中小学教育资源及组卷应用平台
【专题讲义】北师大版九年级数学下册
第8讲 垂径定理综合复习专题精讲（提高版）
授课主题 第08讲——垂径定理
授课类型 T同步课堂 P实战演练 S归纳总结
教学目标 深刻理解垂径定理及其推论的内容； 熟练掌握垂径定理及其推论的应用条件与结论； 应用垂径定理解决实际问题。
授课日期及时段
T（Textbook-Based）——同步课堂
知识梳理 二、知识概念 垂径定理1、内 容：垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧2、逆 定 理：平分弦(不是直径)的直径垂直于这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧3、推 论：弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的弧?平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦,并且平分这条弦所对的另一条弧在同圆或者等圆中,两条平行弦所夹的弧相等 4、使用条件：一条直线,在下列4条中只要具备其中任意两条作为条件,就可以推出其他三条结论
（1）平分弦所对的弧?
（2）平分弦 (不是直径)
（3）垂直于弦?
（4）经过圆心考点一： 垂径定理及其推论例1、下列说法不正确的是（ ） A．圆是轴对称图形，它有无数条对称轴 B．圆的半径、弦长的一半、弦上的弦心距能组成一直角三角形，且圆的半径是此直角三角形的斜边 C．弦长相等，则弦所对的弦心距也相等 D．垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧例2、如图，AB是⊙O的直径，CD⊥AB，∠ABD=60°，CD=2，则阴影部分的面积为（ ） A． B．π C．2π D．4π例3、如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，已知点A的坐标是（﹣2，3），点C的坐标是（1，2），那么这条圆弧所在圆的圆心坐标是（ ） A．（0，0） B．（﹣1，1） C．（﹣1，0） D．（﹣1，﹣1） 例4、如图，AB是⊙O的弦，C是AB的三等分点，连接OC并延长交⊙O于点D．若OC=3，CD=2，则圆心O到弦AB的距离是（ ） A．6 B．9﹣ C． D．25﹣3例5、如图，⊙O的半径为5，弦AB=8，则圆上到弦AB所在的直线距离为2的点有（ ）个． A．1 B．2 C．3 D．0 考点二： 应用垂径定理解决实际问题例1、李明到某影剧城游玩，看见一圆弧形门如图所示，李明想知道这扇门的相关数据．于是她从景点管理人员处打听到：这个圆弧形门所在的圆与水平地面是相切的，AB=CD=40cm，BD=320cm，且AB，CD与水平地面都是垂直的．根据以上数据，请你帮助李明计算出这个圆弧形门的最高点离地面的高度是多少？ 例2、用工件槽（如图1）可以检测一种铁球的大小是否符合要求，已知工件槽的两个底角均为90°，尺寸如图（单位：cm）．将形状规则的铁球放入槽内时，若同时具有图1所示的A、B、E三个接触点，该球的大小就符合要求．图2是过球心O及A、B、E三点的截面示意图，求这种铁球的直径．
P(Practice-Oriented)——实战演练
课堂狙击1、下列说法中，不成立的是（ ） A．弦的垂直平分线必过圆心 B．弧的中点与圆心的连线垂直平分这条弧所对的弦 C．垂直于弦的直线经过圆心，且平分这条弦所对的弧 D．垂直于弦的直径平分这条弦 2、⊙O的半径为13，弦AB的长度是24，ON⊥AB，垂足为N，则ON=（ ） A．5 B．7 C．9 D．11 3、如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足是E，∠A=30°，CD=6，则圆的半径长为（ ） A．2 B．2 C．4 D． 4、如图，以O为圆心的两个同心圆中，小圆的弦AB的延长线交大圆于点C，若AB=4，BC=1，则下列整数与圆环面积最接近的是（ ） A．10 B．13 C．16 D．19 5、如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，CE=2，AE=3，则△ACB的面积为（ ） A．3 B．5 C．6 D．8 6、如图，圆柱形水管内原有积水的水平面宽CD=10cm，水深GF=1cm，若水面上升1cm（EG=1cm），则此时水面宽AB为多少？ 7、如图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O，直径AB是河底线，弦CD是水位线，CD∥AB，且AB=26m，OE⊥CD于点E．水位正常时测得OE：CD=5：24 （1）求CD的长； （2）现汛期来临，水面要以每小时4m的速度上升，则经过多长时间桥洞会刚刚被灌满？ 课后反击1、下列说法正确的是（ ） A．长度相等的两条弧是等弧 B．平分弦的直径垂直于弦 C．直径是同一个圆中最长的弦 D．过三点能确定一个圆 2、下列说法正确的是（ ） A．平分弦的直径垂直于弦 B．把（a﹣2）根号外的因式移到根号内后，其结果是﹣ C．