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【专题讲义】北师大版九年级数学下册
第13讲 直角三角形的边角关系综合复习专题精讲（提高版）
授课主题 第13讲——直角三角形的边角关系
授课类型 T同步课堂 P实战演练 S归纳总结
教学目标 掌握三角函数的几何意义； 熟练进行三角函数值的相关计算； 熟练利用边角关系进行解三角形； 熟练应用边角关系构造直角三角形解决实际问题； 进一步提高数学建模、实际应用的能力。
授课日期及时段
T（Textbook-Based）——同步课堂
知识梳理 知识概念 三角函数的概念1、正弦，余弦，正切的概念(及书写规范)如图，在 中，（1） ＝ （2） ＝ （3） ＝ 2、定义中应该注意的几个问题（1）sinA、cosA、tanA是在直角三角形中定义的，∠A是锐角(注意数形结合，构造直角三角形) （2）sinA、 cosA、tanA是一个比值（数值） （3）sinA、 cosA 、tanA的大小只与∠A的大小有关，而与直角三角形的边长无关。 （二）特殊角的三角函数值度 数 sinα cosα tanα 30° 45° 1 60° （三）三角函数之间的关系 1、余角关系：在∠A+∠B=90°时 2、同角关系sin2A+cos2A=1. （四）斜坡的坡度1、仰角、俯角、坡度、坡角和方向角（1）仰角：视线在水平线上方的角叫仰角．俯角：视线在水平线下方的角叫俯角．（2）坡度：坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度(或叫坡比)，用字母i表示．坡角：坡面与水平面的夹角叫坡角，用α表示，则有i＝_tan α如图所示， ，即坡度是坡角的正切值． （3）方向角： 平面上，通过观察点O作一条水平线(向右为东向)和一条铅垂线(向上为北向)，则从O点出发的视线与水平线或铅锤线所夹的角，叫做观测的方向角． （五）解三角形及其应用1、解直角三角形应用题的步骤（1）根据题目已知条件，画出平面几何图形，找出已知条件中各量之间的关系． （2）若是直角三角形，根据边角关系进行计算； 若不是直角三角形，应大胆尝试添加辅助线，构造直角三角形进行解决．2、解三角形关系解直角三角形时，正确选择关系式是关键： （1）求边时一般用未知边比已知边，去找已知角的某一个三角函数； （2）求角时一般用已知边比已知边，去找未知角的某一个三角函数； （3）求某些未知量的途径往往不唯一，其选择的原则： ①尽量直接使用原始数据；②计算简便；③若能用乘法应避免除法． 3、利用（三角函数）解直角三角形解实际应用题的一般步骤：① 弄清题中名词术语的意义(如俯角、仰角、坡角、方向角等)，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型； ② 将实际问题中的数量关系归结为直角三角形中元素之间的关系，当有些图形不是直角三角形时，可添加适当的辅助线，把它们分割成直角三角形； ③ 寻求基础直角三角形，并解这个三角形或设未知数进行求解．考点一：锐角三角函数例1、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，CD是斜边AB上的高，下列线段的比值不等于cosA的值的是（ ） A． B． C． D．例2、已知∠A为锐角，且tanA=，则∠A的取值范围是（ ） A．0°＜∠A＜30° B．30°＜∠A＜45° C．45°＜∠A＜60° D．60°＜∠A＜90° 例3、计算：sin45°+cos230°﹣+2sin60°． 考点二： 坡度、坡角实际问题例1、如图，某水渠的横断面是梯形，已知其斜坡AD的坡度为1：1.2，斜坡BC的坡度为1：0.8，现测得放水前的水面宽EF为3.8米，当水闸放水后，水渠内水面宽GH为6米．则放水后水面上升的高度是（ ）米． A．1.2 B．1.1 C．0.8 D．2.2 例2、如图，某仓储中心有一斜坡AB，其坡度为i=1：2，顶部A处的高AC为4m，B、C在同一水平地面上． （1）求斜坡AB的水平宽度BC； （2）矩形DEFG为长方体货柜的侧面图，其中DE=2.5m，EF=2m，将该货柜沿斜坡向上运送，当BF=3.5m时，求点D离地面的高．