指数
【教学目标】
1．掌握根式的概念和性质，并能熟练应用于相关计算中
2．培养培养观察分析、抽象概括能力、归纳总结能力、化归转化能力；
【教学重点】
根式的概念性质
【教学难点】
根式的概念
【教学准备】
多媒体、实物投影仪
【教材分析】
指数函数是基本初等函数之一，应用非常广泛它是在本章学习完函数概念和两个基本性质之后较为系统地研究的第一个初等函数
为了学习指数函数应该将初中学过的指数概念进行扩展，初中代数中学习了正整数指数、零指数和负整数指数的概念和运算性质本节在此基础上学习的运算性质为下一节学习分数指数幂概念和性质做准备
【教学过程】
一、复习引入：
1．整数指数幂的概念
2．运算性质：
3．注意
①可看作∴==
②可看作∴==
二、讲解新课：
1．根式：
（1）计算（可用计算器）
①，则3是9的平方根；
②，则是的立方根；
③若，则6是1 296的4次方根；
④．4 3957，则3．7是693．439 57的5次方根。
（2）定义：
一般地，若则x叫做a的n次方根
叫做根式，n叫做根指数，a叫做被开方数
例如，27的3次方根表示为，的5次方根表示为，的3次方根表示为；16的4次方根表示为，即16的4次方根有两个，一个是，另一个是-，它们绝对值相等而符号相反。
（3）性质：
①当n为奇数时：正数的n次方根为正数，负数的n次方根为负数
记作：
②当n为偶数时，正数的n次方根有两个（互为相反数）
记作：
③负数没有偶次方根，
④ 0的任何次方根为0
注：当时，，表示算术根，所以类似的写法是错误的。
（4）常用公式
根据n次方根的定义，易得到以下三组常用公式：
①当n为任意正整数时，．例如，，．
②当n为奇数时，；当n为偶数时，。
例如，，；，．
（3）根式的基本性质：，（a0）。
注意，（3）中的十分重要，无此条件则公式不成立。例如。
用语言叙述上面三个公式：
（1）非负实数a的n次方根的n次幂是它本身。
（2）n为奇数时，实数a的n次幂的n次方根是a本身；n为偶数时，实数a的n次幂的n次方根是a的绝对值。
（3）若一个根式（算术根）的被开方数是一个非负实数的幂，那么这个根式的根指数和被开方数的指数都乘以或者除以同一个正整数，根式的值不变。
三、讲解例题：
例1求值
①;
②;
③;
④。
去掉‘’结果如何？
例2求值：
（1）；
（2）
分析：（1）题需把各项被开方数变为完全平方形式，然后再利用根式运算性质；
解：
（1）
注意：此题开方后先带上绝对值，然后根据正负去掉绝对值符号。
（2）
四、练习：
五、小结
本节课学习了以下内容：
1．根式的概念；
2．根式的运算性质：
①当n为任意正整数时，．
②当n为奇数时，；当n为偶数时，。
3．根式的基本性质：，（）。
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指数函数
【教学目标】
知识目标：
理解指数函数的的概念和意义，能画出具体指数函数的图象，掌握指数函数的性质。
能力目标：
在学习过程中，体会研究具体函数及其性质的过程与方法，如具体到一般的过程、数形结合的方法等；
情感目标：
使学生了解指数函数模型的实际背景，认识数学与现实生活及其他学科的联系；感受探究未知世界的乐趣，从而培养学生对数学的热爱情感。
【教学重点】
掌握指数函数的概念和性质。
【教学难点】
用数形结合的方法从具体到一般地探索、概括指数函数的性质。
【教学过程】
一、引入
（1）一张白纸对折一次得两层，对折两次得4层，对折3次得8层，问若对折×次所得层数为，则与的函数关系是：
（2）一根1米长的绳子从中间剪一次剩下米，再从中间剪一次剩下米，若这条绳子剪x次剩下y米，则与的函数关系是：
（3）问题1人们研究发现，当生物死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”。当生物死亡了5 730，，，……年后，它体内碳14的含量 y 分别为，，，……
当生物死亡了1年，它体内碳14的含量为
则当生物死亡了x年后，它体内碳14的含量为y =
问题一：上面三个关系式上面三个关系式是之前我们已经学过的某一个函数吗？
问题二：那它们是函数吗？
问题三：它们有什么共同特征呢？
二、指数函数的定义
一般地，函数叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域为R。
问题三：为什么规定且a呢？
设计说明：对的范围的具体分析，有利于学生对指数函数一般形式的掌握，同时为后面研究函数的图象和性质埋下了伏笔。
课堂练习
1．下列函数是指数函数的是（ ）
A． B． C． D
2．函数是指数函数，求的值。
三、指数函数的图象和性质：
问题四：指数函数是我们在学习了函数基本概念和性质之后的接触到的第一个具体函数，而且我们已经得到了它的解析式，那还应该去探索它的哪些性质呢？
研究内容：定义域、值域、对应法则，特殊点、单调性、最大（小）值、奇偶性。
问题五：用什么方法去研究它的这些性质呢？
研究的步骤：1．先给出函数的定义；2．作出函数图象；3．结合图象，研究函数性质：
问题六：怎样才能得到指数函数的图象？
1．在同一坐标系中画出下列函数图象：，
2．课堂练习：学生练习作图：，[实物投影]
3．几何画板演示多个的图象
问题七：指数函数的图像有什么特点？
问题八：通过图象，你能“读出”我们想要研究的这些性质吗？
四、例题讲解
例1．函数（）的图象经过点，求，，的值。
问题九：确定指数函数重要要素是什么？
待定系数法
例2．比较下列各组中两个值的大小：
（1）， （2）， （3），
问题十：观察这三组数有什么区别？
问题十一：对于同底的两个数比大小，应用指数函数的哪个性质去解决？
单调法：构造函数，利用单调性
问题十一：对于同底的两个数比大小，应用指数函数的哪个性质去解决？
搭桥比较法：用特殊值1
设计说明：本题是为了让学生用抽象的函数性质来解决实际的数学问题，培养学生的抽象思维能力
五、课堂小结：
1．问题十三：今天我们共同体验了研究一个新函数的方法，也就是？？？
给出函数定义；（2）作出函数图象；（3）研究函数性质；（4）解决简单问题
2．指数函数的性质
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对数——对数的概念
【教学目标】
1．理解对数的概念，能够进行对数式与指数式的互化；
2．渗透应用意识，培养归纳思维能力和逻辑推理能力，提高数学发现能力
【教学重点】
对数的概念
【教学难点】
对数概念的理解。
【教学准备】
多媒体、实物投影仪
【教材分析】
对数产生于17世纪初叶，为了适应航海事业的发展，需要确定航程和船舶的位置，为了适应天文事业的发展，需要处理观测行星运动的数据，就是为了解决很多位数的数字繁杂的计算而产生了对数恩格斯曾把对数的发明与解析几何学的产生、微积分学的创始并称为17世纪数学的三大成就，给予很高的评价今天随着计算器的普及和电子计算机的广泛使用以及航天航海技术的不断进步，利用对数进行大数的计算功能的历史使命已基本完成，已被新的运算工具所取代，因此中学对于传统的对数内容进行了大量的删减但对数函数应用还是广泛的，后续的教学内容也经常用到
本节讲对数的定义和运算性质的目的主要是为了学习对数函数对数概念与指数概念有关，是在指数概念的基础上定义的，在一般对数定义logaN（a>0，a≠1）之后，给出两个特殊的对数：一个是当底数a=10时，称为常用对数，简记作lgN=b ；另一个是底数a=e（一个无理数）时，称为自然对数，简记作lnN =b这样既为学生以后学习或读有关的科技书给出了初步知识，也使教材大大简化，只保留到学习对数函数知识够用即可
【教学过程】
一、复习引入：
1庄子：一尺之棰，日取其半，万世不竭（1）取4次，还有多长？（2）取多少次，还有0.125尺？
2假设2002年我国国民生产总值为a亿元，如果每年平均增长8%，那么经过多少年国民生产总值是2002年的2倍？
抽象出：1．， 2．
也是已知底数和幂的值，求指数你能看得出来吗？怎样求呢？
二、新授内容：
定义：一般地，如果的次幂等于，就是，那么数叫做以为底的对数，记作，叫做对数的底数，N叫做真数
例如：；
；
探究：（1）负数与零没有对数（∵在指数式中）
（2），
∵对任意且，都有 ∴
同样易知：
（3）对数恒等式
如果把 中的写成，则有
（4）常用对数：我们通常将以10为底的对数叫做常用对数为了简便，N的常用对数简记作lgN
例如：简记作；简记作．
（5）自然对数：在科学技术中常常使用以无理数……为底的对数，以为底的对数叫自然对数，为了简便，N的自然对数简记作
例如：简记作；简记作ln10
（6）底数的取值范围；真数的取值范围
三、讲解范例：
例1将下列指数式写成对数式：
（1） （2） （3） （4）
