函数的概念及其表示——函数的概念
【教学目标】
1．知识与技能：理解函数的概念，了解函数的三要素。
2．过程与方法：通过对函数抽象符号的认识与使用，使学生在符号表示方面的能力得以提高。
3．情感、态度与价值观：通过函数定义由变量观点向集合观点得过渡，使学生能从发展与联系的角度看待数学学习。
【教学重难点】
教学重点：是理解函数的概念；
教学难点：是对函数抽象符号的认识与使用。
【教学过程】
一、复习与引入。
今天我们研究的内容是函数的概念，函数并不象前面学习的集合一样我们一无所知，而是比较熟悉，所以我先找同学说说对函数的认识，如函数是什么？学过什么函数？
（要求学生尽量用自己的话描述初中函数的定义，并试举出各类学过的函数例子）
学生举出如等，待学生说完定义后教师打出投影片，给出定义之后教师也举一个例子，问学生。
提问1．是函数吗？
提问2．与是同一个函数吗？
（由学生讨论，发表各自的意见，有的认为它不是函数，理由是没有两个变量，也有的认为是函数，理由是可以可做．）
教师由此指出我们争论的焦点，其实就是函数定义的不完善的地方，这也正是我们今天研究函数定义的必要性，新的定义将在与原定义不相违背的基础上从更高的观点，将它完善与深化．
二、新课。
现在请同学们打开书，从这开始阅读有关的内容，再回答我的问题．（约2-3分钟或开始提问）
提问3．观察图中的3个对应，你看出它们有什么共同特点？
学生的回答往往是把书上的答案念一遍，教师可以板书的形式写出，但还要引导形式发现三个对应的共同点。（板书）函数
（一）函数的概念
1．定义：如果A，B是非空的数集，如果按某个确定的对应关系，使对于集合A中的任意一个数，在集合B中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合A到集合B的一个函数，记作
，。
其中，叫做自变量，的取值范围A叫做函数的定义域；与的值相对应的的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。
问题4：新的函数定义与函数的传统定义有什么异同点？
引导学生发现，函数是特殊的对应，二者的本质相同。
2．本质：函数是特殊的对应。（板书）
然后让学生试回答刚才关于是不是函数的问题，要求从集合的角度解释。
此时学生可以清楚的看到满足集合与对应观点下的函数定义，故是一个函数，这样解释就很自然。
教师继续把问题引向深入，提出在集合与对应的观点下如何解释是个函数？
从集合角度看可以是其中定义域是，值域是．
从刚才的分析可以看出，集合观点下的函数定义更具一般性，更能揭示函数的本质。这也是我们后面要对函数进行理论研究的一种需要．所以我们着重从集合角度再来认识函数。
3．函数的三要素及其作用（板书）
函数是由三件事构成的一个整体，分别称为定义域。值域和对应法则．当我们认识一个函数时，应从这三方面去了解认识它。
例1：以下关系式表示函数吗？为什么？
（1）； （2）．
解：（1）由有意义得，解得．由于定义域是空集，故它不能表示函数．
（2）由有意义得，解得．定义域为，值域为．
由以上两题可以看出三要素的作用
（1）判断一个函数关系是否存在．（板书）
例2：下列各函数中，哪一个函数与是同一个函数．
（1）； （2） （3）； （4）．
解：先认清，它是（定义域）到（值域）的映射，其中．再看（1）定义域为且，是不同的；（2）定义域为，是不同的；（4），法则是不同的；而（3）定义域是，值域是，法则是乘2减1，与完全相同．
求解后要求学生明确判断两个函数是否相同应看定义域和对应法则完全一致，这时三要素的又一作用。
（2）判断两个函数是否相同。（板书）
下面我们研究一下如何表示函数，以前我们学习时虽然会表示函数，但没有相系统研究函数的表示法，其实表示法有很多，不过首先应从函数记号说起。
4．对函数符号的理解（板书）
首先让学生知道与的含义是一样的，它们都表示是的函数，其中是自变量，是函数值，连接的纽带是法则，所以这个符号本身也说明函数是三要素构成的整体，下面我们举例说明。
例3：已知函数试求（板书）
分析：首先让学生认清的含义，要求学生能从变量观点和集合观点解释，再进行计算。
含义：当自变量取3时，对应的函数值即；
计算之后，要求学生了解与的区别，是常量，而是变量，只是中一个特殊值。
最后指出在刚才的题目中是用一个具体的解析式表示的，而以后研究的函数不一定能用一个解析式表示，此时我们需要用其他的方法表示，具体的方法下节课再进一步研究。
三、小结
1．函数的定义
2．对函数三要素的认识
3．对函数符号的认识
四、作业：略
函数的概念及其表示——函数的表示法
【教学目标】
1．知识与技能：掌握函数的解析法、列表法、图象法三种主要表示方法。
2．过程与方法：培养数形结合、分类讨论的数学思想方法。
