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【专题讲义】北师大版九年级数学下册
第1讲 锐角三角函数与解三角形综合复习专题精讲（培优版）
授课主题 第01讲——锐角三角函数与解三角形
授课类型 T同步课堂 P实战演练 S归纳总结
教学目标 掌握锐角三角函数的几何意义及计算公式； 掌握特殊角的三角函数值，并能进行熟练计算； 能根据题目已知条件，进行解三角形； 能利用三角函数进行简单的应用，并解决问题。
授课日期及时段
T（Textbook-Based）——同步课堂
知识概念 三角函数的概念1、正弦，余弦，正切的概念(及书写规范)如图，在 中，（1） ＝ （2） ＝ （3） ＝ 2、定义中应该注意的几个问题（1）sinA、cosA、tanA是在直角三角形中定义的，∠A是锐角(注意数形结合，构造直角三角形) （2）sinA、 cosA、tanA是一个比值（数值） （3）sinA、 cosA 、tanA的大小只与∠A的大小有关，而与直角三角形的边长无关。 （二）特殊角的三角函数值 度 数 sinα cosα tanα 30° 45° 1 60° （三）三角函数之间的关系 1、余角关系：在∠A+∠B=90°时 2、同角关系sin2A+cos2A=1. （四）斜坡的坡度1、仰角、俯角、坡度、坡角和方向角（1）仰角：视线在水平线上方的角叫仰角．俯角：视线在水平线下方的角叫俯角． （2）坡度：坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度(或叫坡比)，用字母i表示．坡角：坡面与水平面的夹角叫坡角，用α表示，则有i＝_tan α如图所示， ，即坡度是坡角的正切值． （3）方向角： 平面上，通过观察点O作一条水平线(向右为东向)和一条铅垂线(向上为北向)，则从O点出发的视线与水平线或铅锤线所夹的角，叫做观测的方向角． （五）解三角形 1、定义锐角的正弦，余弦和正切都是∠的三角函数，直角三角形中，除直角外，共5个元素：3条边和2个角．除直角外只要知道其中2个元素（至少有1个是边），就可利用以上关系求出另外3个元素．2、解直角三角形应用题的步骤（1）根据题目已知条件，画出平面几何图形，找出已知条件中各量之间的关系． （2）若是直角三角形，根据边角关系进行计算； 若不是直角三角形，应大胆尝试添加辅助线，构造直角三角形进行解决．3、解三角形关系解直角三角形时，正确选择关系式是关键： （1）求边时一般用未知边比已知边，去找已知角的某一个三角函数； （2）求角时一般用已知边比已知边，去找未知角的某一个三角函数； （3）求某些未知量的途径往往不唯一，其选择的原则： ①尽量直接使用原始数据；②计算简便；③若能用乘法应避免除法．考点一：三角函数的概念例1、已知，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=，AC=1，那么∠A的正切tanA等于（ ） A． B．2 C． D．例2、如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则cos∠ABC等于（ ） A． B． C． D．例3、如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，则下列结论不正确的是（ ） A． B． C． D．考点二：特殊角的三角函数值例1、在△ABC中，若|sinA﹣|+（﹣tanB）2=0，则∠C的度数为（ ） A．30° B．60° C．90° D．120° 例2、计算：sin45°+cos230°﹣+2sin60°． 例3、 考点三：斜坡的坡度例1、一个公共房门前的台阶高出地面1.2米，台阶拆除后，换成供轮椅行走的斜坡，数据如图所示，则下列关系或说法正确的是（ ） A．斜坡AB的坡度是10° B．斜坡AB的坡度是tan10° C．AC=1.2tan10°米 D．AB=米例2、一辆汽车沿坡角为α的斜坡前进500米，则它上升的最大高度为（ ） A．500sinα B． C．500cosα D． 考点四：解三角形例1、如图，已知四边形ABCD中，∠ABC=90°，∠ADC=90°，AB=6，CD=4，BC的延长线与AD的延长线交于点E． （1）若∠A=60°，求BC的长； （2）若sinA=，求AD的长． （注意：本题中的计算过程和结果均保留根号） 例2、如图所示，把一张长方形卡片ABCD放在每格宽度为12mm的横格纸中，恰好四个顶点都在横格线上，已知∠α=36°，求长方形卡片的周长． （精确到1mm）（参考数据：sin36°≈0.60，cos36°≈0.80，tan36°≈0.75）