解：（1）； （2）；
（3）； （4）
例2将下列对数式写成指数式：
（1）； （2）；
（3）； （4）
解：（1） （2）；
（3）； （4）
例3计算：（1），（2），（3），（4）
解法一：（1）设 则 ，∴
（2）设则，，∴
（3）令=，
∴，∴
（4）令，∴，，∴
解法二：
（1）；
（2）
（3）=
（4）
四、练习：
1．把下列指数式写成对数式
（1） （2） （3） （4）
解:（1） （2）
（3） （4）
2．把下列对数式写成指数式
（1） （2）
（3） （4）
解:（1） （2）
（3） （4）
3．求下列各式的值
（1） （2）
（3） （4）
（5） （6）
解:（1） （2）
（3） （4）
（5） （6）
4．求下列各式的值
（1） （2） （3）
（4） （5） （6）
解:（1） （2） （3）
（4） （5） （6）
五、小结
本节课学习了以下内容：
（1）对数的定义（2）指数式与对数式互换（3）求对数式的值
【作业布置】
1．把下列各题的指数式写成对数式
（1） （２） （３） （４）
（５） （６） （７） （８）
解：（1） （2） （3） （4）
（5） （6） （7） （8）
2．把下列各题的对数式写成指数式
（1） （2） （3）
（4） （5） （6）
解：（1） （2） （3）
（4） （5） （6）
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对数——对数的运算
【教学目标】
1．理解并掌握对数性质及运算法则，能初步运用对数的性质和运算法则解题。
2．通过法则的探究与推导，培养学生从特殊到一般的概括思想，渗透化归思想及逻辑思维能力。
3．通过法则探究，激发学生学习的积极性。培养大胆探索，实事求是的科学精神。
【教学重难点】
重点是对数的运算法则及推导和应用
难点是法则的探究与证明。
【教学方法】
引导发现法
【教学准备】
投影仪
【教学过程】
一、入新课
我们前面学习了对数的概念，那么什么叫对数呢？通过下面的题目来回答这个问题。
如果看到这个式子会有何联想？
由学生回答（1）（2）（3）（4）。
也就要求学生以后看到对数符号能联想四件事。从式子中，可以总结出从概念上讲，对数与指数就是一码事，从运算上讲它们互为逆运算的关系。既然是一种运算，自然就应有相应的运算法则，所以我们今天重点研究对数的运算法则。
二、对数的运算法则（板书）
对数与指数是互为逆运算的，自然应把握两者的关系及已知的指数运算法则来探求对数的运算法则，所以我们有必要先回顾一下指数的运算法则。
由学生回答后教师可用投影仪打出让学生看：，，。
然后直接提出课题：若，，，，是否成立？
由学生讨论并举出实例说明其不成立（如可以举而），教师在肯定结论的正确性的同时再提出
可提示学生利用刚才的反例，把改写成应为，而，还可以让学生再找几个例子，。之后让学生大胆说出发现有什么规律？
由学生回答应有成立。
现在它只是一个猜想，要保证其对任意，都成立，需要给出相应的证明，怎么证呢？你学过哪些与之相关的证明依据呢？
学生经过思考后找出可以利用对数概念，性质及与指数的关系，再找学生提出证明的基本思路，即对数问题先化成指数问题，再利用指数运算法则求解。找学生试说证明过程，教师可适当提示，然后板书。
证明：设，则，，由指数运算法则
得
∴，
即。（板书）
法则出来以后，要求学生能 从以下几方面去认识：
（1）公式成立的条件是什么？（由学生指出。注意是每个真数都大于零，每个对数式都有意义为使用前提条件）。
（2）能用文字语言叙述这条法则：两个正数的积的对数等于这两个正数的对数的和。
（3）若真数是三个正数，结果会怎样？很容易可得。
（条件同前）
（4）能否利用法则完成下面的运算：
例1：计算
（1） （2） （3）
由学生口答答案后，总结法则从左到右使用运算的级别降低了，从右到左运算是升级运算，要求运算从双向把握。然后提出新问题：
。
可由学生说出。得到大家认可后，再让学生完成证明。
证明：设，则，，由指数运算法则得
∴。
教师在肯定其证明过程的同时，提出是否还有其它的证明方法？能否用上刚才的结论？
有的学生可能会提出把看成再用法则，但无法解决计算问题，再引导学生如何回避的问题。经思考可以得到如下证法
。或证明如下
，再移项可得证。以上两种证明方法都体现了化归的思想，而且后面的证法中使用的拆分技巧”化减为加”也是会经常用到的。最后板书法则2，并让学生用文字语言叙述法则2．（两个正数的商的对数等于这两个正数的对数的差）
请学生完成下面的计算
（1） （2）。
计算后再提出刚才没有解决的问题即并将其一般化改为
学生在说出结论的同时就可给出证明如下：
设，则，，。教师还可让学生思考是否还有其它证明方法，可在课下研究。
将三条法则写在一起，用投影仪打出，并与指数的法则进行对比。然后要求学生从以下几个方面认识法则
（1）了解法则的由来。（怎么证）
（2）掌握法则的内容。（用符号语言和文字语言叙述）
（3）法则使用的条件。（使每一个对数都有意义）
（4）法则的功能。（要求能正反使用）
三、巩固练习
例2．计算
（1） （2） （3） （4）
（5） （6）
解答略
对学生的解答进行点评。
例3．已知，，用，的式子表示
（1） （2） （3）。
由学生上黑板写出求解过程。
四、小结
1．运算法则的内容
2．运算法则的推导与证明
3．运算法则的使用
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对数函数
【第1课时】
对数函数的概念、图像及性质
【教学目标】 【核心素养】
1．理解对数函数的概念，会求对数函数的定义域．（重点、难点） 2．能画出具体对数函数的图象，并能根据对数函数的图象说明对数函数的性质．（重点） 1．通过学习对数函数的图象，培养直观想象素养． 2．借助对数函数的定义域的求解，培养数学运算的素养．
【教学过程】
一、新知初探
1．对数函数的概念
函数y＝logax（a>0，且a≠1）叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，＋∞）．
思考1：函数y＝2log3x，y＝log3（2x）是对数函数吗？
提示：不是，其不符合对数函数的形式．
2．对数函数的图象及性质
a的范围 0
1
图象
定义域 （0，＋∞）
值域 R
性质 定点 （1，0），即x＝1时，y＝0
单调性 在（0，＋∞）上是减函数 在（0，＋∞）上是增函数
思考2：对数函数的“上升”或“下降”与谁有关？
提示：底数a与1的关系决定了对数函数的升降．
当a>1时，对数函数的图象“上升”；当03．反函数
指数函数y＝ax（a>0，且a≠1）与对数函数y＝logax（a>0且a≠1）互为反函数．
二、初试身手
1．函数y＝logax的图象如图所示，则实数a的可能取值为（ ）
A．5
B．
C．
D．
答案：A
解析：由图可知，a>1，故选A．
2．若对数函数过点（4，2），则其解析式为________．
答案：f（x）＝log2x
解析：设对数函数的解析式为f（x）＝logax（a>0且a≠1）．由f（4）＝2得loga4＝2，∴a＝2，即f（x）＝log2x．
3．函数f（x）＝log2（x＋1）的定义域为________．
答案：（－1，＋∞）
解析：由x＋1>0得x>－1，故f（x）的定义域为（－1，＋∞）．
三、合作探究
对数函数的概念及应用
类型1
例1：（1）下列给出的函数：①y＝log5x＋1；
②y＝logax2（a>0，且a≠1）；③y＝log（－1）x；
④y＝log3x；⑤y＝logx（x>0，且x≠1）；
⑥y＝logx．其中是对数函数的为（ ）
A．③④⑤
B．②④⑥
C．①③⑤⑥
D．③⑥
（2）若函数y＝log（2a－1）x＋（a2－5a＋4）是对数函数，则a＝________．
（3）已知对数函数的图象过点（16，4），则f＝__________．
答案：（1）D（2）4（3）－1
解析：（1）由对数函数定义知，③⑥是对数函数，故选D．
（2）因为函数y＝log（2a－1）x＋（a2－5a＋4）是对数函数，
所以
解得a＝4．
（3）设对数函数为f（x）＝logax（a>0且a≠1），
由f（16）＝4可知loga16＝4，∴a＝2，
∴f（x）＝log2x，
∴f＝log2＝－1．
规律方法
判断一个函数是对数函数的方法
跟踪训练
1．若函数f（x）＝（a2＋a－5）logax是对数函数，则a＝________．
答案：2
解析：由a2＋a－5＝1得a＝－3或a＝2．又a>0且a≠1，所以a＝2．
对数函数的定义域
类型2
例2：求下列函数的定义域：
（1）f（x）＝；
（2）f（x）＝＋ln（x＋1）；
（3）f（x）＝log（2x－1）（－4x＋8）．