3．情感、态度与价值观：掌握分段函数的概念。
【教学重难点】
教学重点：解析法、图象法。
教学难点：作函数图象。
【教学过程】
一、复习引入。
1．函数的定义是什么？函数的图象的定义是什么？
2．在中学数学中，画函数图象的基本方法是什么？
3．用描点法画函数图象，怎样避免描点前盲目列表计算？怎样做到描最少的点却能显示出图象的主要特征？
二、讲解新课：函数的表示方法。
表示函数的方法，常用的有解析法、列表法和图象法三种。
（1）解析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式。
例如，，，，，等等都是用解析式表示函数关系的。
优点：一是简明、全面地概括了变量间的关系；二是可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值。中学阶段研究的函数主要是用解析法表示的函数。
（2）列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系。
学生的身高 单位：厘米
学号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
身高 125 135 140 156 138 172 167 158 169
数学用表中的平方表、平方根表、三角函数表，银行里的利息表，列车时刻表等等都是用列表法来表示函数关系的。公共汽车上的票价表。
优点：不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值。
（3）图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系。
例如，气象台应用自动记录器描绘温度随时间变化的曲线，课本中我国人口出生率变化的曲线，工厂的生产图象，股市走向图等都是用图象法表示函数关系的。
优点：能直观形象地表示出自变量的变化，相应的函数值变化的趋势，这样使得我们可以通过图象来研究函数的某些性质。
三、例题讲解。
例1：某种笔记本每个5元，买个笔记本的钱数记为y（元），试写出以为自变量的函数的解析式，并画出这个函数的图像。
解：这个函数的定义域集合是{1，2，3，4}，函数的解析式为，。
它的图象由4个孤立点A（1，5）B（2，10）C（3，15）D（4，20）组成，如图所示。
例2：国内投寄信函（外埠），每封信函不超过20 g付邮资80分，超过20 g而不超过40 g付邮资160分，依次类推，每封的信函应付邮资为（单位：分），试写出以x为自变量的函数y的解析式，并画出这个函数的图像。
解：这个函数的定义域集合是，函数的解析式为
这个函数的图象是5条线段（不包括左端点），都平行于x轴，如图所示。
这一种函数我们把它称为分段函数。
例3：画出函数的图象。
解：这个函数的图象是两条射线，分别是第一象限和第二象限的角平分线，如图所示。
说明：①再次说明函数图象的多样性；
②从例4和例5看到，有些函数在它的定义域中，对于自变量x的不同取值范围，对应法则不同，这样的函数通常称为分段函数。注意分段函数是一个函数，而不是几个函数。
③注意：并不是每一个函数都能作出它的图象，如狄利克雷（Dirichlet）函数D（x）=，我们就作不出它的图象。
例4：作出分段函数的图像。
解：根据“零点分段法”去掉绝对值符号，即：
=
作出图像如下
例5：作出函数的图象
列表描点：
四、小结
本节课学习了以下内容：函数的表示方法及图像的作法
五、作业布置。
补充：
1．作函数的图像。
分析：显然直接用已知函数的解析式列表描点有些困难，除去对其函数性质分析外，我们还应想到对已知解析式进行等价变形。
解：（1）当时，即时，
当时，即时，
。
∴
这是分段函数，每段函数图象可根据二次函数图象作出。
2．作出函数的函数图像
解：
步骤：（1）作出函数的图象
（2）将上述图象轴下方部分以轴为对称轴向上翻折（上方部分不变），即得的图象
函数的基本性质——单调性与最大(小)值
【教学目标】
1．知识与技能：了解单调函数、单调区间的概念：能说出单调函数、单调区间这两个概念的大致意思
2．过程与方法：理解函数单调性的概念：能用自已的语言表述概念；并能根据函数的图象指出单调性、写出单调区间
3．情感、态度与价值观：掌握运用函数的单调性定义解决一类具体问题：能运用函数的单调性定义证明简单函数的单调性
【教学重难点】
教学重点：函数的单调性的概念。
教学难点：利用函数单调的定义证明具体函数的单调性
【教学过程】
一、复习引入。
1．复习：我们在初中已经学习了函数图象的画法。为了研究函数的性质，我们按照列表、描点、连线等步骤先分别画函数和的图象。的图象如图1，的图象如图2．
2．引入：从函数的图象（图1）看到：
