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【专题讲义】北师大版九年级数学下册
第6讲 二次函数的应用综合复习专题精讲（提高版）
授课主题 第06讲——二次函数的应用
授课类型 T同步课堂 P实战演练 S归纳总结
教学目标 掌握二次函数最值的计算； 掌握几何图形面积的最值计算； 熟练运用二次函数解决最大利润问题； 理解二次函数与一元二次方程。
授课日期及时段
T（Textbook-Based）——同步课堂
知识梳理知识概念1、用二次函数的性质解决最值计算问题（1）将函数表达式配方成顶点式，进行求解：开口向上时顶点处取得最小值；开口向下时取最大值。 （2）当自变量X的取值范围遇到限制时，则需要先判断对称轴是否被包含在取值范围中，再根据二次函数的增减性计算出函数的最大值、最小值。2、用二次函数的性质解决实际问题利用二次函数的最值确定最大利润、最节省方案等问题是二次函数应用最常见的问题，解决此类问题的关键是认真审题，理解题意，建立二次函数的数学模型，再用二次函数的相关知识解决． 一般方法步骤： （1）列出二次函数的解析式，列解析式时，要根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围． （2）在自变量取值范围内，运用公式法或配方法或对称轴判定法，求出二次函数的最大值或最小值．3、二次函数与一元二次方程的关系（1）二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当y＝0时，就变成了ax2＋bx＋c＝0(a≠0)． （2）ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的解是抛物线与x轴交点的横坐标． （3）当Δ＝b2－4ac＞0时，抛物线与x轴有两个不同的交点； 当Δ＝b2－4ac＝0时，抛物线与x轴有一个交点； 当Δ＝b2－4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．考点一：根据实际问题求二次函数表达式例1、为了美观，在加工太阳镜时将下半部分轮廓制作成抛物线的形状（如图所示），对应的两条抛物线关于y轴对称，AE∥x轴，AB=4cm，最低点C在x轴上，高CH=1cm，BD=2cm，则右轮廓DFE所在抛物线的解析式为（ ） A．y=（x+3）2 B．y=（x﹣3）2 C．y=﹣（x+3）2 D．y=﹣（x﹣3）2例2、某种品牌的服装进价为每件150元，当售价为每件210元时，每天可卖出20件，现需降价处理，且经市场调查：每件服装每降价2元，每天可多卖出1件．在确保盈利的前提下，若设每件服装降价x元，每天售出服装的利润为y元，则y与x的函数关系式为（ ） A．y=﹣x2+10x+1200（0＜x＜60） B．y=﹣x2﹣10x+1250（0＜x＜60） C．y=﹣x2+10x+1250（0＜x＜60） D．y=﹣x2+10x+1250（x≤60） 考点二：最值计算问题例1、已知二次函数y=x2﹣6x+8． （1）将y=x2﹣6x+8化成y=a（x﹣h）2+k的形式； （2）当0≤x≤4时，y的最小值是 ，最大值是 ； （3）当y＜0时，写出x的取值范围． 考点三： 几何图形面积的最值问题例1、某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长为30米的篱笆围成，已知墙长为18米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x米． （1）若苗圃园的面积为72平方米，求x； （2）若平行与墙的一边长不小于8米，这个苗圃园的面积有最大值和最小值吗？如果有，求出最大值和最小值；如果没有，请说明理由； （3）当这个苗圃园的面积不小于100平方米时，直接写出x的取值范围． 例2、如图，已知抛物线y=ax2+x+c经过A（4，0），B（1，0）两点， （1）求该抛物线的解析式； （2）在直线AC上方的该抛物线上是否存在一点D，使得△DCA的面积最大？若存在，求出点D的坐标及△DCA面积的最大值；若不存在，请说明理由． 