解：（1）要使函数f（x）有意义，则logx＋1>0，即logx>－1，解得0（2）函数式若有意义，需满足即解得－1（3）由题意得解得故函数y＝log（2x－1）（－4x＋8）的定义域为．
规律方法
求对数型函数的定义域时应遵循的原则
1．分母不能为0．
2．根指数为偶数时，被开方数非负．
3．对数的真数大于0，底数大于0且不为1．
提醒：定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合，求与对数函数有关的定义域问题时，要注意对数函数的概念，若自变量在真数上，则必须保证真数大于0；若自变量在底数上，应保证底数大于0且不等于1．
跟踪训练
2．求下列函数的定义域：
（1）f（x）＝lg（x－2）＋；
（2）f（x）＝log（x＋1）（16－4x）．
解：（1）要使函数有意义，需满足
解得x>2且x≠3，
所以函数定义域为（2，3）∪（3，＋∞）．
（2）要使函数有意义，需满足
解得－1所以函数定义域为（－1，0）∪（0，4）．
对数函数的图象问题
类型3
探究问题
1．如图，曲线C1，C2，C3，C4分别对应y＝loga1x，y＝loga2x，y＝loga3x，y＝loga4x的图象，你能指出a1，a2，a3，a4以及1的大小关系吗？
提示：作直线y＝1，它与各曲线C1，C2，C3，C4的交点的横坐标就是各对数的底数，由此可判断出各底数的大小必有a4>a3>1>a2>a1>0．
2．函数y＝ax与y＝logax（a>0且a≠1）的图象有何特点？
提示：两函数的图象关于直线y＝x对称．
例3：（1）当a>1时，在同一坐标系中，函数y＝a－x与y＝logax的图象为（ ）
A B C D
（2）已知f（x）＝loga|x|，满足f（－5）＝1，试画出函数f（x）的图象．
思路点拨：（1）结合a>1时y＝a－x＝x及y＝logax的图象求解．
（2）由f（－5）＝1求得a，然后借助函数的奇偶性作图．
答案：（1）∵a>1，∴0<<1，∴y＝a－x是减函数，y＝logax是增函数，故选C．
（2）解：∵f（x）＝loga|x|，∴f（－5）＝loga5＝1，即a＝5，
∴f（x）＝log5|x|，
∴f（x）是偶函数，其图象如图所示．
母题探究
1．把本例（1）的条件“a>1”去掉，函数“y＝logax”改为“y＝loga（－x）”，则函数y＝a－x与y＝loga（－x）的图象可能是（ ）
答案：C
解析：∵在y＝loga（－x）中，－x＞0，∴x＜0，
∴图象只能在y轴的左侧，故排除A，D；
当a＞1时，y＝loga（－x）是减函数，
y＝a－x＝x是减函数，故排除B；
当0＜a＜1时，y＝loga（－x）是增函数，
y＝a－x＝x是增函数，∴C满足条件，故选C．
2．把本例（2）改为f（x）＝＋2，试作出其图象．
解：第一步：作y＝log2x的图象，如图（1）所示．
（1） （2）
第二步：将y＝log2x的图象沿x轴向左平移1个单位长度，得y＝log2（x＋1）的图象，如图（2）所示．
第三步：将y＝log2（x＋1）的图象在x轴下方的部分作关于x轴的对称变换，得y＝|log2（x＋1）|的图象，如图（3）所示．
第四步：将y＝|log2（x＋1）|的图象沿y轴向上平移2个单位长度，即得到所求的函数图象，如图（4）所示．
（3） （4）
规律方法
函数图象的变换规律
1．一般地，函数y＝f（x±a）＋b，a，b为实数?的图象是由函数y＝f（x）的图象沿x轴向左或向右平移|a|个单位长度，再沿y轴向上或向下平移|b|个单位长度得到的．
2．含有绝对值的函数的图象一般是经过对称变换得到的．一般地，y＝f（|x－a|）的图象是关于直线x＝a对称的轴对称图形；函数y＝|f（x）|的图象与y＝f（x）的图象在f（x）≥0的部分相同，在f（x）<0的部分关于x轴对称．
四、课堂小结
1．判断一个函数是不是对数函数关键是分析所给函数是否具有y＝logax（a>0且a≠1）这种形式．
2．在对数函数y＝logax中，底数a对其图象直接产生影响，学会以分类的观点认识和掌握对数函数的图象和性质．
3．涉及对数函数定义域的问题，常从真数和底数两个角度分析．
五、当堂达标
1．思考辨析
（1）对数函数的定义域为R．（ ）
（2）函数y＝loga（x＋2）恒过定点（－1，0）．（ ）
（3）对数函数的图象一定在y轴右侧．（ ）
（4）函数y＝log2x与y＝x2互为反函数．（ ）
答案：（1）×（2）√（3）√（4）×
2．下列函数是对数函数的是（ ）
A．y＝2＋log3x
B．y＝loga（2a）（a>0，且a≠1）
C．y＝logax2（a>0，且a≠1）
D．y＝ln x
答案：D
解析：结合对数函数的形式y＝logax（a>0且a≠1）可知D正确．
3．函数f（x）＝＋lg（5－3x）的定义域是（ ）
A．
B．
C．
D．
答案：C
解析：由得
即1≤x<．
4．已知f（x）＝log3x．
（1）作出这个函数的图象；
（2）若f（a）解：（1）作出函数y＝log3x的图象如图所示．
（2）令f（x）＝f（2），
即log3x＝log32，解得x＝2．
由图象知：
当0所以所求a的取值范围为0【第2课时】
对数函数及其性质的应用
【教学目标】 【核心素养】
1．掌握对数函数的单调性，会进行同底对数和不同底对数大小的比较．（重点） 2．通过指数函数、对数函数的学习，加深理解分类讨论、数形结合这两种重要数学思想的意义和作用．（重点） 1．通过学习对数函数的单调性的应用，培养逻辑推理素养． 2．借助对数函数性质的综合应用的学习，提升逻辑推理及数学运算素养．
【教学过程】
一、合作探究
比较对数值的大小
类型1
例1：比较下列各组值的大小：
（1）log5与log5；
（2）log2与log2；
（3）log23与log54．
解：（1）法一（单调性法）：对数函数y＝log5x在（0，＋∞）上是增函数，而<，所以log5法二（中间值法）：因为log5<0，log5>0，
所以log5（2）法一（单调性法）：由于log2＝，log2＝，
又因对数函数y＝log2x在（0，＋∞）上是增函数，
且>，所以0>log2>log2，
所以<，所以log2法二（图象法）：如图，在同一坐标系中分别画出y＝logx及y＝logx的图象，由图易知：log2（3）取中间值1，
因为log23>log22＝1＝log55>log54，
所以log23>log54．
规律方法
比较对数值大小的常用方法
1．同底数的利用对数函数的单调性．
2．同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化．
3．底数和真数都不同，找中间量．
提醒：比较数的大小时先利用性质比较出与零或1的大小．
跟踪训练
1．比较下列各组值的大小：
（1）log0.5，log0.6；
（2）log1.51.6，log1.51.4；
（3）log0.57，log0.67；
（4）log3π，log20.8．
解：（1）因为函数y＝logx是减函数，且0.5<0.6，所以log0.5>log0.6．
（2）因为函数y＝log1.5x是增函数，且1.6>1.4，所以log1.51.6>log1.51.4．
（3）因为0>log70．6>log70.5，
所以<，即log0.67（4）因为log3π>log31＝0，log20．8log20.8．
解对数不等式
类型2
例2：已知函数f（x）＝loga（x－1），g（x）＝loga（6－2x）（a＞0，且a≠1）．
（1）求函数φ（x）＝f（x）＋g（x）的定义域；
（2）试确定不等式f（x）≤g（x）中x的取值范围．
思路点拨：（1）直接由对数式的真数大于0联立不等式组求解x的取值集合．
（2）分a＞1和0＜a＜1求解不等式得答案．
解：（1）由解得1＜x＜3，∴函数φ（x）的定义域为{x|1＜x＜3}．
（2）不等式f（x）≤g（x），即为loga（x－1）≤loga（6－2x），
①当a＞1时，不等式等价于
解得1②当0＜a＜1时，不等式等价于
解得≤x<3．
综上可得，当a＞1时，不等式的解集为；
当0＜a＜1时，不等式的解集为．
规律方法
常见的对数不等式的三种类型
1．形如logax＞logab的不等式，借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论；
2．形如logax＞b的不等式，应将b化为以a为底数的对数式的形式，再借助y＝logax的单调性求解；
3．形如logax＞logbx的不等式，可利用图象求解．
跟踪训练
2．（1）已知loga>1，求a的取值范围；
（2）已知log0.7（2x）解：（1）由loga>1得loga>logaa．