图象在轴的右侧部分是上升的，也就是说，当在区间[0，+）上取值时，随着的增大，相应的值也随着增大，即如果取∈[0，+），得到=，=，那么当＜时，有＜。
这时我们就说函数==在[0，+）上是增函数。图象在轴的左侧部分是下降的，也就是说，当在区间（－，0）上取值时，随着的增大，相应的值反而随着减小，即如果取∈（－，0），得到=，=，那么当＜时，有>。
这时我们就说函数==在（－，0）上是减函数。函数的这两个性质，就是今天我们要学习讨论的。
二、讲解新课。
1．增函数与减函数。
定义：对于函数的定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值，（1）若当＜时，都有＜，则说在这个区间上是增函数（如图3）；（2）若当＜时，都有>，则说在这个区间上是减函数（如图4）。
说明：函数是增函数还是减函数，是对定义域内某个区间而言的。有的函数在一些区间上是增函数，而在另一些区间上不是增函数。例如函数（图1），当∈[0，+）时是增函数，当∈（－，0）时是减函数。
2．单调性与单调区间。
若函数y=f（x）在某个区间是增函数或减函数，则就说函数在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做函数的单调区间。此时也说函数是这一区间上的单调函数。
在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的。
说明：（1）函数的单调区间是其定义域的子集；
（2）应是该区间内任意的两个实数，忽略需要任意取值这个条件，就不能保证函数是增函数（或减函数），例如，图5中，在那样的特定位置上，虽然使得>，但显然此图象表示的函数不是一个单调函数；
（3）除了严格单调函数外，还有不严格单调函数，它的定义类似上述的定义，只要将上述定义中的“＜或>，”改为“或，”即可；
（4）定义的内涵与外延：
内涵是用自变量的大小变化来刻划函数值的变化情况；
外延①一般规律：自变量的变化与函数值的变化一致时是单调递增，自变量的变化与函数值的变化相对时是单调递减。
②几何特征：在自变量取值区间上，若单调函数的图象上升，则为增函数，图象下降则为减函数。
三、讲解例题。
例1：如图6是定义在闭区间[－5，5]上的函数的图象，根据图象说出的单调区间，以及在每一单调区间上，函数是增函数还是减函数。
解：函数的单调区间有[－5，－2），[－2，1），[1，3），[3，5]，其中在区间[－5，－2），[1，3）上是减函数，在区间[－2，1），[3，5]上是增函数。
说明：函数的单调性是对某个区间而言的，对于单独的一点，由于它的函数值是唯一确定的常数，因而没有增减变化，所以不存在单调性问题；另外，中学阶段研究的主要是连续函数或分段连续函数，对于闭区间上的连续函数来说，只要在开区间上单调，它在闭区间上也就单调，因此，在考虑它的单调区间时，包括不包括端点都可以；还要注意，对于在某些点上不连续的函数，单调区间不包括不连续点。
例2：证明函数在R上是增函数。
证明：设是R上的任意两个实数，且＜，则
－=（3+2）－（3+2）=3（－），
由＜x，得－＜0，于是－＜0，即＜。
∴在R上是增函数。
例3：证明函数在（0，+）上是减函数。
证明：设，是（0，+）上的任意两个实数，且＜，
则－=－=，
由，∈（0，+），得>0，
又由＜，得－>0，于是－>0，即>
∴在（0，+）上是减函数。
例4．讨论函数在（－2，2）内的单调性。
解：∵，对称轴
∴若，则在（－2，2）内是增函数；
若则在（－2，a）内是减函数，在[a，2]内是增函数
若，则在（－2，2）内是减函数。
四、练习。
的单调区间有[－2，－1]，[－1，0]，[0，1]，[1，2]；在区间[－2，－1]，[0，1]上是增函数，在区间[－1，0]，[1，2]上是减函数。
的单调区间有[－，－]，[－，]，[，]；在区间[－，－]，[，]上是减函数，在区间[－，]上是增函数。
说明：要了解函数在某一区间是否具有单调性，从图象上进行观察是一种常用而又较为粗略的方法，严格地说，它需要根据增（减）函数的定义进行证明，下面举例说明。
判断函数在R上是增函数还是减函数？并证明你的结论。
解：设，∈R，且＜，
∵－=（－3+2）－（－3+2）=3（－），
又＜，∴－>0，即>。
∴在R上是减函数。
判断函数=在（－，0）上是增函数还是减函数并证明你的结论。
解：设，∈（－，0），且＜，
∵－=－==，
由，∈（－，0），得>0，
又由＜，得－>0，于是－>0，即>。
∴=在（0，+）上是减函数。
能否说函数=在（－，+）上是减函数？
答：不能。因为=0不属于=的定义域。
说明：通过观察图象，对函数是否具有某种性质，作出猜想，然后通过推理的办法，证明这种猜想的正确性，是发现和解决问题的一种常用数学方法。
