指数
【课时安排】
2课时
【第一课时】
【学习目标】
理解次方根的意义，会进行简单的求次方根的运算。
【学习过程】
1．次方根
如果,则称为的次方根，其中,且.当为奇数时，的次方根为;当为偶数时，整数的次方根有两个，记为,负数则没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作.
2．次方根的性质
（1） (,且)；
（2）= .
3．根式的定义： .
二、知识链接
初中我们已经学习了正整数指数幂的概念及运算法则，并在正整数指数幂的基础上进一步学习了整数指数幂，正整数指数幂的概念是 ，正整数指数幂的运算法则： .
三、典型例题
例1求下列各式的值：
（1）；（2）；（3）；（4）().
例2下列各式中正确的是 （ ）
（1） （2）
（3）（4）
例3 求的值
【达标检测】
1．求出下列各式的值
（1）；（2）；（3）.
2．以下说法正确的是（ ）
A．正数的次方根是一个正数 B．负数的次方根是一个负数
C．0的任何次方根都是零 D．的次方根用表示（以上,且）.
3．计算
4．若，求的取值范围.
【第二课时】
【学习目标】
理解有理数指数幂及无理数指数幂的含义，掌握分数指数幂与根式的互化。
【学习过程】
1．分数指数幂的意义.
（1） （2） （3）0的正分数指数幂等于0；0的正分数指数幂
2．有理数指数幂的运算性质
（1） （2） （3）
3．无理数指数幂含义
二、知识链接
1．对于代数式的化简结果，可用根式或分数指数幂中的任意形式，但不能同时出现根式或分数指数幂的形式，也不能既含有分母，又含有负指数。
2．根式化成分数指数幂的形式，若对约分，有时会改变的范围。
三、典型例题
例1求值：
；；；.
例2用分数指数幂的形式表示下列各式（其中）；
；；.
例3计算下列各式：
（1）； （2）.
例4比较，，的大小.
3 / 4
指数函数
【课时安排】
3课时
【第一课时】
【学习目标】
掌握指数函数的概念
【学习过程】
一、问题导学
问题1：某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4个,……一个这样的细胞分裂 次后,得到的细胞分裂的个数与之间,构成一个函数关系,能写出 与 之间的函数关系式吗？
问题2：一种放射性物质不断衰变为其他物质,每经过一年剩留的质量约是原来的84%.求出这种物质的剩留量随时间(单位:年)变化的函数关系.设最初的质量为1,时间变量用表示,剩留量用表示
指数函数的定义
一般地，函数 叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域是R.值域为.其中的含义是.
指数函数定义中，为什么规定,如果不这样规定会出现什么情况？
二、知识链接
学生已经学习了函数的知识，指数函数是函数知识中重要的一部分内容，学生若能将其与学过的正比例函数、一次函数、二次函数进行对比着去理解指数函数的概念、性质、图象，则一定能从中发现指数函数的本质，所以对已经熟悉掌握函数的学生来说，学习本课并不是太难。
三、典型例题
例1指出下列函数那些是指数函数
（1）（2）（3）；（4）；（5）；（6）；
（7）；（8）
例2若函数是指数函数，则的值为多少？
例3已知是指数函数，且,求函数的解析式
【达标检测】
1.判断下列函数是否是一个指数函数？
，，，，，.
2.在同一坐标做出和两个函数的图像
3.已知是指数函数，且，
【第二课时】
【学习目标】
掌握指数函数的图象和性质
【学习过程】
函数（）的图像和性质.
一、知识链接
函数单调性及奇偶性的判断.函数定义域及值域的求法。
二、典型例题
例1求下列函数的定义域和值域
（1）；（2）；（3）.
例2已知指数函数（）的图像过，求,,的值
例3已知函数是奇函数，求实数的值.
【达标检测】
1.求下列函数的定义域和值域
（1）；（2）；（3）.
2若指数函数是减函数，则的范围是多少？
3.已知函数的定义域是，那么的定义域是多少？
【第三课时】
【学习目标】
掌握比较指数函数的的大小及图像变换问题.
【学习过程】
1.比较两个指数函数的大小.
（1）与的大小比较，利用单调性比较
（2），的大小比较，要讨论、的值
（3）对于异底数幂，无法直接利用单调性，可利用“中间值法”判断大小，常找的中间值可能是0或.
2.有关指数函数图像变换问题
(1)左右平移：若已知的的图像，把的图像向左平移个单位长度，则得到的图像，把的图像向右平移个单位长度，则得到的图像，
（2）上下平移：若已知的的图像，把的图像向上平移个单位长度，则得到的图像，把的图像向下平移个单位长度，则得到的图像.
（3）函数的图像与的图像关于轴对称，函数的图像与的图像关于轴对称，函数的图像与的图像关于原点轴对称.
(4)（，且）的图像是将（，且）的图像在轴右边的部分沿轴翻折到轴的左边，这部分代替原来轴左边的部分，并保留（）在轴右边的部分图像即得到函数（，且）的图像.
一、知识链接
初中比较两个数的大小一般用做差，在与0比较，熟读初中一元二次函数平移的知识，进一步熟悉平移方法，知道坐标平面内的四个象限分别是指哪部分.
二、典型例题
例1比较下列各题中两个值的大小：
（1）,； （2）,;
（3）， （4），.
例2已知函数的图像经过第一、三、四象限，试确定、的取值范围。
例3解不等式.
2 / 5
对数——对数的运算
【学习目标】
1．掌握对数的运算性质，并能理解推导这些法则的依据和过程；
2．能较熟练地运用对数运算法则解决问题。
【学习重难点】
1．学习重点：对数式与指数式的互化，对数的性质。
2．学习难点：对数概念的理解，对数性质的推导。
【学习过程】
一、课前准备
复习1：
（1）对数定义：如果，那么数叫做____________，记作__________。
（2）指数式与对数式的互化： 。
复习2：幂的运算性质。
（1） ；（2） ；（3） 。
二、新课导学
1．对数运算性质的推导
问题：由，如何探讨和、之间的关系？
解：由对数的定义可得：，
∴，
∴，即得
2．对数运算性质
如果，，，，则
（1）________________________；
（2）__________________________；
（3）________________________。
反思：
自然语言如何叙述三条性质？性质的证明思路？（运用转化思想，先通过假设，将对数式化成指数式，并利用幂运算性质进行恒等变形；然后再根据对数定义将指数式化成对数式。）
三、合作探究
1．用，，表示下列各式：
（1）； （2）。
2．计算：
（1）； （2）。
3．求下列各式的值：
（1）；（2）；（3）；（4）
【学习小结】
①对数运算性质及推导；
②运用对数运算性质。
【知识拓展】
对数恒等式：，
3 / 3
对数函数
【学习目标】
（1）通过具体实例，了解对数函数的概念．能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点．
（2）知道对数函数y＝logax与指数函数y＝ax互为反函数（a＞0，且a≠1）．
（3）收集、阅读对数概念的形成与发展的历史资料，撰写小论文，论述对数发明的过程以及对数对简化运算的作用．
【学习重难点】
对数的概念与对数函数．
【学习过程】
【第1课时】
一、自主学习
知识点一：对数函数的概念
函数y＝logax（a＞0，且a≠1）叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，＋∞）．
形如y＝2log2x，y＝log2都不是对数函数，可称其为对数型函数．
知识点二：对数函数的图象与性质
a＞1 0＜a＜1
图 象
性 质 定义域（0，＋∞）
值域R
过点（1，0），即当x＝1时，y＝0
在（0，＋∞）上是增函数 在（0，＋∞）上是减函数
底数a与1的大小关系决定了对数函数图象的“升降”：当a＞1时，对数函数的图象“上升”；当0＜a＜1时，对数函数的图象“下降”．
知识点三：反函数
一般地，指数函数y＝ax（a＞0，且a≠1）与对数函数y＝logax（a＞0，且a≠1）互为反函数，它们的定义域与值域正好互换．
教材解难：
1．教材P130思考
