．故选C．
答案：C
→→→
题型二：不等式的性质[经典例题]
→
例2：对于实数a、b、c，有下列说法：
①若a>b，则ac②若ac2>bc2，则a>b；
③若aab>b2；
④若c>a>b>0，则>；
⑤若a>b，>，则a>0，b<0．
其中正确的个数是（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
解析：对于①，令c＝0，则有ac＝bc．①错．
对于②，由ac2>bc2，知c≠0，
∴c2>0?a>b．②对．
对于③，由a两边同乘以a得a2>ab，
两边同乘以b得ab>b2，
∴a2>ab>b2．③对．
对于④，?0??>．④对．
对于⑤，??a>0，b<0．⑤对．
故选C．
答案：C
方法归纳：
（1）首先要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不凭想当然随意捏造性质．
（2）解决有关不等式选择题时，也可采用特值法进行排除，注意取值一定要遵循以下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算．
跟踪训练2：（1）已知aA．4a<4b
B．－4a<－4b
C．a＋4D．a－4（2）对于任意实数a，b，c，d，下列命题中正确的是（ ）
A．若a>b，c≠0，则ac>bc
B．若a>b，则ac2>bc2
C．若ac2>bc2，则a>b
D．若a>b，则<
解析：（1）根据不等式的性质，a0?4a<4b，A项正确；a－4b，B项错误；a利用不等式的性质，解题关键找准使不等式成立的条件．
（2）对于选项A，当c<0时，不正确；对于选项B，当c＝0时，不正确；对于选项C，∵ac2>bc2，∴c≠0，∴c2>0，∴一定有a>b．故选项C正确；对于选项D，当a>0，b<0时，不正确．
答案：（1）B；（2）C
题型三：利用不等式性质求范围
例3：已知－2（1）|a|；（2）a＋b；（3）a－b；（4）2a－3b．
解析：（1）|a|∈[0，3]；（2）－1（3）依题意得－2（4）由－2由1≤b<2得－6<－3b≤－3　②，
由①②得，－10<2a－3b≤3．
运用不等式性质研究代数式的取值范围，关键是把握不等号的方向．
方法归纳：
利用不等式性质求范围的一般思路
（1）借助性质，转化为同向不等式相加进行解答；
（2）借助所给条件整体使用，切不可随意拆分所给条件；
（3）结合不等式的传递性进行求解．
跟踪训练3：已知实数x，y满足：1（1）求xy的取值范围；
（2）求x－2y的取值范围．
解析：（1）∵1（2）由（1）知1（1）根据不等式的性质6可直接求解；
（2）求出－2y的取值范围后，利用不等式的性质5即可求x－2y的取值范围．
三、学业达标
（一）选择题
1．若A＝a2＋3ab，B＝4ab－b2，则A、B的大小关系是（ ）
A．A≤B
B．A≥B
C．AB
D．A>B
解析：因为A－B＝a2＋3ab－（4ab－b2）＝2＋b2≥0，所以A≥B．
答案：B
2．已知：a，b，c，d∈R，则下列命题中必成立的是（ ）
A．若a>b，c>b，则a>
cB．若a>－b，则c－aC．若a>b，c
D．若a2>b2，则－a<－b
解析：选项A，若a＝4，b＝2，c＝5，显然不成立；选项C不满足倒数不等式的条件，如a>b>0，c<0b>0时才可以．否则如a＝－1，b＝0时不成立．
答案：B
3．若－1<α<β<1，则下列各式中恒成立的是（ ）
A．－2<α－β<0
B．－2<α－β<－1
C．－1<α－β<0
D．－1<α－β<1
解析：∵－1<β<1，∴－1<－β<1．
又－1<α<1，∴－2<α＋（－β）<2，
又α<β，∴α－β<0，即－2<α－β<0．故选A．
答案：A
4．有四个不等式：①|a|>|b|；②ab3．若<<0，则不正确的不等式的个数是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
解析：由<<0可得bb，②不正确；a＋b<0，ab>0，则a＋bb3，④正确．故不正确的不等式的个数为2．
答案：C
（二）填空题
5．已知a，b均为实数，则（a＋3）（a－5）________（a＋2）（a－4）（填“>”“<”或“＝”）．
解析：因为（a＋3）（a－5）－（a＋2）（a－4）＝（a2－2a－15）－（a2－2a－8）＝－7<0，所以（a＋3）（a－5）<（a＋2）（a－4）．
答案：<
6．如果a>b，那么c－2a与c－2b中较大的是________．
解析：c－2a－（c－2b）＝2b－2a＝2（b－a）<0．
答案：c－2b
7．给定下列命题：
①a>b?a2>b2；②a2>b2?a>b；③a>b?<1；④a>b，c>d?ac>bd；⑤a>b，c>d?a－c>b－d．
其中错误的命题是________（填写相应序号）．
解析：由性质7可知，只有当a>b>0时，a2>b2才成立，故①②都错误；对于③，只有当a>0且a>b时，<1才成立，故③错误；由性质6可知，只有当a>b>0，c>d>0时，ac>bd才成立，故④错误；对于⑤，由c>d得－d>－c，从而a－d>b－c，故⑤错误．
答案：①②③④⑤
（三）解答题
8．已知x<1，比较x3－1与2x2－2x的大小．
解析：x3－1－（2x2－2x）＝x3－2x2＋2x－1
＝（x3－x2）－（x2－2x＋1）＝x2（x－1）－（x－1）2
＝（x－1）（x2－x＋1）＝（x－1）·，
因为x<1，所以x－1<0，
又因为2＋>0，
所以（x－1）<0，
所以x3－1<2x2－2x．
9．若bc－ad≥0，bd>0．求证：≤．
证明：因为bc－ad≥0，所以ad≤bc，
因为bd>0，所以≤，
所以＋1≤＋1，所以≤．
尖子生题库：
10．设f（x）＝ax2＋bx，1≤f（－1）≤2，2≤f（1）≤4，求f（－2）的取值范围．
解析：方法一：设f（－2）＝mf（－1）＋nf（1）（m，n为待定系数），
则4a－2b＝m（a－b）＋n（a＋b）＝（m＋n）a＋（n－m）b，
于是得，解得
∴f（－2）＝3f（－1）＋f（1）．
又∵1≤f（－1）≤2，2≤f（1）≤4．
∴5≤3f（－1）＋f（1）≤10，
故f（－2）的取值范围是[5，10]．
方法二：由，得，
∴f（－2）＝4a－2b＝3f（－1）＋f（1）．
又∵1≤f（－1）≤2，2≤f（1）≤4，
∴5≤3f（－1）＋f（1）≤10，
故f（－2）的取值范围是[5，10]．
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基本不等式

