中小学教育资源及组卷应用平台
【专题讲义】北师大版九年级数学下册
第1讲 锐角三角函数与解三角形综合复习专题精讲（提高版）
授课主题 第01讲-----锐角三角函数与解三角形
授课类型 T同步课堂 P实战演练 S归纳总结
教学目标 掌握锐角三角函数的几何意义及计算公式；
掌握特殊角的三角函数值，并能进行熟练计算；
能根据题目已知条件，进行解三角形；
能利用三角函数进行简单的应用，并解决问题。
授课日期及时段
T（Textbook-Based）——同步课堂
知识概念
三角函数的概念1、正弦，余弦，正切的概念(及书写规范)如图，在 中，（1） ＝
（2） ＝
（3） ＝ 2、定义中应该注意的几个问题（1）sinA、cosA、tanA是在直角三角形中定义的，∠A是锐角(注意数形结合，构造直角三角形)
（2）sinA、 cosA、tanA是一个比值（数值）
（3）sinA、 cosA 、tanA的大小只与∠A的大小有关，而与直角三角形的边长无关。
（二）特殊角的三角函数值
度 数
sinα
cosα
tanα
30°
45°
1
60°
（三）三角函数之间的关系
1、余角关系：在∠A+∠B=90°时 2、同角关系sin2A+cos2A=1. （四）斜坡的坡度1、仰角、俯角、坡度、坡角和方向角（1）仰角：视线在水平线上方的角叫仰角．俯角：视线在水平线下方的角叫俯角．
（2）坡度：坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度(或叫坡比)，用字母i表示．坡角：坡面与水平面的夹角叫坡角，用α表示，则有i＝_tan α如图所示， ，即坡度是坡角的正切值．
（3）方向角：
平面上，通过观察点O作一条水平线(向右为东向)和一条铅垂线(向上为北向)，则从O点出发的视线与水平线或铅锤线所夹的角，叫做观测的方向角．
（五）解三角形
1、定义锐角的正弦，余弦和正切都是∠的三角函数，直角三角形中，除直角外，共5个元素：3条边和2个角．除直角外只要知道其中2个元素（至少有1个是边），就可利用以上关系求出另外3个元素．2、解直角三角形应用题的步骤（1）根据题目已知条件，画出平面几何图形，找出已知条件中各量之间的关系．
（2）若是直角三角形，根据边角关系进行计算；
若不是直角三角形，应大胆尝试添加辅助线，构造直角三角形进行解决．3、解三角形关系解直角三角形时，正确选择关系式是关键：
（1）求边时一般用未知边比已知边，去找已知角的某一个三角函数；
（2）求角时一般用已知边比已知边，去找未知角的某一个三角函数；
（3）求某些未知量的途径往往不唯一，其选择的原则：
①尽量直接使用原始数据；②计算简便；③若能用乘法应避免除法．考点一：三角函数的概念例1、已知，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=，AC=1，那么∠A的正切tanA等于（ ）
A． B．2 C． D．例2、如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则cos∠ABC等于（ ）
A． B． C． D．例3、如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，则下列结论不正确的是（ ）
A． B． C． D．
考点二：特殊角的三角函数值例1、在△ABC中，若|sinA﹣|+（﹣tanB）2=0，则∠C的度数为（ ）
A．30° B．60° C．90° D．120°例2、计算：sin45°+cos230°﹣+2sin60°．
例3、
考点三：斜坡的坡度例1、一个公共房门前的台阶高出地面1.2米，台阶拆除后，换成供轮椅行走的斜坡，数据如图所示，则下列关系或说法正确的是（ ）
A．斜坡AB的坡度是10° B．斜坡AB的坡度是tan10°
C．AC=1.2tan10°米 D．AB=米例2、一辆汽车沿坡角为α的斜坡前进500米，则它上升的最大高度为（ ）
A．500sinα B． C．500cosα D．考点四：解三角形例1、如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，若AC=6，∠C=45°，tan∠ABC=3，则BD等于（ ）
A．2 B．3 C．3 D．2
例2、如图，△ABC中，∠ACB=90°，tanA=，AB=15，AC= ．
例3、如图，已知四边形ABCD中，∠ABC=90°，∠ADC=90°，AB=6，CD=4，BC的延长线与AD的延长线交于点E．
（1）若∠A=60°，求BC的长；
（2）若sinA=，求AD的长．
（注意：本题中的计算过程和结果均保留根号）
P(Practice-Oriented)——实战演练