①当a>1时，有a<，此时无解．
②当0所以a的取值范围是．
（2）因为函数y＝log0.7x在（0，＋∞）上为减函数，
所以由log0.7（2x）1．
即x的取值范围是（1，＋∞）．
对数函数性质的综合应用
类型3
探究问题
1．类比y＝af（x）单调性的判断法，你能分析一下y＝log（2x－1）的单调性吗？
提示：形如y＝af（x）的单调性满足“同增异减”的原则，由于y＝log（2x－1）由函数y＝logt及t＝2x－1复合而成，且定义域为2x－1>0，即x>，结合“同增异减”可知，
y＝log（2x－1）的减区间为．
2．如何求形如y＝logaf（x）的值域？
提示：先求y＝f（x）的值域，注意f（x）>0，在此基础上，分a>1和0例3：（1）已知y＝loga（2－ax）是[0，1]上的减函数，则a的取值范围为（ ）
A．（0，1）
B．（1，2）
C．（0，2）
D．[2，＋∞）
（2）函数f（x）＝log（x2＋2x＋3）的值域是________．
思路点拨：（1）结合对数函数及y＝2－ax的单调性，构造关于a的不等式组，解不等式组可得．
（2）先求真数的范围，再根据对数函数的单调性求解．
答案：（1）B（2）（－∞，－1]
解析：（1）∵f（x）＝loga（2－ax）在[0，1]上是减函数，且y＝2－ax在[0，1]上是减函数，
∴
即∴∴1＜a＜2．
（2）f（x）＝log（x2＋2x＋3）＝log[（x＋1）2＋2]，
因为（x＋1）2＋2≥2，
所以log[（x＋1）2＋2]≤log2＝－1，所以函数f（x）的值域是（－∞，－1]．]
母题探究
1．求本例（2）的函数f（x）在[－3，1]上的值域．
解：∵x∈[－3，1]，
∴2≤x2＋2x＋3≤6，
∴log6≤log（x2＋2x＋3）≤log2，
即－log26≤f（x）≤－1，
∴f（x）的值域为[－log26，－1]．
2．求本例（2）的单调区间．
解：∵x2＋2x＋3＝（x＋1）2＋2>0，
又y＝logt在（0，＋∞）为减函数，
且t＝x2＋2x＋3在（－∞，－1）上为减函数，在[－1，＋∞）上为增函数，故由复合函数单调性可知，y＝log（x2＋2x＋3）单调递增区间为（－∞，－1），单调递减区间为[－1，＋∞）．
规律方法
1．已知对数型函数的单调性求参数的取值范围，要结合复合函数的单调性规律，注意函数的定义域求解；若是分段函数，则需注意两段函数最值的大小关系．
2．求对数型函数的值域一般是先求真数的范围，然后利用对数函数的单调性求解．
二、课堂小结
1．比较两个对数值的大小及解对数不等式问题，其依据是对数函数的单调性，若对数的底数是字母且范围不明确，一般要分a>1和02．解决与对数函数相关的问题时要树立“定义域优先”的原则，同时注意数形结合思想和分类讨论思想在解决问题中的应用．
三、当堂达标
1．思考辨析
（1）y＝log2x2在[0，＋∞）上为增函数．（ ）
（2）y＝logx2在（0，＋∞）上为增函数．（ ）
（3）ln x<1的解集为（－∞，e）．（ ）
（4）函数y＝log（x2＋1）的值域为[0，＋∞）．（ ）
答案：（1）×（2）×（3）×（4）×
2．设a＝log32，b＝log52，c＝log23，则（ ）
A．a>c>b
B．b>c>a
C．c>b>a
D．c>a>b
答案：D
解析：a＝log32log22＝1，由对数函数的性质可知log523．函数f（x）＝log2（1＋2x）的单调增区间是______．
答案：
解析：易知函数f（x）的定义域为－，＋∞，又因为函数y＝log2x和y＝1＋2x都是增函数，所以f（x）的单调增区间是．
4．已知a＞0且满足不等式22a＋1＞25a－2．
（1）求实数a的取值范围；
（2）求不等式loga（3x＋1）（3）若函数y＝loga（2x－1）在区间[1，3]上有最小值为－2，求实数a的值．
解：（1）∵22a＋1＞25a－2，∴2a＋1＞5a－2，即3a＜3，∴a＜1，即0＜a＜1．∴实数a的取值范围是（0，1）．
（2）由（1）得，0＜a＜1，∵loga（3x＋1）∴
即解得即不等式的解集为．
（3）∵0＜a＜1，∴函数y＝loga（2x－1）在区间[1，3]上为减函数，∴当x＝3时，y有最小值为－2，即loga5＝－2，∴a－2＝＝5，解得a＝．
【第3课时】
不同函数增长的差异
【教学目标】 【核心素养】
1．理解直线上升、指数爆炸、对数增长的含义．（重点） 2．区分指数函数、对数函数以及一次函数增长速度的差异．（易混点） 3．会选择适当的函数模型分析和解决一些实际问题．（难点） 借助三个函数模型的增长特征培养数学运算、数学建模的素养．
【教学过程】
一、新知初探
三种函数模型的性质
y＝ax（a>1） y＝logax（a>1） y＝kx（k>0）
在（0，＋∞）上的增减性 增函数 增函数 增函数
图象的变化趋势 随x增大逐渐近似与y轴平行 随x增大逐渐近似与x轴平行 保持固定增长速度
增长速度 ①y＝ax（a>1）：随着x的增大，y增长速度越来越快，会远远大于y＝kx（k>0）的增长速度，y＝logax（a>1）的增长速度越来越慢； ②存在一个x0，当x>x0时，有ax>kx>logax
二、初试身手
1．已知变量y＝1＋2x，当x减少1个单位时，y的变化情况是（ ）
A．y减少1个单位
B．y增加1个单位
C．y减少2个单位
D．y增加2个单位
答案：C
解析：结合函数y＝1＋2x的变化特征可知C正确．
2．下列函数中随x的增大而增大且速度最快的是（ ）
A．y＝ex
B．y＝ln x
C．y＝2x
D．y＝e－x
答案：A
解析：结合指数函数、对数函数及一次函数的图象变化趋势可知A正确．
3．某工厂8年来某种产品总产量C与时间t（年）的函数关系如图所示．
以下四种说法：
①前三年产量增长的速度越来越快；②前三年产量增长的速度越来越慢；③第三年后这种产品停止生产；④第三年后产量保持不变．
其中说法正确的序号是________．
答案：②③
解析：结合图象可知②③正确，故填②③．
三、合作探究
几类函数模型的增长差异
类型1
例1：（1）下列函数中，增长速度最快的是（ ）
A．y＝2019x
B．y＝2019
C．y＝log2 019x
D．y＝2019x
（2）下面对函数f（x）＝logx，g（x）＝x与h（x）＝－2x在区间（0，＋∞）上的递减情况说法正确的是（ ）
A．f（x）递减速度越来越慢，g（x）递减速度越来越快，h（x）递减速度越来越慢
B．f（x）递减速度越来越快，g（x）递减速度越来越慢，h（x）递减速度越来越快
C．f（x）递减速度越来越慢，g（x）递减速度越来越慢，h（x）递减速度不变
D．f（x）递减速度越来越快，g（x）递减速度越来越快，h（x）递减速度越来越快
答案：（1）A（2）C
解析：（1）指数函数y＝ax，在a>1时呈爆炸式增长，并且随a值的增大，增长速度越快，应选A．
（2）观察函数f（x）＝logx，g（x）＝x与h（x）＝－2x在区间（0，＋∞）上的图象（如图）可知：
函数f（x）的图象在区间（0，1）上递减较快，但递减速度逐渐变慢；在区间（1，＋∞）上，递减较慢，且越来越慢，同样，函数g（x）的图象在区间（0，＋∞）上，递减较慢，且递减速度越来越慢；函数h（x）的图象递减速度不变．
规律方法
常见的函数模型及增长特点
1．线性函数模型
线性函数模型y＝kx＋b（k>0）的增长特点是直线上升，其增长速度不变．
2．指数函数模型
指数函数模型y＝ax（a>1）的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧，形象地称为“指数爆炸”．
3．对数函数模型
对数函数模型y＝logax（a>1）的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓．
跟踪训练
1．四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如表：
x 1 5 10 15 20 25 30
y1 2 26 101 226 401 626 901
y2 2 32 1024 37768 1.05×106 3.36×107 1.07×109
y3 2 10 20 30 40 50 60
y4 2 4.322 5.322 5.907 6.322 6.644 6.907
关于x呈指数函数变化的变量是________．
答案：y2
解析：以爆炸式增长的变量呈指数函数变化．从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，且都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，画出它们的图象（图略），可知变量y2关于x呈指数型函数变化．故填y2．