相等的圆心角所对的弧相等 D．如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等 3、如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AE=8，BE=2，则CD=（ ） A．5 B．8 C．2 D．4 4、如图，在⊙O中，弦AB⊥AC，OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，若AB=8cm，AC=6cm，则⊙O的半径OA的长为（ ） A．7cm B．6cm C．5cm D．4cm 5、如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，连接BC，BD，AC，则下列结论中不一定正确的是（ ） A．∠ACB=90° B．DE=CE C．OE=BE D．∠ACE=∠ABC 6、如图，⊙O的直径AB=10，C是AB上一点，矩形ACND交⊙O于M，N两点，若DN=8，则AD的值为（ ） A．4 B．6 C．2 D．3 7、如图所示，有一座拱桥圆弧形，它的跨度AB为60米，拱高PM为18米，当洪水泛滥到跨度只有30米时，就要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即PN=4米时，是否采取紧急措施？（=1.414） 8、赵州桥的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦）长为37.4m，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.2m，请求出赵州桥的主桥拱半径（结果保留小数点后一位）． 1、如图，在半径为5的⊙O中，弦AB=6，OP⊥AB，垂足为点P，则OP的长为（ ） A．3 B．2.5 C．4 D．3.5 2、如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，若⊙O的半径为5，AB=8，则CD的长是（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 3、如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，∠CDB=30°，⊙O的半径为5cm，则圆心O到弦CD的距离为（ ） A．cm B．3cm C．3cm D．6cm 4、如图，⊙O的半径为1，△ABC是⊙O的内接等边三角形，点D、E在圆上，四边形BCDE为矩形，这个矩形的面积是（ ） A．2 B． C． D． 5、如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，则下列结论正确的是（ ） A．OE=BE B．= C．△BOC是等边三角形 D．四边形ODBC是菱形 6、如图所示，该小组发现8米高旗杆DE的影子EF落在了包含一圆弧型小桥在内的路上，于是他们开展了测算小桥所在圆的半径的活动．小刚身高1.6米，测得其影长为2.4米，同时测得EG的长为3米，HF的长为1米，测得拱高（弧GH的中点到弦GH的距离，即MN的长）为2米，求小桥所在圆的半径．
S(Summary-Embedded)——归纳总结
垂径定理及其逆定理内容及应用条件；应用垂径定理解决实际问题。 熟练掌握垂径定理、逆定理及其推论的内容及应用条件，多加练习，注意总结，熟悉常作的辅助线，是解决本节问题的关键。本节课我学到 我需要努力的地方是
体系搭建
实战演练
直击中考
重点回顾
名师点拨
学霸经验
PAGE
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
页 1
中小学教育资源及组卷应用平台
【专题讲义】北师大版九年级数学下册
第8讲 垂径定理综合复习专题精讲（解析版）
参考答案
授课主题 第08讲——垂径定理
授课类型 T同步课堂 P实战演练 S归纳总结
教学目标 深刻理解垂径定理及其推论的内容； 熟练掌握垂径定理及其推论的应用条件与结论； 应用垂径定理解决实际问题。
授课日期及时段
T（Textbook-Based）——同步课堂
知识梳理 二、知识概念 垂径定理1、内 容：垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧2、逆 定 理：平分弦(不是直径)的直径垂直于这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧3、推 论：弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的弧?平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦,并且平分这条弦所对的另一条弧在同圆或者等圆中,两条平行弦所夹的弧相等 4、使用条件：一条直线,在下列4条中只要具备其中任意两条作为条件,就可以推出其他三条结论
（1）平分弦所对的弧?
（2）平分弦 (不是直径)
（3）垂直于弦?