（结果保留根号） 考点三：解三角形例1、如图，已知Rt△ABC中，斜边BC上的高AD=3，cosB=，则AC的长为（ ） A．3 B．3.5 C．4.8 D．5例2、如图，△ABC中，∠ACB=90°，sinA=，BC=8，D是AB中点，过点B作直线CD的垂线，垂足为点E．（1）求线段CD的长；（2）求cos∠ABE的值． 考点四：三角函数综合应用例1、如图，某日，正在我国南海海域作业的一艘大型渔船突然发生险情，相关部门接到求救信号后，立即调遣一架直升飞机和一艘正在南海巡航的渔政船前往救援，当飞机到达海面3000m的高空C处时，测得A处渔政船的俯角为45°，测得B处发生险情渔船的俯角为30°，此时渔政船和渔船的距离AB是（ ） A．3000m B．3000（）m C．3000（）m D．1500m 例2、如图，小山岗的斜坡AC的坡角α=45°，在与山脚C距离200米的D处，测得山顶A的仰角为26.6°，小山岗的高AB约为（结果取整数，参考数据：sin26.6°=0.45，cos26.6°=0.89，tan26.6°=0.50）（ ） A．164m B．178m C．200m D．1618m 例3、如图，某渔船在海面上朝正东方向匀速航行，在A处观测到灯塔M在北偏东60°方向上，航行半小时后到达B处，此时观测到灯塔M在北偏东30°方向上，那么该船继续航行到达离灯塔距离最近的位置所需时间是（ ） A．10分钟 B．15分钟 C．20分钟 D．25分钟
P(Practice-Oriented)——实战演练
课堂狙击1、如图，点A为∠α边上任意一点，作AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，下列用线段比表示cosα的值，错误的是（ ） A． B． C． D． 2、如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上，则tanA的值是（ ） A． B． C．2 D． 3、α是锐角，且，则（ ） A．0°＜α＜30° B．30°＜α＜45° C．45°＜α＜60° D．60°＜α＜90° 4、如图，已知AD是等腰△ABC底边上的高，且sinB=．点E在AC上且AE：EC=2：3．则tan∠ADE等于（ ） A． B． C． D． 5、斜坡的倾斜角为α，一辆汽车沿这个斜坡前进了500米，则它上升的高度是（ ） A．500?sinα米 B．米 C．500?cosα米 D．米 6、如图，斜面AC的坡度（CD与AD的比）为1：2，AC=3米，坡顶有一旗杆BC，旗杆顶端B点与A点有一条彩带相连，若AB=10米，则旗杆BC的高为（ ） A．（3+）米 B．8米 C．6米 D．5米 7、如图，热气球从C地垂直上升2km到达A处，观察员在A处观察B地的俯角为30°，则B、C两地之间的距离为（ ） A．km B． C．2km D．2 8、小敏家对面新建了一幢图书大厦，小敏在自家窗口测得大厦顶部的仰角为45°，大厦底部的仰角为30°，如图所示，量得两幢楼之间的距离为20米． （1）求出大厦的高度BD； （2）求出小敏家的高度AE． 9、2016年10月强台风“海马”登录深圳，伴随着就是狂风暴雨．梧桐山山坡上有一棵与水平面垂直的大树，台风过后，大树被刮倾斜后折断倒在山坡上，树的顶部恰好接触到坡面（如图所示）．已知山坡的坡角∠AEF=23°，量得树干的倾斜角为∠BAC=38°，大树被折断部分和坡面所成的角∠ADC=60°，AD=3m． （1）求∠DAC的度数； （2）求这棵大树折断前的高度．（结果保留根号） 课后反击1、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，CD是斜边AB上的高，下列线段的比值不等于cosA的值的是（ ） A． B． C． D． 2、如图，在8×4的矩形网格中，每格小正方形的边长都是1，若△ABC的三个顶点在图中相应的格点上，则tan∠ACB的值为（ ） A． B． C．