【学习目标】
学会转换不等式的形式，基本不等式
【学习过程】
一、自主学习
知识梳理
1．设，为正实数
（1）若(和s为定值)，则当________时，积有最________值为________。
（2）若(积为定值)，则当________时，和有最________值为________。
2．利用基本不等式求积的最大值或和的最小值时，需满足：
（1），必须是________；
（2）求积的最大值时，应看和是否为________；求和的最小值时，应看积xy是否为________。
（3）等号成立的条件是否满足。
利用基本不等式求最值时，一定要注意三个前提条件，这三个前提条件概括为“一正、二定、三相等”。
对点讲练
知识点一　利用基本不等式求函数的最值
例1　已知x≥，则有(　　)
A．最大值
B．最小值
C．最大值1
D．最小值1
总结　本题看似无法使用基本不等式，但对函数式进行分离，便可创造出使用基本不等式的条件。
变式训练1　已知，求函数的最大值。




知识点二　利用基本不等式求代数式的最值
例2　已知，，且，求的最小值。




总结　利用基本不等式求代数式的最值时，经常要对代数式进行变形，配凑出基本不等式满足的条件，同时要注意考察等号成立的条件。
变式训练2　已知正数，满足．求的最小值。



知识点三　基本不等式的实际应用
例3　如图所示，

动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成。
（1）现有可围长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？
（2）若使每间虎笼面积为，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？
总结　涉及不等式的应用时，要首先建立函数关系式，适时巧用基本不等式求其最值。
变式训练3　甲乙两人同时从宿舍到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步；乙一半时间步行，一半时间跑步；如果两人步行、跑步速度均相同，则谁先到教室？






