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【专题讲义】北师大版九年级数学下册
第11讲 切线长定理与圆的相关计算综合复习专题精讲（提高版）
授课主题 第11讲-----切线长定理与圆的相关计算
授课类型 T同步课堂 P实战演练 S归纳总结
教学目标 理解切线长定理，并能熟练应用； 运用圆弧、圆心角计算公式，准确进行圆的相关计算。
授课日期及时段
T（Textbook-Based）——同步课堂
知识梳理知识概念 （一）切线长定理 1、切线长定义经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．
2、切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角．
3、注意：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量．
4、切线长定理包含着一些隐含结论
①垂直关系三处；
②全等关系三对；
③弧相等关系两对，在一些证明求解问题中经常用到． （二）圆的相关计算1、正多边形与圆的关系
?? 把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正 多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆．
2、正多边形的有关概念
?①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心．
?②正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径．
?③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．
?④边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距． 3、计算公式（1）圆周长公式：C=2πR ； 弧长公式：（2）圆面积公式：S=πr2? （3）扇形面积公式： （4）求阴影面积常用的方法： ①直接用公式法； ②和差法； ③割补法． （5）求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．考点一： 切线长定理例1、如图，PA切⊙O于A，PB切⊙O于B，OP交⊙O于C，下列结论中，错误的是（ ） A．∠1=∠2 B．PA=PB C．AB⊥OP D．PA2=PC?PO 例2、如图，直线AB、CD、BC分别与⊙O相切于E、F、G，且AB∥CD，若OB=6cm，OC=8cm，则BE+CG的长等于（ ） A．13 B．12 C．11 D．10例3、如图，PA、PB切⊙O于点A、B，PA=8，CD切⊙O于点E，交PA、PB于C、D两点，则△PCD的周长是（ ） A．8 B．18 C．16 D．14考点二： 圆外切四边形例1、如图，一圆内切四边形ABCD，且AB=16，CD=10，则四边形的周长为（ ） A．50 B．52 C．54 D．56 例2、如图，⊙O是四边形ABCD的内切圆，下列结论一定正确的有（ ）个：①AF=BG； ②CG=CH； ③AB+CD=AD+BC； ④BG＜CG． A．1 B．2 C．3 D．4考点三： 圆内接正多边形例1、已知正六边形的边长为2，则它的内切圆的半径为（ ） A．1 B． C．2 D．2例2、如果圆形纸片的直径是8cm，用它完全覆盖正六边形，那么正六边形的边长最大不能超过（ ） A．2cm B．2cm C．4cm D．4Cm例3、若正三角形、正方形、正六边形的周长相等，它们的面积分别为S1，S2，S3，则下列关系成立的是（ ） A．S1=S2=S3 B．S1＞S2＞S3 C．S1＜S2＜S3 D．S2＞S3＞S1 考点四： 弧长、阴影面积计算例1、如图，有一圆O通过△ABC的三个顶点．若∠B=75°，∠C=60°，且的长度为4π，则BC的长度为何？（ ） A．8 B．8 C．16 D．16例2、如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CDB=30°，CD=2，则阴影部分的面积为（ ） A．2π B．π C． D． 例3、如图，将正六边形ABCDEF放置在直角坐标系内，A（﹣2，0），点B在原点，把正六边形ABCDEF沿x轴正半轴作无滑动的连续翻转，每次翻转60°，经过2016次翻转之后，点C的坐标是（ ） A．（4032，0） B．（4032，2） C．（4031，） D．（4033，）
P(Practice-Oriented)——实战演练