3 D． 3、若0°＜α＜90°，则下列说法不正确的是（ ） A．sinα随α的增大而增大 B．cosα随α的增大而减小 C．tanα随α的增大而增大 D．sinα、cosα、tanα的值都随α的增大而增大 4、如图，已知Rt△ABC中，斜边BC上的高AD=3，cosB=，则AC的长为（ ） A．3 B．3.5 C．4.8 D．5 5、某人沿倾斜角为30°的斜坡前进6米，则他上升的最大高度为（ ） A．3米 B．3米 C．米 D．2米 6、如图，某天小明发现阳光下电线杆AB的影子落在土坡的坡面CD和地面BC上，量的CD=8米，BC=20米，斜坡CD的坡度比为1：，且此时测得1米杆的影长为2米，则电线杆的高度为（ ） A．（14+2）米 B．28米 C．（7+）米 D．9米 7、如图，在一个20米高的楼顶上有一信号塔DC，某同学为了测量信号塔的高度，在地面的A处测得信号塔下端D的仰角为30°，然后他正对塔的方向前进了8米到达地面的B处，又测得信号塔顶端C的仰角为45°，CD⊥AB于点E，E、B、A在一条直线上．信号塔CD的高度为（ ） A．20 B．20﹣8 C．20﹣28 D．20﹣20 8、如图，岛P位于岛Q的正西方，P、Q两岛间的距离为20（1+）海里，由岛P、Q分别测得船R位于南偏东30°和南偏西45°方向上，则船R到岛P的距离为（ ） A．40海里 B．40海里 C．40海里 D．40海里 9、计算： （1）+tan60° （2）2cos45°?sin45°﹣2sin30°?tan45°+?tan60°． 10、据调查，超速行驶是引发交通事故的主要原因之一，所以规定以下情境中的速度不得超过15m/s，在一条笔直公路BD的上方A处有一探测仪，如平面几何图，AD=24m，∠D=90°，第一次探测到一辆轿车从B点匀速向D点行驶，测得∠ABD=31°，2秒后到达C点，测得∠ACD=50°（tan31°≈0.6，tan50°≈1.2，结果精确到1m） （1）求B，C的距离． 通过计算，判断此轿车是否超速． 1、小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度．如图，旗杆PA的高度与拉绳PB的长度相等．小明将PB拉到PB′的位置，测得∠PB′C=α（B′C为水平线），测角仪B′D的高度为1米，则旗杆PA的高度为（ ） A． B． C． D．2、如图，已知l1∥l2∥l3，相邻两条平行直线间的距离相等，若等腰直角△ABC的三个顶点分别在这三条平行直线上，则sinα的值是（ ） A． B． C． D． 3、某兴趣小组借助无人飞机航拍校园．如图，无人飞机从A处水平飞行至B处需8秒，在地面C处同一方向上分别测得A处的仰角为75°，B处的仰角为30°．已知无人飞机的飞行速度为4米/秒，求这架无人飞机的飞行高度．（结果保留根号）
S(Summary-Embedded)——归纳总结
三角函数的定义 特殊角的三角函数值 利用直角三角形边角关系解三角形 综合利用解三角形知识，构建直角三角形模型，解决实际问题熟练掌握特殊角的三角函数值是提高计算准确度的必要条件 明确坡角、仰角、俯角、方向角概念是解决问题的前提 3、根据实际情况构建直角三角形模型，并求解实际三角形中的边角大小是解决问题关键本节课我学到 我需要努力的地方是
体系搭建
实战演练
直击中考
重点回顾
名师点拨
学霸经验
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【专题讲义】北师大版九年级数学下册
第13讲 直角三角形的边角关系综合复习专题精讲（解析版）
参考答案
授课主题 第13讲-----直角三角形的边角关系
授课类型 T同步课堂 P实战演练 S归纳总结
教学目标 掌握三角函数的几何意义； 熟练进行三角函数值的相关计算； 熟练利用边角关系进行解三角形； 熟练应用边角关系构造直角三角形解决实际问题； 进一步提高数学建模、实际应用的能力。
授课日期及时段
T（Textbook-Based）——同步课堂