考点四：求最大利润问题例1、某宾馆拥有客房100间，经营中发现：每天入住的客房数y（间）与其价格x（元）（180≤x≤300）满足一次函数关系，部分对应值如表： x（元） 180 260 280 300 y（间） 100 60 50 40 （1）求y与x之间的函数表达式； （2）已知每间入住的客房，宾馆每日需支出各种费用100元；每日空置的客房需支出各种费用60元，当房价为多少元时，宾馆当日利润最大？求出最大值．（宾馆当日利润=当日房费收入﹣当日支出） 例2、草莓是云南多地盛产的一种水果，今年某水果销售店在草莓销售旺季，试销售成本为每千克20元的草莓，规定试销期间销售单价不低于成本单价，也不高于每千克40元，经试销发现，销售量y（千克）与销售单价x（元）符合一次函数关系，如图是y与x的函数关系图象． （1）求y与x的函数解析式（也称关系式）； （2）设该水果销售店试销草莓获得的利润为W元，求W的最大值． 考点五：二次函数与一元二次方程例1、已知关于x的一元二次方程x2+mx+n=0的两个实数根分别为x1=a，x2=b（a＜b），则二次函数y=x2+mx+n中，当y＜0时，x的取值范围是（ ） A．x＜a B．x＞b C．a＜x＜b D．x＜a或x＞b例2、若二次函数y=ax2+bx+c（a＜0）的图象如图所示，且关于x的方程ax2+bx+c=k有两个不相等的实根，则常数k的取值范围是（ ） A．0＜k＜4 B．﹣3＜k＜1 k＜﹣3或k＞1 D．k＜4
P(Practice-Oriented)——实战演练
课堂狙击1、下列图形中，阴影部分面积为1的是（ ） A．B． C．D． 2、已知抛物线y=x2﹣x﹣1，与x轴的一个交点为（m，0），则代数式m2﹣m+2014的值为（ ） A．2013 B．2015 C．2014 D．2010 3、二次函数y=mx2+x﹣2m（m是非0常数）的图象与x轴的交点个数为（ ） A．0个 B．1个 C．2个 D．1个或2个 4、若关于x的一元二次方程（x﹣2）（x﹣3）=m有实数根x1、x2，且x1＜x2，则下列结论中错误的是（ ） A．当m=0时，x1=2，x2=3 B．m＞﹣ C．当m＞0时，2＜x1＜x2＜3 D．二次函数y=（x﹣x1）（x﹣x2）+m的图象与x轴交点的坐标为（2，0）和（3，0） 5、如图，从某建筑物10m高的窗口A处用水管向外喷水，喷出的水成抛物线状（抛物线所在平面与墙面垂直）．如果抛物线的最高点M离墙1m，离地面m，则水流落地点B离墙的距离OB是（ ） A．2m B．3m C．4m D．5m 6、如图已知A1，A2，A3，…An是x轴上的点，且OA1=A1A2=A2A3=A3A4=…=An﹣1An=1，分别过点A1，A2，A3，…An′作x轴的垂线交二次函数y=x2（x＞0）的图象于点P1，P2，P3，…Pn，若记△OA1P1的面积为S1，过点P1作P1B1⊥A2P2于点B1，记△P1B1P2的面积为S2，过点P2作P2B2⊥A3P3于点B2，记△P2B2P3的面积为S3，…依次进行下去，最后记△Pn﹣1Bn﹣1Pn（n＞1）的面积为Sn，则Sn=（ ） A． B． C． D． 7、为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤（岸堤足够长）为一边，用总长为80m的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等．设BC的长度为xm，矩形区域ABCD的面积为ym2． （1）求y与x之间的函数关系式，并注明自变量x的取值范围； （2）x为何值时，y有最大值？最大值是多少？ 8、某宾馆有客房50间，当每间客房每天的定价为220元时，客房会全部住满；当每间客房每天的定价增加10元时，就会有一间客房空闲，设每间客房每天的定价增加x元时，客房入住数为y间． （1）求y与x的函数关系式（不要求写出x的取值范围）； （2）如果每间客房入住后每天的各种支出为40元，不考虑其他因素，则该宾馆每间客房每天的定价为多少时利润最大？ 课后反击1、如图，半圆A和半圆B均与y轴相切于O，其直径CD，EF均和x轴垂直，以O为顶点的两条抛物线分别经过点C，E和点D，F，则图中阴影部分面积（ ） A．π B．π C．π D．条件不足，无法求 2、如图，点E、F、G、H分别是正方形ABCD边AB、BC、CD、DA上的点，且AE=BF=CG=DH．