课堂狙击如图，PA、PB分别切⊙O于A、B，PA=10cm，C是劣弧AB上的点 （不与点A、B重合），过点C的切线分别交PA、PB于点E、F．则△PEF的周长为（ ） A．10cm B．15cm C．20cm D．25cm 2、如图，已知以直角梯形ABCD的腰CD为直径的半圆O与梯形上底AD、下底BC以及腰AB均相切，切点分别是D，C，E．若半圆O的半径为2，梯形的腰AB为5，则该梯形的周长是（ ） A．9 B．10 C．12 D．14 3、如图，正方形ABCD边长为4cm，以正方形的一边BC为直径在正方形ABCD内作半圆，过A作半圆的切线，与半圆相切于F点，与DC相交于E点，则△ADE的面积（ ） A．12 B．24 C．8 D．6 4、若正六边形的半径长为4，则它的边长等于（ ） A．4 B．2 C．2 D．4 5、如图，⊙O的外切正六边形ABCDEF的边长为2，则图中阴影部分的面积为（ ） A． B． C．2 D． 6、正六边形的边心距为，则该正六边形的外接圆半径为（ ） A． B．2 C．3 D．2 7、如图，半径为2的⊙O与正五边形ABCDE的两边AE、CD相切于点A、C，则劣弧长度为（ ） A．π B．π C．π D．π 8、如图，AB、BC、CD分别与⊙O相切于E、F、G，且AB∥CD，BO=6，CO=8． （1）判断△OBC的形状，并证明你的结论； （2）求BC的长； （3）求⊙O的半径OF的长． 9、如图，矩形ABCD中，BC=2，DC=4，以AB为直径的半圆O与DC相切于点E，则阴影部分的面积为多少？（结果保留π） 课后反击1、如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA=5，则△PCD的周长为（ ） A．5 B．7 C．8 D．10 2、如图，从⊙O外一点P引圆的两条切线PA、PB，切点分别是A、B，如果∠APB=60°，线段PA=10，那么弦AB的长是（ ） A．10 B．12 C．5 D．10 3、如图，⊙O是△ABC的内切圆，点D、E分别为边AC、BC上的点，且DE为⊙O的切线，若△ABC的周长为25，BC的长是9，则△ADE的周长是（ ） A．7 B．8 C．9 D．16 4、已知等边三角形的内切圆半径，外接圆半径和高的比是（ ） A．1：2： B．2：3：4 C．1：：2 D．1：2：3 5、正六边形的边心距与边长之比为（ ） A．1：2 B．：2 C．：1 D．：2 6、如图，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB和AC的夹角为120°，AB长为25cm，贴纸部分的宽BD为15cm，若纸扇两面贴纸，则贴纸的面积为（ ） A．175πcm2 B．350πcm2 C．πcm2 D．150πcm2 7、如图，已知：射线PO与⊙O交于A、B两点，PC、PD分别切⊙O于点C、D． （1）请写出两个不同类型的正确结论； （2）若CD=12，tan∠CPO=，求PO的长． 1、如图，在扇形AOB中∠AOB=90°，正方形CDEF的顶点C是的中点，点D在OB上，点E在OB的延长线上，当正方形CDEF的边长为2时，则阴影部分的面积为（ ） A．2π﹣4 B．4π﹣8 C．2π﹣8 D．4π﹣4 2、如图，边长为1的菱形ABCD绕点A旋转，当B、C两点恰好落在扇形AEF的弧EF上时，弧BC的长度等于（ ） A． B． C． D． 3、如图，已知点A，B，C，D均在已知圆上，AD∥BC，AC平分∠BCD，∠ADC=120°，四边形ABCD的周长为10cm．图中阴影部分的面积为（ ） A．cm2 B．（π﹣）cm2 C．cm2 D．cm2 4、在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，以点B为圆心，BC的长为半径作弧，交AB于点D，若点D为AB的中点，则阴影部分的面积是（ ） A．2﹣π B．4﹣π C．2﹣π D．π 5、如图1，已知在⊙O中，点C为劣弧AB上的中点，连接AC并延长至D，使CD=CA，连接DB并延长DB交⊙O于点E，连接AE． （1）求证：AE是⊙O的直径； （2）如图2，连接EC，⊙O半径为5，AC的长为4，求阴影部分的面积之和．（结果保留π与根号）
S(Summary-Embedded)——归纳总结
切线长定理中三处垂直关系、三对全等关系、两对弧相等关系； 圆与正多边形的关系； 弧长、不规则阴影面积的计算。 掌握切线长定理题型，对不规则的阴影部分面积进行转化，是解决本节问题的关键。本节课我学到 我需要努力的地方是
体系搭建
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【专题讲义】北师大版九年级数学下册
第11讲 切线长定理与圆的相关计算综合复习专题精讲（解析版）
参考答案
授课主题 第11讲——切线长定理与圆的相关计算
授课类型 T同步课堂 P实战演练 S归纳总结
教学目标 理解切线长定理，并能熟练应用； 运用圆弧、圆心角计算公式，准确进行圆的相关计算。