知识梳理 知识概念 三角函数的概念1、正弦，余弦，正切的概念(及书写规范)如图，在 中，（1） ＝ （2） ＝ （3） ＝ 2、定义中应该注意的几个问题（1）sinA、cosA、tanA是在直角三角形中定义的，∠A是锐角(注意数形结合，构造直角三角形) （2）sinA、 cosA、tanA是一个比值（数值） （3）sinA、 cosA 、tanA的大小只与∠A的大小有关，而与直角三角形的边长无关。 （二）特殊角的三角函数值度 数 sinα cosα tanα 30° 45° 1 60° （三）三角函数之间的关系 1、余角关系：在∠A+∠B=90°时 2、同角关系sin2A+cos2A=1. （四）斜坡的坡度1、仰角、俯角、坡度、坡角和方向角（1）仰角：视线在水平线上方的角叫仰角．俯角：视线在水平线下方的角叫俯角．（2）坡度：坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度(或叫坡比)，用字母i表示．坡角：坡面与水平面的夹角叫坡角，用α表示，则有i＝_tan α如图所示， ，即坡度是坡角的正切值． （3）方向角： 平面上，通过观察点O作一条水平线(向右为东向)和一条铅垂线(向上为北向)，则从O点出发的视线与水平线或铅锤线所夹的角，叫做观测的方向角． （五）解三角形及其应用1、解直角三角形应用题的步骤（1）根据题目已知条件，画出平面几何图形，找出已知条件中各量之间的关系． （2）若是直角三角形，根据边角关系进行计算； 若不是直角三角形，应大胆尝试添加辅助线，构造直角三角形进行解决．2、解三角形关系解直角三角形时，正确选择关系式是关键： （1）求边时一般用未知边比已知边，去找已知角的某一个三角函数； （2）求角时一般用已知边比已知边，去找未知角的某一个三角函数； （3）求某些未知量的途径往往不唯一，其选择的原则： ①尽量直接使用原始数据；②计算简便；③若能用乘法应避免除法． 3、利用（三角函数）解直角三角形解实际应用题的一般步骤：① 弄清题中名词术语的意义(如俯角、仰角、坡角、方向角等)，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型； ② 将实际问题中的数量关系归结为直角三角形中元素之间的关系，当有些图形不是直角三角形时，可添加适当的辅助线，把它们分割成直角三角形； ③ 寻求基础直角三角形，并解这个三角形或设未知数进行求解．考点一：锐角三角函数例1、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，CD是斜边AB上的高，下列线段的比值不等于cosA的值的是（ ） A． B． C． D． 【解析】C．例2、已知∠A为锐角，且tanA=，则∠A的取值范围是（ ） A．0°＜∠A＜30° B．30°＜∠A＜45° C．45°＜∠A＜60° D．60°＜∠A＜90° 【解析】C． 例3、计算：sin45°+cos230°﹣+2sin60°．【解析】原式=?+（）2﹣+2× =+﹣+ =1+．考点二： 坡度、坡角实际问题例1、如图，某水渠的横断面是梯形，已知其斜坡AD的坡度为1：1.2，斜坡BC的坡度为1：0.8，现测得放水前的水面宽EF为3.8米，当水闸放水后，水渠内水面宽GH为6米．则放水后水面上升的高度是（ ）米． A．1.2 B．1.1 C．0.8 D．2.2 【解析】过点E作EM⊥GH于点M，过点F作FN⊥GH于点N，可得四边形EFNM为矩形，则MN=EF，设ME=FN=x，在Rt△GME中，∵斜坡AD的坡度为1：1.2，∴ME：GM=1：1.2，∴GM=1.2x，在Rt△NHF中， ∵斜坡BC的坡度为1：0.8，∴NF：NH=1：0.8，∴NH=0.8x， 则GH=1.2x+0.8x+3.8=6，解得：x=1.1．故选B． 例2、如图，某仓储中心有一斜坡AB，其坡度为i=1：2，顶部A处的高AC为4m，B、C在同一水平地面上． （1）求斜坡AB的水平宽度BC； （2）矩形DEFG为长方体货柜的侧面图，其中DE=2.5m，EF=2m，将该货柜沿斜坡向上运送，当BF=3.5m时，求点D离地面的高．