设A、E两点间的距离为x，四边形EFGH的面积为y，则y与x的函数图象可能为（ ） A． B． C． D． 3、若函数y=mx2﹣（m﹣3）x﹣4的图象与x轴只有一个交点，则m的值为（ ） A．0 B．1或9 C．﹣1或﹣9 D．0或﹣1或﹣9 4、如图，点A1、A2、A3、…、An在抛物线y=﹣x2图象上，点B0、B1、B2、B3、…、Bn在y轴上（点B0与坐标原点O重合），若△A1B0B1、△A2B1B2、…、△AnBn﹣1Bn都为等腰直角三角形，则A2011B2010的长为（ ） A．2010 B．2011 C． D． 5、为备战2016年里约奥运会，中国女排的姑娘们刻苦训练，为国争光，如图，已知排球场的长度OD为18米，位于球场中线处球网的高度AB为2.43米，一队员站在点O处发球，排球从点O的正上方1.8米的C点向正前方飞出，当排球运行至离点O的水平距离OE为7米时，到达最高点G建立如图所示的平面直角坐标系． （1）当球上升的最大高度为3.2米时，求排球飞行的高度y（单位：米）与水平距离x（单位：米）的函数关系式．（不要求写自变量x的取值范围）． （2）在（1）的条件下，对方距球网0.5米的点F处有一队员，他起跳后的最大高度为3.1米，问这次她是否可以拦网成功？请通过计算说明． （3）若队员发球既要过球网，又不出边界，问排球飞行的最大高度h的取值范围是多少？（排球压线属于没出界）6、某文具店购进一批纪念册，每本进价为20元，出于营销考虑，要求每本纪念册的售价不低于20元且不高于28元，在销售过程中发现该纪念册每周的销售量y（本）与每本纪念册的售价x（元）之间满足一次函数关系：当销售单价为22元时，销售量为36本；当销售单价为24元时，销售量为32本． （1）请直接写出y与x的函数关系式； （2）当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是多少元？ （3）设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为w元，将该纪念册销售单价定为多少元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大？最大利润是多少？ 1、如图，二次函数y=ax2+bx+c=0（a≠0）的图象与x轴正半轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，对称轴为直线x=2，且OA=OC，则下列结论：①abc＞0； ②9a+3b+c＜0； ③c＞﹣1； ④关于x的方程ax2+bx+c=0（a≠0）有一个根为﹣ 其中正确的结论个数有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2、儿童商场购进一批M型服装，销售时标价为75元/件，按8折销售仍可获利50%．商场现决定对M型服装开展促销活动，每件在8折的基础上再降价x元销售，已知每天销售数量y（件）与降价x（元）之间的函数关系式为y=20+4x（x＞0）． （1）求M型服装的进价； （2）求促销期间每天销售M型服装所获得的利润W的最大值． 3、如图，二次函数y=ax2+bx的图象经过点A（2，4）与B（6，0）． （1）求a，b的值； （2）点C是该二次函数图象上A，B两点之间的一动点，横坐标为x（2＜x＜6），写出四边形OACB的面积S关于点C的横坐标x的函数表达式，并求S的最大值．
S(Summary-Embedded)——归纳总结
二次函数最值的计算 几何类二次函数最值的计算 应用二次函数解决最大利润问题根据实际问题，建立二次函数模型，准确列出函数表达式，并计算出对应的最值是解决本节问题的关键。 本节课我学到 我需要努力的地方是
体系搭建
实战演练
直击中考
重点回顾
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【专题讲义】北师大版九年级数学下册
第6讲 二次函数的应用综合复习专题精讲（解析版）
参考答案
授课主题 第06讲——二次函数的应用
授课类型 T同步课堂 P实战演练 S归纳总结
教学目标 掌握二次函数最值的计算； 掌握几何图形面积的最值计算； 熟练运用二次函数解决最大利润问题； 理解二次函数与一元二次方程。