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知识梳理知识概念 （一）切线长定理 1、切线长定义经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．
2、切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角．
3、注意：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量．
4、切线长定理包含着一些隐含结论
①垂直关系三处；
②全等关系三对；
③弧相等关系两对，在一些证明求解问题中经常用到． （二）圆的相关计算1、正多边形与圆的关系
?? 把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正 多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆．
2、正多边形的有关概念
?①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心．
?②正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径．
?③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．
?④边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．3、计算公式（1）圆周长公式：C=2πR ； 弧长公式：（2）圆面积公式：S=πr2? （3）扇形面积公式： （4）求阴影面积常用的方法： ①直接用公式法； ②和差法； ③割补法． （5）求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．考点一： 切线长定理例1、如图，PA切⊙O于A，PB切⊙O于B，OP交⊙O于C，下列结论中，错误的是（ ） A．∠1=∠2 B．PA=PB C．AB⊥OP D．PA2=PC?PO 【解析】D． 例2、如图，直线AB、CD、BC分别与⊙O相切于E、F、G，且AB∥CD，若OB=6cm，OC=8cm，则BE+CG的长等于（ ） A．13 B．12 C．11 D．10 【解析】∵AB∥CD，∴∠ABC+∠BCD=180°， ∵CD、BC，AB分别与⊙O相切于G、F、E， ∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠BCD，BE=BF，CG=CF， ∴∠OBC+∠OCB=90°，∴∠BOC=90°， ∴BC==10，∴BE+CG=10（cm）．故选D．例3、如图，PA、PB切⊙O于点A、B，PA=8，CD切⊙O于点E，交PA、PB于C、D两点，则△PCD的周长是（ ） A．8 B．18 C．16 D．14 【解析】△PCD的周长=PC+CE+PD=PC+CE+DE+PC=PC+CA+DB+PD=PA+PB=16．故选：C．考点二： 圆外切四边形例1、如图，一圆内切四边形ABCD，且AB=16，CD=10，则四边形的周长为（ ） A．50 B．52 C．54 D．56 【解析】四边形的周长=2（16+10）=52．故选B． 例2、如图，⊙O是四边形ABCD的内切圆，下列结论一定正确的有（ ）个：①AF=BG； ②CG=CH； ③AB+CD=AD+BC； ④BG＜CG． A．1 B．2 C．3 D．4 【解析】∵⊙O是四边形ABCD的内切圆， ∴AF=AE，BF=BG，CG=CH，DH=DE， ∴AB+CD=AF+BF+CH+DH=AE+BG+CG+DE=AD+BC． ①AF=BG；④BG＜CG无法判断． 正确的有②③，故选B．考点三： 圆内接正多边形例1、已知正六边形的边长为2，则它的内切圆的半径为（ ） A．1 B． C．2 D．2 【解析】B．例2、如果圆形纸片的直径是8cm，用它完全覆盖正六边形，那么正六边形的边长最大不能超过（ ） A．2cm B．2cm C．4cm D．4Cm 【解析】C．例3、若正三角形、正方形、正六边形的周长相等，它们的面积分别为S1，S2，S3，则下列关系成立的是（ ） A．S1=S2=S3 B．S1＞S2＞S3 C．S1＜S2＜S3 D．S2＞S3＞S1 【解析】设正三角形的边长为a，则正方形的边长为，正六边形的边长为； ∵正三角形的边长为a，∴其高为，∴S1=a×=；S2=（）2=； ∵正六边形的边长为，∴把正六边形分成六个三角形，其高为， ∴S3=6×××=． ∵S1==，S3==，＜＜， ∴S1＜S2＜S3．故选C．考点四： 弧长、阴影面积计算例1、如图，有一圆O通过△ABC的三个顶点．若∠B=75°，∠C=60°，且的长度为4π，则BC的长度为何？（ ） A．8 B．8 C．16 D．