（1）判断函数在R上的单调性，并说明理由。
（2）4．
解：（1）设，∈R，且＜，
则－=（k+b）－（k+b）=k（－）。
若k>0，又＜，∴－＜0，即＜。
∴在R上是增函数。
若k＜0，又＜，∴－>0，即>。
∴在R上是减函数。
（2）设，∈（0，+），且＜，
∵－=（+1）－（+1）=－=（+）（－）
∵0＜＜，∴+>0，－＜0，
∴－＜0，即＜，
∴=+1在（0，+）上是增函数。
五、小结。
1．讨论函数的单调性必须在定义域内进行，即函数的单调区间是其定义域的子集，因此讨论函数的单调性，必须先确定函数的定义域；
2．根据定义证明函数单调性的一般步骤是：（1）设，是给定区间内的任意两个值，且＜；（2）作差－，并将此差式变形（要注意变形的程度）；（3）判断－的正负（要注意说理的充分性）；（4）根据－的符号确定其增减性。
六、作业布置。
补充：（1）=是以（，）为顶点、对称轴平行于y轴、开口向上的抛物线（如图）；它的单调区间是（－，]与[，+）；它在（－，]上是减函数，在[，+）上是增函数。
证明：设＜，则
－=－－5（－）
=（+－5）（－）
∵＜，∴+＜5，－＜0，
∴－>0，即>。
∴=－5+6在（－，]上是减函数。
类似地，可以证明在[，+）上是增函数。
（2）=－+9的图象是以（0，9）为顶点、轴为对称轴、开口向下的一条抛物线（如图）；它的单调区间是（－，0]与[0，+），它在（－，0]上是增函数，在[0，+）上是减函数。
证明：设＜0，则－=－+=（+）（－）
∵＜0，∴+＜0，－>0，
∴－＜0，即＜
∴=9－在（－，0]上是增函数。
类似地，可以证明在[0，+）上是减函数。
1 / 6
函数的基本性质——奇偶性
【教学目标】
1．知识与技能：理解函数的奇偶性及其几何意义；
2．过程与方法：学会运用函数图象理解和研究函数的性质；
3．情感、态度与价值观：学会判断函数的奇偶性。
【教学重难点】
教学重点：函数的奇偶性及其几何意义。
教学难点：判断函数的奇偶性的方法与格式。
【教学过程】
一、引入课题。
实践操作：（也可借助计算机演示）
取一张纸，在其上画出平面直角坐标系，并在第一象限任画一可作为函数图象的图形，然后按如下操作并回答相应问题：
①以轴为折痕将纸对折，并在纸的背面（即第二象限）画出第一象限内图形的痕迹，然后将纸展开，观察坐标系中的图形；
问题：将第一象限和第二象限的图形看成一个整体，则这个图形可否作为某个函数的图象，若能请说出该图象具有什么特殊的性质？函数图象上相应的点的坐标有什么特殊的关系？
答案：（1）可以作为某个函数的图象，并且它的图象关于轴对称；（2）若点在函数图象上，则相应的点也在函数图象上，即函数图象上横坐标互为相反数的点，它们的纵坐标一定相等。
②以轴为折痕将纸对折，然后以轴为折痕将纸对折，在纸的背面（即第三象限）画出第一象限内图形的痕迹，然后将纸展开，观察坐标系中的图形：
问题：将第一象限和第三象限的图形看成一个整体，则这个图形可否作为某个函数的图象，若能请说出该图象具有什么特殊的性质？函数图象上相应的点的坐标有什么特殊的关系？
答案：（1）可以作为某个函数的图象，并且它的图象关于原点对称；（2）若点在函数图象上，则相应的点也在函数图象上，即函数图象上横坐标互为相反数的点，它们的纵坐标也一定互为相反数。
二、新课教学。
函数的奇偶性定义：
象上面实践操作①中的图象关于y轴对称的函数即是偶函数，操作②中的图象关于原点对称的函数即是奇函数。
1．偶函数（even function）
一般地，对于函数的定义域内的任意一个x，都有，那么就叫做偶函数。
（学生活动）：仿照偶函数的定义给出奇函数的定义
2．奇函数（odd function）
一般地，对于函数的定义域内的任意一个，都有，那么就叫做奇函数。
注意：
①函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；
②由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个，则也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）。
具有奇偶性的函数的图象的特征
偶函数的图象关于轴对称；
奇函数的图象关于原点对称。
三、典型例题。
1．判断函数的奇偶性
例1．应用函数奇偶性定义说明两个观察思考中的四个函数的奇偶性。（本例由学生讨论，师生共同总结具体方法步骤）
解：（略）
总结：利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：
①首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；