（结果保留根号） 【解析】（1）∵坡度为i=1：2，AC=4m，∴BC=4×2=8m． （2）作DS⊥BC，垂足为S，且与AB相交于H． ∵∠DGH=∠BSH，∠DHG=∠BHS，∴∠GDH=∠SBH， ∴=， ∵DG=EF=2m，∴GH=1m， ∴DH==m，BH=BF+FH=3.5+（2.5﹣1）=5m， 设HS=xm，则BS=2xm，∴x2+（2x）2=52，∴x=m ∴DS=+=2m． 考点三：解三角形例1、如图，已知Rt△ABC中，斜边BC上的高AD=3，cosB=，则AC的长为（ ） A．3 B．3.5 C．4.8 D．5 【解析】∵在Rt△ABC中，cosB=，∴sinB=，tanB=． ∵在Rt△ABD中AD=3，∴AB=． 在Rt△ABC中，∵tanB=，∴AC=，故选D例2、如图，△ABC中，∠ACB=90°，sinA=，BC=8，D是AB中点，过点B作直线CD的垂线，垂足为点E．（1）求线段CD的长；（2）求cos∠ABE的值． 【解析】（1）在△ABC中，∵∠ACB=90°，∴sinA==， 而BC=8，∴AB=10， ∵D是AB中点，∴CD=AB=5； （2）在Rt△ABC中，∵AB=10，BC=8，∴AC==6， ∵D是AB中点，∴BD=5，S△BDC=S△ADC， ∴S△BDC=S△ABC，即CD?BE=?AC?BC，∴BE==， 在Rt△BDE中，cos∠DBE===，即cos∠ABE的值为． 考点四：三角函数综合应用例1、如图，某日，正在我国南海海域作业的一艘大型渔船突然发生险情，相关部门接到求救信号后，立即调遣一架直升飞机和一艘正在南海巡航的渔政船前往救援，当飞机到达海面3000m的高空C处时，测得A处渔政船的俯角为45°，测得B处发生险情渔船的俯角为30°，此时渔政船和渔船的距离AB是（ ） A．3000m B．3000（）m C．3000（）m D．1500m 【解析】如图，由题意可知CE∥BD，∴∠CBA=30°，∠CAD=45°，且CD=3000m， 在Rt△ACD中，AD=CD=3000m， 在Rt△BCD中，BD===3000m， ∴AB=BD﹣AD=3000﹣3000=3000（﹣1）（m），故选C． 例2、如图，小山岗的斜坡AC的坡角α=45°，在与山脚C距离200米的D处，测得山顶A的仰角为26.6°，小山岗的高AB约为（结果取整数，参考数据：sin26.6°=0.45，cos26.6°=0.89，tan26.6°=0.50）（ ） A．164m B．178m C．200m D．1618m 【解析】∵在直角三角形ABC中，=tanα=1，∴BC=AB， ∵在直角三角形ADB中，∴=tan26.6°=0.50， 即：BD=2AB， ∵BD﹣BC=CD=200，∴2AB﹣AB=200， 解得：AB=200米，答：小山岗的高度为200米；故选C． 例3、如图，某渔船在海面上朝正东方向匀速航行，在A处观测到灯塔M在北偏东60°方向上，航行半小时后到达B处，此时观测到灯塔M在北偏东30°方向上，那么该船继续航行到达离灯塔距离最近的位置所需时间是（ ） A．10分钟 B．15分钟 C．20分钟 D．25分钟 【解析】作MN⊥AB于点N． ∵在直角△BMN中，∠MBN=90°﹣30°=60°，∠BMN=30°， 又∵∠MAN=90°﹣60°=30°，∴∠AMN=60°，∴∠MAB=∠AMB， ∴AB=BM，∴BN=BM， 又∵由A到B航行半小时，即30分钟，∴由B到N是15分钟． 故选B．
P(Practice-Oriented)——实战演练