二、课堂小结：
1．利用基本不等式求最值必须满足“一正、二定、三相等”三个条件，并且和为定值，积有最大值；积为定值，和有最小值。
2．使用基本不等式求最值时，若等号取不到，则考虑用函数单调性求解。
3．解决实际应用问题，关键在于弄清问题的各种数量关系，抽象出数学模型，利用基本不等式解应用题，既要注意条件是否具备，还要注意有关量的实际含义。
【达标检测】
一、选择题
1．函数的最小值为(　　)
A．
B．3
C．4
D．
2．已知点在经过，两点的直线上，则的最小值为(　　)
A．
B．
C．16
D．不存在
3．若是正数，则的最小值是(　　)
A．3
B．
C．4
D．
4．若关于的不等式的解集是，则对任意实常数k，总有(　　)
A．
B．
C．
D．
题　号 1 2 3 4
答　案

二、填空题
5．建造一个容积为，深为的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，那么水池的最低总造价为________元。
6．函数的图象恒过点A，若点A在直线上，其中，则的最小值为________。
7．周长为的直角三角形面积的最大值为______。
三、解答题
8．求下列函数的最小值。
（1）设，都是正数，且，求的最小值；
（2）设，求的最小值。


9．某种生产设备购买时费用为10万元，每年的设备管理费共计9千元，这种生产设备的维修费各年为：第一年2千元，第二年4千元，第三年6千元，而且以后以每年2千元的增量逐年递增，问这种生产设备最多使用多少年报废最合算(即使用多少年的年平均费用最少)？
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二次函数与一元二次方程、不等式

【学习目标】
（1）从函数观点看一元二次方程．会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数，了解函数的零点与方程根的关系．
（2）从函数观点看一元二次不等式．
①经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义．能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集．
②借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系．
【学习重难点】
二次函数与一元二次方程和不等式的关系。
【学习过程】
一、自主学习
知识点：二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
Δ>0 Δ＝0 Δ<0
y＝ax2＋bx＋c（a>0）的图象
ax2＋bx＋c＝0（a>0）的根 有两个不相等的实数根x1，x2（x1ax2＋bx＋c>0（a>0）的解集 {x|xx2} {x|x≠－} R
ax2＋bx＋c<0（a>0）的解集 {x|x1
一元二次不等式的解法：
（1）图象法：一般地，当a>0时，解形如ax2＋bx＋c>0（≥0）或ax2＋bx＋c<0（a≤0）的一元二次不等式，一般可分为三步：
①确定对应方程ax2＋bx＋c＝0的解；②画出对应函数y＝ax2＋bx＋c的图象简图；③由图象得出不等式的解集．
对于a<0的一元二次不等式，可以直接采取类似a>0时的解题步骤求解；也可以先把它化成二次项系数为正的一元二次不等式，再求解．
（2）代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解，当p0，则x>q或x教材解难：
教材P50思考
能．可以从2个角度来看
①函数的角度：一元二次不等式ax2＋bx＋c>0表示二次函数y＝ax2＋bx＋c的函数值大于0，图象在x轴的上方；一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集即二次函数图象在x轴上方部分的自变量的取值范围．
②方程的角度：一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集的端点值是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根．
基础自测：
1．下列不等式中是一元二次不等式的是（ ）
A．a2x2＋2≥0
B．<3
C．－x2＋x－m≤0
D．x3－2x＋1>0
解析：选项A中，a2＝0时不符合；选项B是分式不等式；选项D中，最高次数为三次；只有选项C符合．
答案：C
2．不等式x（x＋1）≤0的解集为（ ）
A．[－1，＋∞）
B．[－1，0）
C．（－∞，－1]
D．[－1，0]
解析：解不等式得－1≤x≤0，故选D．
答案：D
3．函数y＝的定义域为（ ）
A．[－7，1]
B．（－7，1）
C．（－∞，－7]∪[1，＋∞）
D．（－∞，－7）∪（1，＋∞）
解析：由7－6x－x2>0，得x2＋6x－7<0，即（x＋7）（x－1）<0，所以－7答案：B
4．不等式1＋2x＋x2≤0的解集为________．
解析：不等式1＋2x＋x2≤0化为（x＋1）2≤0，解得x＝－1．
答案：{－1}
二、素养提升
题型一：解不含参数的一元二次不等式（教材P52例1、2、3）
例1：（1）求不等式x2－5x＋6>0的解集．
（2）求不等式9x2－6x＋1>0的解集．
（3）求不等式－x2＋2x－3>0的解集．
解析：（1）对于方程x2－5x＋6＝0，因为Δ>0，所以它有两个实数根．解得x1＝2，x2＝3．
画出二次函数y＝x2－5x＋6的图象（图1），结合图象得不等式x2－5x＋6>0的解集为{x|x<2，或x>3}．
（2）对于方程9x2－6x＋1＝0，因为Δ＝0，所以它有两个相等的实数根，解得x1＝x2＝．
画出二次函数y＝9x2－6x＋1的图象（图2），结合图象得不等式9x2－6x＋1>0的解集为