P(Practice-Oriented)——实战演练
课堂狙击1、如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是（ ） A．2 B． C． D． 2、在△ABC中，∠C=90°，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，下列各式成立的是（ ） A．b=a?sinB B．a=b?cosB C．a=b?tanB D．b=a?tanB 3、已知∠A为锐角，且tanA=，那么下列判断正确的是（ ） A．0＜∠A＜30° B．30°＜∠A＜45° C．45°＜∠A＜60° D．60°＜∠A＜90° 4、在△ABC中，若|sinA﹣|+（cosB﹣）2=0，则∠C=（ ） A．30° B．60° C．90° D．120° 5、在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，则tanA的值为（ ） A． B． C． D． 6、如图，小阳发现电线杆AB的影子落在土坡的坡面CD和地面BC上，量得CD=8米，BC=20米，CD与地面成30°角，且此时测得1米杆的影长为2米，则电线杆的高度为 米． 7、如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则tan∠BAC等于 ． 8、计算：3sin60°﹣2cos30°﹣tan60°?tan45°． 9、如图，在Rt△ABC和Rt△CDE中，AB与CE相交于点F，∠ACB=∠E=90°，∠A=30°，∠D=45°，BC=6，求CF的长． 课后反击1、如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则cos∠ABC等于（ ） A． B． C． D． 2、在△ABC中，，则△ABC为（ ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．含60°的任意三角形 D．是顶角为钝角的等腰三角形 3、在△ABC中，∠C=90°，tanA=，则sinB，cosB，tanB中最小的是（ ） A．tanB B．sinB C．cosB D．sinB或cosB 4、如图，在正方形网格中，△ABC的顶点都在格点上，则tan∠ACB的值为 5、某水库水坝的坝高为10米，迎水坡的坡度为1：2.4，则该水库迎水坡的长度为 米． 6、如图，水平面上有一个坡度i=1：2的斜坡AB，矩形货柜DEFG放置在斜坡上，己知DE=2.5m．EF=2m，BF=3.5m，则点D离地面的高DH为 m．（结果保留根号） 7、计算：6tan260°﹣cos30°?tan30°﹣2sin45°+cos60°． 8、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，斜边AB的垂直平分线分别交AB、BC于点E和点D，已知BD：CD=2：． （1）求∠ADC的度数； （2）利用已知条件和第（1）小题的结论求tan15°的值（结果保留根号）． 1、如图所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinA的值为（ ） A． B． C． D． 2、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，E为AB上一点且AE：EB=4：1，EF⊥AC于F，连接FB，则tan∠CFB的值等于（ ） A． B． C． D． 3、在Rt△ABC中，∠C=90°，把∠A的邻边与对边的比叫做∠A的余切，记作cotA=．则下列关系式中不成立的是（ ） A．tanA?cotA=1 B．sinA=tanA?cosA C．cosA=cotA?sinA D．tan2A+cot2A=1 4、小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上，如图，此时测得地面上的影长为8米，坡面上的影长为4米．已知斜坡的坡角为30°，同一时刻，一根长为1米且垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，则树的高度为（ ） A．（6+）米 B．12米 C．（4﹣2）米 D．10米
S(Summary-Embedded)——归纳总结
1、正弦，余弦，正切的概念 2、特殊角的三角函数值 3、斜坡的坡度 4、解三角形 1、sinA、 cosA、tanA是一个比值（数值），大小只与∠A的大小有关，而与直角三角形的边长无关 2、在几何图形中求解三角函数值或者解三角形，找出直角三角形或做辅助线构造直角三角形是解题的关键。本节课我学到 我需要努力的地方是