课堂狙击1、如图，点A为∠α边上任意一点，作AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，下列用线段比表示cosα的值，错误的是（ ） A． B． C． D． 【解析】D． 2、如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上，则tanA的值是（ ） A． B． C．2 D． 【解析】D． 3、α是锐角，且，则（ ） A．0°＜α＜30° B．30°＜α＜45° C．45°＜α＜60° D．60°＜α＜90° 【解析】B. 4、如图，已知AD是等腰△ABC底边上的高，且sinB=．点E在AC上且AE：EC=2：3．则tan∠ADE等于（ ） A． B． C． D． 【解析】D． 5、斜坡的倾斜角为α，一辆汽车沿这个斜坡前进了500米，则它上升的高度是（ ） A．500?sinα米 B．米 C．500?cosα米 D．米 【解析】A． 6、如图，斜面AC的坡度（CD与AD的比）为1：2，AC=3米，坡顶有一旗杆BC，旗杆顶端B点与A点有一条彩带相连，若AB=10米，则旗杆BC的高为（ ） A．（3+）米 B．8米 C．6米 D．5米 【解析】D． 7、如图，热气球从C地垂直上升2km到达A处，观察员在A处观察B地的俯角为30°，则B、C两地之间的距离为（ ） A．km B． C．2km D．2 【解析】D． 8、小敏家对面新建了一幢图书大厦，小敏在自家窗口测得大厦顶部的仰角为45°，大厦底部的仰角为30°，如图所示，量得两幢楼之间的距离为20米． （1）求出大厦的高度BD； （2）求出小敏家的高度AE． 【解析】（1）如图，∵AC⊥BD，∴BD⊥DE，AE⊥DE， ∴四边形AEDC是矩形，∴AC=DE=20米， ∵在Rt△ABC中，∠BAC=45°，∴BC=AC=20米， 在Rt△ACD中，tan30°=， ∴CD=AC?tan30°=20×=20（米），∴BD=BC+CD=20+20（米）； ∴大厦的高度BD为：（20+20）米； （2）∵四边形AEDC是矩形，∴AE=CD=20米． ∴小敏家的高度AE为20米． 9、2016年10月强台风“海马”登录深圳，伴随着就是狂风暴雨．梧桐山山坡上有一棵与水平面垂直的大树，台风过后，大树被刮倾斜后折断倒在山坡上，树的顶部恰好接触到坡面（如图所示）．已知山坡的坡角∠AEF=23°，量得树干的倾斜角为∠BAC=38°，大树被折断部分和坡面所成的角∠ADC=60°，AD=3m． （1）求∠DAC的度数； （2）求这棵大树折断前的高度．（结果保留根号） 【解析】（1）延长BA交EF于一点G，如图所示， 则∠DAC=180°﹣∠BAC﹣∠GAE=180°﹣38°﹣（90°﹣23°）=75°； （2）过点A作CD的垂线，设垂足为H， 在Rt△ADH中，∠ADC=60°，∠AHD=90°，∴∠DAH=30°，∵AD=3，∴DH=，AH=， 在Rt△ACH中，∠CAH=∠CAD﹣∠DAH=75°﹣30°=45°， ∴∠C=45°，∴CH=AH=，AC=， 则树高++（米）． 课后反击1、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，CD是斜边AB上的高，下列线段的比值不等于cosA的值的是（ ） A． B． C． D． 【解析】C． 2、如图，在8×4的矩形网格中，每格小正方形的边长都是1，若△ABC的三个顶点在图中相应的格点上，则tan∠ACB的值为（ ） A． B． C．3 D． 【解析】D． 3、若0°＜α＜90°，则下列说法不正确的是（ ） A．sinα随α的增大而增大 B．cosα随α的增大而减小 C．tanα随α的增大而增大 D．sinα、cosα、tanα的值都随α的增大而增大 【解析】D． 4、如图，已知Rt△ABC中，斜边BC上的高AD=3，cosB=，则AC的长为（ ） A．3 B．3.5 C．4.8 D．5 【解析】D． 5、某人沿倾斜角为30°的斜坡前进6米，则他上升的最大高度为（ ） A．3米 B．3米 C．米 D．2米 【解析】A． 6、如图，某天小明发现阳光下电线杆AB的影子落在土坡的坡面CD和地面BC上，量的CD=8米，BC=20米，斜坡CD的坡度比为1：，且此时测得1米杆的影长为2米，则电线杆的高度为（ ） A．（14+2）米 B．28米 C．（7+）米 D．