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知识梳理知识概念1、用二次函数的性质解决最值计算问题（1）将函数表达式配方成顶点式，进行求解：开口向上时顶点处取得最小值；开口向下时取最大值。 （2）当自变量X的取值范围遇到限制时，则需要先判断对称轴是否被包含在取值范围中，再根据二次函数的增减性计算出函数的最大值、最小值。2、用二次函数的性质解决实际问题利用二次函数的最值确定最大利润、最节省方案等问题是二次函数应用最常见的问题，解决此类问题的关键是认真审题，理解题意，建立二次函数的数学模型，再用二次函数的相关知识解决． 一般方法步骤： （1）列出二次函数的解析式，列解析式时，要根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围． （2）在自变量取值范围内，运用公式法或配方法或对称轴判定法，求出二次函数的最大值或最小值．3、二次函数与一元二次方程的关系（1）二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当y＝0时，就变成了ax2＋bx＋c＝0(a≠0)． （2）ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的解是抛物线与x轴交点的横坐标． （3）当Δ＝b2－4ac＞0时，抛物线与x轴有两个不同的交点； 当Δ＝b2－4ac＝0时，抛物线与x轴有一个交点； 当Δ＝b2－4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．考点一：根据实际问题求二次函数表达式例1、为了美观，在加工太阳镜时将下半部分轮廓制作成抛物线的形状（如图所示），对应的两条抛物线关于y轴对称，AE∥x轴，AB=4cm，最低点C在x轴上，高CH=1cm，BD=2cm，则右轮廓DFE所在抛物线的解析式为（ ） A．y=（x+3）2 B．y=（x﹣3）2 C．y=﹣（x+3）2 D．y=﹣（x﹣3）2 【解析】B． 例2、某种品牌的服装进价为每件150元，当售价为每件210元时，每天可卖出20件，现需降价处理，且经市场调查：每件服装每降价2元，每天可多卖出1件．在确保盈利的前提下，若设每件服装降价x元，每天售出服装的利润为y元，则y与x的函数关系式为（ ） A．y=﹣x2+10x+1200（0＜x＜60） B．y=﹣x2﹣10x+1250（0＜x＜60） C．y=﹣x2+10x+1250（0＜x＜60） D．y=﹣x2+10x+1250（x≤60） 【解析】A．考点二：最值计算问题例1、已知二次函数y=x2﹣6x+8． （1）将y=x2﹣6x+8化成y=a（x﹣h）2+k的形式； （2）当0≤x≤4时，y的最小值是 ﹣1 ，最大值是 8 ； （3）当y＜0时，写出x的取值范围． 【解析】（1）y=x2﹣6x+8=（x2﹣6x+9）﹣9+8=（x﹣3）2﹣1； （2）∵抛物线y=x2﹣6x+8开口向上，对称轴为x=3， ∴当0≤x≤4时，x=3，y有最小值﹣1；x=0，y有最大值8； （3）∵y=0时，x2﹣6x+8=0，解得x=2或4， ∴当y＜0时，x的取值范围是2＜x＜4．故答案为﹣1，8． 考点三： 几何图形面积的最值问题例1、某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长为30米的篱笆围成，已知墙长为18米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x米． （1）若苗圃园的面积为72平方米，求x； （2）若平行与墙的一边长不小于8米，这个苗圃园的面积有最大值和最小值吗？如果有，求出最大值和最小值；如果没有，请说明理由； （3）当这个苗圃园的面积不小于100平方米时，直接写出x的取值范围． 【解析】（1）根据题意得：（30﹣2x）x=72，解得：x=3，x=12， ∵30﹣2x≤18，∴x=12； （2）设苗圃园的面积为y，∴y=x（30﹣2x）=﹣2x2+30x， ∵a=﹣2＜0， ∴苗圃园的面积y有最大值， ∴当x=时，即平行于墙的一边长15＞8米，y最大=112.5平方米； ∵6≤x≤11， ∴当x=11时，y最小=88平方米； （3）由题意得：﹣2x2+30x≥100， ∵30﹣2x≤18解得：6≤x≤10．