16 【解析】连接OB，OC，∵∠B=75°，∠C=60°，∴∠A=45°，∴∠BOC=90°， ∵的长度为4π，∴=4π，∴OB=8， ∴BC===8，故选B．例2、如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CDB=30°，CD=2，则阴影部分的面积为（ ） A．2π B．π C． D． 【解析】∵∠CDB=30°，∴∠COB=60°， 又∵弦CD⊥AB，CD=2，∴OC=， ∴，故选D．例3、如图，将正六边形ABCDEF放置在直角坐标系内，A（﹣2，0），点B在原点，把正六边形ABCDEF沿x轴正半轴作无滑动的连续翻转，每次翻转60°，经过2016次翻转之后，点C的坐标是（ ） A．（4032，0） B．（4032，2） C．（4031，） D．（4033，） 【解析】∵每次翻转60°，∴每6次翻转为一个循环组循环， ∵2016÷6=336，∴经过2016次翻转为第336循环，点C在 开始时的位置，∵A（﹣2，0），∴AB=2，∴前进的距离=2×2016=4032， 如图，过点C作CG⊥x于G，则∠CBG=60°， ∴AG=2×=1，BG=2×=，∴OG=4032+1=4033， ∴点B的坐标为（4033，）．故选D．
P(Practice-Oriented)——实战演练
课堂狙击如图，PA、PB分别切⊙O于A、B，PA=10cm，C是劣弧AB上的点 （不与点A、B重合），过点C的切线分别交PA、PB于点E、F．则△PEF的周长为（ ） A．10cm B．15cm C．20cm D．25cm 【解析】C． 2、如图，已知以直角梯形ABCD的腰CD为直径的半圆O与梯形上底AD、下底BC以及腰AB均相切，切点分别是D，C，E．若半圆O的半径为2，梯形的腰AB为5，则该梯形的周长是（ ） A．9 B．10 C．12 D．14 【解析】D． 3、如图，正方形ABCD边长为4cm，以正方形的一边BC为直径在正方形ABCD内作半圆，过A作半圆的切线，与半圆相切于F点，与DC相交于E点，则△ADE的面积（ ） A．12 B．24 C．8 D．6 【解析】∵AE与圆O切于点F，显然根据切线长定理有AF=AB=4cm，EF=EC， 设EF=EC=xcm，则DE=（4﹣x）cm，AE=（4+x）cm， 在三角形ADE中由勾股定理得：（4﹣x）2+42=（4+x）2， ∴x=1cm，∴CE=1cm，∴DE=4﹣1=3cm，∴S△ADE=AD?DE÷2=3×4÷2=6cm2．故选D． 4、若正六边形的半径长为4，则它的边长等于（ ） A．4 B．2 C．2 D．4 【解析】A． 5、如图，⊙O的外切正六边形ABCDEF的边长为2，则图中阴影部分的面积为（ ） A． B． C．2 D． 【解析】∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠AOB=60°， ∴△OAB是等边三角形，OA=OB=AB=2， 设点G为AB与⊙O的切点，连接OG，则OG⊥AB，∴OG=OA?sin60°=2×=，∴S阴影=S△OAB﹣S扇形OMN=×2×﹣=﹣．故选A． 6、正六边形的边心距为，则该正六边形的外接圆半径为（ ） A． B．2 C．3 D．2 【解析】B． 7、如图，半径为2的⊙O与正五边形ABCDE的两边AE、CD相切于点A、C，则劣弧长度为（ ） A．π B．π C．π D．π 【解析】C． 8、如图，AB、BC、CD分别与⊙O相切于E、F、G，且AB∥CD，BO=6，CO=8． （1）判断△OBC的形状，并证明你的结论； （2）求BC的长； （3）求⊙O的半径OF的长． 【解析】（1）答：△OBC是直角三角形． 证明：∵AB、BC、CD分别与⊙O相切于E、F、G， ∴∠OBE=∠OBF=∠EBF，∠OCG=∠OCF=∠GCF， ∵AB∥CD，∴∠EBF+∠GCF=180°，∴∠OBF+∠OCF=90°， ∴∠BOC=90°，∴△OBC是直角三角形； （2）解：∵在Rt△BOC中，BO=6，CO=8，∴BC==10； （3）解：∵AB、BC、CD分别与⊙O相切于E、F、G，∴OF⊥BC， ∴OF===4.8． 9、如图，矩形ABCD中，BC=2，DC=4，以AB为直径的半圆O与DC相切于点E，则阴影部分的面积为多少？（结果保留π） 【解析】阴影部分的面积=S△BCD﹣（S正方形OBCE﹣S扇形OBE） =×2×4﹣（2×2﹣π×2×2）=π． 课后反击1、如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA=5，则△PCD的周长为（ ） A．5 B．7 C．8 D．10 【解析】D． 2、如图，从⊙O外一点P引圆的两条切线PA、PB，切点分别是A、B，如果∠APB=60°，线段PA=10，那么弦AB的长是（ ） A．10 B．12 C．5 D．