根据指数与对数的关系，由y＝（x≥0）得到x＝logy（0＜y≤1）．如图，过y轴正半轴上任意一点（0，y0）（0＜y0≤1）作x轴的平行线，与y＝（x≥0）的图象有且只有一个交点（x0，y0）．这就说明，对于任意一个y∈（0，1]，通过对应关系x＝logy，在[0，＋∞）上都有唯一确定的数x和它对应，所以x也是y的函数．也就是说，函数x＝logy，y∈（0，1]刻画了时间x随碳14含量y的衰减而变化的规律．
2．教材P132思考
利用换底公式，可以得到y＝logx＝－log2x．因为点（x，y）与点（x，－y）关于x轴对称，所以y＝log2x图象上任意一点P（x，y）关于x轴的对称点P1（x，－y）都在y＝logx的图象上，反之亦然．由此可知，底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x轴对称．根据这种对称性，就可以利用y＝log2x的图象画出y＝logx的图象．
3．教材P138思考
一般地，虽然对数函数y＝logax（a＞1）与一次函数y＝kx（k＞0）在区间（0，＋∞）上都单调递增，但它们的增长速度不同．随着x的增大，一次函数y＝kx（k＞0）保持固定的增长速度，而对数函数y＝logax（a＞1）的增长速度越来越慢．不论a的值比k的值大多少，在一定范围内，logax可能会大于kx，但由于logax的增长慢于kx的增长，因此总会存在一个x0，当x＞x0时，恒有logax＜kx．
4．4．1对数函数的概念
基础自测：
1．下列函数中是对数函数的是（ ）
A．y＝logx
B．y＝log（x＋1）
C．y＝2logx
D．y＝logx＋1
解析：形如y＝logax（a＞0，且a≠1）的函数才是对数函数，只有A是对数函数．
答案：A
2．函数y＝ln（1－x）的定义域为（ ）
A．（0，1）
B．[0，1）
C．（0，1]
D．[0，1]
解析：由题意，得解得0≤x＜1；故函数y＝ln（1－x）的定义域为[0，1）．
答案：B
3．函数y＝loga（x－1）（0＜a＜1）的图象大致是（ ）
解析：∵0＜a＜1，∴y＝logax在（0，＋∞）上单调递减，故A，B可能正确；
又函数y＝loga（x－1）的图象是由y＝logax的图象向右平移一个单位得到，故A正确．
答案：A
4．若f（x）＝log2x，x∈[2，3]，则函数f（x）的值域为________．
解析：因为f（x）＝log2x在[2，3]上是单调递增的，
所以log22≤log2x≤log23，即1≤log2x≤log23．
答案：[1，log23]
二、素养提升
题型一：对数函数的概念
例1：下列函数中，哪些是对数函数？
（1）y＝loga（a＞0，且a≠1）；
（2）y＝log2x＋2；
（3）y＝8log2（x＋1）；
（4）y＝logx6（x＞0，且x≠1）；
（5）y＝log6x．
解析：（1）中真数不是自变量x，不是对数函数．（2）中对数式后加2，所以不是对数函数．（3）中真数为x＋1，不是x，系数不为1，故不是对数函数．（4）中底数是自变量x，而非常数，所以不是对数函数．（5）中底数是6，真数为x，系数为1，符合对数函数的定义，故是对数函数．
用对数函数的概念例如y＝logax（a＞0且a≠1）来判断．
方法归纳：
判断一个函数是对数函数的方法
跟踪训练1：若函数f（x）＝（a2－a＋1）log（a＋1）x是对数函数，则实数a＝________．
解析：由a2－a＋1＝1，解得a＝0或a＝1．
又底数a＋1＞0，且a＋1≠1，所以a＝1．
答案：1
对数函数y＝logax系数为1．
题型二：求函数的定义域（教材P130例1）
例2：求下列函数的定义域：
（1）y＝log3x2；
（2）y＝loga（4－x）（a＞0，且a≠1）．
解析：（1）因为x2＞0，即x≠0，所以函数y＝log3x2的定义域是{x|x≠0}．
（2）因为4－x＞0，即x＜4，所以函数y＝loga（4－x）的定义域是{x|x＜4}．
真数大于0．
教材反思：
求定义域有两种题型，一种是已知函数解析式求定义域，常规为：分母不为0；0的零次幂与负指数次幂无意义；偶次根式被开方式（数）非负；对数的真数大于0，底数大于0且不等于1．另一种是抽象函数的定义域问题．同时应注意求函数定义域的解题步骤．
跟踪训练2：求下列函数的定义域：
（1）y＝lg（x＋1）＋；
（2）y＝log（x－2）（5－x）．
解析：（1）要使函数有意义，
需即
∴－1＜x＜1，∴函数的定义域为（－1，1）．
（2）要使函数有意义，需∴
∴定义域为（2，3）∪（3，5）．
真数大于0，偶次根式被开方数大于等于0，分母不等于0，列不等式组求解．
题型三：对数函数的图象问题
例3：（1）函数y＝x＋a与y＝logax的图象只可能是下图中的（ ）
（2）已知函数y＝loga（x＋3）－1（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，若点A也在函数f（x）＝3x＋b的图象上，则f（log32）＝________．
（3）如图所示的曲线是对数函数y＝logax，y＝logbx，y＝logcx，y＝logdx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系为________．
解析：（1）A中，由y＝x＋a的图象知a＞1，而y＝logax为减函数，A错；B中，0＜a＜1，而y＝logax为增函数，B错；C中，0＜a＜1，且y＝logax为减函数，所以C对；D中，a＜0，而y＝logax无意义，也不对．
（2）依题意可知定点A（－2，－1），f（－2）＝3－2＋b＝－1，b＝－，故f（x）＝3x－，f（log32）＝3－＝2－＝．
（3）由题干图可知函数y＝logax，y＝logbx的底数a＞1，b＞1，函数y＝logcx，y＝logdx的底数0＜c＜1，0＜d＜1．
过点（0，1）作平行于x轴的直线，则直线与四条曲线交点的横坐标从左向右依次为c，d，a，b，显然b＞a＞1＞d＞c．
答案：（1）C
（2）
（3）b＞a＞1＞d＞c
（1）由函数y＝x＋a的图象判断出a的范围．
（2）依据loga1＝0，a0＝1，求定点坐标．
（3）沿直线y＝1自左向右看，对数函数的底数由小变大．
方法归纳：
解决对数函数图象的问题时要注意：
（1）明确对数函数图象的分布区域．对数函数的图象在第一、四象限．当x趋近于0时，函数图象会越来越靠近y轴，但永远不会与y轴相交．
（2）建立分类讨论的思想．在画对数函数图象之前要先判断对数的底数a的取值范围是a＞1，还是0＜a＜1．
（3）牢记特殊点．对数函数y＝logax（a＞0，且a≠1）的图象经过点：（1，0），（a，1）和．
跟踪训练3：
（1）如图所示，曲线是对数函数y＝logax（a＞0，且a≠1）的图象，已知a取，，，，则相应于C1，C2，C3，C4的a值依次为（ ）
A．，，，
B．，，，
C．，，，
D．，，，
（2）函数y＝loga|x|＋1（0＜a＜1）的图象大致为（ ）
解析：（1）方法一：作直线y＝1与四条曲线交于四点，由y＝logax＝1，得x＝a（即交点的横坐标等于底数），所以横坐标小的底数小，所以C1，C2，C3，C4对应的a值分别为，，，，故选A．
方法二：由对数函数的图象在第一象限内符合底大图右的规律，所以底数a由大到小依次为C1，C2，C3，C4，即，，，．故选A．
增函数底数a＞1，
减函数底数0＜a＜1．
（2）函数为偶函数，在（0，＋∞）上为减函数，（－∞，0）上为增函数，故可排除选项B，C，又x＝±1时y＝1，故选A．
先去绝对值，再利用单调性判断．
答案：（1）A
（2）A
三、学业达标
（一）选择题
1．下列函数是对数函数的是（ ）
A．y＝2＋log3x
B．y＝loga（2a）（a＞0，且a≠1）
C．y＝logax2（a＞0，且a≠1）
D．y＝lnx
解析：判断一个函数是否为对数函数，其关键是看其是否具有“y＝logax”的形式，A，B，C全错，D正确．
答案：D
2．若某对数函数的图象过点（4，2），则该对数函数的解析式为（ ）
A．y＝log2x
B．y＝2log4x
C．y＝log2x或y＝2log4x
D．不确定
解析：由对数函数的概念可设该函数的解析式为y＝logax（a＞0，且a≠1，x＞0），则2＝loga4即a2＝4得a＝2．故所求解析式为y＝log2x．
答案：A
3．设函数y＝的定义域为A，函数y＝ln（1－x）的定义域为B，则A∩B＝（ ）