课堂狙击1、如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，3），那么cosα的值是（ ）
A． B． C． D．
2、如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是（ ）
A．2 B． C． D．
3、在△ABC中，∠C=90°，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，下列各式成立的是（ ）
A．b=a?sinB B．a=b?cosB C．a=b?tanB D．b=a?tanB
4、已知∠A为锐角，且tanA=，那么下列判断正确的是（ ）
A．0＜∠A＜30° B．30°＜∠A＜45°
C．45°＜∠A＜60° D．60°＜∠A＜90°
5、在△ABC中，若|sinA﹣|+（cosB﹣）2=0，则∠C=（ ）
A．30° B．60° C．90° D．120°
6、如图，小阳发现电线杆AB的影子落在土坡的坡面CD和地面BC上，
量得CD=8米，BC=20米，CD与地面成30°角，且此时测得1米杆的影
长为2米，则电线杆的高度为 米．
7、如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则tan∠BAC等于 ．
8、计算：3sin60°﹣2cos30°﹣tan60°?tan45°．
9、如图，在Rt△ABC和Rt△CDE中，AB与CE相交于点F，∠ACB=∠E=90°，
∠A=30°，∠D=45°，BC=6，求CF的长．
课后反击1、如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则cos∠ABC等于（ ）
A． B． C． D．
2、已知α为锐角，且sinα=，那么α的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
3、在△ABC中，，则△ABC为（ ）
A．直角三角形 B．等边三角形
C．含60°的任意三角形 D．是顶角为钝角的等腰三角形
4、在△ABC中，∠C=90°，tanA=，则sinB，cosB，tanB中最小的是（ ）
A．tanB B．sinB C．cosB D．sinB或cosB5、如图，P（12，a）在反比例函数图象上，PH⊥x轴于H，则tan∠POH的值为 ．
6、如图，在正方形网格中，△ABC的顶点都在格点上，则tan∠ACB的值为
7、某水库水坝的坝高为10米，迎水坡的坡度为1：2.4，则该水库迎水坡的长度为 米．
8、计算：6tan260°﹣cos30°?tan30°﹣2sin45°+cos60°．
9、一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F=∠ACB=90°，∠E=45°，
∠A=60°，BC=10，试求CD的长．
1、如图，点A为∠α边上的任意一点，作AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，下列用线段比表示cosα的值，错误的是（ ）
A． B． C． D．
2、如图所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinA的值为（ ）
A． B． C． D．
3、如图，在四边形ABCD中，E、F分別是AB、AD的中点，若EF=2，BC=5，CD=3，则tanC等于（ ）
A． B． C． D．
4、如图是拦水坝的横断面，斜坡AB的水平宽度为12米，斜面坡度为1：2，则斜坡AB的长为（ ）
A．4米 B．6米 C．12米 D．24米
5、小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上，如图，此时测得地面上的影长为8米，坡面上的影长为4米．已知斜坡的坡角为30°，同一时刻，一根长为1米且垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，则树的高度为（ ）
A．（6+）米 B．12米 C．（4﹣2）米 D．10米
6、如图，AD是△ABC的中线，tanB=，cosC=，AC=．
求：（1）BC的长；
（2）sin∠ADC的值．
S(Summary-Embedded)——归纳总结
1、正弦，余弦，正切的概念
2、特殊角的三角函数值
3、斜坡的坡度
4、解三角形
1、sinA、 cosA、tanA是一个比值（数值），大小只与∠A的大小有关，而与直角三角形的边长无关
2、在几何图形中求解三角函数值或者解三角形，找出直角三角形或做辅助线构造直角三角形是解题的关键。本节课我学到
