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【专题讲义】北师大版九年级数学下册
第3讲 二次函数的应用综合复习专题精讲（培优版）
授课主题 第03讲-----二次函数的应用
授课类型 T同步课堂 P实战演练 S归纳总结
教学目标 掌握二次函数最值的计算；
掌握几何图形面积的最值计算；
熟练运用二次函数解决最大利润问题；
理解二次函数与一元二次方程。
授课日期及时段
T（Textbook-Based）——同步课堂
知识梳理知识概念1、用二次函数的性质解决最值计算问题（1）将函数表达式配方成顶点式，进行求解：开口向上时顶点处取得最小值；开口向下时取最大值。
（2）当自变量X的取值范围遇到限制时，则需要先判断对称轴是否被包含在取值范围中，再根据二次函数的增减性计算出函数的最大值、最小值。2、用二次函数的性质解决实际问题利用二次函数的最值确定最大利润、最节省方案等问题是二次函数应用最常见的问题，解决此类问题的关键是认真审题，理解题意，建立二次函数的数学模型，再用二次函数的相关知识解决．
一般方法步骤：
（1）列出二次函数的解析式，列解析式时，要根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围．
（2）在自变量取值范围内，运用公式法或配方法或对称轴判定法，求出二次函数的最大值或最小值．3、二次函数与一元二次方程的关系（1）二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当y＝0时，就变成了ax2＋bx＋c＝0(a≠0)．
（2）ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的解是抛物线与x轴交点的横坐标．
（3）当Δ＝b2－4ac＞0时，抛物线与x轴有两个不同的交点；
当Δ＝b2－4ac＝0时，抛物线与x轴有一个交点；
当Δ＝b2－4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．考点一：根据实际问题求二次函数表达式例1、心理学家发现：学生对概念的接受能力y与提出概念的时间x（min）之间是二次函数关系，当提出概念13min时，学生对概念的接受力最大，为59.9；当提出概念30min时，学生对概念的接受能力就剩下31，则y与x满足的二次函数关系式为（ ）
A．y=﹣（x﹣13）2+59.9 B．y=﹣0.1x2+2.6x+31
C．y=0.1x2﹣2.6x+76.8 D．y=﹣0.1x2+2.6x+43例2、某种品牌的服装进价为每件150元，当售价为每件210元时，每天可卖出20件，现需降价处理，且经市场调查：每件服装每降价2元，每天可多卖出1件．在确保盈利的前提下，若设每件服装降价x元，每天售出服装的利润为y元，则y与x的函数关系式为（ ）
A．y=﹣x2+10x+1200（0＜x＜60） B．y=﹣x2﹣10x+1250（0＜x＜60）
C．y=﹣x2+10x+1250（0＜x＜60） D．y=﹣x2+10x+1250（x≤60）
考点二：最值计算问题例1、已知二次函数y=x2﹣6x+8．
（1）将y=x2﹣6x+8化成y=a（x﹣h）2+k的形式；
（2）当0≤x≤4时，y的最小值是 ，最大值是 ；
（3）当y＜0时，写出x的取值范围．
考点三： 几何图形面积的最值问题例1、某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长为30米的篱笆围成，已知墙长为18米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x米．
（1）若苗圃园的面积为72平方米，求x；
（2）若平行与墙的一边长不小于8米，这个苗圃园的面积有最大值和最小值吗？如果有，求出最大值和最小值；如果没有，请说明理由；
（3）当这个苗圃园的面积不小于100平方米时，直接写出x的取值范围．
例2、如图，已知抛物线y=ax2+x+c经过A（4，0），B（1，0）两点，
（1）求该抛物线的解析式；
（2）在直线AC上方的该抛物线上是否存在一点D，使得△DCA的面积最大？若存在，求出点D的坐标及△DCA面积的最大值；若不存在，请说明理由．