A．（1，2）
B．（1，2]
C．（－2，1）
D．[－2，1）
解析：由题意可知A＝{x|－2≤x≤2}，B＝{x|x＜1}，故A∩B＝{x|－2≤x＜1}．
答案：D
4．已知a＞0，且a≠1，函数y＝ax与y＝loga（－x）的图象只能是下图中的（ ）
解析：由函数y＝loga（－x）有意义，知x＜0，所以对数函数的图象应在y轴左侧，可排除A，C．又当a＞1时，y＝ax为增函数，所以图象B适合．
答案：B
（二）填空题
5．若f（x）＝logax＋（a2－4a－5）是对数函数，则a＝________．
解析：由对数函数的定义可知
，∴a＝5．
答案：5
6．已知函数f（x）＝log3x，则f＋f（15）＝________．
解析：f＋f（15）＝log3＋log315＝log327＝3．
答案：3
7．函数f（x）＝loga（2x－3）（a＞0且a≠1）的图象恒过定点P，则P点的坐标是________．
解析：令2x－3＝1，解得x＝2，且f（2）＝loga1＝0恒成立，所以函数f（x）的图象恒过定点P（2，0）．
答案：（2，0）
（三）解答题
8．求下列函数的定义域：
（1）y＝log3（1－x）；
（2）y＝；
（3）y＝log7．
解析：（1）由1－x＞0，得x＜1，
∴函数y＝log3（1－x）的定义域为（－∞，1）．
（2）由log2x≠0，得x＞0且x≠1．
∴函数y＝的定义域为{x|x＞0且x≠1}．
（3）由＞0，得x＜．
∴函数y＝log7的定义域为．
9．已知f（x）＝log3x．
（1）作出这个函数的图象；
（2）若f（a）＜f（2），利用图象求a的取值范围．
解析：（1）作出函数y＝log3x的图象如图所示
（2）令f（x）＝f（2），即log3x＝log32，
解得x＝2．
由图象知，当0＜a＜2时，
恒有f（a）＜f（2）．∴所求a的取值范围为0＜a＜2．
尖子生题库：
10．已知函数y＝log2x的图象，如何得到y＝log2（x＋1）的图象？y＝log2（x＋1）的定义域与值域是多少？与x轴的交点是什么？
解析：y＝log2xy＝log2（x＋1），如图．
定义域为（－1，＋∞），值域为R，与x轴的交点是（0，0）．
【第二学时】
一、素养提升
题型一：比较大小（教材P133例3）
例1：比较下列各题中两个值的大小：
（1）log23.4，log28.5；
（2）log0．31.8，log0．32.7；
（3）loga5.1，loga5.9（a＞0，且a≠1）．
解析：（1）log23.4和log28.5可看作函数y＝log2x的两个函数值．因为底数2＞1，对数函数y＝log2x是增函数，且3.4＜8.5，所以log23.4＜log28.5．
（2）log0．31.8和log0．32.7可看作函数y＝log0．3x的两个函数值．因为底数0.3＜1，对数函数y＝log0．3x是减函数，且1.8＜2.7，所以log0．31.8＞log0．32.7．
（3）loga5.1和loga5.9可看作函数y＝logax的两个函数值．对数函数的单调性取决于底数a是大于1还是小于1，因此需要对底数a进行讨论．
当a＞1时，因为函数y＝logax是增函数，且5.1＜5.9，所以loga5.1＜loga5.9；
当0＜a＜1时，因为函数y＝logax是减函数，且5.1＜5.9，所以loga5.1＞loga5.9．
构造对数函数，利用函数单调性比较大小．
教材反思
比较对数值大小时常用的三种方法
跟踪训练1：（1）设a＝log2π，b＝logπ，c＝π－2，则（ ）
A．a＞b＞c
B．b＞a＞c
C．a＞c＞b
D．c＞b＞a
（2）比较下列各组值的大小：
①log0.5，log0.6．
②log1.51.6，log1.51.4．
③log0.57，log0.67．
④log3π，log20.8．
解析：（1）a＝log2π＞1，b＝logπ＜0，c＝π－2∈（0，1），所以a＞c＞b．
（2）①因为函数y＝logx是减函数，且0.5＜0.6，所以log0.5＞log0.6．
②因为函数y＝log1.5x是增函数，且1.6＞1.4，所以log1.51.6＞log1.51.4．
③因为0＞log70.6＞log70.5，所以＜，即log0.67＜log0.57．
④因为log3π＞log31＝0，log20.8＜log21＝0，所以log3π＞log20.8．
答案：（1）C
（2）①log0.5＞log0.6．
②log1.51.6＞log1.51.4．
③log0.67＜log0.57．
④log3π＞log20.8．
（1）选择中间量0和1，比较大小．
（2）①②③利用对数函数的单调性比较大小．
④用中间量0比较大小．
题型二：解对数不等式
例2：（1）已知log0.72x＜log0．7（x－1），则x的取值范围为________；
（2）已知loga（x－1）≥loga（3－x）（a＞0，且a≠1），求x的取值范围．
解析：（1）∵函数y＝log0.7x在（0，＋∞）上为减函数，
∴由log0.72x＜log0.7（x－1）得解得x＞1，
即x的取值范围是（1，＋∞）．
（2）loga（x－1）≥loga（3－x），
当a＞1时，有解得2≤x＜3．
当0＜a＜1时，有解得1＜x≤2．
综上可得，
当a＞1时，不等式loga（x－1）≥loga（3－x）中x的取值范围为[2，3）；
当0＜a＜1时，不等式loga（x－1）≥loga（3－x）（a＞0且a≠1）中x的取值范围是（1，2]．
答案：（1）（1，＋∞）
（2）答案见解析
（1）利用函数y＝log0．7x的单调性求解．
（2）分a＞1和0＜a＜1两种情况讨论，解不等式．
方法归纳：
两类对数不等式的解法：
（1）形如logaf（x）＜logag（x）的不等式．
①当0＜a＜1时，可转化为f（x）＞g（x）＞0；
②当a＞1时，可转化为0＜f（x）＜g（x）．
（2）形如logaf（x）＜b的不等式可变形为logaf（x）＜b＝logaab．
①当0＜a＜1时，可转化为f（x）＞ab；
②当a＞1时，可转化为0＜f（x）＜ab．
跟踪训练2：（1）满足不等式log3x＜1的x的取值集合为________；
（2）根据下列各式，确定实数a的取值范围：
①log1．5（2a）＞log1．5（a－1）；
②log0．5（a＋1）＞log0．5（3－a）．
解析：（1）因为log3x＜1＝log33，
所以x满足的条件为
即0＜x＜3．所以x的取值集合为{x|0＜x＜3}．
（2）①函数y＝log1．5x在（0，＋∞）上是增函数．
因为log1．5（2a）＞log1.5（a－1），所以解得a＞1，
即实数a的取值范围是a＞1．
②函数y＝log0.5x在（0，＋∞）上是减函数，因为log.0.5（a＋1）＞log0.5（3－a），
所以解得－1＜a＜1．即实数a的取值范围是－1＜a＜1．
答案：（1）{x|0＜x＜3}（2）①（1，＋∞）；②（－1，1）
（1）log33＝1．
（2）由对数函数的单调性求解．
题型三：对数函数性质的综合应用
例3：已知函数f（x）＝loga（1＋x）＋loga（3－x）（a＞0且a≠1）．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）若函数f（x）的最小值为－2，求实数a的值．
解析：（1）由题意得
解得－1＜x＜3，所以函数f（x）的定义域为（－1，3）．
（2）因为f（x）＝loga[（1＋x）（3－x）]
＝loga（－x2＋2x＋3）
＝loga[－（x－1）2＋4]，
若0＜a＜1，则当x＝1时，f（x）有最小值loga4，
所以loga4＝－2，a－2＝4，
又0＜a＜1，所以a＝．
若a＞1，则当x＝1时，f（x）有最大值loga4，f（x）无最小值．
综上可知，a＝．
真数大于0．
分0＜a＜1，a＞1两类讨论．
方法归纳：
1．解答y＝logaf（x）型或y＝f（logax）型函数需注意的问题
①要注意变量的取值范围．例如，f（x）＝log2x，g（x）＝x2＋x，则f（g（x））＝log2（x2＋x）中需要g（x）＞0；g（f（x））＝（log2x）2＋log2x中需要x＞0．
②判断y＝logaf（x）型或y＝f（logax）型函数的奇偶性，首先要注意函数中变量的范围，再利用奇偶性定义判断．