②确定与的关系；
③作出相应结论：
若或，则是偶函数；
若或，则是奇函数。
说明：函数具有奇偶性的一个必要条件是，定义域关于原点对称，所以判断函数的奇偶性应应首先判断函数的定义域是否关于原点对称，若不是即可断定函数是非奇非偶函数。
2．利用函数的奇偶性补全函数的图象
规律：
偶函数的图象关于y轴对称；
奇函数的图象关于原点对称。
说明：这也可以作为判断函数奇偶性的依据。
3．函数的奇偶性与单调性的关系
（学生活动）举几个简单的奇函数和偶函数的例子，并画出其图象，根据图象判断奇函数和偶函数的单调性具有什么特殊的特征。
例3．已知是奇函数，在（0，＋∞）上是增函数，证明：在（－∞，0）上也是增函数
解：（由一名学生板演，然后师生共同评析，规范格式与步骤）
规律：
偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反；
奇函数在关于原点对称的区间上单调性一致。
四、归纳小结，强化思想。
本节主要学习了函数的奇偶性，判断函数的奇偶性通常有两种方法，即定义法和图象法，用定义法判断函数的奇偶性时，必须注意首先判断函数的定义域是否关于原点对称。单调性与奇偶性的综合应用是本节的一个难点，需要学生结合函数的图象充分理解好单调性和奇偶性这两个性质。
五、作业布置。
补充作业：判断下列函数的奇偶性：
①；
②；
③（）
④
六、教学反思。
已知是定义在R上的函数，
设，
①试判断的奇偶性；
②试判断的关系；
③由此你能猜想得出什么样的结论，并说明理由。
幂函数
【教学目标】
1．使学生理解幂函数的概念，能够通过图象研究幂函数的性质。
2．在作幂函数的图象及研究幂函数的性质过程中，培养学生的观察能力，概括总结的能力。
3．通过对幂函数的研究，培养学生分析问题的能力。
【学习指导】
本节的重点有两个：一是幂函数的定义；二是幂函数的图象与性质。研究幂函数的图象与性质可通过对典型的幂函数，如、及的图象研究归纳的图象特征和函数性质，通过对幂函数、及的图象研究归纳的图象特征和函数性质。难点也有两个：一是幂函数与指数函数定义是有区别的，学生容易混淆。二是幂函数的定义域与图象是复杂多变的，要根据指数的具体情况而定。
学习时应该注意：（1）研究幂函数的性质时，通常将分数指数幂化为根式形式，负整指数幂化为分数形式再去进行讨论；（2）对于幂函数，我们首先应该分析函数的定义域、值域和奇偶性，由此确定图象的位置，即所在象限，其次确定曲线的类型，即，和三种情况下曲线的基本形状，还要注意，±1三个曲线的形状；对于幂函数在第一象限的图象的大致情况可以用口诀来记忆：“正抛负双，大竖小横”，即（）时图象是抛物线型；时图象是双曲线型；时图象是竖直抛物线型；时图象是横卧抛物线型。
运用幂函数的性质比较函数值的大小，若底数不同，指数相同，则用幂函数的性质即可作出判断，若底数相同，指数不同，则用指数函数的性质来作出判断。解题的时候要特别注意灵活的使用幂函数的图象和性质。
【教学过程】
一、例题精析
例1．写出下列函数的定义域，指出它们的奇偶性。并画出它们的图象，观察这些图象，看看有什么共同点？
（1）；（2）；（3）；（4）。
分析：分数指数幂可以与根式相互转化。把各函数解析式先化成根式形式即可。
例2．仿照例1研究下列函数的定义域和奇偶性，观察它们的图象，看看有什么共同点？
（1）；（2）；（3）；（4）。
分析：先将负指数幂化为正指数幂，再将分数指数幂化为根式。
评注：通过例1和例2的解决过程，体现数学学习的过程是一个建立在经验基础上的主动建构的过程，让学生在合作中获取知识。
二、知识提炼
1．幂函数图象
，互质
，都是奇数
是奇数 是偶数
是偶数 是奇数
2．幂函数图象性质
都过点（1，1）；
时，在第一象限内函数的图象随x的增大而上升，函数在区间上是单调增函数。当时，在第一象限内函数的图象随x的增大而下降，函数在区间上是单调减函数。
除原点外，任何幂函数图象与坐标轴都不相交，任何幂函数图象都不过第四象限；
任何两个幂函数图象最多有三个公共点。除，，，外，其他任何一点都不是两个幂函数的公共点。
⑤时幂函数图象总过原点，时，幂函数图象不过原点。
例3．讨论下列函数的定义域、值域、奇偶性与单调性：
（1）
分析：根据幂函数的性质讨论定义域、奇偶性，单调性。
评注：由例3让学生对幂函数性质的认识有一个提升。
例4．比较下列各题中两个值的大小。
（1）与 （2）与
（3）与 （4）与
分析：比较两数的大小可构造一个函数，考虑这个函数的单调区间。
评注：学生学习了幂函数以后，关键还在于对其性质要会灵活运用，例4是做一个基本的铺垫。
例5．取不同的有理数时，讨论幂函数的定义域。
分析：幂函数定义域不一定是R，其定义域要依据n的具体情况而定，当时，定义域中必不会有0.