例2、如图，已知抛物线y=ax2+x+c经过A（4，0），B（1，0）两点， （1）求该抛物线的解析式； （2）在直线AC上方的该抛物线上是否存在一点D，使得△DCA的面积最大？若存在，求出点D的坐标及△DCA面积的最大值；若不存在，请说明理由． 【解析】（1）把A（4，0），B（1，0）代入抛物线的解析式得： 则抛物线解析式为y=﹣x2+x﹣2； （2）存在，理由如下： 设D的横坐标为t（0＜t＜4），则D点的纵坐标为﹣t2+t﹣2，过D作y轴的平行线交AC于E，连接CD，AD，如图所示， 由题意可求得直线AC的解析式为y=x﹣2， ∴E点的坐标为（t，t﹣2）， ∴DE=﹣t2+t﹣2﹣（t﹣2）=﹣t2+2t， ∴△DAC的面积S=×（﹣t2+2t）×4=﹣t2+4t=﹣（t﹣2）2+4， 当t=2时，S最大=4，∴此时D（2，1），△DAC面积的最大值为4．考点四：求最大利润问题例1、某宾馆拥有客房100间，经营中发现：每天入住的客房数y（间）与其价格x（元）（180≤x≤300）满足一次函数关系，部分对应值如表： x（元） 180 260 280 300 y（间） 100 60 50 40 （1）求y与x之间的函数表达式； （2）已知每间入住的客房，宾馆每日需支出各种费用100元；每日空置的客房需支出各种费用60元，当房价为多少元时，宾馆当日利润最大？求出最大值．（宾馆当日利润=当日房费收入﹣当日支出） 【解析】（1）设一次函数表达式为y=kx+b（k≠0），依题意得：，解得：．∴y与x之间的函数表达式为y=﹣x+190（180≤x≤300）． （2）设房价为x元（180≤x≤300）时，宾馆当日利润为w元，依题意得： w=（﹣x+190）（x﹣100）﹣60×[100﹣（﹣x+190）]=﹣+210x﹣13600 =﹣（x﹣210）2+8450， ∴当x=210时，w取最大值，最大值为8450． 答：当房价为210元时，宾馆当日利润最大，最大利润为8450元．例2、草莓是云南多地盛产的一种水果，今年某水果销售店在草莓销售旺季，试销售成本为每千克20元的草莓，规定试销期间销售单价不低于成本单价，也不高于每千克40元，经试销发现，销售量y（千克）与销售单价x（元）符合一次函数关系，如图是y与x的函数关系图象． （1）求y与x的函数解析式（也称关系式）； （2）设该水果销售店试销草莓获得的利润为W元，求W的最大值． 【解析】（1）设y与x的函数关系式为y=kx+b， 根据题意，得：，解得：， ∴y与x的函数解析式为y=﹣2x+340，（20≤x≤40）． （2）由已知得：W=（x﹣20）（﹣2x+340）=﹣2x2+380x﹣6800=﹣2（x﹣95）2+11250， ∵﹣2＜0，∴当x≤95时，W随x的增大而增大， ∵20≤x≤40，∴当x=40时，W最大，最大值为﹣2（40﹣95）2+11250=5200元． 考点五：二次函数与一元二次方程例1、已知关于x的一元二次方程x2+mx+n=0的两个实数根分别为x1=a，x2=b（a＜b），则二次函数y=x2+mx+n中，当y＜0时，x的取值范围是（ ） A．x＜a B．x＞b C．a＜x＜b D．x＜a或x＞b 【解析】C．例2、若二次函数y=ax2+bx+c（a＜0）的图象如图所示，且关于x的方程ax2+bx+c=k有两个不相等的实根，则常数k的取值范围是（ ） A．0＜k＜4 B．﹣3＜k＜1 C．k＜﹣3或k＞1 D．k＜4 【解析】由图象可知，抛物线的对称轴为x=﹣1，∴顶点坐标为（﹣1，4）， 设抛物线的解析式为：y=a（x+1）2+4，把（1，0）代入解析式得，a=﹣1， ∴解析式为：y=﹣x2﹣2x+3， 方程=﹣x2﹣2x+3=k有两个不相等的实根，△=4+12﹣4k＞0，解得：k＜4．故选：D．
P(Practice-Oriented)——实战演练