考点四：求最大利润问题例1、某宾馆有50个房间供游客居住，当每个房间定价120元时，房间会全部住满，当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲，如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用，设每个房间定价增加10x元（x为整数）．
（1）直接写出每天游客居住的房间数量y与x的函数关系式．
（2）设宾馆每天的利润为W元，当每间房价定价为多少元时，宾馆每天所获利润最大，最大利润是多少？
（3）某日，宾馆了解当天的住宿的情况，得到以下信息：①当日所获利润不低于5000元，②宾馆为游客居住的房间共支出费用没有超过600元，③每个房间刚好住满2人．问：这天宾馆入住的游客人数最少有多少人？
例2、某商店购进一批进价为20元/件的日用商品，第一个月，按进价提高50%的价格出售，售出400件，第二个月，商店准备在不低于原售价的基础上进行加价销售，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少．销售量y（件）与销售单价x（元）的关系如图所示．
（1）图中点P所表示的实际意义是 当售价定为35元/件时，销售数量为300件 ；销售单价每提高1元时，销售量相应减少 件；
（2）请直接写出y与x之间的函数表达式 ；自变量x的取值范围为 ；
（3）第二个月的销售单价定为多少元时，可获得最大利润？最大利润是多少？
考点五：二次函数与一元二次方程例1、已知关于x的一元二次方程x2+mx+n=0的两个实数根分别为x1=a，x2=b（a＜b），则二次函数y=x2+mx+n中，当y＜0时，x的取值范围是（ ）
A．x＜a B．x＞b C．a＜x＜b D．x＜a或x＞b例2、若二次函数y=ax2+bx+c（a＜0）的图象如图所示，且关于x的方程ax2+bx+c=k有两个不相等的实根，则常数k的取值范围是（ ）
A．0＜k＜4 B．﹣3＜k＜1
C．k＜﹣3或k＞1 D．k＜4
P(Practice-Oriented)——实战演练
课堂狙击1、如图所示是一个抛物线形桥拱的示意图，在所给出的平面直角坐标系中，当水位在AB位置时，水面宽度为10m，此时水面到桥拱的距离是4m，则抛物线的函数关系式为（ ）
A．y= B．y=﹣ C．y=﹣ D．y=
2、已知抛物线y=x2﹣x﹣1，与x轴的一个交点为（m，0），则代数式m2﹣m+2014的值为（ ）
A．2013 B．2015 C．2014 D．2010
3、二次函数y=mx2+x﹣2m（m是非0常数）的图象与x轴的交点个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．1个或2个
4、若关于x的一元二次方程（x﹣2）（x﹣3）=m有实数根x1、x2，且x1＜x2，则下列结论中错误的是（ ）
A．当m=0时，x1=2，x2=3
B．m＞﹣
C．当m＞0时，2＜x1＜x2＜3
D．二次函数y=（x﹣x1）（x﹣x2）+m的图象与x轴交点的坐标为（2，0）和（3，0）
5、如图，从某建筑物10m高的窗口A处用水管向外喷水，喷出的水成抛物线状（抛物线所在平面与墙面垂直）．如果抛物线的最高点M离墙1m，离地面m，则水流落地点B离墙的距离OB是（ ）
A．2m B．3m C．4m D．5m
6、如图已知A1，A2，A3，…An是x轴上的点，且OA1=A1A2=A2A3=A3A4=…=An﹣1An=1，分别过点A1，A2，A3，…An′作x轴的垂线交二次函数y=x2（x＞0）的图象于点P1，P2，P3，…Pn，若记△OA1P1的面积为S1，过点P1作P1B1⊥A2P2于点B1，记△P1B1P2的面积为S2，过点P2作P2B2⊥A3P3于点B2，记△P2B2P3的面积为S3，…依次进行下去，最后记△Pn﹣1Bn﹣1Pn（n＞1）的面积为Sn，则Sn=（ ）
A． B．
C． D．
7、为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤（岸堤足够长）为一边，用总长为80m的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等．设BC的长度为xm，矩形区域ABCD的面积为ym2．