指数函数、对数函数与一次函数模型的比较
类型2
例2：函数f（x）＝2x和g（x）＝2x的图象如图所示，设两函数的图象交于点A（x1，y1），B（x2，y2），且x1＜x2．
（1）请指出图中曲线C1，C2分别对应的函数；
（2）结合函数图象，判断f与g，f（2019）与g（2019）的大小．
解：（1）C1对应的函数为g（x）＝2x，C2对应的函数为f（x）＝2x．
（2）∵f（1）＝g（1），f（2）＝g（2）
从图象上可以看出，当1＜x＜2时，f（x）＜g（x），
∴f＜g；
当x＞2时，f（x）＞g（x），
∴f（2019）＞g（2019）．
规律方法
由图象判断指数函数、一次函数的方法
根据图象判断增长型的指数函数、一次函数时，通常是观察函数图象上升得快慢，即随着自变量的增大，图象最“陡”的函数是指数函数．
跟踪训练
2．函数f（x）＝lg x，g（x）＝0．3x－1的图象如图所示．
（1）试根据函数的增长差异指出曲线C1，C2分别对应的函数；
（2）比较两函数的增长差异（以两图象交点为分界点，对f（x），g（x）的大小进行比较）．
解：（1）C1对应的函数为g（x）＝0．3x－1，C2对应的函数为f（x）＝lg x．
（2）当xf（x）；当x1g（x）；当x>x2时，g（x）>f（x）；当x＝x1或x＝x2时，f（x）＝g（x）．
四、课堂小结
直线上升、指数爆炸、对数增长
对于直线y＝kx＋b（k≥0）、指数函数y＝ax（a>1）、对数函数y＝logbx（b>1），当自变量变得很大时，指数函数比一次函数增长得快，一次函数比对数函数增长得快，并且直线上升，其增长量固定不变．
五、当堂达标
1．思考辨析
（1）函数y＝2x比y＝2x增长的速度更快些．（ ）
（2）当a>1，n>0时，在区间（0，＋∞）上，对任意的x，总有logax（3）函数y＝logx衰减的速度越来越慢．（ ）
答案：（1）×（2）×（3）√
2．下列函数中，随x的增大，增长速度最快的是（ ）
A．y＝1
B．y＝x
C．y＝3x
D．y＝log3x
答案：C
解析：结合函数y＝1，y＝x，y＝3x及y＝log3x的图象可知（图略），随着x的增大，增长速度最快的是y＝3x．
3．某人投资x元，获利y元，有以下三种方案．甲：y＝0.2x，乙：y＝log2x＋100，丙：y＝1.005x，则投资500元，1000元，1500元时，应分别选择________方案．
答案：乙、甲、丙
解析：将投资数分别代入甲、乙、丙的函数关系式中比较y值的大小即可求出．
4．画出函数f（x）＝与函数g（x）＝x2－2的图象，并比较两者在[0，＋∞）上的大小关系．
解：函数f（x）与g（x）的图象如图所示．
根据图象易得：当0≤x<4时，f（x）>g（x）；
当x＝4时，f（x）＝g（x）；
当x>4时，f（x） 19 / 19
函数的应用（二）
【第1课时】
函数的零点与方程的解
【教学目标】 【核心素养】
1．理解函数零点的概念以及函数零点与方程根的关系．（易混点） 2．会求函数的零点．（重点） 3．掌握函数零点存在定理并会判断函数零点的个数．（难点） 1．借助零点的求法培养数学运算和逻辑推理的素养． 2．借助函数的零点同方程根的关系，培养直观想象的数学素养．
【教学过程】
一、新知初探
1．函数的零点
对于函数y＝f（x），把使f（x）＝0的实数x叫做函数y＝f（x）的零点．
思考1：函数的零点是函数与x轴的交点吗？
提示：不是．函数的零点不是个点，而是一个数，该数是函数图象与x轴交点的横坐标．
2．方程、函数、函数图象之间的关系
方程f（x）＝0有实数根?函数y＝f（x）的图象与x轴有交点?函数y＝f（x）有零点．
3．函数零点存在定理
如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f（a）f（b）<0，那么，函数y＝f（x）在区间（a，b）内至少有一个零点，即存在c∈（a，b），使得f（c）＝0，这个c也就是方程f（x）＝0的解．
思考2：该定理具备哪些条件？
提示：定理要求具备两条：①函数在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线；②f（a）·f（b）<0．
二、初试身手
1．下列各图象表示的函数中没有零点的是（ ）
A B C D
答案：D
解析：结合函数零点的定义可知选项D没有零点．
2．函数y＝2x－1的零点是（ ）
A．
B．
C．
D．2
答案：A
解析：由2x－1＝0得x＝．
3．函数f（x）＝3x－4的零点所在区间为（ ）
A．（0，1）
B．（－1，0）
C．（2，3）
D．（1，2）
答案：D
解析：由f（－1）＝－<0，f（0）＝－3<0，f（1）＝－1<0，f（2）＝5>0，f（3）＝23>0，得f（x）的零点所在区间为（1，2）．
4．二次函数y＝ax2＋bx＋c中，a·c<0，则函数有________个零点．
答案：2
解析：由Δ＝b2－4ac>0得二次函数y＝ax2＋bx＋c有两个零点．
三、合作探究
求函数的零点
类型1
例1：（1）求函数f（x）＝的零点；
（2）已知函数f（x）＝ax－b（a≠0）的零点为3，求函数g（x）＝bx2＋ax的零点．
解：（1）当x≤0时，令x2＋2x－3＝0，解得x＝－3；
当x>0时，令－2＋ln x＝0，解得x＝e2．
所以函数f（x）＝的零点为－3和e2．
（2）由已知得f（3）＝0即3a－b＝0，即b＝3a．
故g（x）＝3ax2＋ax＝ax（3x＋1）．
令g（x）＝0，即ax（3x＋1）＝0，
解得x＝0或x＝－．
所以函数g（x）的零点为0和－．
规律方法
函数零点的求法
1．代数法：求方程f（x）＝0的实数根．
2．几何法：对于不能用求根公式的方程f（x）＝0，可以将它与函数y＝f（x）的图象联系起来．图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点．
跟踪训练
1．判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出；否则，请说明理由．
（1）f（x）＝x2＋7x＋6；
（2）f（x）＝1－log2（x＋3）；
（3）f（x）＝2x－1－3；
（4）f（x）＝．
解：（1）解方程f（x）＝x2＋7x＋6＝0，
得x＝－1或x＝－6，
所以函数的零点是－1，－6．
（2）解方程f（x）＝1－log2（x＋3）＝0，得x＝－1，所以函数的零点是－1．
（3）解方程f（x）＝2x－1－3＝0，得x＝log26，所以函数的零点是log26．
（4）解方程f（x）＝＝0，得x＝－6，所以函数的零点为－6．
判断函数零点所在的区间
类型2
例2：（1）函数f（x）＝ln（x＋1）－的零点所在的大致区间是（ ）
A．（3，4）
B．（2，e）
C．（1，2）
D．（0，1）
（2）根据表格内的数据，可以断定方程ex－x－3＝0的一个根所在区间是（ ）
x －1 0 1 2 3
ex 0.37 1 2.72 7.39 20.08
x＋3 2 3 4 5 6
A．（－1，0）
B．（0，1）
C．（1，2）
D．（2，3）
答案：（1）C（2）C
解析：（1）因为f（1）＝ln 2－<0，f（2）＝ln 3－1>0，且函数f（x）在（0，＋∞）上单调递增，
所以函数的零点所在区间为（1，2）．故选C．
（2）构造函数f（x）＝ex－x－3，由上表可得f（－1）＝0.37－2＝－1.63<0，
f（0）＝1－3＝－2<0，
f（1）＝2.72－4＝－1.28<0，
f（2）＝7.39－5＝2.39>0，
f（3）＝20.08－6＝14.08>0，
f（1）·f（2）<0，所以方程的一个根所在区间为（1，2），故选C．]
规律方法
判断函数零点所在区间的三个步骤
1．代入：将区间端点值代入函数求出函数的值．
2．判断：把所得的函数值相乘，并进行符号判断．
3．结论：若符号为正且函数在该区间内是单调函数，则在该区间内无零点，若符号为负且函数连续，则在该区间内至少有一个零点．
跟踪训练
2．若函数f（x）＝x＋（a∈R）在区间（1，2）上有零点，则a的值可能是（ ）
A．－2
B．0
C．1
D．3
答案：A
解析：f（x）＝x＋（a∈R）的图象在（1，2）上是连续不断的，逐个选项代入验证，当a＝－2时，f（1）＝1－2＝－1<0，f（2）＝2－1＝1>0．故f（x）在区间（1，2）上有零点，同理，其他选项不符合，选A．]
函数零点的个数
类型3
探究问题
1．方程f（x）＝a的根的个数与函数y＝f（x）及y＝a的图象交点个数什么关系？
提示：相等．