2．形如y＝logaf（x）的函数的单调性判断
首先要确保f（x）＞0，
当a＞1时，y＝logaf（x）的单调性在f（x）＞0的前提下与y＝f（x）的单调性一致．
当0＜a＜1时，y＝logaf（x）的单调性在f（x）＞0的前提下与y＝f（x）的单调性相反．
跟踪训练3 已知函数f（x）＝log2（1＋x2）．
求证：（1）函数f（x）是偶函数；
（2）函数f（x）在区间（0，＋∞）上是增函数．
证明：（1）函数f（x）的定义域是R，
f（－x）＝log2[1＋（－x）2]
＝log2（1＋x2）＝f（x），
所以函数f（x）是偶函数．
（2）设0＜x1＜x2，
则f（x1）－f（x2）＝log2（1＋x）－log2（1＋x）＝log2，
由于0＜x1＜x2，则0＜x＜x，
则0＜1＋x＜1＋x，
所以0＜＜1．
又函数y＝log2x在（0，＋∞）上是增函数，
所以log2＜0．
所以f（x1）＜f（x2）．
所以函数f（x）在区间（0，＋∞）上是增函数．
（1）函数是偶函数，
f（－x）＝f（x）．
（2）用定义法证明函数是增函数．
题型四：几类函数模型的增长差异
例4：（1）下列函数中，增长速度最快的是（ ）
A．y＝2018x
B．y＝x2018
C．y＝log2018x
D．y＝2018x
（2）四个自变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如表：
x 1 5 10 15 20 25 30
y1 2 26 101 226 401 626 901
y2 2 32 1024 32768 1.05×106 3.36×107 1.07×109
y3 2 10 20 30 40 50 60
y4 2 4.322 5.322 5.907 6.322 6.644 6.907
则关于x呈指数型函数变化的变量是________．
解析：（1）比较幂函数、指数函数与对数函数、一次函数可知，指数函数增长速度最快．
（2）以爆炸式增长的变量呈指数函数变化．从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，且都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，画出它们的图象（图略），可知变量y2关于x呈指数型函数变化．
答案：（1）A
（2）y2
（1）由题意，指数函数增长速度最快．
（2）观察变量y1，y2，y3，y4的变化情况→→
跟踪训练4：分析指数函数y＝2x与对数函数y＝log2x在区间[1，＋∞）上的增长情况．
解析：指数函数y＝2x，当x由x1＝1增加到x2＝3时，x2－x1＝2，y2－y1＝23－21＝6；
对数函数y＝log2x，当x由x1＝1增加到x2＝3时，x2－x1＝2，而y2－y1＝log23－log21≈1．5850．
由此可知，在区间[1，＋∞）上，指数函数y＝2x随着x的增长函数值的增长速度快，而对数函数y＝log2x的增长速度缓慢．
在同一平面直角坐标系内作出函数y＝2x和y＝log2x的图象，从图象上可观察出函数的增长变化情况．如图：
二、学业达标
（一）选择题
1．设a＝log0.50.9，b＝log1.10.9，c＝1.10.9，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a＜b＜c
B．b＜a＜c
C．b＜c＜a
D．a＜c＜b
解析：因为0＝log0.51＜a＝log0.50.9＜log0.50.5＝1，
b＝log1.10.9＜log1.11＝0，c＝1.10.9＞1.10＝1，
所以b＜a＜c，故选B．
答案：B
2．y1＝2x，y2＝x2，y3＝log2x，当2＜x＜4时，有（ ）
A．y1＞y2＞y3
B．y2＞y1＞y3
C．y1＞y3＞y2
D．y2＞y3＞y1
解析：在同一平面直角坐标系内画出这三个函数的图象（图略），在区间（2，4）内，从上到下图象依次对应的函数为y2＝x2，y1＝2x，y3＝log2x，故y2＞y1＞y3．
答案：B
3．若loga＜1（a＞0，且a≠1），则实数a的取值范围是（ ）
A．
B．∪（1，＋∞）
C．（1，＋∞）
D．（0，1）
解析：当a＞1时，loga＜0＜1，成立．
当0＜a＜1时，y＝logax为减函数．
由loga＜1＝logaa，得0＜a＜．
综上所述，0＜a＜或a＞1．
答案：B
4．函数y＝log0．4（－x2＋3x＋4）的值域是（ ）
A．（0，2]
B．[－2，＋∞）
C．（－∞，－2]
D．[2，＋∞）
解析：－x2＋3x＋4＝－2＋≤，又－x2＋3x＋4＞0，则0＜－x2＋3x＋4≤，函数y＝log0．4x为（0，＋∞）上的减函数，则y＝log0．4（－x2＋3x＋4）≥log0．4＝－2，函数的值域为[－2，＋∞）．
答案：B
（二）填空题
5．函数f（x）＝logax（a＞0，且a≠1）在[2，3]上的最大值为1，则a＝________．
解析：当a＞1时，f（x）的最大值是f（3）＝1，
则loga3＝1，∴a＝3＞1．∴a＝3符合题意．
当0＜a＜1时，f（x）的最大值是f（2）＝1．
则loga2＝1，∴a＝2＞1．∴a＝2不合题意，综上知a＝3．
答案：3
6．已知函数f（x）＝log2为奇函数，则实数a的值为________．
解析：由奇函数得f（x）＝－f（－x），
log2＝－log2，
＝，a2＝1，
因为a≠－1，
所以a＝1．
答案：1
7．如果函数f（x）＝（3－a）x与g（x）＝logax的增减性相同，则实数a的取值范围是________．
解析：若f（x），g（x）均为增函数，则则1＜a＜2；
若f（x），g（x）均为减函数，则无解．
答案：（1，2）
（三）解答题
8．比较下列各组对数值的大小：
（1）log1.6与log2.9；
（2）log21.7与log23.5；
（3）log3与log3；
（4）log0.3与log20.8．
解析：（1）∵y＝logx在（0，＋∞）上单调递减，1.6＜2.9，
∴log1.6＞log2.9．
（2）∵y＝log2x在（0，＋∞）上单调递增，而1.7＜3.5，
∴log21.7＜log23.5．
（3）借助y＝logx及y＝logx的图象，如图所示．
在（1，＋∞）上，前者在后者的下方，
∴log3＜log3．
（4）由对数函数性质知，log0.3＞0，log20.8＜0，
∴log0.3＞log20.8．
9．已知loga（2a＋3）＜loga3a，求a的取值范围．
解析：（1）当a＞1时，原不等式等价于解得a＞3．
（2）当0＜a＜1时，原不等式等价于
解得0＜a＜1．
综上所述，a的范围是（0，1）∪（3，＋∞）．
尖子生题库：
10．已知a＞0且a≠1，f（logax）＝．
（1）求f（x）；
（2）判断f（x）的单调性和奇偶性；
（3）对于f（x），当x∈（－1，1）时，有f（1－m）＋f（1－2m）＜0，求m的取值范围．
解析：（1）令t＝logax（t∈R），
则x＝at，且f（t）＝，
所以f（x）＝（ax－a－x）（x∈R）；
（2）因为f（－x）＝（a－x－ax）
＝－f（x），
且x∈R，所以f（x）为奇函数．
当a＞1时，ax－a－x为增函数，
并且注意到＞0，
所以这时f（x）为增函数；
当0＜a＜1时，类似可证f（x）为增函数．
所以f（x）在R上为增函数；
（3）因为f（1－m）＋f（1－2m）＜0，且f（x）为奇函数，
所以f（1－m）＜f（2m－1）．
因为f（x）在（－1，1）上为增函数，
所以
解之，得＜m＜1．
即m的取值范围是．
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函数的应用（二）
【学习目标】
运用函数性质求方程近似解的基本方法（二分法），再结合实例，更深入地理解用函数构建数学模型的基本过程，学习运用模型思想发现和提出问题、分析和解决问题的方法．
【学习重难点】
零点存在定理。
【学习过程】
【第1学时】
一、自主学习
知识点一：函数的零点
1．零点的定义
对于函数y＝f（x），把f（x）＝0的实数x，叫做函数y＝f（x）的零点．
2．方程的根与函数零点的关系
函数的零点不是一个点，而是一个实数，当自变量取该值时，其函数值等于零．