（1）求y与x之间的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；
（2）x为何值时，y有最大值？最大值是多少？
8、2016年3月国际风筝节在铜仁市万山区举办，王大伯决定销售一批风筝，经市场调研：蝙蝠型风筝进价每个为10元，当售价每个为12元时，销售量为180个，若售价每提高1元，销售量就会减少10个，请回答以下问题：
（1）用表达式表示蝙蝠型风筝销售量y（个）与售价x（元）之间的函数关系（12≤x≤30）；
（2）王大伯为了让利给顾客，并同时获得840元利润，售价应定为多少？
（3）当售价定为多少时，王大伯获得利润最大，最大利润是多少？
课后反击1、如图，半圆A和半圆B均与y轴相切于O，其直径CD，EF均和x轴垂直，以O为顶点的两条抛物线分别经过点C，E和点D，F，则图中阴影部分面积（ ）
A．π B．π C．π D．条件不足，无法求
2、如图，点E、F、G、H分别是正方形ABCD边AB、BC、CD、DA上的点，且AE=BF=CG=DH．设A、E两点间的距离为x，四边形EFGH的面积为y，则y与x的函数图象可能为（ ）
A． B． C． D．
3、若函数y=mx2﹣（m﹣3）x﹣4的图象与x轴只有一个交点，则m的值为（ ）
A．0 B．1或9 C．﹣1或﹣9 D．0或﹣1或﹣9
4、如图，点A1、A2、A3、…、An在抛物线y=﹣x2图象上，点B0、B1、B2、B3、…、Bn在y轴上（点B0与坐标原点O重合），若△A1B0B1、△A2B1B2、…、△AnBn﹣1Bn都为等腰直角三角形，则A2011B2010的长为（ ）
A．2010 B．2011 C． D．
5、为备战2016年里约奥运会，中国女排的姑娘们刻苦训练，为国争光，如图，已知排球场的长度OD为18米，位于球场中线处球网的高度AB为2.43米，一队员站在点O处发球，排球从点O的正上方1.8米的C点向正前方飞出，当排球运行至离点O的水平距离OE为7米时，到达最高点G建立如图所示的平面直角坐标系．
（1）当球上升的最大高度为3.2米时，求排球飞行的高度y（单位：米）与水平距离x（单位：米）的函数关系式．（不要求写自变量x的取值范围）．
（2）在（1）的条件下，对方距球网0.5米的点F处有一队员，他起跳后的最大高度为3.1米，问这次她是否可以拦网成功？请通过计算说明．
（3）若队员发球既要过球网，又不出边界，问排球飞行的最大高度h的取值范围是多少？（排球压线属于没出界）6、某文具店购进一批纪念册，每本进价为20元，出于营销考虑，要求每本纪念册的售价不低于20元且不高于28元，在销售过程中发现该纪念册每周的销售量y（本）与每本纪念册的售价x（元）之间满足一次函数关系：当销售单价为22元时，销售量为36本；当销售单价为24元时，销售量为32本．
（1）请直接写出y与x的函数关系式；
（2）当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是多少元？
（3）设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为w元，将该纪念册销售单价定为多少元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大？最大利润是多少？
1、如图，二次函数y=ax2+bx+c=0（a≠0）的图象与x轴正半轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，对称轴为直线x=2，且OA=OC，则下列结论：①abc＞0； ②9a+3b+c＜0；
③c＞﹣1； ④关于x的方程ax2+bx+c=0（a≠0）有一个根为﹣其中正确的结论个数有（ ）
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
2、儿童商场购进一批M型服装，销售时标价为75元/件，按8折销售仍可获利50%．商场现决定对M型服装开展促销活动，每件在8折的基础上再降价x元销售，已知每天销售数量y（件）与降价x（元）之间的函数关系式为y=20+4x（x＞0）．
（1）求M型服装的进价；
（2）求促销期间每天销售M型服装所获得的利润W的最大值．