体系搭建
实战演练
直击中考
重点回顾
名师点拨
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【专题讲义】北师大版九年级数学下册
第1讲 锐角三角函数与解三角形综合复习专题精讲（解析版）
参考答案
授课主题 第01讲——锐角三角函数与解三角形
授课类型 T同步课堂 P实战演练 S归纳总结
教学目标 掌握锐角三角函数的几何意义及计算公式； 掌握特殊角的三角函数值，并能进行熟练计算； 能根据题目已知条件，进行解三角形； 能利用三角函数进行简单的应用，并解决问题。
授课日期及时段
T（Textbook-Based）——同步课堂
知识概念 三角函数的概念1、正弦，余弦，正切的概念(及书写规范)如图，在 中，（1） ＝ （2） ＝ （3） ＝ 2、定义中应该注意的几个问题（1）sinA、cosA、tanA是在直角三角形中定义的，∠A是锐角(注意数形结合，构造直角三角形) （2）sinA、 cosA、tanA是一个比值（数值） （3）sinA、 cosA 、tanA的大小只与∠A的大小有关，而与直角三角形的边长无关。 （二）特殊角的三角函数值 度 数 sinα cosα tanα 30° 45° 1 60° （三）三角函数之间的关系 1、余角关系：在∠A+∠B=90°时 2、同角关系sin2A+cos2A=1. （四）斜坡的坡度1、仰角、俯角、坡度、坡角和方向角（1）仰角：视线在水平线上方的角叫仰角．俯角：视线在水平线下方的角叫俯角． （2）坡度：坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度(或叫坡比)，用字母i表示．坡角：坡面与水平面的夹角叫坡角，用α表示，则有i＝_tan α如图所示， ，即坡度是坡角的正切值． （3）方向角： 平面上，通过观察点O作一条水平线(向右为东向)和一条铅垂线(向上为北向)，则从O点出发的视线与水平线或铅锤线所夹的角，叫做观测的方向角． （五）解三角形 1、定义锐角的正弦，余弦和正切都是∠的三角函数，直角三角形中，除直角外，共5个元素：3条边和2个角．除直角外只要知道其中2个元素（至少有1个是边），就可利用以上关系求出另外3个元素．2、解直角三角形应用题的步骤（1）根据题目已知条件，画出平面几何图形，找出已知条件中各量之间的关系． （2）若是直角三角形，根据边角关系进行计算； 若不是直角三角形，应大胆尝试添加辅助线，构造直角三角形进行解决．3、解三角形关系解直角三角形时，正确选择关系式是关键： （1）求边时一般用未知边比已知边，去找已知角的某一个三角函数； （2）求角时一般用已知边比已知边，去找未知角的某一个三角函数； （3）求某些未知量的途径往往不唯一，其选择的原则： ①尽量直接使用原始数据；②计算简便；③若能用乘法应避免除法．考点一：三角函数的概念例1、已知，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=，AC=1，那么∠A的正切tanA等于（ ） A． B．2 C． D． 【解析】∵∠C=90°，AB=，AC=1，∴BC==2， 则tanA==2，故选：B．例2、如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则cos∠ABC等于（ ） A． B． C． D． 【解析】B． 例3、如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，则下列结论不正确的是（ ） A． B． C． D． 【解析】C．考点二：特殊角的三角函数值例1、在△ABC中，若|sinA﹣|+（﹣tanB）2=0，则∠C的度数为（ ） A．30° B．60° C．90° D．120° 【解析】D． 例2、计算：sin45°+cos230°﹣+2sin60°．【解析】原式=?+（）2﹣+2×=+﹣+ =1+．例3、 【解析】 原式=1×﹣4××+× =﹣+ =． 考点三：斜坡的坡度例1、一个公共房门前的台阶高出地面1.2米，台阶拆除后，换成供轮椅行走的斜坡，数据如图所示，则下列关系或说法正确的是（ ） A．斜坡AB的坡度是10° B．斜坡AB的坡度是tan10° C．AC=1.2tan10°米 D．AB=米 【解析】B．例2、一辆汽车沿坡角为α的斜坡前进500米，则它上升的最大高度为（ ） A．500sinα B． C．500cosα D．【解析】A． 