知识点二：函数零点的判定
如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f（a）f（b）＜0，那么，函数y＝f（x）在区间（a，b）内至少有一个零点，即存在c∈（a，b），使得f（c）＝0，这个c也就是方程f（x）＝0的解．
定理要求具备两条：
①函数在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线；②f（a）·f（b）＜0．
教材解难：
1．教材P142思考
能．先构造函数f（x）＝lnx＋2x－6，再判断函数f（x）是增函数，又f（2）＜0，f（3）＞0，∴方程lnx＋2x－6＝0的根在2，3之间．
基础自测：
1．函数y＝3x－2的图象与x轴的交点坐标及其零点分别是（ ）
A．；
B．；
C．－；－
D．；－
解析：令3x－2＝0，则x＝，∴函数y＝3x－2的图象与x轴的交点坐标为，函数零点为．
答案：B
2．函数f（x）＝ln（x＋1）－的零点所在的一个区间是（ ）
A．（0，1）
B．（1，2）
C．（2，3）
D．（3，4）
解析：f（1）＝ln2－2＜0，f（2）＝ln3－1＞0，
∴f（1）·f（2）＜0，
∴函数f（x）的一个零点区间为（1，2）．
答案：B
3．函数f（x）＝x3－x的零点个数是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
解析：f（x）＝x（x－1）（x＋1），令x（x－1）（x＋1）＝0，解得x＝0，x＝1，x＝－1，即函数的零点为－1，0，1，共3个．
答案：D
4．若函数f（x）＝x2－ax－b的两个零点是2和3，则函数g（x）＝bx2－ax－1的零点是________．
解析：由得
∴g（x）＝－6x2－5x－1的零点是－，－．
答案：－，－
二、素养提升
题型一：函数零点的概念及求法
例1：（1）下列图象表示的函数中没有零点的是（ ）
（2）判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．
①f（x）＝－x2－4x－4．
②f（x）＝4x＋5．
③f（x）＝log3（x＋1）．
解析：（1）由图观察，A中图象与x轴没有交点，所以A中函数没有零点．
（2）①令－x2－4x－4＝0，解得x＝－2，所以函数的零点为x＝－2．②令4x＋5＝0，则4x＝－5＜0，即方程4x＋5＝0无实数根，所以函数不存在零点．③令log3（x＋1）＝0，解得x＝0，所以函数的零点为x＝0．
答案：（1）A（2）见解析
1．由函数图象判断函数是否有零点是看函数的图象与x轴是否有交点．
2．求函数对应方程的根即为函数的零点．
方法归纳：
函数零点的求法：
求函数y＝f（x）的零点通常有两种方法：其一是令f（x）＝0，根据解方程f（x）＝0的根求得函数的零点；其二是画出函数y＝f（x）的图象，图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点．
跟踪训练1：若函数f（x）＝x2＋x－a的一个零点是－3，求实数a的值，并求函数f（x）其余的零点．
解析：由题意知f（－3）＝0，即（－3）2－3－a＝0，a＝6．所以f（x）＝x2＋x－6．
解方程x2＋x－6＝0，得x＝－3或2．
所以函数f（x）其余的零点是2．
由函数f（x）的零点是－3，得f（－3）＝0，求a．
题型二：确定函数零点的个数（教材P143例1）
例2：求方程lnx＋2x－6＝0的实数解的个数．
解析：设函数f（x）＝lnx＋2x－6，利用计算工具，列出函数y＝f（x）的对应值表（表），并画出图象（图）．
x y
1 －4
2 －1.3069
3 1.0986
4 3.3863
5 5.6094
6 7.7918
7 9.9459
8 12.0794
9 14.1972
由表和图可知，f（2）＜0，f（3）＞0，则f（2）f（3）＜0．由函数零点存在定理可知，函数f（x）＝lnx＋2x－6在区间（2，3）内至少有一个零点．
容易证明，函数f（x）＝lnx＋2x－6，x∈（0，＋∞）是增函数，所以它只有一个零点，即相应方程lnx＋2x－6＝0只有一个实数解．
可以先借助计算工具画出函数y＝lnx＋2x－6的图象或列出x，y的对应值表，为观察、判断零点所在区间提供帮助．
教材反思：
判断函数零点个数的三种方法
（1）方程法：若方程f（x）＝0的解可求或能判断解的个数，可通过方程的解来判断函数是否存在零点或判定零点的个数．
（2）图象法：由f（x）＝g（x）－h（x）＝0，得g（x）＝h（x），在同一坐标系内作出y1＝g（x）和y2＝h（x）的图象．根据两个图象交点的个数来判定函数零点的个数．
（3）定理法：函数y＝f（x）的图象在区间[a，b]上是一条连续不断的曲线，由f（a）·f（b）＜0即可判断函数y＝f（x）在区间（a，b）内至少有一个零点．若函数y＝f（x）在区间（a，b）上是单调函数，则函数f（x）在区间（a，b）内只有一个零点．
跟踪训练2：（1）函数f（x）＝x－－2的零点个数为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
（2）判断函数f（x）＝x－3＋lnx的零点个数．
解析：（1）令f（x）＝0得x－－2＝0，设t＝（t≥0），则t2－t－2＝0，解得t＝2或t＝－1（舍）．
故＝2即x＝4，因此方程f（x）＝0有一个根4，所以函数f（x）有一个零点．
（2）令f（x）＝x－3＋lnx＝0，则lnx＝－x＋3，在同一平面直角坐标系内画出函数y＝lnx与y＝－x＋3的图象，如图所示：由图可知函数y＝lnx，y＝－x＋3的图象只有一个交点，即函数f（x）＝x－3＋lnx只有一个零点．
答案：（1）B；（2）一个
思路一：解方程求零点，方程f（x）＝0的实数根的个数就是函数f（x）的零点的个数；
思路二：画出函数图象，依据图象与x轴的交点的个数来判断函数的零点个数．
题型三：判断函数的零点所在的大致区间
例3：设x0是函数f（x）＝lnx＋x－4的零点，则x0所在的区间为（ ）
A．（0，1）
B．（1，2）
C．（2，3）
D．（3，4）
解析：因为f（2）＝ln2＋2－4＝ln2－2＜0，f（3）＝ln3－1＞lne－1＝0，f（2）·f（3）＜0．由零点存在性定理，得x0所在的区间为（2，3）．
答案：C
根据零点存在性定理，对照选项，只需验证区间端点函数值的符号，或可借助于图象分析．
方法归纳：
判断函数零点所在区间的三个步骤：
（1）代入：将区间端点值代入函数求出函数的值．
（2）判断：把所得的函数值相乘，并进行符号判断．
（3）结论：若符号为正且函数在该区间内是单调函数，则在该区间内无零点，若符号为负且函数连续，则在该区间内至少有一个零点．
跟踪训练3：函数f（x）＝2x－1＋x－5的零点所在的区间为（ ）
A．（0，1）
B．（1，2）
C．（2，3）
D．（3，4）
解析：f（2）＝22－1＋2－5＜0，f（3）＝23－1＋3－5＞0，故f（2）·f（3）＜0，又f（x）在定义域内是增函数，则函数f（x）＝2x－1＋x－5只有一个零点，且零点所在的区间为（2，3）．
答案：C
f（x）单调的条件下，利用f（a）·f（b）＜0求零点区间．
解题思想方法：数形结合思想
例：已知关于x的方程|x2－4x＋3|－a＝0有三个不相等的实数根，则实数a的值是________．
解析：如图，由图象知直线y＝1与y＝|x2－4x＋3|的图象有三个交点，
则方程|x2－4x＋3|＝1有三个不相等的实数根，因此a＝1．
答案：1
反思与感悟：求解这类问题可先将原式变形为f（x）＝g（x），则方程f（x）＝g（x）的不同解的个数等于函数f（x）与g（x）图象交点的个数，分别画出两个函数的图象，利用数形结合的思想使问题得解．
三、学业达标
（一）选择题
1．下列函数不存在零点的是（ ）
A．y＝x－
B．y＝
C．y＝
D．y＝
解析：令y＝0，得A中函数的零点为1，－1；B中函数的零点为－，1；C中函数的零点为1，－1；只有D中函数无零点．
答案：D
2．若函数f（x）＝ax＋b有一个零点是2，那么函数g（x）＝bx2－ax的零点是（ ）
A．0，2
B．0，
C．0，－
D．2，－
解析：∵2a＋b＝0，