评注：学习幂函数第1课时里研究了特殊的幂函数的定义域的问题，这里要求学生进一步研究一般的幂函数的定义域的问题，这是一种由特殊到一般的思想方法，由特殊到一般是数学里经常采用的思想方法，通过这道题可以体会这一思想方法。
例6．幂函数，，
，，在第一象限
的图象如图所示，则a，b，
c，d的大小关系是（ ）
A．；
B．；
C．；
D．
分析：重点掌握幂函数在第一象限的图象特征，它是判断一些问题的法宝，当自变量x＞1时，幂指数大的函数的函数值大。
评注：通过这道题，使学生体会不仅仅是“形式上”掌握幂函数的概念、图象和性质，更重要的是真正的理解，例如需要掌握幂函数在第一象限的图象特征，这在今后的学习中也应注意。
例7．如果函数是幂函数，且在区间上是减函数，求满足条件的实数的集合。
分析：我们从题中得到两条信息：一是幂函数，二是此函数在上是减函数。由幂函数定义：形如的函数称为幂函数，其中是自变量，是常数。的系数只能是1，从而得到；又由于该幂函数在上是减函数，由幂函数的性质可知，，即。由以上两条可求出满足所求的的范围。
评注：要注意最简单的概念和性质的灵活运用。
例8．已知，求的取值范围。
分析：由于对幂函数的概念和性质的不理解，就可能在解题过程中出现一些错误。
评注：本题实质上是解不等式，由于不等式的左右两边的幂指数都是，因此可借助于幂函数的图象性质来求解。正确思路是数形结合思想的运用。利用函数图象特征了解函数的性质，利用函数性质去解不等式。
例9．已知幂函数，（），在内，随增大而增大，且在定义域内图象关于轴对称，（1）求值及相应的。（2）对于（1）中所求函数，设函数问是否存在，使得在区间上是减函数且在区间上是增函数？若存在，请求出来；若不存在，请说明理由。
分析：抓住题目里所给的信息，分析解决题目结论的方法，是找到解决问题途径的关键所在。
评注：适当适时的与同学们一起探究一些有一定思维深度的问题对提高同学的思维能力有一定的帮助。
三、习题
1．下列命题中正确的是（ ）
A．当时，函数的图象是一条直线；
B．幂函数的图象都经过（0，0），（1，1）两点；
C．若幂函数的图象关于原点对称，则在定义域内随的增大而增大；
D．幂函数的图象不可能在第四象限。
2．下列函数中，定义域为的函数为（ ）。
A．； B．； C．； D．．
3．下列函数中不是幂函数的是（ ）
A．； B．； C．； D．．
4．，，，则下列关系式正确的是（ ）。
A． B． C． D．
5．已知函数
当 时，为正比例函数；
当 时，为反比例函数；
当 时，为二次函数；
当 时，为幂函数。
6．函数的图象，当时，在直线的上方；当时，在直线的下方，则的取值范围是 。
7．若，试求的取值范围。
8．为怎样的值时，函数的定义域是？
9．（1）求函数的定义域、值域。讨论当增大时，函数值如何变化？并画出图象；
（2）问上述函数的图象与函数的图象有何关系？
附答案：1．D
2．B
3．C
4．D
5．，0或；，2
（提示：当为正比例函数时，，即；当为反比例函数时，
，即或；
当为二次函数时，，即；
当为幂函数时，，即）
6．
7.幂函数的性质，有三种可能情况：或或
解得：。
8．
由①
由②，∴
综上：．
9．（1）；。当时，函数值y随x的增大而增大，当时，随的增大而减小。
（2）将的图象向左平移2个单位，即得到图象。
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函数的应用（一）
【教学目标】 【核心素养】
1．了解函数模型（如一次函数、二次函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型）的广泛应用． 2．能够利用给定的函数模型或建立确定的函数模型解决实际问题．（重点、难点） 1．通过建立函数模型解决实际问题，培养数学建模素养． 2．借助实际问题中的最值问题，提升数学运算素养．
【教学过程】
一、新知初探
常见的几类函数模型
函数模型 函数解析式
一次函数模型 f（x）＝ax＋b（a，b为常数，a≠0）
二次函数模型 f（x）＝ax2＋bx＋c（a，b，c为常数，a≠0）
分段函数模型 f（x）＝
二、初试身手
1．一个矩形的周长是40，则矩形的长y关于宽x的函数解析式为（ ）
A．y＝20－x，0B．y＝20－2x，0C．y＝40－x，0D．y＝40－2x，0答案：A