2．若函数g（x）＝f（x）－a有零点，如何求实数a的范围？
提示：法一：g（x）＝f（x）－a有零点可知方程
f（x）－a＝0有解，即a＝f（x）有解．
故a的范围为y＝f（x）的值域．
法二：g（x）＝f（x）－a有零点，等价于函数y＝a与函数y＝f（x）的图象有交点，故可在同一坐标系中分别画出两函数的图象，观察交点情况即可．
例3：已知0A．1
B．2
C．3
D．4
思路点拨：→→
答案：B
解析：函数y＝a|x|－|logax|（0画出函数f（x）＝a|x|（0母题探究
1．把本例函数“y＝a|x|－|logax|”改为“y＝2x|logax|－1”，再判断其零点个数．
解：由2x|logax|－1＝0得|logax|＝x，作出y＝x及y＝|logax|（0由图可知，两函数的图象有两个交点，
所以函数y＝2x|logax|－1有两个零点．
2．若把本例条件换成“函数f（x）＝|2x－2|－b有两个零点”，求实数b的取值范围．
解：由f（x）＝|2x－2|－b＝0，得|2x－2|＝b．
在同一平面直角坐标系中分别画出y＝|2x－2|与y＝b的图象，如图所示．
则当0四、课堂小结
1．在函数零点存在定理中，要注意三点：（1）函数是连续的；（2）定理不可逆；（3）至少存在一个零点．
2．方程f（x）＝g（x）的根是函数f（x）与g（x）的图象交点的横坐标，也是函数y＝f（x）－g（x）的图象与x轴交点的横坐标．
3．函数与方程有着密切的联系，有些方程问题可以转化为函数问题求解，同样，函数问题有时也可以转化为方程问题，这正是函数与方程思想的基础．
五、当堂达标
1．思考辨析
（1）f（x）＝x2的零点是0．（ ）
（2）若f（a）·f（b）>0，则f（x）在[a，b]内无零点．（ ）
（3）若f（x）在[a，b]上为单调函数，且f（a）·f（b）<0，则f（x）在（a，b）内有且只有一个零点．（ ）
（4）若f（x）在（a，b）内有且只有一个零点，则f（a）·f（b）<0．（ ）
答案：（1）√（2）×（3）×（4）×
2．函数f（x）＝2x－3的零点所在的区间是（ ）
A．（0，1）
B．（1，2）
C．（2，3）
D．（3，4）
答案：B
解析：∵f（1）＝2－3＝－1<0，f（2）＝4－3＝1>0，
∴f（1）·f（2）<0，即f（x）的零点所在的区间为（1，2）．
3．对于函数f（x），若f（－1）·f（3）<0，则（ ）
A．方程f（x）＝0一定有实数解
B．方程f（x）＝0一定无实数解
C．方程f（x）＝0一定有两实根
D．方程f（x）＝0可能无实数解
答案：D
解析：∵函数f（x）的图象在（－1，3）上未必连续，故尽管f（－1）·f（3）<0，但方程f（x）＝0在（－1，3）上可能无实数解．
4．已知函数f（x）＝x2－x－2a．
（1）若a＝1，求函数f（x）的零点；
（2）若f（x）有零点，求实数a的取值范围．
解：（1）当a＝1时，f（x）＝x2－x－2．
令f（x）＝x2－x－2＝0，得x＝－1或x＝2．
即函数f（x）的零点为－1和2．
（2）要使f（x）有零点，则Δ＝1＋8a≥0，解得a≥－，
所以a的取值范围是．
【第2课时】
用二分法求方程的近似解
【教学目标】 【核心素养】
1．通过具体实例理解二分法的概念及其使用条件．（重点） 2．了解二分法是求方程近似解的常用方法，能借助计算器用二分法求方程的近似解．（难点） 3．会用二分法求一个函数在给定区间内的零点，从而求得方程的近似解．（易混点） 借助二分法的操作步骤与思想，培养数学建模及逻辑推理素养．
【教学过程】
一、新知初探
1．二分法的定义
对于在区间[a，b]上图象连续不断且f（a）·f（b）<0的函数y＝f（x），通过不断地把它的零点所在的区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
思考：若函数y＝f（x）在定义域内有零点，该零点是否一定能用二分法求解？
提示：二分法只适用于函数的变号零点（即函数在零点两侧符号相反），因此函数在零点两侧同号的零点不能用二分法求解，如f（x）＝（x－1）2的零点就不能用二分法求解．
2．二分法求函数零点近似值的步骤
（1）确定零点x0的初始区间[a，b]，验证f（a）f（b）＜0．
（2）求区间（a，b）的中点c．
（3）计算f（c），并进一步确定零点所在的区间：
①若f（c）＝0（此时x0＝c），则c就是函数的零点；
②若f（a）f（c）＜0（此时x0∈（a，c）），则令b＝c；
③若f（c）f（b）＜0（此时x0∈（c，b）），则令a＝c．
（4）判断是否达到精确度ε：若|a－b|＜ε，则得到零点近似值a（或b）；否则重复步骤（2）～（4）．
二、初试身手
1．用二分法求函数f（x）＝x3＋5的零点可以取的初始区间是（ ）
A．[－2，1]
B．[－1，0]
C．[0，1]
D．[1，2]
答案：A
解析：∵f（－2）＝－3<0，f（1）＝6>0，f（－2）·f（1）<0，故可取[－2，1]作为初始区间，用二分法逐次计算．
2．用二分法求函数f（x）在（a，b）内的唯一零点时，精确度为0.001，则结束计算的条件是（ ）
A．|a－b|<0.1
B．|a－b|<0.001
C．|a－b|>0.001
D．|a－b|＝0.001
答案：B
解析：据二分法的步骤知当区间长度|b－a|小于精确度ε时，便可结束计算．
3．已知函数y＝f（x）的图象如图所示，则不能利用二分法求解的零点是________．
答案：x3
解析：因为x3左右两侧的函数值同号，故其不能用二分法求解．
4．用二分法研究函数f（x）＝x3＋3x－1的零点时，第一次经过计算得f（0）＜0，f（0．5）＞0，可得其中一个零点x0∈________，第二次应计算________．
答案：（0，0．5）
解析：f（0．25） [∵f（0）<0，f（0．5）>0，∴x0∈（0，0．5），故第二次应计算f（0．25）．]
三、合作探究
二分法的概念
类型1
例1：已知函数f（x）的图象如图所示，其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为（ ）
A．4，4
B．3，4
C．5，4
D．4，3
答案：D
解析：图象与x轴有4个交点，所以零点的个数为4；左右函数值异号的零点有3个，所以用二分法求解的个数为3，故选D．
规律方法
判断一个函数能否用二分法求其零点的依据是：其图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点．因此，用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适合，对函数的不变号零点不适合．
跟踪训练
1．下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是（ ）
A B C D
答案：B
解析：二分法的理论依据是零点存在定理，必须满足零点两侧函数值异号才能求解．而选项B图中零点两侧函数值同号，即曲线经过零点时不变号，称这样的零点为不变号零点．另外，选项A，C，D零点两侧函数值异号，称这样的零点为变号零点．
用二分法求函数零点的近似值
类型2
探究问题
1．用二分法求方程的近似解，如何决定步骤的结束？
提示：当零点所在区间的两个端点值之差的绝对值小于精确度时，二分法步骤结束．
2．用二分法求方程的近似解时，精确度不同对零点有影响吗？
提示：精确度决定步骤的始终，故精确度不同，零点可能会不同．
例2：求函数f（x）＝x3－3x2－9x＋1的一个负零点（精确度0.01）．
思路点拨：
解：确定一个包含负数零点的区间（m，n），且f（m）·f（n）<0．因为f（－1）>0，f（－2）<0，所以可以取区间（－2，－1）作为计算的初始区间，当然选取在较大的区间也可以．用二分法逐步计算，列表如下：
端点（中点） 端点或中点的函数值 取值区间
f（－1）>0，f（－2）<0 （－2，－1）
x0＝＝－1.5 f（x0）＝4.375>0 （－2，－1.5）
x1＝＝－1.75 f（x1）≈2.203>0 （－2，－1.75）
x2＝＝－1.875 f（x2）≈0.736>0 （－2，－1.875）
x3＝＝－1.9375 f（x3）≈－0.0974<0 （－1.9375，－1.875）
x4＝＝－1.90625 f（x4）≈0.3280>0 （－1.9375，－1.90625）
x5＝＝－1.921875 f（x5）≈0.1174>0 （－1.9375，－1.921875）
x6＝＝－1.9296875 f（x6）≈0.0105>0 （－1.9375，－1.929 6875）
由于|－1．929 687 5＋1．937 5|＝0．007 812 5<0．01，所以函数的一个负零点近似值可取为－1．929 687 5．