∴g（x）＝－2ax2－ax＝－ax（2x＋1）．
∴零点为0和－．
答案：C
3．函数f（x）＝πx＋log2x的零点所在区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
解析：因为f＝＋log2＜0，f＝＋log2＞0，
所以f·f＜0，故函数f（x）＝πx＋log2x的零点所在区间为．
答案：A
4．已知函数f（x）＝g（x）＝f（x）＋x＋a．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是（ ）
A．[－1，0）
B．[0，＋∞）
C．[－1，＋∞）
D．[1，＋∞）
解析：本题主要考查函数的零点及函数的图象．
g（x）＝f（x）＋x＋a存在2个零点等价于函数f（x）＝与h（x）＝－x－a的图象存在2个交点，如图，
当x＝0时，h（0）＝－a，由图可知要满足y＝f（x）与y＝h（x）的图象存在2个交点，需要－a≤1，即a≥－1．故选C．
答案：C
（二）填空题
5．函数f（x）＝x2－3x－18在区间[1，8]上________（填“存在”或“不存在”）零点．
解析：方法一：∵f（1）＝12－3×1－18＝－20＜0，
f（8）＝82－3×8－18＝22＞0，∴f（1）·f（8）＜0，
又f（x）＝x2－3x－18在区间[1，8]上的图象是连续的，
故f（x）＝x2－3x－18在区间[1，8]上存在零点．
方法二：令f（x）＝0，得x2－3x－18＝0，
∴（x－6）（x＋3）＝0．
∵x＝6∈[1，8]，x＝－3?[1，8]，
∴f（x）＝x2－3x－18在区间[1，8]上存在零点．
答案：存在
6．函数f（x）＝零点的个数为________．
解析：x≤0时，令x2＋2x－3＝0，
解得：x＝－3．
x＞0时，f（x）＝lnx－2在（0，＋∞）上递增，
f（1）＝－2＜0，f（e3）＝1＞0，
∵f（1）f（e3）＜0，
∴f（x）在（0，＋∞）上有且只有一个零点．
总之，f（x）在R上有2个零点．
答案：2
7．已知函数f（x）＝x2＋x＋a（a＜0）在区间（0，1）上有零点，则a的取值范围为________．
解析：由题意f（1）·f（0）＜0．∴a（2＋a）＜0．∴－2＜a＜0．
答案：（－2，0）
（三）解答题
8．判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．
（1）f（x）＝；
（2）f（x）＝x2＋2x＋4；
（3）f（x）＝2x－3；
（4）f（x）＝1－log3x．
解析：（1）令＝0，解得x＝－3，所以函数f（x）＝的零点是－3．
（2）令x2＋2x＋4＝0，由于Δ＝22－4×4＝－12＜0，
所以方程x2＋2x＋4＝0无解，所以函数f（x）＝x2＋2x＋4不存在零点．
（3）令2x－3＝0，解得x＝log23，所以函数f（x）＝2x－3的零点是log23．
（4）令1－log3x＝0，解得x＝3，所以函数f（x）＝1－log3x的零点是3．
9．已知函数f（x）＝x2＋3（m＋1）x＋n的零点是1和2，求函数y＝logn（mx＋1）的零点．
解析：由题可知，f（x）＝x2＋3（m＋1）x＋n的两个零点为1和2．
则1和2是方程x2＋3（m＋1）x＋n＝0的两根．
可得
解得
所以函数y＝logn（mx＋1）的解析式为
y＝log2（－2x＋1），要求其零点，令
log2（－2x＋1）＝0，解得x＝0．
所以函数y＝log2（－2x＋1）的零点为0．
尖子生题库：
10．已知二次函数f（x）＝x2－2ax＋4，在下列条件下，求实数a的取值范围．
（1）零点均大于1；
（2）一个零点大于1，一个零点小于1；
（3）一个零点在（0，1）内，另一个零点在（6，8）内．
解析：（1）因为方程x2－2ax＋4＝0的两根均大于1，结合二次函数的单调性与零点存在性定理得解得2≤a＜．
即a的取值范围为．
（2）因为方程x2－2ax＋4＝0的一个根大于1，一个根小于1，结合二次函数的单调性与零点存在性定理得f（1）＝5－2a＜0，解得a＞．
即a的取值范围为．
（3）因为方程x2－2ax＋4＝0的一个根在（0，1）内，另一个根在（6，8）内，结合二次函数的单调性与零点存在性定理得
解得＜a＜．
即a的取值范围为．
【第二学时】
一、自主学习
知识点一：用二分法求方程的近似解
1．二分法
对于在区间[a，b]上连续不断且f（a）·f（b）＜0的函数y＝f（x），通过不断地把函数f（x）的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
2．给定精确度ε，用二分法求函数f（x）零点近似值的步骤
第一步：确定闭区间[a，b]，验证f（a）·f（b）＜0，给定精确度ε．
第二步：求区间（a，b）的中点c．
第三步：计算f（c）．
（1）若f（c）＝0，则c就是函数的零点；
（2）若f（a）·f（c）＜0，
则令b＝c（此时零点x0∈（a，c））；
（3）若f（c）·f（b）＜0，
则令a＝c（此时零点x0∈（c，b））．
第四步：判断是否达到精确度ε，即若|a－b|＜ε，则得到零点近似值a（或b），否则重复第二步至第四步．
二分就是将所给区间平均分成两部分，通过不断逼近的办法，找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点．
知识点二：常见的增长模型
1．线性函数模型
线性函数模型y＝kx＋b（k＞0）的增长特点是直线上升，其增长速度不变．
2．指数函数模型
能利用指数函数（底数a＞1）表达的函数模型叫指数函数模型．指数函数模型的特点是随自变量的增大，函数值的增长速度越来越快，常形象地称为指数爆炸．
3．对数函数模型
能用对数函数（底数a＞1）表达的函数模型叫做对数函数模型，对数函数增长的特点是随自变量的增大，函数值增长速度越来越慢．
4．幂函数模型
幂函数y＝xn（n＞0）的增长速度介于指数增长和对数增长之间．
函数模型的选取
（1）当描述增长速度变化很快时，常常选用指数函数模型．
（2）当要求不断增长，但又不会增长过快，也不会增长到很大时，常常选用对数函数模型．
（3）幂函数模型y＝xn（n＞0）则可以描述增长幅度不同的变化，n值越小（n≤1）时，增长较慢；n值较大（n＞1）时，增长较快．
教材解难：
教材P149思考
因为人口基数较大，人口增长过快，与我国经济发展水平产生了较大矛盾，所以我国从20世纪70年代逐步实施了计划生育政策．因此这一阶段的人口增长条件并不符合马尔萨斯人口增长模型的条件，自然就出现了依模型得到的结果与实际不符的情况．
基础自测：
1．以下每个图象表示的函数都有零点，但不能用二分法求函数零点近似值的是（ ）
解析：根据二分法的基本方法，函数f（x）在区间[a，b]上的图象连续不断，且f（a）·f（b）＜0，即函数的零点是变号零点，才能将区间[a，b]一分为二，逐步得到零点的近似值．对各图象分析可知，选项A、B、D都符合条件，而选项C不符合，因为图象在零点两侧函数值不异号，因此不能用二分法求函数零点的近似值．
答案：C
2．在用二分法求函数f（x）的一个正实数零点时，经计算，f（0.64）＜0，f（0.72）＞0，f（0.68）＜0，则函数的一个精确度为0.1的正实数零点的近似值为（ ）
A．0.6
B．0.75
C．0.7
D．0.8
解析：已知f（0.64）＜0，f（0.72）＞0，则函数f（x）的零点的初始区间为[0.64，0.72]．
又0.68＝，且f（0.68）＜0，
所以零点在区间[0.68，0.72]上，因为|0.68－0.72|＝0.04＜0.1，因此所求函数的一个正实数零点的近似值约为0.7，故选C．
答案：C
3．某同学最近5年内的学习费用y（千元）与时间x（年）的关系如图所示，则可选择的模拟函数模型是（ ）
A．y＝ax＋b
B．y＝ax2＋bx＋c
C．y＝a·ex＋b
D．y＝alnx＋b
解析：由散点图和四个函数的特征可知，可选择的模拟函数模型是y＝ax2＋bx＋c．
答案：B
4．已知函数y＝f（x）在区间（2，4）上连续，验证f（2）·f（4）＜0，取区间（2，4）的中点x1＝＝3，计算得f（2）·f（x1）＜0，则此时零点所在的区间为________．
解析：∵f（2）·f（3）＜0，∴零点在区间（2，3）内．