2．一辆汽车在某段路程中的行驶路程s关于时间t变化的图象如图所示，那么图象所对应的函数模型是（ ）
A．一次函数模型
B．二次函数模型
C．分段函数模型
D．无法确定
答案：C
由s与t的图象，可知t分4段，则函数模型为分段函数模型。
3．某商店进货单价为45元，若按50元一个销售，能卖出50个；若销售单价每涨1元，其销售量就减少2个，为了获得最大利润，此商品的最佳售价应为每个________元．
答案：60
设涨价x元，销售的利润为y元，
则y＝（50＋x－45）（50－2x）＝－2x2＋40x＋250
＝－2（x－10）2＋450，
所以当x＝10，即销售价为60元时，y取得最大值．
三、合作探究
一次函数模型的应用
类型1
例1：某厂日生产文具盒的总成本y（元）与日产量x（套）之间的关系为y＝6x＋30000．而出厂价格为每套12元，要使该厂不亏本，至少日生产文具盒（ ）
A．2000套
B．3000套
C．4000套
D．5000套
答案：D
因利润z＝12x－（6x＋30000），所以z＝6x－30000，由z≥0解得x≥5000，故至少日生产文具盒5000套．
规律方法
1．一次函数模型的实际应用
一次函数模型应用时，本着“问什么，设什么，列什么”这一原则．
2．一次函数的最值求解
一次函数求最值，常转化为求解不等式ax＋b≥0（或≤0），解答时，注意系数a的正负，也可以结合函数图象或其单调性来求最值．
跟踪训练
1．如图所示，这是某通讯公司规定的打某国际长途电话所需要付的电话费y（元）与通话时间t（分钟）之间的函数关系图象．根据图象填空：
①通话2分钟，需要付电话费________元；
②通话5分钟，需要付电话费________元；
③如果t≥3，则电话费y（元）与通话时间t（分钟）之间的函数关系式为________．
答案：①3.6；②6；③y＝1.2t（t≥3）
解析：①由图象可知，当t≤3时，电话费都是3.6元．
②由图象可知，当t＝5时，y＝6，需付电话费6元．
③易知当t≥3时，图象过点（3，3.6），（5，6），待定系数求得y＝1.2t（t≥3）．
二次函数模型的应用
类型2
例2：某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，假设每箱售价不得低于50元且不得高于55元．市场调查发现，若每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱．
（1）求平均每天的销售量y（箱）与销售单价x（元/箱）之间的函数关系式；
（2）求该批发商平均每天的销售利润w（元）与销售单价x（元/箱）之间的函数关系式；
（3）当每箱苹果的售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？
思路点拨：本题中平均每天的销售量y（箱）与销售单价x（元/箱）是一个一次函数关系，虽然x∈[50，55]，x∈N，但仍可把问题看成一次函数模型的应用问题；平均每天的销售利润w（元）与销售单价x（元/箱）是一个二次函数关系，可看成是一个二次函数模型的应用题．
解：（1）根据题意，得y＝90－3（x－50），
化简，得y＝－3x＋240（50≤x≤55，x∈N）．
（2）因为该批发商平均每天的销售利润＝平均每天的销售量×每箱销售利润．
所以w＝（x－40）（－3x＋240）＝－3x2＋360x－9 600（50≤x≤55，x∈N）．
（3）因为w＝－3x2＋360x－9 600＝－3（x－60）2＋1 200，
所以当x<60时，w随x的增大而增大．
又50≤x≤55，x∈N，所以当x＝55时，w有最大值，最大值为1 125．
所以当每箱苹果的售价为55元时，可以获得最大利润，且最大利润为1 125元．
规律方法
二次函数模型的解析式为g（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0）．在函数建模中，它占有重要的地位．在根据实际问题建立函数解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法来求函数的最值，从而解决实际问题中的最值问题．二次函数求最值最好结合二次函数的图象来解答．
跟踪训练