（3）不等式可化为x2－2x＋3<0．
因为Δ＝－8<0，所以方程x2－2x＋3＝0无实数根．
画出二次函数y＝x2－2x＋3的图象（图3）．
结合图象得不等式x2－2x＋3<0的解集为?．
因此，原不等式的解集为?．
因为方程x2－5x＋6＝0的根是函数y＝x2－5x＋6的零点，所以先求出x2－5x＋6＝0的根，再根据函数图象得到x2－5x＋6>0的解集．
教材反思
我们以求解可化成ax2＋bx＋c>0（a>0）形式的不等式为例，用框图表示其求解过程．

跟踪训练1：解下列不等式：
（1）x2－7x＋12>0；
（2）－x2－2x＋3≥0；
（3）x2－2x＋1<0；
（4）－2x2＋3x－2<0．
解析：（1）因为Δ＝1＞0，所以方程x2－7x＋12＝0有两个不等实根x1＝3，x2＝4．再根据函数y＝x2－7x＋12的图象开口向上，可得不等式x2－7x＋12＞0的解集是{x|x＜3或x＞4}．
（2）不等式两边同乘－1，原不等式可化为x2＋2x－3≤0．因为Δ＝16＞0，所以方程x2＋2x－3＝0有两个不等实根x1＝－3，x2＝1．再根据函数y＝x2＋2x－3的图象开口向上，可得不等式－x2－2x＋3≥0的解集是{x|－3≤x≤1}．
（3）因为Δ＝0，所以方程x2－2x＋1＝0有两个相等的实根x1＝x2＝1．再根据函数y＝x2－2x＋1的图象开口向上，可得不等式x2－2x＋1＜0的解集为?．
（4）原不等式可化为2x2－3x＋2＞0，因此Δ＝9－4×2×2＝－7＜0，所以方程2x2－3x＋2＝0无实根，又二次函数y＝2x2－3x＋2的图象开口向上，所以原不等式的解集为R．
―→
题型二：三个“二次”之间的关系
例2：已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2解析：方法一：由不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|20，即x2－x＋>0，解得x<或x>，所以不等式cx2＋bx＋a<0的解集为∪．
方法二：由不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2→→
→→
方法归纳：
一元二次不等式与其对应的函数与方程之间存在着密切的联系，在解决具体的数学问题时，要注意三者之间的相互联系，并在一定条件下相互转换．
（1）若一元二次不等式的解集为区间的形式，则区间的端点值恰是对应一元二次方程的根，要注意解集的形式与二次项系数的联系．
（2）若一元二次不等式的解集为R或?，则问题可转化为恒成立问题，此时可以根据二次函数图象与x轴的交点情况确定判别式的符号，进而求出参数的范围．
跟踪训练2：已知一元二次不等式x2＋px＋q<0的解集为，求不等式qx2＋px＋1>0的解集．
解析：因为x2＋px＋q<0的解集为，所以x1＝－与x2＝是方程x2＋px＋q＝0的两个实数根，
由根与系数的关系得解得
所以不等式qx2＋px＋1>0即为－x2＋x＋1>0，
整理得x2－x－6<0，解得－2即不等式qx2＋px＋1>0的解集为{x|－2→→→
题型三：含参数的一元二次不等式的解法
例3：解关于x的不等式2x2＋ax＋2>0．
解析：对于方程2x2＋ax＋2＝0，其判别式Δ＝a2－16＝（a＋4）（a－4）．
①当a>4或a<－4时，Δ>0，方程2x2＋ax＋2＝0的两根为x1＝（－a－），x2＝（－a＋）．
∴原不等式的解集为
．
②当a＝4时，Δ＝0，方程有两个相等实根，x1＝x2＝－1，
∴原不等式的解集为{x|x≠－1}．
③当a＝－4时，Δ＝0，方程有两个相等实根，x1＝x2＝1，
∴原不等式的解集为{x|x≠1}．
④当－4二次项系数为2，Δ＝a2－16不是一个完全平方式，故不能确定根的个数，因此需对判别式Δ的符号进行讨论，确定根的个数．
方法归纳：
含参数一元二次不等式求解步骤
（1）讨论二次项系数的符号，即相应二次函数图象的开口方向；