答案：（2，3）
二、素养提升
题型一：二分法概念的理解[经典例题]
例1：（1）下列函数中，必须用二分法求其零点的是（ ）
A．y＝x＋7
B．y＝5x－1
C．y＝log3x
D．y＝x－x
（2）下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是（ ）
解析：（1）
A × 解方程x＋7＝0，得x＝－7
B × 解方程5x－1＝0，得x＝0
C × 解方程log3x＝0，得x＝1
D √ 无法通过方程x－x＝0得到零点
（2）利用二分法求函数零点必须满足零点两侧函数值异号．在B中，不满足f（a）·f（b）＜0，不能用二分法求零点，由于A、C、D中零点两侧函数值异号，故可采用二分法求零点．
答案：（1）D；（2）B
（1）在无法通过解方程f（x）＝0求出方程根的情况下，需用二分法求函数的零点．
（2）可以用二分法求出的零点左右函数值异号．
方法归纳：
二分法的适用条件：
判断一个函数能否用二分法求其零点的依据是：其图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点．因此，用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用．
跟踪训练1：用二分法求方程2x＋3x－7＝0在区间[1，3]内的根，取区间的中点为x0＝2，那么下一个有根的区间是________．
解析：设f（x）＝2x＋3x－7，f（1）＝2＋3－7＝－2＜0，f（3）＝10＞0，f（2）＝3＞0，f（x）零点所在的区间为（1，2），所以方程2x＋3x－7＝0有根的区间是（1，2）．
答案：（1，2）
先构建函数f（x）＝2x＋3x－7，再判断f（1），f（2），f（3）的符号，寻找函数值与f（2）异号的自变量．
题型二：用二分法求函数零点的近似值
例2：用二分法求函数f（x）＝x3－x－1在区间[1，1.5]内的一个零点．（精确度0.01）
解析：经计算f（1）＜0，f（1.5）＞0，所以函数在[1，1.5]内存在零点x0．
取（1，1.5）的中点x1＝1.25，经计算f（1.25）＜0，
因为f（1.5）·f（1.25）＜0，所以x0∈（1.25，1.5），
如此继续下去，如下表：
区间 中点值 中点函数近似值
（1，1.5） 1.25 －0.30
（1.25，1.5） 1.375 0.22
（1.25，1.375） 1.3125 －0.05
（1.3125，1.375） 1.34375 0.08
（1.3125，1.34375） 1.328125 0.01
（1.3125，1.328125） 1.3203125 －0.02
因为|1.328125－1.3203125|＝0.0078125＜0.01，
所以函数f（x）＝x3－x－1精确度为0.01的一个近似零点可取为1.328125．
方程x3－x－1＝0的正解对应函数f（x）＝x3－x－1的图象与x轴正半轴交点的横坐标，确定出解的初始区间，利用二分法求出近似解．
方法归纳：
（1）用二分法求函数零点的近似值应遵循的原则
①需依据图象估计零点所在的初始区间[m，n]（一般采用估计值的方法完成）．
②取区间端点的平均数c，计算f（c），确定有解区间是[m，c]还是[c，n]，逐步缩小区间的“长度”，直到区间的两个端点符合精确度要求，终止计算，得到函数零点的近似值．
（2）二分法求函数零点步骤的记忆口诀
定区间，找中点，中值计算两边看．
同号丢，异号算，零点落在异号间．
重复做，何时止，精确度来把关口．
跟踪训练2：利用计算器求方程x2－2x－1＝0的正解的近似值（精确度0.1）．
解析：设f（x）＝x2－2x－1．∵f（2）＝－1＜0，f（3）＝2＞0，又f（x）在（2，3）内递增，∴在区间（2，3）内，方程x2－2x－1＝0有唯一实数根，记为x0．
取区间（2，3）的中点x1＝2.5，∵f（2.5）＝0.25＞0，
∴x0∈（2，2.5）．
再取区间（2，2.5）的中点x2＝2.25，∵f（2.25）＝－0.4375＜0，
∴x0∈（2.25，2.5）．
同理可得，x0∈（2.375，2.5），x0∈（2.375，2.4375）．
∵|2.375－2.4375|＝0.0625＜0.1，
故方程x2－2x－1＝0的一个精确度为0.1的近似正解可取为2.4375．
本题用求根公式可以求得x1＝1＋，x2＝1－，取精确到0.1的近似值是x1≈2.4，x2≈－0.4．这与用二分法所得结果相同．
题型三：函数模型的选择问题（教材P152例6）
例3：某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y（单位：万元）随销售利润x（单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%．现有三个奖励模型：y＝0.25x，y＝log7x＋1，y＝1.002x，其中哪个模型能符合公司的要求？
【解析】 借助信息技术画出函数y＝5，y＝0．25x，y＝log7x＋1，y＝1.002x的图象（图1）．观察图象发现，在区间[10，1000]上，模型y＝0.25x，y＝1.002x的图象都有一部分在直线y＝5的上方，只有模型y＝log7x＋1的图象始终在y＝5的下方，这说明只有按模型y＝log7x＋1进行奖励时才符合公司的要求．
图1
下面通过计算确认上述判断．
先计算哪个模型的资金总数不超过5万元．
对于模型y＝0.25x，它在区间[10，1000]上单调递增，而且当x＝20时，y＝5，因此，当x＞20时，y＞5，所以该模型不符合要求；
对于模型y＝1.002x，由函数图象，并利用信息技术，可知在区间（805，806）内有一个点x0满足1.002x0＝5，由于它在区间[10，1000]上单调递增，因此当x＞x0时，y＞5，所以该模型也不符合要求；
对于模型y＝log7x＋1，它在区间[10，1000]上单调递增，而且当x＝1000时，y＝log71000＋1≈4.55＜5，所以它符合奖金总数不超过5万元的要求．
再计算按模型y＝log7x＋1奖励时，奖金是否不超过利润的25%，即当x∈[10，1000]时，是否有y≤0．25x，即log7x＋1≤0.25x成立．
令f（x）＝log7x＋1－0.25x，x∈[10，1000]，利用信息技术画出它的图象（图2）．
图2
由图象可知函数f（x）在区间[10，1000]上单调递减，因此f（x）≤f（10）≈－0.3167＜0，
即log7x＋1＜0.25x．
所以，当x∈[10，1000]时，y≤0.25x，说明按模型y＝log7x＋1奖励，奖金不会超过利润25%．
综上所述，模型y＝log7x＋1确实能符合公司要求．
本例提供了三个不同增长方式的奖励模型，按要求选择其中一个函数作为刻画奖金总数与销售利润的关系．由于公司总的利润目标为1000万元，所以销售人员的销售利润一般不会超过公司总的利润．于是，只需在区间[10，1000]上，寻找并验证所选函数是否满足两条要求：第一，奖金总数不超过5万元，即最大值不大于5；第二，奖金不超过利润的25%，即y≤0.25x．
不妨先画出函数图象，通过观察函数图象，得到初步的结论，再通过具体计算，确认结果．
教材反思
数学知识来源于客观实际，服务于实际问题．数学是人们认识世界、改造世界的工具，其中函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，不同的变化规律需要不同的函数模型来描述．面临一个实际问题，选择合适的数学模型是一件非常重要的事情，根据三种不同的增长模型的特点，选择符合自己的模型，才能产生更大的经济效益．
跟踪训练3：某皮鞋厂今年1月份开始投产，并且前4个月的产量分别为1万双，1.2万双，1.3万双，1.37万双．由于产品质量好、款式新颖，前几个月的销售情况良好．为了推销员在推销产品时，接受订单不至于过多或过少，需要估计以后几个月的产量．厂里分析，产量的增加是由于工人生产熟练和理顺了生产流程．厂里也暂时不准备增加设备和工人．假如你是厂长，就月份x，产量为y给出三种函数模型：y＝ax＋b，y＝ax2＋bx＋c，y＝abx＋c，你将利用哪一种模型去估算以后几个月的产量？