我需要努力的地方是
体系搭建
实战演练
直击中考
重点回顾
名师点拨
学霸经验
PAGE
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
页 1
中小学教育资源及组卷应用平台
【专题讲义】北师大版九年级数学下册
第1讲 锐角三角函数与解三角形综合复习专题精讲（解析版）
参考答案
授课主题 第01讲-----锐角三角函数与解三角形
授课类型 T同步课堂 P实战演练 S归纳总结
教学目标 掌握锐角三角函数的几何意义及计算公式；
掌握特殊角的三角函数值，并能进行熟练计算；
能根据题目已知条件，进行解三角形；
能利用三角函数进行简单的应用，并解决问题。
授课日期及时段
T（Textbook-Based）——同步课堂
知识概念
三角函数的概念1、正弦，余弦，正切的概念(及书写规范)如图，在 中，（1） ＝
（2） ＝
（3） ＝ 2、定义中应该注意的几个问题（1）sinA、cosA、tanA是在直角三角形中定义的，∠A是锐角(注意数形结合，构造直角三角形)
（2）sinA、 cosA、tanA是一个比值（数值）
（3）sinA、 cosA 、tanA的大小只与∠A的大小有关，而与直角三角形的边长无关。
（二）特殊角的三角函数值
度 数
sinα
cosα
tanα
30°
45°
1
60°
（三）三角函数之间的关系
1、余角关系：在∠A+∠B=90°时 2、同角关系sin2A+cos2A=1. （四）斜坡的坡度1、仰角、俯角、坡度、坡角和方向角（1）仰角：视线在水平线上方的角叫仰角．俯角：视线在水平线下方的角叫俯角．
（2）坡度：坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度(或叫坡比)，用字母i表示．坡角：坡面与水平面的夹角叫坡角，用α表示，则有i＝_tan α如图所示， ，即坡度是坡角的正切值．
（3）方向角：
平面上，通过观察点O作一条水平线(向右为东向)和一条铅垂线(向上为北向)，则从O点出发的视线与水平线或铅锤线所夹的角，叫做观测的方向角．
（五）解三角形
1、定义锐角的正弦，余弦和正切都是∠的三角函数，直角三角形中，除直角外，共5个元素：3条边和2个角．除直角外只要知道其中2个元素（至少有1个是边），就可利用以上关系求出另外3个元素．2、解直角三角形应用题的步骤（1）根据题目已知条件，画出平面几何图形，找出已知条件中各量之间的关系．
（2）若是直角三角形，根据边角关系进行计算；
若不是直角三角形，应大胆尝试添加辅助线，构造直角三角形进行解决．3、解三角形关系解直角三角形时，正确选择关系式是关键：
（1）求边时一般用未知边比已知边，去找已知角的某一个三角函数；
（2）求角时一般用已知边比已知边，去找未知角的某一个三角函数；
（3）求某些未知量的途径往往不唯一，其选择的原则：
①尽量直接使用原始数据；②计算简便；③若能用乘法应避免除法．考点一：三角函数的概念例1、已知，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=，AC=1，那么∠A的正切tanA等于（ ）
A． B．2 C． D．
【解析】∵∠C=90°，AB=，AC=1，∴BC==2，
则tanA==2，故选：B．例2、如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则cos∠ABC等于（ ）
A． B． C． D．
【解析】B．
例3、如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，则下列结论不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【解析】C．考点二：特殊角的三角函数值例1、在△ABC中，若|sinA﹣|+（﹣tanB）2=0，则∠C的度数为（ ）
A．30° B．60° C．90° D．120°
【解析】D．
例2、计算：sin45°+cos230°﹣+2sin60°．【解析】原式=?+（）2﹣+2×=+﹣+
=1+．例3、 【解析】 原式=1×﹣4××+×
=﹣+
=．
考点三：斜坡的坡度例1、一个公共房门前的台阶高出地面1.2米，台阶拆除后，换成供轮椅行走的斜坡，数据如图所示，则下列关系或说法正确的是（ ）
A．斜坡AB的坡度是10° B．斜坡AB的坡度是tan10°
C．AC=1.2tan10°米 D．AB=米
【解析】B．例2、一辆汽车沿坡角为α的斜坡前进500米，则它上升的最大高度为（ ）