（4）经过圆心考点一： 垂径定理及其推论例1、下列说法不正确的是（ ） A．圆是轴对称图形，它有无数条对称轴 B．圆的半径、弦长的一半、弦上的弦心距能组成一直角三角形，且圆的半径是此直角三角形的斜边 C．弦长相等，则弦所对的弦心距也相等 D．垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧 【解析】C． 例2、如图，AB是⊙O的直径，CD⊥AB，∠ABD=60°，CD=2，则阴影部分的面积为（ ） A． B．π C．2π D．4π 【解析】连接OD．∵CD⊥AB，∴CE=DE=CD=， 故S△OCE=S△ODE，即可得阴影部分的面积等于扇形OBD的面积， 又∵∠ABD=60°，∴∠CDB=30°，∴∠COB=60°，∴OC=2， ∴S扇形OBD==，即阴影部分的面积为． 故选A． 如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，已知点A的坐标是 （﹣2，3），点C的坐标是（1，2），那么这条圆弧所在圆的圆心坐标是（ ） A．（0，0） B．（﹣1，1） C．（﹣1，0） D．（﹣1，﹣1） 【解析】如图线段AB的垂直平分线EQ和线段CD的垂直平分线NF的交点M，即为弧的圆即圆心的坐标是（﹣1，1），故选B． 例4、如图，AB是⊙O的弦，C是AB的三等分点，连接OC并延长交⊙O于点D．若OC=3，CD=2，则圆心O到弦AB的距离是（ ） A．6 B．9﹣ C． D．25﹣3 【解析】如图：过O作OG⊥AB于G，根据垂径定理有：AG=BG，设AC=2a，则CB=4a，CG=a，GB=3a， 在Rt△OCG中，OC2=OG2+CG2=OG2+a2① 在Rt△OBG中，OB2=OG2+GB2=OG2+9a2② 又OC=3，OB=5，代入①②中，解方程得：a2=2，OG2=7． 所以圆心到弦的距离是．故选C． 例5、如图，⊙O的半径为5，弦AB=8，则圆上到弦AB所在的直线距离为2的点有（ ）个． A．1 B．2 C．3 D．0 【解析】作圆的直径CE⊥AB于点D，连接OA，∵AB=8，∴AD=4．∵OA=5，∴OD==3， ∴CD=OC﹣3=5﹣3=2，即C到弦AB所在的直线距离为2， ∴在劣弧AB上，到弦AB所在的直线距离为2的点只有CD； ∵DE=5+3=8＞2， ∴在优弧AEB上到弦AB所在的直线距离为2的点有2个， 即圆上到弦AB所在的直线距离为2的点有3个．故选C． 考点二： 应用垂径定理解决实际问题例1、李明到某影剧城游玩，看见一圆弧形门如图所示，李明想知道这扇门的相关数据．于是她从景点管理人员处打听到：这个圆弧形门所在的圆与水平地面是相切的，AB=CD=40cm，BD=320cm，且AB，CD与水平地面都是垂直的．根据以上数据，请你帮助李明计算出这个圆弧形门的最高点离地面的高度是多少？ 【解析】如图，连接AC，作AC的中垂线交AC于G，交BD于N， 交圆的另一点为M．则MN为直径．取MN的中点O，则O为 圆心，连接OA、OC．∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴AB∥CD ∵AB=CD∴ABCD为矩形 ∴AC=BD=320cm，GN=AB=CD=40cm ∴AG=GC=160cm， 设⊙O的半径为R，得R2=（R﹣40）2+1602， 解得R=340cm，340×2=680（cm）． 答：这个圆弧形门的最高点离地面的高度为680cm． 例2、用工件槽（如图1）可以检测一种铁球的大小是否符合要求，已知工件槽的两个底角均为90°，尺寸如图（单位：cm）．将形状规则的铁球放入槽内时，若同时具有图1所示的A、B、E三个接触点，该球的大小就符合要求．图2是过球心O及A、B、E三点的截面示意图，求这种铁球的直径．【解析】连接OA、OE，设OE与AB交于点P，如图 ∵AC=BD，AC⊥CD，BD⊥CD ∴四边形ACDB是矩形 ∵CD=16cm，PE=4cm ∴PA=8cm，BP=8cm， 在Rt△OAP中，由勾股定理得OA2=PA2+OP2 即OA2=82+（OA﹣4）2 解得：OA=10． 答：这种铁球的直径为20cm．
P(Practice-Oriented)——实战演练