9米 【解析】如图所示：过D作DE垂直BC的延长线于E，且过D作DF⊥AB于F， ∵在Rt△DEC中，CD=8，斜坡CD的坡度比为1：，∴∠DCE=30°， ∴DE=4米，CE=4米，∴BF=4米，DF=20+4（米）， ∵1米杆的影长为2米，∴=， 则AF=（10+2）米，AB=AF+BF=10+2+4=（14+2）米， ∴电线杆的高度（14+2）米． 故选：A． 7、如图，在一个20米高的楼顶上有一信号塔DC，某同学为了测量信号塔的高度，在地面的A处测得信号塔下端D的仰角为30°，然后他正对塔的方向前进了8米到达地面的B处，又测得信号塔顶端C的仰角为45°，CD⊥AB于点E，E、B、A在一条直线上．信号塔CD的高度为（ ） A．20 B．20﹣8 C．20﹣28 D．20﹣20 【解析】C． 8、如图，岛P位于岛Q的正西方，P、Q两岛间的距离为20（1+）海里，由岛P、Q分别测得船R位于南偏东30°和南偏西45°方向上，则船R到岛P的距离为（ ） A．40海里 B．40海里 C．40海里 D．40海里 【解析】A． 9、计算： （1）+tan60° （2）2cos45°?sin45°﹣2sin30°?tan45°+?tan60°． 【解析】（1）+； （2）3． 10、据调查，超速行驶是引发交通事故的主要原因之一，所以规定以下情境中的速度不得超过15m/s，在一条笔直公路BD的上方A处有一探测仪，如平面几何图，AD=24m，∠D=90°，第一次探测到一辆轿车从B点匀速向D点行驶，测得∠ABD=31°，2秒后到达C点，测得∠ACD=50°（tan31°≈0.6，tan50°≈1.2，结果精确到1m） （1）求B，C的距离． （2）通过计算，判断此轿车是否超速． 【解析】（1）在Rt△ABD中，AD=24m，∠B=31°， ∴tan31°=，即BD==40m， 在Rt△ACD中，AD=24m，∠ACD=50°， ∴tan50°=，即CD==20m，∴BC=BD﹣CD=40﹣20=20m，则B，C的距离为20m； （2）根据题意得：20÷2=10m/s＜15m/s，则此轿车没有超速．1、小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度．如图，旗杆PA的高度与拉绳PB的长度相等．小明将PB拉到PB′的位置，测得∠PB′C=α（B′C为水平线），测角仪B′D的高度为1米，则旗杆PA的高度为（ ） A． B． C． D． 【解析】A．2、如图，已知l1∥l2∥l3，相邻两条平行直线间的距离相等，若等腰直角△ABC的三个顶点分别在这三条平行直线上，则sinα的值是（ ） A． B． C． D． 【解析】如图，过点A作AD⊥l1于D，过点B作BE⊥l1于E， 设l1，l2，l3间的距离为1， ∵∠CAD+∠ACD=90°，∠BCE+∠ACD=90°，∴∠CAD=∠BCE， 在等腰直角△ABC中，AC=BC， 在△ACD和△CBE中，， ∴△ACD≌△CBE（AAS）， ∴CD=BE=1， 在Rt△ACD中，AC===， 在等腰直角△ABC中，AB=AC=×=， ∴sinα==． 故选：D． 3、某兴趣小组借助无人飞机航拍校园．如图，无人飞机从A处水平飞行至B处需8秒，在地面C处同一方向上分别测得A处的仰角为75°，B处的仰角为30°．已知无人飞机的飞行速度为4米/秒，求这架无人飞机的飞行高度．（结果保留根号） 【解析】设AE=x，则BE=3x，BC=4x，AM=2x，CD=4x， ∴EC==5x，EM==x， CM==2x， ∴EM2+CM2=CE2， ∴△CEM是直角三角形，∴sin∠ECM==．
S(Summary-Embedded)——归纳总结
三角函数的定义 特殊角的三角函数值 利用直角三角形边角关系解三角形 综合利用解三角形知识，构建直角三角形模型，解决实际问题熟练掌握特殊角的三角函数值是提高计算准确度的必要条件 明确坡角、仰角、俯角、方向角概念是解决问题的前提 3、根据实际情况构建直角三角形模型，并求解实际三角形中的边角大小是解决问题关键本节课我学到 我需要努力的地方是
体系搭建
实战演练
直击中考
重点回顾
名师点拨
学霸经验
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