母题探究
1．（变条件）求本例函数f（x）在区间[－2，－1]上精确度为0.1的一个零点近似值．
解：因为f（－1）>0，f（－2）<0，且函数f（x）＝x3－3x2－9x＋1的图象是连续的曲线，根据函数零点的存在性定理可知，它在区间[－2，－1]内有零点，用二分法逐步计算，列表如下：
端点（中点） 端点或中点的函数值 取值区间
f（－1）>0，f（－2）<0 （－2，－1）
x0＝＝－1.5 f（x0）＝4.375>0 （－2，－1.5）
x1＝＝－1.75 f（x1）≈2.203>0 （－2，－1.75）
x2＝＝－1.875 f（x2）≈0.736>0 （－2，－1.875）
x3＝＝－1.9375 f（x3）≈－0.0974<0 （－1.9375，－1.875）
由于|－1.875＋1.9375|＝0.0625<0.1，所以函数在区间[－2，－1]内的一个近似零点可取为－1.9375．
2．若将本例函数改为“f（x）＝x3＋2x2－3x－6”，如何求该函数的正数零点？（精确度0．1）
解：确定一个包含正数零点的区间（m，n），
且f（m）·f（n）<0．
因为f（0）＝－6<0，f（1）＝－6<0，f（2）＝4>0，
所以可以取区间（1，2）作为计算的初始区间，
用二分法逐步计算，列表如下：
端点（中点） 端点或中点的函数值 取值区间
f（1）＝－6<0，f（2）＝4>0 （1，2）
x1＝＝1.5 f（1.5）＝－2.625<0 （1.5，2）
x2＝＝1.75 f（1.75）≈0.2344>0 （1.5，1.75）
x3＝＝1.625 f（1.625）≈－1.3027<0 （1.625，1.75）
x4＝＝1.687 5 f（1.6875）≈－0.5618<0 （1.6875，1.75）
由于|1.75－1.6875|＝0.0625<0.1，所以函数的正数
零点的近似值可取为1.6875．
规律方法
利用二分法求方程近似解的过程图示
四、课堂小结
1．二分法就是通过不断地将所选区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，直至找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点．
2．并非所有函数都可以用二分法求其零点，只有满足：
（1）在区间[a，b]上连续不断；
（2）f（a）·f（b）<0，
上述两条的函数方可采用二分法求得零点的近似值．
五、当堂达标
1．思考辨析
（1）二分法所求出的方程的解都是近似解．（ ）
（2）函数f（x）＝|x|可以用二分法求零点．（ ）
（3）用二分法求函数零点的近似值时，每次等分区间后，零点必定在右侧区间内．（ ）
答案：（1）×（2）×（3）×
2．关于“二分法”求方程的近似解，说法正确的是（ ）
A．“二分法”求方程的近似解一定可将y＝f（x）在[a，b]内的所有零点得到
B．“二分法”求方程的近似解有可能得不到y＝f（x）在[a，b]内的零点
C．应用“二分法”求方程的近似解，y＝f（x）在[a，b]内有可能无零点
D．“二分法”求方程的近似解可能得到f（x）＝0在[a，b]内的精确解
答案：D
解析：二分法求零点，则一定有且能求出，故B，C不正确；零点左侧与右侧的函数值符号相同的零点不能用二分法得到，故A不正确，故选D．
3．用二分法求函数y＝f（x）在区间[2，4]上零点的近似值，经验证有f（2）·f（4）<0．取区间的中点x1＝＝3，计算得f（2）·f（x1）<0，则此时零点x0∈________（填区间）．
答案：（2，3）
解析：因为f（2）·f（3）<0，所以零点在区间（2，3）内．
4．用二分法求方程ln（2x＋6）＋2＝3x的根的近似值时，令f（x）＝ln（2x＋6）＋2－3x，并用计算器得到下表：
x 1.00 1.25 1.375 1.50
f（x） 1.0794 0.1918 －0.3604 －0.9989
由表中的数据，求方程ln（2x＋6）＋2＝3x的一个近似解（精确度为0.1）．
解：因为f（1.25）·f（1.375）<0，故根据二分法的思想，知函数f（x）的零点在区间（1.25，1.375）内，但区间（1.25，1.375）的长度为0.125>0．1，因此需要取（1.25，1.375）的中点1.3125，两个区间（1.25，1.3125）和（1.3125，1.375）中必有一个满足区间端点的函数值符号相异，又区间的长度为0.0625<0．1，因此1.3125是一个近似解．
【第3课时】
函数模型的应用
【教学目标】 【核心素养】
1．会利用已知函数模型解决实际问题．（重点） 2．能建立函数模型解决实际问题．（重点、难点） 3．了解拟合函数模型并解决实际问题．（重点） 通过本节内容的学习，使学生认识函数模型的作用，提高学生数学建模、数据分析的素养．
【教学过程】
一、新知初探
1．常用函数模型
常用函数模型 （1）一次函数模型 y＝kx＋b（k，b为常数，k≠0）
（2）二次函数模型 y＝ax2＋bx＋c（a，b，c为常数，a≠0）
（3）指数函数模型 y＝bax＋c（a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1）
（4）对数函数模型 y＝mlogax＋n（m，a，n为常数，m≠0，a>0且a≠1）
（5）幂函数模型 y＝axn＋b（a，b为常数，a≠0）
（6）分段函数模型 y＝
2．建立函数模型解决问题的基本过程
思考：解决函数应用问题的基本步骤是什么？
提示：利用函数知识和函数观点解决实际问题时，一般按以下几个步骤进行：
（一）审题；（二）建模；（三）求模；（四）还原．
这些步骤用框图表示如图：
二、初试身手
1．如表是函数值y随自变量x变化的一组数据，由此判断它最可能的函数模型是（ ）
x 4 5 6 7 8 9 10
y 15 17 19 21 23 25 27
A．一次函数模型
B．二次函数模型
C．指数函数模型
D．对数函数模型
答案：A
解析：自变量每增加1函数值增加2，函数值的增量是均匀的，故为一次函数模型．故选A．
2．某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖，引入了一种以该昆虫为食物的特殊动物，已知该动物的繁殖数量y（只）与引入时间x（年）的关系为y＝alog2（x＋1），若该动物在引入一年后的数量为100只，则第7年它们发展到（ ）
A．300只
B．400只
C．600只
D．700只
答案：A
解析：将x＝1，y＝100代入y＝alog2（x＋1）得，100＝alog2（1＋1），解得a＝100．所以x＝7时，y＝100log2（7＋1）＝300．
3．据调查，某自行车存车处在某星期日的存车量为2000辆次，其中变速车存车费是每辆一次0.8元，普通车存车费是每辆一次0.5元，若普通车存车数为x辆次，存车费总收入为y元，则y关于x的函数关系式是（ ）
A．y＝0.3x＋800（0≤x≤2000）
B．y＝0.3x＋1 600（0≤x≤2000）
C．y＝－0.3x＋800（0≤x≤2000）
D．y＝－0.3x＋1600（0≤x≤2000）
答案：D
解析：由题意知，变速车存车数为（2000－x）辆次，则总收入y＝0.5x＋（2000－x）×0.8＝－0.3x＋1600（0≤x≤2000）．
4．某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入运营．据市场分析，每辆客车营运的利润y与营运年数x（x∈N）为二次函数关系（如图），则客车有营运利润的时间不超过________年．
答案：7
解析：设二次函数y＝a（x－6）2＋11，又过点（4，7），
所以a＝－1，即y＝－（x－6）2＋11．
解y≥0，得6－≤x≤6＋，所以有营运利润的时间为2．又6<2<7，所以有营运利润的时间不超过7年．]
三、合作探究
利用已知函数模型解决实际问题
类型1
例1：物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述，设物体的初始温度是T0，经过一定时间t后的温度是T，则T－Ta＝（T0－Ta）×，其中Ta表示环境温度，h称为半衰期，现有一杯用88℃热水冲的速溶咖啡，放在24℃的房间中，如果咖啡降温到40℃需要20min，那么降温到32℃时，需要多长时间？
解：先设定半衰期h，由题意知
40－24＝（88－24）×，
即＝，
解之，得h＝10，故原式可化简为
T－24＝（88－24）×，
当T＝32时，代入上式，得
32－24＝（88－24）×，
即＝＝＝3，∴t＝30．
因此，需要30min，可降温到32℃．