10 【解析】A． 3、如图，⊙O是△ABC的内切圆，点D、E分别为边AC、BC上的点，且DE为⊙O的切线，若△ABC的周长为25，BC的长是9，则△ADE的周长是（ ） A．7 B．8 C．9 D．16 【解析】A． 4、已知等边三角形的内切圆半径，外接圆半径和高的比是（ ） A．1：2： B．2：3：4 C．1：：2 D．1：2：3 【解析】D． 5、正六边形的边心距与边长之比为（ ） A．1：2 B．：2 C．：1 D．：2 【解析】D． 6、如图，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB和AC的夹角为120°，AB长为25cm，贴纸部分的宽BD为15cm，若纸扇两面贴纸，则贴纸的面积为（ ） A．175πcm2 B．350πcm2 C．πcm2 D．150πcm2 【解析】∵AB=25，BD=15，∴AD=10， ∴S贴纸=2×（﹣）=2×175π=350πcm2，故选B． 7、如图，已知：射线PO与⊙O交于A、B两点，PC、PD分别切⊙O于点C、D． （1）请写出两个不同类型的正确结论； （2）若CD=12，tan∠CPO=，求PO的长． 【解析】（1）不同类型的正确结论有： ①PC=PD，②∠CPO=∠DP，③ACD⊥BA，④∠CEP=90°，⑤PC2=PA?PB； （2）连接OC∵PC、PD分别切⊙O于点C、D∴PC=PD，∠CPO=∠DPA ∴CD⊥AB，∵CD=12，∴DE=CE=CD=6．∵tan∠CPO=， ∴在Rt△EPC中，PE=12，∴由勾股定理得CP=6 ∵PC切⊙O于点C，∴∠OCP=90° 在Rt△OPC中，∵tan∠CPO=，∴，∴OC=3，∴OP==15． 1、如图，在扇形AOB中∠AOB=90°，正方形CDEF的顶点C是的中点，点D在OB上，点E在OB的延长线上，当正方形CDEF的边长为2时，则阴影部分的面积为（ ） A．2π﹣4 B．4π﹣8 C．2π﹣8 D．4π﹣4 【解析】∵在扇形AOB中∠AOB=90°，正方形CDEF的顶点C是的中点，∴∠COD=45°， ∴OC==4， ∴阴影部分的面积=扇形BOC的面积﹣三角形ODC的面积 =×π×42﹣×（2）2=2π﹣4．故选：A． 2、如图，边长为1的菱形ABCD绕点A旋转，当B、C两点恰好落在扇形AEF的弧EF上时，弧BC的长度等于（ ） A． B． C． D． 【解析】C． 3、如图，已知点A，B，C，D均在已知圆上，AD∥BC，AC平分∠BCD，∠ADC=120°，四边形ABCD的周长为10cm．图中阴影部分的面积为（ ） A．cm2 B．（π﹣）cm2 C．cm2 D．cm2 【解析】∵AC平分∠BCD，∴=， ∵AD∥BC，AC平分∠BCD，∠ADC=120°，所以∠ACD=∠DAC=30°， ∴=，∴∠BAC=90°∠B=60°，∴BC=2AB， ∴四边形ABCD的周长=AB+BC+CD+AD=BC×3+BC=10，解得BC=4cm， ∴圆的半径=×4=2cm， ∴阴影部分的面积=（π×22﹣×2×2×）=π﹣cm2．故选：B． 4、在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，以点B为圆心，BC的长为半径作弧，交AB于点D，若点D为AB的中点，则阴影部分的面积是（ ） A．2﹣π B．4﹣π C．2﹣π D．π【解析】∵D为AB的中点，∴BC=BD=AB，∴∠A=30°，∠B=60°． ∵AC=2，∴BC=AC?tan30°=2?=2， ∴S阴影=S△ABC﹣S扇形CBD=×2×2﹣=2﹣π．故选A． 5、如图1，已知在⊙O中，点C为劣弧AB上的中点，连接AC并延长至D，使CD=CA，连接DB并延长DB交⊙O于点E，连接AE． （1）求证：AE是⊙O的直径； （2）如图2，连接EC，⊙O半径为5，AC的长为4，求阴影部分的面积之和．（结果保留π与根号） 【解析】（1）证明：连接CB，AB，CE， ∵点C为劣弧AB上的中点，∴CB=CA，又∵CD=CA， ∴AC=CD=BC，∴∠ABC=∠BAC，∠DBC=∠D， ∵Rt△斜边上的中线等于斜边的一半，∴∠ABD=90°， ∴∠ABE=90°，即弧AE的度数是180°，∴AE是⊙O的直径； （2）解：∵AE是⊙O的直径，∴∠ACE=90°，∵AE=10，AC=4，∴根据勾股定理得：CE=2， ∴S阴影=S半圆﹣S△ACE=12.5π﹣×4×2=12.5π﹣4．
S(Summary-Embedded)——归纳总结
切线长定理中三处垂直关系、三对全等关系、两对弧相等关系； 圆与正多边形的关系； 弧长、不规则阴影面积的计算。 掌握切线长定理题型，对不规则的阴影部分面积进行转化，是解决本节问题的关键。本节课我学到 我需要努力的地方是
体系搭建
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