课堂狙击1、下列说法中，不成立的是（ ） A．弦的垂直平分线必过圆心 B．弧的中点与圆心的连线垂直平分这条弧所对的弦 C．垂直于弦的直线经过圆心，且平分这条弦所对的弧 D．垂直于弦的直径平分这条弦 【解析】C． 2、⊙O的半径为13，弦AB的长度是24，ON⊥AB，垂足为N，则ON=（ ） A．5 B．7 C．9 D．11 【解析】由题意可得，OA=13，∠ONA=90°，AB=24，∴AN=12， ∴ON=，故选A． 3、如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足是E，∠A=30°，CD=6，则圆的半径长为（ ） A．2 B．2 C．4 D． 【解析】连接OC，如图所示：则∠BOC=2∠A=60°， ∵AB⊥CD，∴CE=DE=CD=3，∵sin∠BOC=， ∴OC===2． 故选：A． 4、如图，以O为圆心的两个同心圆中，小圆的弦AB的延长线交大圆于点C，若AB=4，BC=1，则下列整数与圆环面积最接近的是（ ） A．10 B．13 C．16 D．19 【解析】过点O作OD⊥AB，垂足为D， 则AD=2，DC=2+1=3，S圆环=π（OC2﹣OA2） =π（OD2+DC2﹣OD2﹣AD2）=π（9﹣4）=5π≈15.7故选C． 5、如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，CE=2，AE=3，则△ACB的面积为（ ） A．3 B．5 C．6 D．8 【解析】∵CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，AE=3，∴AB=2AE=6， ∴△ACB的面积为×AB×CE=×6×2=6，故选C． 6、如图，圆柱形水管内原有积水的水平面宽CD=10cm，水深GF=1cm，若水面上升1cm（EG=1cm），则此时水面宽AB为多少？ 【解析】如图所示，连接OA、OC． 设⊙O的半径是R，则OG=R﹣2，OE=R﹣4．∵OF⊥CD，∴CG=CD=10cm． 在直角三角形COG中，根据勾股定理， 得R2=102+（R﹣2）2，解，得R=26． 在直角三角形AOE中，根据勾股定理，得AE==8cm． 根据垂径定理，得AB=16（cm）． 7、如图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O，直径AB是河底线，弦CD是水位线，CD∥AB，且AB=26m，OE⊥CD于点E．水位正常时测得OE：CD=5：24 （1）求CD的长； （2）现汛期来临，水面要以每小时4m的速度上升，则经过多长时间桥洞会刚刚被灌满？【解析】（1）∵直径AB=26m，∴OD=， ∵OE⊥CD，∴，∵OE：CD=5：24，∴OE：ED=5：12， ∴设OE=5x，ED=12x， ∴在Rt△ODE中（5x）2+（12x）2=132，解得x=1，∴CD=2DE=2×12×1=24m； （2）由（1）得OE=1×5=5m，延长OE交圆O于点F， ∴EF=OF﹣OE=13﹣5=8m，∴， 即经过2小时桥洞会刚刚被灌满． 课后反击1、下列说法正确的是（ ） A．长度相等的两条弧是等弧 B．平分弦的直径垂直于弦 C．直径是同一个圆中最长的弦 D．过三点能确定一个圆 【解析】C． 2、下列说法正确的是（ ） A．平分弦的直径垂直于弦 B．把（a﹣2）根号外的因式移到根号内后，其结果是﹣ C．相等的圆心角所对的弧相等 D．如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等 【解析】B． 3、如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AE=8，BE=2，则CD=（ ） A．5 B．8 C．2 D．4 【解析】B． 4、如图，在⊙O中，弦AB⊥AC，OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，若AB=8cm，AC=6cm，则⊙O的半径OA的长为（ ） A．7cm B．6cm C．5cm D．4cm 【解析】C． 5、如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，连接BC，BD，AC，则下列结论中不一定正确的是（ ） A．∠ACB=90° B．DE=CE C．OE=BE D．∠ACE=∠ABC 【解析】C． 6、如图，⊙O的直径AB=10，C是AB上一点，矩形ACND交⊙O于M，N两点，若DN=8，则AD的值为（ ） A．4 B．6 C．2 D．3 【解析】A． 