考点四：解三角形例1、如图，已知四边形ABCD中，∠ABC=90°，∠ADC=90°，AB=6，CD=4，BC的延长线与AD的延长线交于点E． （1）若∠A=60°，求BC的长； （2）若sinA=，求AD的长． （注意：本题中的计算过程和结果均保留根号） 【解析】（1）∵∠A=60°，∠ABE=90°，AB=6，tanA=， ∴∠E=30°，BE=tan60°?6=6， 又∵∠CDE=90°，CD=4，sinE=，∠E=30°， ∴CE==8，∴BC=BE﹣CE=6﹣8； （2））∵∠ABE=90°，AB=6，sinA==，∴设BE=4x，则AE=5x，得AB=3x， ∴3x=6，得x=2，∴BE=8，AE=10， ∴tanE====，解得，DE=， ∴AD=AE﹣DE=10﹣=，即AD的长是． 例2、如图所示，把一张长方形卡片ABCD放在每格宽度为12mm的横格纸中，恰好四个顶点都在横格线上，已知∠α=36°，求长方形卡片的周长． （精确到1mm）（参考数据：sin36°≈0.60，cos36°≈0.80，tan36°≈0.75） 【解析】作BE⊥l于点E，DF⊥l于点F． 根据题意，得BE=24mm，DF=48mm． 在Rt△ABE中，sin ，∴mm 在Rt△ADF中，cos ，∴mm．∴矩形ABCD的周长=2（40+60）=200mm．
P(Practice-Oriented)——实战演练
课堂狙击1、如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是（ ） A．2 B． C． D． 【解析】D． 2、在△ABC中，∠C=90°，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，下列各式成立的是（ ） A．b=a?sinB B．a=b?cosB C．a=b?tanB D．b=a?tanB 【解析】D． 3、已知∠A为锐角，且tanA=，那么下列判断正确的是（ ） A．0＜∠A＜30° B．30°＜∠A＜45° C．45°＜∠A＜60° D．60°＜∠A＜90° 【解析】B． 4、在△ABC中，若|sinA﹣|+（cosB﹣）2=0，则∠C=（ ） A．30° B．60° C．90° D．120° 【解析】D． 5、在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，则tanA的值为（ ） A． B． C． D． 【解析】B． 6、如图，小阳发现电线杆AB的影子落在土坡的坡面CD和地面BC上，量得CD=8米，BC=20米，CD与地面成30°角，且此时测得1米杆的影长为2米，则电线杆的高度为 14+2 米． 【解析】如图，延长AD交BC的延长线于点F，过点D作DE⊥BC的延长线于点E． ∵∠DCE=30°，CD=8米，∴CE=CD?cos∠DCE=8×=4（米），∴DE=4米，设AB=x，EF=y， ∵DE⊥BF，AB⊥BF，∴△DEF∽△ABF， ∴=，即=…①， ∵1米杆的影长为2米，根据同一时间物高与影长成正比可得，=…②， ①②联立，解得x=14+2（米）． 故答案为：14+2． 7、如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则tan∠BAC等于 ． 【解析】设小正方形的边长为1， 过C作CF⊥AB于F， 由勾股定理得：AB==2，AC==2，BC=2， 由三角形面积公式得：AB×CF=BC×AE， 2×CF=2×2，解得：CF=， 在Rt△AFC中，由勾股定理得：AF==，tan∠BAC===， 8、计算：3sin60°﹣2cos30°﹣tan60°?tan45°． 【解析】原式=3×﹣2×﹣×1 =﹣﹣ =﹣． 9、如图，在Rt△ABC和Rt△CDE中，AB与CE相交于点F，∠ACB=∠E=90°， ∠A=30°，∠D=45°，BC=6，求CF的长． 【解析】过F作FM⊥BC于M，则∠FMC=∠FMB=90°， ∵∠ECD=45°，∴∠CFM=45°=∠FCM，∴CM=FM=CF×sin45°=CF， ∵∠A=30°，∠ACB=90°， ∴∠FBM=60°，∴BM==CF×=CF， ∵BC=CM+BM=6， ∴CF+CF=6， 解得：CF=18﹣6． 课后反击1、如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则cos∠ABC等于（ ） A． B． C． D． 【解析】B．2、在△ABC中，，则△ABC为（ ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．含60°的任意三角形 D．是顶角为钝角的等腰三角形 【解析】A． 3、在△ABC中，∠C=90°，tanA=，则sinB，cosB，tanB中最小的是（ ） A．