（2）讨论判别式的符号，即相应二次函数图象与x轴交点的个数；
（3）当Δ>0时，讨论相应一元二次方程两根的大小；
（4）最后按照系数中的参数取值范围，写出一元二次不等式的解集．
跟踪训练3　解关于x的不等式x2－（a＋a2）x＋a3>0．
解析：原不等式可变形为（x－a）·（x－a2）>0，则方程（x－a）（x－a2）＝0的两个根为x1＝a，x2＝a2，
（1）当a<0时，有aa2，此时原不等式的解集为{x|xa2}；
（2）当0a2，即xa，此时原不等式的解集为{x|xa}；
（3）当a>1时，有a2>a，即xa2，此时原不等式的解集为{x|xa2}；
（4）当a＝0时，有x≠0；∴原不等式的解集为{x|x∈R且x≠0}；
（5）当a＝1时，有x≠1，此时原不等式的解集为{x|x∈R且x≠1}；
综上可知：
当a<0或a>1时，原不等式的解集为{x|xa2}；
当0a}；
当a＝0时，原不等式的解集为{x|x∈R且x≠0}；
当a＝1时，原不等式的解集为{x|x∈R且x≠1}．
→→→
题型四：一元二次不等式的实际应用[经典例题]
例4：某工厂的固定成本为3万元，该工厂每生产100台某产品的生产成本为1万元，设生产该产品x（百台），其总成本为g（x）万元（总成本＝固定成本＋生产成本），并且销售收入r（x）满足r（x）＝
假定该产品产销平衡，根据上述统计规律求：
（1）要使工厂有盈利，产品数量x应控制在什么范围？
（2）工厂生产多少台产品时盈利最大？
解析：（1）依题意得g（x）＝x＋3，设利润函数为f（x），则
f（x）＝r（x）－g（x），所以f（x）＝
要使工厂有盈利，则有f（x）>0，因为f（x）>0?或?
或?或则3＜x≤7或7＜x＜10.5，即3＜x＜10.5，所以要使工厂盈利，产品数量应控制在大于300台小于1050台的范围内．
（2）当3＜x≤7时，f（x）＝－0.5（x－6）2＋4.5，故当x＝6时，f（x）有最大值4.5，而当x＞7时，f（x）＜10.5－7＝3.5，所以当工厂生产600台产品时盈利最大．
（1）求利润函数f（x）?解不等式f（x）>0?回答实际问题．
（2）根据第（1）题所求范围，分类讨论求函数最值?回答实际问题．
方法归纳：
解不等式应用题的四步骤：
（1）审：认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系．
（2）设：引进数学符号，用不等式表示不等关系．
（3）求：解不等式．
（4）答：回答实际问题．
特别提醒：确定答案时应注意变量具有的“实际含义”．
跟踪训练4：某农贸公司按每担200元收购某农产品，并按每100元纳税10元（又称征税率为10个百分点），计划可收购a万担，政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税率降低x（x≠0）个百分点，预测收购量可增加2x个百分点．
（1）写出税收y（万元）与x的函数关系式；
（2）要使此项税收在税率调节后，不少于原计划税收的83.2%，试确定x的取值范围．
解析：（1）降低税率后的税率为（10－x）%，农产品的收购量为a（1＋2x%）万担，收购总金额为200a（1＋2x%）
依题意得，y＝200a（1＋2x%）（10－x）%
＝a（100＋2x）（10－x）（0（2）原计划税收为200a·10%＝20a（万元）．
依题意得，a（100＋2x）（10－x）≥20a×83．2%，
化简得x2＋40x－84≤0，
∴－42≤x≤2．
又∵0＜x＜10，∴0＜x≤2．
∴x的取值范围是{x|0＜x≤2}．
根据题意，列出各数量之间的关系表，如下：
原计划 降税后
价格（元/担） 200 200
税率 10% （10－x）%（0收购量（万担） a a（1＋2x%）
收购总金额（万元） 200a 200·a（1＋2x%）
税收y（万元） 200a·10% 200·a（1＋2x%）（10－x）%