课堂狙击1、下列图形中，阴影部分面积为1的是（ ） A．B． C．D． 【解析】A． 2、已知抛物线y=x2﹣x﹣1，与x轴的一个交点为（m，0），则代数式m2﹣m+2014的值为（ ） A．2013 B．2015 C．2014 D．2010 【解析】B． 3、二次函数y=mx2+x﹣2m（m是非0常数）的图象与x轴的交点个数为（ ） A．0个 B．1个 C．2个 D．1个或2个 【解析】二次函数y=mx2+x﹣2m（m是非0常数）的图象与x轴的交点个数即为y=0时 方程mx2+x﹣2m=0的解的个数，△=1+8m2＞0，故图象与x轴的交点个数为2个． 故选C． 4、若关于x的一元二次方程（x﹣2）（x﹣3）=m有实数根x1、x2，且x1＜x2，则下列结论中错误的是（ ） A．当m=0时，x1=2，x2=3 B．m＞﹣ C．当m＞0时，2＜x1＜x2＜3 D．二次函数y=（x﹣x1）（x﹣x2）+m的图象与x轴交点的坐标为（2，0）和（3，0） 【解析】C． 5、如图，从某建筑物10m高的窗口A处用水管向外喷水，喷出的水成抛物线状（抛物线所在平面与墙面垂直）．如果抛物线的最高点M离墙1m，离地面m，则水流落地点B离墙的距离OB是（ ） A．2m B．3m C．4m D．5m 【解析】B． 6、如图已知A1，A2，A3，…An是x轴上的点，且OA1=A1A2=A2A3=A3A4=…=An﹣1An=1，分别过点A1，A2，A3，…An′作x轴的垂线交二次函数y=x2（x＞0）的图象于点P1，P2，P3，…Pn，若记△OA1P1的面积为S1，过点P1作P1B1⊥A2P2于点B1，记△P1B1P2的面积为S2，过点P2作P2B2⊥A3P3于点B2，记△P2B2P3的面积为S3，…依次进行下去，最后记△Pn﹣1Bn﹣1Pn（n＞1）的面积为Sn，则Sn=（ ） A． B． C． D． 【解析】二次函数y=x2，由图象知： 当x=n时，y=n2， 当x=n﹣1时，y=（n﹣1）2， ∴Sn=×1×[n2﹣（n﹣1）2]，=．故选A． 7、为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤（岸堤足够长）为一边，用总长为80m的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等．设BC的长度为xm，矩形区域ABCD的面积为ym2． （1）求y与x之间的函数关系式，并注明自变量x的取值范围； （2）x为何值时，y有最大值？最大值是多少？ 【解析】∵三块矩形区域的面积相等， ∴矩形AEFD面积是矩形BCFE面积的2倍，∴AE=2BE， 设BE=FC=a，则AE=HG=DF=2a， ∴DF+FC+HG+AE+EB+EF+BC=80， 即8a+2x=80， ∴a=﹣x+10，3a=﹣x+30，∴y=（﹣x+30）x=﹣x2+30x， ∵a=﹣x+10＞0，∴x＜40，则y=﹣x2+30x（0＜x＜40）； （2）∵y=﹣x2+30x=﹣（x﹣20）2+300（0＜x＜40），且二次项系数为﹣＜0， ∴当x=20时，y有最大值，最大值为300平方米． 8、某宾馆有客房50间，当每间客房每天的定价为220元时，客房会全部住满；当每间客房每天的定价增加10元时，就会有一间客房空闲，设每间客房每天的定价增加x元时，客房入住数为y间． （1）求y与x的函数关系式（不要求写出x的取值范围）； （2）如果每间客房入住后每天的各种支出为40元，不考虑其他因素，则该宾馆每间客房每天的定价为多少时利润最大？ 【解析】（1）由题意可得，y=50﹣=，即y与x的函数关系式是：y=﹣x+50； （2）当每间客房每天的定价增加x元时，设宾馆的利润为w元， 则w=（﹣x+50）（220+x﹣40）=﹣， 当x=﹣=160时，w有最大值， 故这一天宾馆每间客房的定价为：220+160=380（元）， 即当宾馆每间客房的定价为380元时，宾馆利润最大． 课后反击1、如图，半圆A和半圆B均与y轴相切于O，其直径CD，EF均和x轴垂直，以O为顶点的两条抛物线分别经过点C，E和点D，F，则图中阴影部分面积（ ） A．π B．π C．π D．条件不足，无法求 【解析】B． 2、如图，点E、F、G、H分别是正方形ABCD边AB、BC、CD、DA上的点，且AE=BF=CG=DH．设A、E两点间的距离为x，四边形EFGH的面积为y，则y与x的函数图象可能为（ ） A． B． C． D． 【解析】设正方形的边长为m，则m＞0，∵AE=x，∴DH=x，∴AH=m﹣x， ∵EH2=AE2+AH2，∴y=x2+（m﹣x）2，y=x2+x2﹣2mx+m2， y=2x2﹣2mx+m2， =2[（x﹣m）2+]， =2（x﹣m）2+m2，∴y与x的函数图象是A．