3、如图，二次函数y=ax2+bx的图象经过点A（2，4）与B（6，0）．
（1）求a，b的值；
（2）点C是该二次函数图象上A，B两点之间的一动点，横坐标为x（2＜x＜6），写出四边形OACB的面积S关于点C的横坐标x的函数表达式，并求S的最大值．
S(Summary-Embedded)——归纳总结
二次函数最值的计算
几何类二次函数最值的计算
应用二次函数解决最大利润问题根据实际问题，建立二次函数模型，准确列出函数表达式，并计算出对应的最值是解决本节问题的关键。 本节课我学到
我需要努力的地方是
体系搭建
实战演练
直击中考
重点回顾
名师点拨
学霸经验
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【专题讲义】北师大版九年级数学下册
第3讲 二次函数的应用综合复习专题精讲（解析版）
参考答案
授课主题 第03讲-----二次函数的应用
授课类型 T同步课堂 P实战演练 S归纳总结
教学目标 掌握二次函数最值的计算；
掌握几何图形面积的最值计算；
熟练运用二次函数解决最大利润问题；
理解二次函数与一元二次方程。
授课日期及时段
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知识梳理知识概念1、用二次函数的性质解决最值计算问题（1）将函数表达式配方成顶点式，进行求解：开口向上时顶点处取得最小值；开口向下时取最大值。
（2）当自变量X的取值范围遇到限制时，则需要先判断对称轴是否被包含在取值范围中，再根据二次函数的增减性计算出函数的最大值、最小值。2、用二次函数的性质解决实际问题利用二次函数的最值确定最大利润、最节省方案等问题是二次函数应用最常见的问题，解决此类问题的关键是认真审题，理解题意，建立二次函数的数学模型，再用二次函数的相关知识解决．
一般方法步骤：
（1）列出二次函数的解析式，列解析式时，要根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围．
（2）在自变量取值范围内，运用公式法或配方法或对称轴判定法，求出二次函数的最大值或最小值．3、二次函数与一元二次方程的关系（1）二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当y＝0时，就变成了ax2＋bx＋c＝0(a≠0)．
（2）ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的解是抛物线与x轴交点的横坐标．
（3）当Δ＝b2－4ac＞0时，抛物线与x轴有两个不同的交点；
当Δ＝b2－4ac＝0时，抛物线与x轴有一个交点；
当Δ＝b2－4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．考点一：根据实际问题求二次函数表达式例1、心理学家发现：学生对概念的接受能力y与提出概念的时间x（min）之间是二次函数关系，当提出概念13min时，学生对概念的接受力最大，为59.9；当提出概念30min时，学生对概念的接受能力就剩下31，则y与x满足的二次函数关系式为（ ）
A．y=﹣（x﹣13）2+59.9 B．y=﹣0.1x2+2.6x+31
C．y=0.1x2﹣2.6x+76.8 D．y=﹣0.1x2+2.6x+43
【解析】D．
例2、某种品牌的服装进价为每件150元，当售价为每件210元时，每天可卖出20件，现需降价处理，且经市场调查：每件服装每降价2元，每天可多卖出1件．在确保盈利的前提下，若设每件服装降价x元，每天售出服装的利润为y元，则y与x的函数关系式为（ ）
A．y=﹣x2+10x+1200（0＜x＜60） B．y=﹣x2﹣10x+1250（0＜x＜60）
C．y=﹣x2+10x+1250（0＜x＜60） D．y=﹣x2+10x+1250（x≤60）
【解析】A．
考点二：最值计算问题例1、已知二次函数y=x2﹣6x+8．
（1）将y=x2﹣6x+8化成y=a（x﹣h）2+k的形式；
（2）当0≤x≤4时，y的最小值是 ﹣1 ，最大值是 8 ；
（3）当y＜0时，写出x的取值范围．
【解析】（1）y=x2﹣6x+8=（x2﹣6x+9）﹣9+8=（x﹣3）2﹣1；
（2）∵抛物线y=x2﹣6x+8开口向上，对称轴为x=3，