三、学业达标
（一）选择题
1．不等式3x2－2x＋1>0的解集为（ ）
A．
B．
C．?
D．R
解析：因为Δ＝（－2）2－4×3×1＝－8<0，所以抛物线y＝3x2－2x＋1开口向上，与x轴无交点，故3x2－2x＋1>0恒成立，即不等式3x2－2x＋1>0的解集为R．
答案：D
2．设m＋n>0，则关于x的不等式（m－x）（n＋x）>0的解集是（ ）
A．{x|x<－n或x>m}
B．{x|－nC．{x|x<－m或x>n}
D．{x|－m解析：不等式（m－x）（n＋x）>0可化为（x－m）（x＋n）<0，方程（x－m）（x＋n）＝0的两根为x1＝m，x2＝－n．由m＋n>0，得m>－n，则不等式（x－m）（x＋n）<0的解集是{x|－n答案：B
3．不等式ax2＋5x＋c>0的解集为，则a，c的值分别为（ ）
A．a＝6，c＝1
B．a＝－6，c＝－1
C．a＝1，c＝1
D．a＝－1，c＝－6
解析：由题意知，方程ax2＋5x＋c＝0的两根为x1＝，x2＝，由根与系数的关系得x1＋x2＝＋＝－，x1·x2＝×＝．解得a＝－6，c＝－1．
答案：B
4．若不等式x2＋mx＋>0的解集为R，则实数m的取值范围是（ ）
A．（2，＋∞）
B．（－∞，2）
C．（－∞，0）∪（2，＋∞）
D．（0，2）
解析：由题意知原不等式对应方程的Δ<0，即m2－4×1×<0，即m2－2m<0，解得0答案：D
（二）填空题
5．不等式（2x－5）（x＋3）<0的解集为________．
解析：方程（2x－5）（x＋3）＝0的两根为x1＝，x2＝－3，函数y＝（2x－5）（x＋3）的图象与x轴的交点坐标为（－3，0）和，所以不等式（2x－5）（x＋3）<0的解集为．
答案：
6．不等式<0的解集为________．
解析：原不等式可以化为（2x－1）（2x＋1）<0，
即<0，
故原不等式的解集为．
答案：
7．用一根长为100m的绳子能围成一个面积大于600m2的矩形吗？若“能”，当长＝________m，宽＝________m时，所围成的矩形的面积最大．
解析：设矩形一边的长为xm，则另一边的长为（50－x）m，0600，即x2－50x＋600<0，解得20答案：25；25
（三）解答题
8．解下列不等式：
（1）x2＋2x－15>0；
（2）x2－3x＋5>0；
（3）4（2x2－2x＋1）>x（4－x）．
解析：（1）x2＋2x－15>0?（x＋5）（x－3）>0?x<－5或x>3，所以不等式的解集是{x|x<－5或x>3}．
（2）因为Δ＝（－3）2－4×1×5＝－11<0，再根据函数y＝x2－3x＋5图象的开口方向，所以原不等式的解集为R．
（3）由原不等式得8x2－8x＋4>4x－x2．
∴原不等式等价于9x2－12x＋4>0．
解方程9x2－12x＋4＝0，得x1＝x2＝．
结合二次函数y＝9x2－12x＋4的图象知，原不等式的解集为．
9．若关于x的一元二次不等式ax2＋bx＋c<0的解集为，求关于x的不等式cx2－bx＋a>0的解集．
解析：由题意知所以
代入不等式cx2－bx＋a>0中得ax2＋ax＋a>0（a<0）．
即x2＋x＋1<0，化简得x2＋5x＋6<0，
所以所求不等式的解集为{x|－3尖子生题库：
10．解关于x的不等式x2－ax－2a2<0．
解析：方程x2－ax－2a2＝0的判断式Δ＝a2＋8a2＝9a2≥0，得方程两根x1＝2a，x2＝－a．
（1）若a>0，则－a（2）若a<0，则2a（3）若a＝0，则原不等式即为x2<0，此时解集为?．
综上所述，原不等式的解集为：
当a>0时，{x|－a当a<0时，{x|2a当a＝0时，?．
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