A．500sinα B． C．500cosα D．【解析】A．考点四：解三角形例1、如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，若AC=6，∠C=45°，tan∠ABC=3，则BD等于（ ）
A．2 B．3 C．3 D．2
【解析】∵AC=6，∠C=45°， ∴AD=AC?sin45°=6×=6，
∵tan∠ABC=3， ∴=3，
∴BD==2，故选：A．例2、如图，△ABC中，∠ACB=90°，tanA=，AB=15，AC= 9 ．
【解析】9．例3、如图，已知四边形ABCD中，∠ABC=90°，∠ADC=90°，AB=6，CD=4，BC的延长线与AD的延长线交于点E．
（1）若∠A=60°，求BC的长；
（2）若sinA=，求AD的长．
（注意：本题中的计算过程和结果均保留根号）
【解析】（1）∵∠A=60°，∠ABE=90°，AB=6，tanA=，
∴∠E=30°，BE=tan60°?6=6，
又∵∠CDE=90°，CD=4，sinE=，∠E=30°，
∴CE==8，∴BC=BE﹣CE=6﹣8；
（2））∵∠ABE=90°，AB=6，sinA==，∴设BE=4x，则AE=5x，得AB=3x，
∴3x=6，得x=2，∴BE=8，AE=10，
∴tanE====，解得，DE=，
∴AD=AE﹣DE=10﹣=，
即AD的长是．
P(Practice-Oriented)——实战演练
课堂狙击1、如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，3），那么cosα的值是（ ）
A． B． C． D．
【解析】D．
2、如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是（ ）
A．2 B． C． D．
【解析】D．
3、在△ABC中，∠C=90°，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，下列各式成立的是（ ）
A．b=a?sinB B．a=b?cosB C．a=b?tanB D．b=a?tanB
【解析】D．
4、已知∠A为锐角，且tanA=，那么下列判断正确的是（ ）
A．0＜∠A＜30° B．30°＜∠A＜45° C．45°＜∠A＜60° D．60°＜∠A＜90°
【解析】B．
5、在△ABC中，若|sinA﹣|+（cosB﹣）2=0，则∠C=（ ）
A．30° B．60° C．90° D．120°
【解析】D．
6、如图，小阳发现电线杆AB的影子落在土坡的坡面CD和地面BC上，
量得CD=8米，BC=20米，CD与地面成30°角，且此时测得1米杆的影
长为2米，则电线杆的高度为 14+2 米．
【解析】如图，延长AD交BC的延长线于点F，过点D作DE⊥BC的延长线于点E．
∵∠DCE=30°，CD=8米，∴CE=CD?cos∠DCE=8×=4（米），
∴DE=4米，设AB=x，EF=y，
∵DE⊥BF，AB⊥BF，∴△DEF∽△ABF，
∴=，即=…①，
∵1米杆的影长为2米，根据同一时间物高与影长成正比可得，=…②，
①②联立，解得x=14+2（米）．
故答案为：14+2．
7、如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则tan∠BAC等于 ．
【解析】设小正方形的边长为1，
过C作CF⊥AB于F，
由勾股定理得：AB==2，AC==2，BC=2，
由三角形面积公式得：AB×CF=BC×AE，
2×CF=2×2，解得：CF=，
在Rt△AFC中，由勾股定理得：AF==，tan∠BAC===，
8、计算：3sin60°﹣2cos30°﹣tan60°?tan45°．
【解析】原式=3×﹣2×﹣×1
=﹣﹣
=﹣．
9、如图，在Rt△ABC和Rt△CDE中，AB与CE相交于点F，∠ACB=∠E=90°，
∠A=30°，∠D=45°，BC=6，求CF的长．
【解析】过F作FM⊥BC于M，则∠FMC=∠FMB=90°，
∵∠ECD=45°，∴∠CFM=45°=∠FCM，
∴CM=FM=CF×sin45°=CF，
∵∠A=30°，∠ACB=90°，
∴∠FBM=60°，∴BM==CF×=CF，
∵BC=CM+BM=6，∴CF+CF=6，
解得：CF=18﹣6．课后反击1、如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则cos∠ABC等于（ ）
A． B． C． D．
【解析】B．2、已知α为锐角，且sinα=，那么α的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【解析】D．
3、在△ABC中，，则△ABC为（ ）