∴当0≤x≤4时，x=3，y有最小值﹣1；x=0，y有最大值8；
（3）∵y=0时，x2﹣6x+8=0，解得x=2或4，
∴当y＜0时，x的取值范围是2＜x＜4．故答案为﹣1，8．
考点三： 几何图形面积的最值问题例1、某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长为30米的篱笆围成，已知墙长为18米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x米．
（1）若苗圃园的面积为72平方米，求x；
（2）若平行与墙的一边长不小于8米，这个苗圃园的面积有最大值和最小值吗？如果有，求出最大值和最小值；如果没有，请说明理由；
（3）当这个苗圃园的面积不小于100平方米时，直接写出x的取值范围．
【解析】（1）根据题意得：（30﹣2x）x=72，解得：x=3，x=12，
∵30﹣2x≤18，∴x=12；
（2）设苗圃园的面积为y，∴y=x（30﹣2x）=﹣2x2+30x，
∵a=﹣2＜0，
∴苗圃园的面积y有最大值，
∴当x=时，即平行于墙的一边长15＞8米，y最大=112.5平方米；
∵6≤x≤11，
∴当x=11时，y最小=88平方米；
（3）由题意得：﹣2x2+30x≥100，∵30﹣2x≤18解得：6≤x≤10．例2、如图，已知抛物线y=ax2+x+c经过A（4，0），B（1，0）两点，
（1）求该抛物线的解析式；
（2）在直线AC上方的该抛物线上是否存在一点D，使得△DCA的面积最大？若存在，求出点D的坐标及△DCA面积的最大值；若不存在，请说明理由．【解析】（1）把A（4，0），B（1，0）代入抛物线的解析式得：
则抛物线解析式为y=﹣x2+x﹣2；
（2）存在，理由如下：
设D的横坐标为t（0＜t＜4），则D点的纵坐标为﹣t2+t﹣2，
过D作y轴的平行线交AC于E，连接CD，AD，如图所示，
由题意可求得直线AC的解析式为y=x﹣2， ∴E点的坐标为（t，t﹣2），
∴DE=﹣t2+t﹣2﹣（t﹣2）=﹣t2+2t，
∴△DAC的面积S=×（﹣t2+2t）×4=﹣t2+4t=﹣（t﹣2）2+4，
当t=2时，S最大=4，∴此时D（2，1），△DAC面积的最大值为4．考点四：求最大利润问题例1、某宾馆有50个房间供游客居住，当每个房间定价120元时，房间会全部住满，当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲，如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用，设每个房间定价增加10x元（x为整数）．
（1）直接写出每天游客居住的房间数量y与x的函数关系式．
（2）设宾馆每天的利润为W元，当每间房价定价为多少元时，宾馆每天所获利润最大，最大利润是多少？
（3）某日，宾馆了解当天的住宿的情况，得到以下信息：①当日所获利润不低于5000元，②宾馆为游客居住的房间共支出费用没有超过600元，③每个房间刚好住满2人．问：这天宾馆入住的游客人数最少有多少人？
【解析】（1）根据题意，得：y=50﹣x，（0≤x≤50，且x为整数）；
（2）W=（120+10x﹣20）（50﹣x）=﹣10x2+400x+5000=﹣10（x﹣20）2+9000，
∵a=﹣10＜0 ∴当x=20时，W取得最大值，W最大值=9000元，
答：当每间房价定价为320元时，宾馆每天所获利润最大，最大利润是9000元；
（3）由解得20≤x≤40
当x=40时，这天宾馆入住的游客人数最少，最少人数为2y=2（﹣x+50）=20（人）．
例2、某商店购进一批进价为20元/件的日用商品，第一个月，按进价提高50%的价格出售，售出400件，第二个月，商店准备在不低于原售价的基础上进行加价销售，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少．销售量y（件）与销售单价x（元）的关系如图所示．
（1）图中点P所表示的实际意义是 当售价定为35元/件时，销售数量为300件 ；销售单价每提高1元时，销售量相应减少 20 件；
（2）请直接写出y与x之间的函数表达式 y=﹣20x+1000 ；自变量x的取值范围为 30≤x≤50 ；