7、如图所示，有一座拱桥圆弧形，它的跨度AB为60米，拱高PM为18米，当洪水泛滥到跨度只有30米时，就要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即PN=4米时，是否采取紧急措施？（=1.414） 【解析】设圆弧所在圆的圆心为O，连接OA、OA′，设半径为x米， 则OA=OA′=OP′， 由垂径定理可知AM=BM，A′N=B′N， ∵AB=60米，∴AM=30米，且OM=OP﹣PM=（x﹣18）米， 在Rt△AOM中，由勾股定理可得AO2=OM2+AM2， 即x2=（x﹣18）2+302，解得x=34， ∴ON=OP﹣PN=34﹣4=30（米）， 在Rt△A′ON中，由勾股定理可得A′N===16（米）， ∴A′B′=32米＞30米，∴不需要采取紧急措施． 8、赵州桥的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦）长为37.4m，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.2m，请求出赵州桥的主桥拱半径（结果保留小数点后一位）． 【解析】设O为圆心，作OD⊥AB于D，交弧AB于C，如图所示： ∵拱桥的跨度AB=37.4m，拱高CD=7.2m，∴AD=AB=18.7m， ∴AD2=OA2﹣（OC﹣CD）2， 即18.72=AO2﹣（AO﹣7.2）2，解得：AO≈27.9m． 即圆弧半径为27.9m． 答：赵州桥的主桥拱半径为27.9m． 1、如图，在半径为5的⊙O中，弦AB=6，OP⊥AB，垂足为点P，则OP的长为（ ） A．3 B．2.5 C．4 D．3.5 【解析】C． 2、如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，若⊙O的半径为5，AB=8，则CD的长是（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【解析】A． 3、如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，∠CDB=30°，⊙O的半径为5cm，则圆心O到弦CD的距离为（ ） A．cm B．3cm C．3cm D．6cm 【解析】A． 4、如图，⊙O的半径为1，△ABC是⊙O的内接等边三角形，点D、E在圆上，四边形BCDE为矩形，这个矩形的面积是（ ） A．2 B． C． D．【解析】连结BD、OC，如图，∵四边形BCDE为矩形，∴∠BCD=90°， ∴BD为⊙O的直径，∴BD=2，∵△ABC为等边三角形，∴∠A=60°，∴∠BOC=2∠A=120°，而OB=OC，∴∠CBD=30°， 在Rt△BCD中，CD=BD=1，BC=CD=， ∴矩形BCDE的面积=BC?CD=．故选：B． 5、如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，则下列结论正确的是（ ） A．OE=BE B．= C．△BOC是等边三角形 D．四边形ODBC是菱形 【解析】B． 6、如图所示，该小组发现8米高旗杆DE的影子EF落在了包含一圆弧型小桥在内的路上，于是他们开展了测算小桥所在圆的半径的活动．小刚身高1.6米，测得其影长为2.4米，同时测得EG的长为3米，HF的长为1米，测得拱高（弧GH的中点到弦GH的距离，即MN的长）为2米，求小桥所在圆的半径． 【解析】∵小刚身高1.6米，测得其影长为2.4米， ∴8米高旗杆DE的影子为：12m， ∵测得EG的长为3米，HF的长为1米，∴GH=12﹣3﹣1=8（m）， ∴GM=MH=4m．如图，设小桥的圆心为O，连接OM、OG． 设小桥所在圆的半径为r，∵MN=2m，∴OM=（r﹣2）m． 在Rt△OGM中，由勾股定理得： ∴OG2=OM2+42，∴r2=（r﹣2）2+16，解得：r=5， 答：小桥所在圆的半径为5m．
S(Summary-Embedded)——归纳总结
垂径定理及其逆定理内容及应用条件；应用垂径定理解决实际问题。 熟练掌握垂径定理、逆定理及其推论的内容及应用条件，多加练习，注意总结，熟悉常作的辅助线，是解决本节问题的关键。本节课我学到 我需要努力的地方是
体系搭建
实战演练
直击中考
重点回顾
名师点拨
学霸经验
PAGE
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
页 1