故选A． 3、若函数y=mx2﹣（m﹣3）x﹣4的图象与x轴只有一个交点，则m的值为（ ） A．0 B．1或9 C．﹣1或﹣9 D．0或﹣1或﹣9 【解析】①当m=0，则函数y=mx2﹣（m﹣3）x﹣4是一次函数关系，故图象一定x轴有一个交点， ②当m≠0，∵y=mx2﹣（m﹣3）x﹣4的图象与x轴只有一个交点， ∴b2﹣4ac=[﹣（m﹣3）]2﹣4m×（﹣4）=0，解得：m1=﹣1，m2=，9， 综上所述：m=0或﹣1或﹣9．故选：D． 4、如图，点A1、A2、A3、…、An在抛物线y=﹣x2图象上，点B0、B1、B2、B3、…、Bn在y轴上（点B0与坐标原点O重合），若△A1B0B1、△A2B1B2、…、△AnBn﹣1Bn都为等腰直角三角形，则A2011B2010的长为（ ） A．2010 B．2011 C． D． 【解析】作A1C⊥y轴，A2E⊥y轴，A1D⊥x轴，A2F⊥x轴， 垂足分别为C、E、D、F， ∵△A1B0B1、△A2B1B2都是等腰直角三角形， ∴B1C=B0C=DB0=A1D，B2E=B1E， 设A1（a，b），∴a=b，将其代入解析式y=﹣x2得：a=﹣a2， 解得：a=0（不符合题意）或a=﹣1，由勾股定理得：A1B0=， 同理可以求得：A2B1=2， A3B2=3，A4B3=4，… ∴A2011B2010=2011．故选D． 5、为备战2016年里约奥运会，中国女排的姑娘们刻苦训练，为国争光，如图，已知排球场的长度OD为18米，位于球场中线处球网的高度AB为2.43米，一队员站在点O处发球，排球从点O的正上方1.8米的C点向正前方飞出，当排球运行至离点O的水平距离OE为7米时，到达最高点G建立如图所示的平面直角坐标系． （1）当球上升的最大高度为3.2米时，求排球飞行的高度y（单位：米）与水平距离x（单位：米）的函数关系式．（不要求写自变量x的取值范围）． （2）在（1）的条件下，对方距球网0.5米的点F处有一队员，他起跳后的最大高度为3.1米，问这次她是否可以拦网成功？请通过计算说明． （3）若队员发球既要过球网，又不出边界，问排球飞行的最大高度h的取值范围是多少？（排球压线属于没出界） 【解析】（1）根据题意知此时抛物线的顶点G的坐标为（7，3.2），设抛物线解析式为y=a（x﹣7）2+3.2， 将点C（0，1.8）代入，得49a+3.2=1.8，解得：a=﹣， ∴排球飞行的高度y与水平距离x的函数关系式为y=﹣（x﹣7）2+； （2）由题意当x=9.5时，y=﹣（9.5﹣7）2+≈3.02＜3.1，故这次她可以拦网成功； （3）设抛物线解析式为y=a（x﹣7）2+h，将点C（0，1.8）代入， 得：49a+h=1.8，即a=， ∴此时抛物线解析式为y=（x﹣7）2+h， 根据题意，得：，解得：h≥3.025， 答：排球飞行的最大高度h的取值范围是h≥3.025． 6、某文具店购进一批纪念册，每本进价为20元，出于营销考虑，要求每本纪念册的售价不低于20元且不高于28元，在销售过程中发现该纪念册每周的销售量y（本）与每本纪念册的售价x（元）之间满足一次函数关系：当销售单价为22元时，销售量为36本；当销售单价为24元时，销售量为32本． （1）请直接写出y与x的函数关系式； （2）当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是多少元？ （3）设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为w元，将该纪念册销售单价定为多少元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大？最大利润是多少？