解析：由题意，将产量随时间变化的离散量分别抽象为A（1，1），B（2，1.2），C（3，1.3），D（4，1.37）这4个数据．
（1）设模拟函数为y＝ax＋b时，将B，C两点的坐标代入函数式，得解得
所以有关系式y＝0.1x＋1．
由此可得结论为：在不增加工人和设备的条件下，产量会每月上升1000双，这是不太可能的．
（2）设模拟函数为y＝ax2＋bx＋c时，将A，B，C三点的坐标代入函数式，得
解得所以有关系式y＝－0.05x2＋0.35x＋0.7．
结论为：由此法计算4月份的产量为1.3万双，比实际产量少700双，而且由二次函数性质可知，产量自4月份开始将每月下降（图象开口向下，对称轴为x＝3．5），不合实际．
（3）设模拟函数为y＝abx＋c时，将A，B，C三点的坐标代入函数式，得
由①，得ab＝1－c，代入②③，得则解得则a＝＝－0.8．所以有关系式y＝－0.8×0.5x＋1.4．结论为：当把x＝4代入得y＝－0.8×0.54＋1.4＝1.35．
比较上述三个模拟函数的优劣，既要考虑到误差最小，又要考虑生产的实际，如：增产的趋势和可能性．经过筛选，以指数函数模拟为最佳，一是误差小，二是由于厂房新建，随着工人技术和管理效益逐渐提高，一段时间内产量会明显上升，但经过一段时间之后，如果不更新设备，产量必然趋于稳定，而该指数函数模型恰好反映了这种趋势．因此选用指数函数y＝－0.8×0.5x＋1.4模拟比较接近客观实际．
通过数据验证，确定系数，然后分析确定函数变化情况，最终找出与实际最接近的函数模型．
题型四：三类函数图象综合运用
例4：判断方程2x＝x2有几个实根．
解析：设y1＝x2，y2＝2x，作出这两个函数的图象，由图象知，方程一定有一个负根，当x＞0时，开始y1＝x2在y2＝2x图象的下方，但此时由于y1＝x2比y2＝2x增长的速度快，所以存在x0当x＞x0时，y1＝x2的图象就会在y2＝2x的上方，故此时产生一个实根x0，但最终还是y2＝2x比y1＝x2增长得快，故存在x1，当x＞x1时，y2＝2x的图象又在y1＝x2的上方，故又产生一个实根x1，以后就永远是y2＝2x比y1＝x2增长得快了，故再没有实根了，故此方程有三个实根．
（1）根据指数函数与幂函数增减得快慢以及图象的上下位置判断出是否有实根．
（2）对于较复杂的方程根的个数问题，利用数形结合法较为方便，其解题步骤为：
①先设出两个可画图象的函数；
②画出两个函数的图象；
③由图象观察，其交点横坐标的个数即为方程实数解的个数．
方法归纳：
由图象判断指数函数、对数函数和幂函数的方法
根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时，通常是观察函数图象上升得快慢，即随着自变量的增长，图象最“陡”的函数是指数函数，图象趋于平缓的函数是对数函数．
跟踪训练4：函数f（x）＝lgx，g（x）＝0．3x－1的图象如图所示．
（1）指出曲线C1，C2分别对应哪一个函数；
（2）比较两函数的增长差异（以两图象交点为分界点，对f（x），g（x）的大小进行比较）．
解析：（1）由题图知，C1对应的函数为g（x）＝0.3x－1，C2对应的函数为f（x）＝lgx．
（2）当x∈（0，x1）时，g（x）＞f（x）；
当x∈（x1，x2）时，g（x）＜f（x）；
当x∈（x2，＋∞）时，g（x）＞f（x）．
f（x）＝lgx图象是曲线．
g（x）＝0.3x－1图象是直线．
三、学业达标
（一）选择题
1．用二分法求如图所示函数f（x）的零点时，不可能求出的零点是（ ）
A．x1
B．x2
C．x3
D．x4
解析：观察图象可知：零点x3的附近两边的函数值都为负值，所以零点x3不能用二分法求出．
答案：C
2．已知图象连续不断的函数y＝f（x）在区间（0，0.1）上有唯一零点，如果用“二分法”求这个零点（精确度0.01）的近似值，则应将区间（0，0.1）等分的次数至少为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
解析：由＜0.01，得2n＞10，
所以n的最小值为4．故选B．
答案：B
3．若函数f（x）＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如表：
f（1）＝－2 f（1.5）＝0.625
f（1.25）＝－0.984 f（1.375）＝－0.260
f（1.438）＝0.165 f（1.4065）＝－0.052
那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根（精确到0.1）为（ ）
A．1.2
B．1.3
C．1.4
D．1.5
解析：由表知f（1.438）＞0，f（1.4065）＜0且在[1.4065，1.438]内每一个数若精确到0.1都是1.4，则方程的近似根为1.4．
答案：C
4．如图所示给出了红豆生长时间t（月）与枝数y（枝）的散点图，那么最能拟合诗句“红豆生南国，春来发几枝”所提到的红豆生长时间与枝数的关系的函数模型是（ ）
A．指数函数：y＝2
tB．对数函数：y＝log2t
C．幂函数：y＝t3
D．二次函数：y＝2t2
解析：由散点图可知，与指数函数拟合最贴切，故选A．
答案：A
（二）填空题
5．用二分法求函数f（x）在区间[0，2]上零点的近似解，若f（0）·f（2）＜0，取区间中点x1＝1，计算得f（0）·f（x1）＜0，则此时可以判定零点x0∈________（填区间）．
解析：由二分法的定义，根据f（0）f（2）＜0，f（0）·f（x1）＜0，
故零点所在区间可以为（0，x1）．
答案：（0，x1）
6．据报道，青海湖水在最近50年内减少了10%，如果按此规律，设2013年的湖水量为m，从2013年起，过x年后湖水量y与x的函数关系是________．
解析：设湖水量每年为上年的q%，
则（q%）50＝0.9，
所以q%＝0.9，所以x年后湖水量y＝m·（q%）x＝m·0.9．
答案：y＝0.9·m
7．已知二次函数f（x）＝x2－x－6在区间[1，4]上的图象是一条连续的曲线，且f（1）＝－6＜0，f（4）＝6＞0，由函数零点的性质可知函数在[1，4]内有零点，用二分法求解时，取（1，4）的中点a，则f（a）＝________．
解析：显然（1，4）的中点为2.5，则f（a）＝f（2.5）＝2.52－2.5－6＝－2.25．
答案：－2.25
（三）解答题
8．用二分法求方程x2－5＝0的一个近似正解．（精确度为0.1）
解析：令f（x）＝x2－5，因为f（2.2）＝－0.16＜0，f（2.4）＝0.76＞0，
所以f（2.2）·f（2.4）＜0，
即这个函数在区间（2.2，2.4）内有零点x0，
取区间（2.2，2.4）的中点x1＝2.3，
f（2.3）＝0.29，因为f（2.2）·f（2.3）＜0，所以x0∈（2.2，2.3），再取区间（2.2，2.3）的中点x2＝2.25，f（2.25）＝0.0625，因为f（2.2）·f（2.25）＜0，所以x0∈（2.2，2.25），由于|2.25－2.2|＝0.05＜0.1，所以原方程的近似正解可取2.25．
9．某学校开展研究性学习活动，一组同学获得了下面的一组试验数据．
x 1.99 3 4 5.1 8
y 0.99 1.58 2.01 2.35 3.00
现有如下5个模拟函数：
①y＝0.58x－0.16；②y＝2x－3．02；③y＝x2－5.5x＋8；④y＝log2x；⑤y＝x＋1.74．
请从中选择一个模拟函数，使它比较近似地反映这些数据的规律．
解析：画出散点图如图所示．
由图可知，上述点大体在函数y＝log2x上（对于y＝0.58x－0.16，可代入已知点验证不符合），故选择y＝log2x可以比较近似地反映这些数据的规律．
尖子生题库：
10．用二分法求方程lnx＝在[1，2]上的近似解，取中点c＝1.5，求下一个有根区间．
解析：令f（x）＝lnx－，
f（1）＝－1＜0，f（2）＝ln2－＝ln＞ln1＝0，
f（1.5）＝ln1.5－＝（ln1.53－2）．
因为1.53＝3.375，e2＞4＞1.53，
故f（1.5）＝（ln1.53－2）＜（lne2－2）＝0，
f（1.5）f（2）＜0，下一个有根区间是[1.5，2]．
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