A．直角三角形 B．等边三角形
C．含60°的任意三角形 D．是顶角为钝角的等腰三角形
【解析】A．
4、在△ABC中，∠C=90°，tanA=，则sinB，cosB，tanB中最小的是（ ）
A．tanB B．sinB C．cosB D．sinB或cosB
【解析】C．
5、如图，P（12，a）在反比例函数图象上，PH⊥x轴于H，则tan∠POH的值为 ．
【解析】
6、如图，在正方形网格中，△ABC的顶点都在格点上，则tan∠ACB的值为
【解析】作AD⊥BC于D，由勾股定理得，AC=，AB=3，BC=4，
△ABC的面积为：×AB×CE=6，∴×CB×AD=6，解得AD=，
CD==，tan∠ACB==．
7、某水库水坝的坝高为10米，迎水坡的坡度为1：2.4，则该水库迎水坡的长度为 26 米．
【解析】268、计算：6tan260°﹣cos30°?tan30°﹣2sin45°+cos60°．
【解析】原式=6×（）2﹣×﹣2×+
=18﹣﹣+
=18﹣．
9、一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F=∠ACB=90°，∠E=45°，
∠A=60°，BC=10，试求CD的长．
【解析】过点B作BM⊥FD于点M，
在△ACB中，∠ACB=90°，∠A=60°，BC=10，∴∠ABC=30°，AC=10，
∵AB∥CF，∴BM=BC×sin30°=10×=5，
CM=BC×cos30°=15，
在△EFD中，∠F=90°，∠E=45°，∴∠EDF=45°，∴MD=BM=5，
∴CD=CM﹣MD=15﹣5．
1、如图，点A为∠α边上的任意一点，作AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，下列用线段比表示cosα的值，错误的是（ ）
A． B． C． D．
【解析】C．
2、如图所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinA的值为（ ）
A． B． C． D．
【解析】B．
3、如图，在四边形ABCD中，E、F分別是AB、AD的中点，若EF=2，BC=5，CD=3，则tanC等于（ ）
A． B． C． D．
【解析】连接BD，选B．
4、如图是拦水坝的横断面，斜坡AB的水平宽度为12米，斜面坡度为1：2，则斜坡AB的长为（ ）
A．4米 B．6米 C．12米 D．24米
5、小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上，如图，此时测得地面上的影长为8米，坡面上的影长为4米．已知斜坡的坡角为30°，同一时刻，一根长为1米且垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，则树的高度为（ ）
A．（6+）米 B．12米 C．（4﹣2）米 D．10米
【解析】延长AC交BF延长线于D点，
则∠CFE=30°，作CE⊥BD于E，
在Rt△CFE中，∠CFE=30°，CF=4m，
∴CE=2（米），EF=4cos30°=2（米），
在Rt△CED中，
∵同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，CE=2（米），
CE：DE=1：2，∴DE=4（米），
∴BD=BF+EF+ED=12+2（米）
在Rt△ABD中，AB=BD=（12+2）=（+6）（米）．
故选：A．
6、如图，AD是△ABC的中线，tanB=，cosC=，AC=．
求：（1）BC的长；
（2）sin∠ADC的值．【解析】过点A作AE⊥BC于点E，
∵cosC=，∴∠C=45°，
在Rt△ACE中，CE=AC?cosC=1，∴AE=CE=1，
在Rt△ABE中，tanB=，即=，∴BE=3AE=3，
∴BC=BE+CE=4；
（2）∵AD是△ABC的中线，∴CD=BC=2，∴DE=CD﹣CE=1，
∵AE⊥BC，DE=AE，∴∠ADC=45°，
∴sin∠ADC=．
S(Summary-Embedded)——归纳总结
1、正弦，余弦，正切的概念
2、特殊角的三角函数值
3、斜坡的坡度
4、解三角形
1、sinA、 cosA、tanA是一个比值（数值），大小只与∠A的大小有关，而与直角三角形的边长无关
2、在几何图形中求解三角函数值或者解三角形，找出直角三角形或做辅助线构造直角三角形是解题的关键。本节课我学到
我需要努力的地方是
体系搭建
实战演练
直击中考
重点回顾
名师点拨
学霸经验
PAGE
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
页 1