规律方法
已知函数模型解决实际问题，往往给出的函数解析式含有参数，需要将题中的数据代入函数模型，求得函数模型中的参数，再将问题转化为已知函数解析式求函数值或自变量的值．
跟踪训练
1．某种商品在近30天内每件的销售价格P（元）和时间t（天）的函数关系为：
P＝（t∈N*）
设该商品的日销售量Q（件）与时间t（天）的函数关系为Q＝40－t（0解：设日销售金额为y（元），则y＝PQ，
所以y＝（t∈N*）
①当0所以当t＝10时，ymax＝900（元）．
②当25≤t≤30且t∈N*时，y＝（t－70）2－900，
所以当t＝25时，ymax＝1125（元）．
结合①②得ymax＝1125（元）．
因此，这种商品日销售额的最大值为1 125元，且在第25天时日销售金额达到最大．
自建确定性函数模型解决实际问题
类型2
例2：牧场中羊群的最大畜养量为m只，为保证羊群的生长空间，实际畜养量不能达到最大畜养量，必须留出适当的空闲量．已知羊群的年增长量y只和实际畜养量x只与空闲率的乘积成正比，比例系数为k（k>0）．
（1）写出y关于x的函数解析式，并指出这个函数的定义域；
（2）求羊群年增长量的最大值．
思路点拨：―→―→
解：（1）根据题意，由于最大畜养量为m只，实际畜养量为x只，则畜养率为，故空闲率为1－，由此可得y＝kx（0（2）对原二次函数配方，得y＝－（x2－mx）
＝－2＋，即当x＝时，y取得最大值．
母题探究
1．（变条件）若将本例“与空闲率的乘积成正比”改为“与空闲率的乘积成反比”又如何表示出y关于x的函数解析式？
解：根据题意，由于最大畜养量为m只，实际畜养量为x只，则畜养率为，故空闲率为1－，因为羊群的年增长量y只和实际畜养量x只与空闲率的乘积成反比，由此可得y＝（02．（变结论）若本例条件不变，求当羊群的年增长量达到最大值时，k的取值范围．
解：由题意知为给羊群留有一定的生长空间， 则有实际畜养量与年增长量的和小于最大畜养量，即0因为当x＝时，ymax＝，所以0<＋0，所以0规律方法
自建模型时主要抓住四个关键：“求什么，设什么，列什么，限制什么”．
求什么就是弄清楚要解决什么问题，完成什么任务．
设什么就是弄清楚这个问题有哪些因素，谁是核心因素，通常设核心因素为自变量．
列什么就是把问题已知条件用所设变量表示出来，可以是方程、函数、不等式等．
限制什么主要是指自变量所应满足的限制条件，在实际问题中，除了要使函数式有意义外，还要考虑变量的实际含义，如人不能是半个等．
拟合数据构建函数模型解决实际问题
类型3
探究问题
1．实际问题中两个变量之间一定有确定的函数关系吗？
提示：不一定．
2．对于收集的一组样本数据：（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），…，（xn，yn）我们常对其如何操作，以发现其所隐含的规律？
提示：常先画上述数据的散点图，再借助其变化趋势，结合我们已学习的函数模型，对数据作出合理的分析，从中找出所隐含的规律．
例3：某企业常年生产一种出口产品，自2015年以来，每年在正常情况下，该产品产量平稳增长．已知2015年为第1年，前4年年产量f（x）（万件）如下表所示：
x 1 2 3 4
f（x） 4.00 5.58 7.00 8.44
（1）画出2015～2018年该企业年产量的散点图；
（2）建立一个能基本反映（误差小于0.1）这一时期该企业年产量变化的函数模型，并求出函数解析式；
（3）2019年（即x＝5）因受到某国对我国该产品反倾销的影响，年产量减少30%，试根据所建立的函数模型，确定2019年的年产量为多少？
思路点拨：→
解：（1）画出散点图，如图所示．
（2）由散点图知，可选用一次函数模型．
设f（x）＝ax＋b（a≠0）．由已知得解得
∴f（x）＝1.5x＋2.5．
检验：f（2）＝5.5，且|5.58－5.5|＝0.08<0.1，
f（4）＝8.5，且|8.44－8.5|＝0.06<0.1．
∴一次函数模型f（x）＝1.5x＋2.5能基本反映年产量的变化．
（3）根据所建的函数模型，预计2019年的年产量为f（5）＝1.5×5＋2.5＝10万件，又年产量减少30%，即10×70%＝7万件，即2019年的年产量为7万件．
规律方法
函数拟合与预测的一般步骤：
1．根据原始数据、表格，绘出散点图．
2．通过考察散点图，画出拟合直线或拟合曲线．
3．求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式．
4．利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，为决策和管理提供依据．
跟踪训练
2．某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如表：
身高/cm 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170
体重/kg 6.13 7.90 9.90 12.15 15.02 17.50 20.92 26.86 31.11 38.85 47.25 55.05
（1）根据表中提供的数据，能否建立恰当的函数模型，使它能比较近似地反映这个地区未成年男性体重ykg与身高xcm的函数关系？试写出这个函数模型的解析式；
（2）若体重超过相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么这个地区一名身高为175cm，体重为78kg的在校男生的体重是否正常？
解：（1）以身高为横坐标，体重为纵坐标，画出散点图．
根据点的分布特征，可考虑以y＝a·bx作为刻画这个地区未成年男性的体重与身高关系的函数模型．
取其中的两组数据（70，7.90），（160，47.25），代入y＝a·bx得：
用计算器算得a≈2，b≈1.02．
这样，我们就得到一个函数模型：y＝2×1.02x．
将已知数据代入上述函数解析式，或作出上述函数的图象，可以发现，这个函数模型与已知数据的拟合程度较好，这说明它能较好地反映这个地区未成年男性体重与身高的关系．
（2）将x＝175代入y＝2×1.02x得y＝2×1.02175，由计算器算得y≈63.98．由于78÷63.98≈1.22>1.2，所以，这个男生偏胖．
四、课堂小结
1．函数的应用，实质上是函数思想方法的应用，其处理问题的一般方法是根据题意，先构建函数，把所给问题转化为对函数的图象和性质的研究，从而间接求出所需要的结论．
2．解函数应用问题的步骤（四步八字）
（1）审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；
（2）建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；
（3）求模：求解数学模型，得出数学结论；
（4）还原：将数学问题还原为实际问题．
五、当堂达标
1．思考辨析
（1）银行利率、细胞分裂等增长率问题可以用指数函数模型来表述．（ ）
（2）在函数建模中，散点图可以帮助我们选择恰当的函数模型．（ ）
（3）当不同的范围下，对应关系不同时，可以选择分段函数模型．（ ）
答案：（1）√（2）√（3）√
2．根据日常生活A、B、C、D四个实际问题，现各收集到的五组数据在平面直角坐标系中画出的散点图（如图所示），能够构建对数函数模型解决实际问题且拟合度较高的是（ ）
A B C D
答案：B
3．若镭经过100年后剩留原来质量的95.76%，设质量为1的镭经过x年后剩留量为y，则x，y的函数关系是（ ）
A．y＝0.9576
B．y＝（0.9576）100x
C．y＝x
D．y＝1－0.0424
答案：A
解析：由题意可知y＝（95.76%），即y＝0.957 6．]
4．已知A，B两地相距150km，某人开汽车以60km/h的速度从A地到达B地，在B地停留1小时后再以50km/h的速度返回A地．
（1）把汽车离开A地的距离s表示为时间t的函数（从A地出发时开始），并画出函数的图象；
（2）把车速v（km/h）表示为时间t（h）的函数，并画出函数的图象．
解：（1）①汽车由A地到B地行驶t h所走的距离s＝60t（0≤t≤2.5）．
②汽车在B地停留1小时，则汽车到A地的距离s＝150（2.5＜t≤3.5）．
③由B地返回A地，则汽车到A地的距离s＝150－50（t－3.5）＝325－50t（3.5＜t≤6.5）．
综上，s＝
它的图象如图（1）所示．
（1） （2）
（2）速度v（km/h）与时间t（h）的函数关系式是v＝它的图象如图（2）所示．
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