【解析】（1）设y=kx+b，把（22，36）与（24，32）代入得：，解得：， 则y=﹣2x+80； （2）设当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是x元， 根据题意得：（x﹣20）y=150，则（x﹣20）（﹣2x+80）=150，整理得：x2﹣60x+875=0， （x﹣25）（x﹣35）=0，解得：x1=25，x2=35（不合题意舍去） 答：每本纪念册的销售单价是25元； （3）由题意可得：w=（x﹣20）（﹣2x+80）=﹣2x2+120x﹣1600=﹣2（x﹣30）2+200， 此时当x=30时，w最大， 又∵售价不低于20元且不高于28元， ∴x＜30时，y随x的增大而增大，即当x=28时，w最大=﹣2（28﹣30）2+200=192（元）， 答：该纪念册销售单价定为28元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大，最大利润是192元． 1、如图，二次函数y=ax2+bx+c=0（a≠0）的图象与x轴正半轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，对称轴为直线x=2，且OA=OC，则下列结论：①abc＞0； ②9a+3b+c＜0； ③c＞﹣1； ④关于x的方程ax2+bx+c=0（a≠0）有一个根为﹣ 其中正确的结论个数有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解析】由图象开口向下，可知a＜0，与y轴的交点在x轴的下方，可知c＜0， 又对称轴方程为x=2，所以﹣＞0，所以b＞0，∴abc＞0，故①正确； 由图象可知当x=3时，y＞0，∴9a+3b+c＞0，故②错误； 由图象可知OA＜1，∵OA=OC，∴OC＜1，即﹣c＜1，∴c＞﹣1，故③正确； 假设方程的一个根为x=﹣，把x=﹣代入方程可得﹣+c=0，整理可得ac﹣b+1=0， 两边同时乘c可得ac2﹣bc+c=0，即方程有一个根为x=﹣c， 由②可知﹣c=OA，而当x=OA是方程的根， ∴x=﹣c是方程的根，即假设成立，故④正确；综上可知正确的结论有三个，故选C． 2、儿童商场购进一批M型服装，销售时标价为75元/件，按8折销售仍可获利50%．商场现决定对M型服装开展促销活动，每件在8折的基础上再降价x元销售，已知每天销售数量y（件）与降价x（元）之间的函数关系式为y=20+4x（x＞0）． （1）求M型服装的进价； （2）求促销期间每天销售M型服装所获得的利润W的最大值．【解析】（1）设进价为z，∵销售时标价为75元/件，按8折销售仍可获利50%． 则75×0.8=（1+0.5）z． ∴z=40； 答：M型服装的进价为40元； （2）∵销售时标价为75元/件，开展促销活动每件在8折的基础上再降价x元销售， ∴M型服装开展促销活动的实际销价为75×0.8﹣x=60﹣x，销售利润为60﹣x﹣40=20﹣x． 而每天销售数量y（件）与降价x（元）之间的函数关系式为y=20+4x， ∴促销期间每天销售M型服装所获得的利润： W=（20﹣x）（20+4x）=﹣4x2+60x+400=﹣4+625． ∴当x==7.5（元）时，利润W最大值为625元． 3、如图，二次函数y=ax2+bx的图象经过点A（2，4）与B（6，0）． （1）求a，b的值； （2）点C是该二次函数图象上A，B两点之间的一动点，横坐标为x（2＜x＜6），写出四边形OACB的面积S关于点C的横坐标x的函数表达式，并求S的最大值． 【解析】（1）将A（2，4）与B（6，0）代入y=ax2+bx，得，解得：； （2）如图，过A作x轴的垂直，垂足为D（2，0）， 连接 CD，过C作CE⊥AD，CF⊥x轴，垂足分别为EF， S△OAD=OD?AD=×2×4=4； S△ACD=AD?CE=×4×（x﹣2）=2x﹣4； S△BCD=BD?CF=×4×（﹣x2+3x）=﹣x2+6x， 则S=S△OAD+S△ACD+S△BCD=4+2x﹣4﹣x2+6x=﹣x2+8x， ∴S关于x的函数表达式为S=﹣x2+8x（2＜x＜6）， ∵S=﹣x2+8x=﹣（x﹣4）2+16， ∴当x=4时，四边形OACB的面积S有最大值，最大值为16．
S(Summary-Embedded)——归纳总结
二次函数最值的计算 几何类二次函数最值的计算 应用二次函数解决最大利润问题根据实际问题，建立二次函数模型，准确列出函数表达式，并计算出对应的最值是解决本节问题的关键。 本节课我学到 我需要努力的地方是
体系搭建
实战演练
直击中考
重点回顾
名师点拨
学霸经验
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