2．A，B两城相距100km，在两地之间距A城xkm处D地建一核电站给A，B两城供电，为保证城市安全，核电站距城市距离不得少于10km，已知每个城市的供电费用与供电距离的平方和供电量之积成正比，比例系数λ＝0.25．若A城供电量为20亿度/月，B城为10亿度/月．
（1）把A，B两城月供电总费用y（万元）表示成x（km）的函数，并求定义域；
（2）核电站建在距A城多远，才能使供电总费用最小．
解：（1）由题意设甲城的月供电费用为y1，则y1＝λ×20x2．
设乙城的月供电费用为y2，则y2＝λ×10×（100－x）2，
∴甲、乙两城月供电总费用y＝λ×20x2＋λ×10×（100－x）2．
∵λ＝0.25，
∴y＝5x2＋（100－x）2（10≤x≤90）．
（2）由y＝5x2＋（100－x）2＝x2－500x＋25 000
＝2＋，
则当x＝时，y最小．
故当核电站建在距A城km时，才能使供电总费用最小．
分段函数模型的应用
类型3
例3：某公司生产一种产品，每年投入固定成本0.5万元，此外每生产100件这种产品还需要增加投资0.25万元，经预测可知，市场对这种产品的年需求量为500件，当出售的这种产品的数量为t（单位：百件）时，销售所得的收入约为5t－t2（万元）．
（1）若该公司的年产量为x（单位：百件），试把该公司生产并销售这种产品所得的年利润表示为年产量x的函数；
（2）当这种产品的年产量为多少时，当年所得利润最大？
解：（1）当05时，产品只能售出500件．
所以f（x）＝
即f（x）＝
（2）当0f（x）max＝10.781 25（万元）．
当x>5时，f（x）<12－0.25×5＝10.75（万元）．
故当年产量为475件时，当年所得利润最大．
规律方法
1．分段函数的“段”一定要分得合理，不重不漏．
2．分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集．
3．分段函数的值域求法：逐段求函数值的范围，最后比较再下结论．
跟踪训练
3．已知A、B两地相距150千米，某人开汽车以60千米/时的速度从A地到B地，在B地停留1小时后再以50千米/时的速度返回A地．
（1）把汽车离开A地的距离x（千米）表示为时间t（小时）的函数；
（2）求汽车行驶5小时与A地的距离．
解：（1）汽车以60千米/时的速度从A地到B地需2.5小时，这时x＝60t；当2.5x＝
（2）当t＝5时，x＝－50×5＋325＝75，
即汽车行驶5小时离A地75千米．
四、课堂小结
1．解有关函数的应用题，首先应考虑选择哪一种函数作为模型，然后建立其解析式．求解析式时，一般利用待定系数法，要充分挖掘题目的隐含条件，充分利用函数图形的直观性．
2．数学建模的过程图示如下：
五、当堂达标
1．思考辨析
甲、乙两人在一次赛跑中，路程s与时间t的函数关系如图所示，判断下列说法的对错．
（1）甲比乙先出发．（ ）
（2）乙比甲跑的路程多．（ ）
（3）甲、乙两人的速度相同．（ ）
（4）甲先到达终点．（ ）
答案：（1）×（2）×（3）×（4）√
2．向高为H的水瓶中注水，注满为止．如果注水量V与水深h的函数关系的图象如图所示，那么水瓶的形状是（ ）
A B C D
答案：B
解析：图反映随着水深h的增加，注水量V增长速度越来越慢，这反映水瓶中水上升的液面越来越小．
3．某人从A地出发，开汽车以80千米/小时的速度经2小时到达B地，在B地停留2小时，则汽车离开A地的距离y（单位：千米）是时间t（单位：小时）的函数，该函数的解析式是________．
答案：y＝
4．某游乐场每天的盈利额y元与售出的门票张数x之间的函数关系如图所示，试由图象解决下列问题：
（1）求y与x的函数解析式；
（2）要使该游乐场每天的盈利额超过1000元，每天至少卖出多少张门票？
解：（1）由图象知，可设y＝kx＋b（k≠0），x∈[0，200]时，过点（0，－1000）和（200，1000），解得k＝10，b＝－1000，从而y＝10x－1 000；x∈（200，300]时，过点（200，500）和（300，2000），解得k＝15，b＝－2500，
从而y＝15x－2500，
所以y＝
（2）每天的盈利额超过1000元，则x∈（200，300]，由15x－2500>1000得，x>，故每天至少需要卖出234张门票．
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