tanB B．sinB C．cosB D．sinB或cosB 【解析】C．4、如图，在正方形网格中，△ABC的顶点都在格点上，则tan∠ACB的值为 【解析】作AD⊥BC于D，由勾股定理得，AC=，AB=3，BC=4， △ABC的面积为：×AB×CE=6，∴×CB×AD=6，解得AD=， CD==，tan∠ACB==． 5、某水库水坝的坝高为10米，迎水坡的坡度为1：2.4，则该水库迎水坡的长度为 26 米． 【解析】266、如图，水平面上有一个坡度i=1：2的斜坡AB，矩形货柜DEFG放置在斜坡上，己知DE=2.5m．EF=2m，BF=3.5m，则点D离地面的高DH为 2 m．（结果保留根号） 【解析】作DH⊥BC，垂足为H，且与AB相交于S． ∵∠DGS=∠BHS，∠DSG=∠BSH，∴∠GDS=∠SBH，∴=， ∵DG=EF=2m，∴GS=1m， ∴DS==m，BS=BF+FS=3.5+（2.5﹣1）=5m， 设HS=xm，则BH=2xm，∴x2+（2x）2=52，∴x=m， ∴DH=+=2m． 故答案是：2．7、计算：6tan260°﹣cos30°?tan30°﹣2sin45°+cos60°． 【解析】原式=6×（）2﹣×﹣2×+ =18﹣﹣+ =18﹣． 8、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，斜边AB的垂直平分线分别交AB、BC于点E和点D，已知BD：CD=2：． （1）求∠ADC的度数； （2）利用已知条件和第（1）小题的结论求tan15°的值（结果保留根号）． 【解析】（1）连接AD，如图． 设BD=2k，则CD=k． ∵DE垂直平分AB，∴AD=BD=2k．在Rt△ACD中，∵∠C=90°，∴cos∠ADC===， ∴∠ADC=30°； （2）∵AD=BD，∴∠B=∠DAB． ∵∠ADC=30°，∠B+∠DAB=∠ADC， ∴∠B=∠DAB=15°． 在Rt△ACD中，∵∠C=90°，∴． 在Rt△ABC中∵∠C=90°，∴， ∴．1、如图所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinA的值为（ ） A． B． C． D． 【解析】B． 2、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，E为AB上一点且AE：EB=4：1，EF⊥AC于F，连接FB，则tan∠CFB的值等于（ ） A． B． C． D． 【解析】∵EF⊥AC，∴EF∥BC，∴ ∵AE：EB=4：1，∴=5，∴=， 设AB=2x，则BC=x，AC=x． ∴在Rt△CFB中有CF=x，BC=x． 则tan∠CFB==． 故选：C． 3、在Rt△ABC中，∠C=90°，把∠A的邻边与对边的比叫做∠A的余切，记作cotA=．则下列关系式中不成立的是（ ） A．tanA?cotA=1 B．sinA=tanA?cosA C．cosA=cotA?sinA D．tan2A+cot2A=1 【解析】D． 4、小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上，如图，此时测得地面上的影长为8米，坡面上的影长为4米．已知斜坡的坡角为30°，同一时刻，一根长为1米且垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，则树的高度为（ ） A．（6+）米 B．12米 C．（4﹣2）米 D．10米 【解析】延长AC交BF延长线于D点， 则∠CFE=30°，作CE⊥BD于E， 在Rt△CFE中，∠CFE=30°，CF=4m， ∴CE=2（米），EF=4cos30°=2（米）， 在Rt△CED中， ∵同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，CE=2（米）， CE：DE=1：2，∴DE=4（米）， ∴BD=BF+EF+ED=12+2（米） 在Rt△ABD中，AB=BD=（12+2）=（+6）（米）． 故选：A．
S(Summary-Embedded)——归纳总结
1、正弦，余弦，正切的概念 2、特殊角的三角函数值 3、斜坡的坡度 4、解三角形 1、sinA、 cosA、tanA是一个比值（数值），大小只与∠A的大小有关，而与直角三角形的边长无关 2、在几何图形中求解三角函数值或者解三角形，找出直角三角形或做辅助线构造直角三角形是解题的关键。 本节课我学到 我需要努力的地方是
体系搭建
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