（3）第二个月的销售单价定为多少元时，可获得最大利润？最大利润是多少？
【解析】（1）图中点P所表示的实际意义是：当售价定为35元/件时，销售数量为300件；
第一个月的该商品的售价为：20×（1+50%）=30（元），
销售单价每提高1元时，销售量相应减少数量为：（400﹣300）÷（35﹣30）=20（件）．
故答案为：当售价定为35元/件时，销售数量为300件；20．
（2）设y与x之间的函数表达式为y=kx+b，
将点（30，400）、（35，300）代入y=kx+b中，得：，，
∴y与x之间的函数表达式为y=﹣20x+1000．当y=0时，x=50，
∴自变量x的取值范围为30≤x≤50．
故答案为：y=﹣20x+1000；30≤x≤50．
（3）设第二个月的利润为w元，
由已知得：w=（x﹣20）y=（x﹣20）（﹣20x+1000）=﹣20x2+1400x﹣20000=﹣20（x﹣35）2+4500，
∵﹣20＜0， ∴当x=35时，w取最大值，最大值为4500．
故第二个月的销售单价定为35元时，可获得最大利润，最大利润是4500元．考点五：二次函数与一元二次方程例1、已知关于x的一元二次方程x2+mx+n=0的两个实数根分别为x1=a，x2=b（a＜b），则二次函数y=x2+mx+n中，当y＜0时，x的取值范围是（ ）
A．x＜a B．x＞b C．a＜x＜b D．x＜a或x＞b
【解析】C．
例2、若二次函数y=ax2+bx+c（a＜0）的图象如图所示，且关于x的方程ax2+bx+c=k有两个不相等的实根，则常数k的取值范围是（ ）
A．0＜k＜4 B．﹣3＜k＜1
C．k＜﹣3或k＞1 D．k＜4
【解析】抛物线的对称轴为x=﹣1，∴顶点坐标为（﹣1，4），
设抛物线的解析式为：y=a（x+1）2+4，把（1，0）代入解析式得，a=﹣1，
∴解析式为：y=﹣x2﹣2x+3，方程=﹣x2﹣2x+3=k有两个不相等的实根，
△=4+12﹣4k＞0，解得：k＜4．故选：D．
P(Practice-Oriented)——实战演练
课堂狙击1、如图所示是一个抛物线形桥拱的示意图，在所给出的平面直角坐标系中，当水位在AB位置时，水面宽度为10m，此时水面到桥拱的距离是4m，则抛物线的函数关系式为（ ）
A．y= B．y=﹣ C．y=﹣ D．y=
【解析】A．
2、已知抛物线y=x2﹣x﹣1，与x轴的一个交点为（m，0），则代数式m2﹣m+2014的值为（ ）
A．2013 B．2015 C．2014 D．2010
【解析】B．
3、二次函数y=mx2+x﹣2m（m是非0常数）的图象与x轴的交点个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．1个或2个
【解析】故选C．
4、若关于x的一元二次方程（x﹣2）（x﹣3）=m有实数根x1、x2，且x1＜x2，则下列结论中错误的是（ ）
A．当m=0时，x1=2，x2=3
B．m＞﹣
C．当m＞0时，2＜x1＜x2＜3
D．二次函数y=（x﹣x1）（x﹣x2）+m的图象与x轴交点的坐标为（2，0）和（3，0）
【解析】C．
5、如图，从某建筑物10m高的窗口A处用水管向外喷水，喷出的水成抛物线状（抛物线所在平面与墙面垂直）．如果抛物线的最高点M离墙1m，离地面m，则水流落地点B离墙的距离OB是（ ）
A．2m B．3m C．4m D．5m
【解析】B．
6、如图已知A1，A2，A3，…An是x轴上的点，且OA1=A1A2=A2A3=A3A4=…=An﹣1An=1，分别过点A1，A2，A3，…An′作x轴的垂线交二次函数y=x2（x＞0）的图象于点P1，P2，P3，…Pn，若记△OA1P1的面积为S1，过点P1作P1B1⊥A2P2于点B1，记△P1B1P2的面积为S2，过点P2作P2B2⊥A3P3于点B2，记△P2B2P3的面积为S3，…依次进行下去，最后记△Pn﹣1Bn﹣1Pn（n＞1）的面积为Sn，则Sn=（ ）
A． B．
C． D．
【解析】二次函数y=x2，由图象知：
当x=n时，y=n2， 当x=n﹣1时，y=（n﹣1）2，
∴Sn=×1×[n2﹣（n﹣1）2]，=．故选A．
7、为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤（岸堤足够长）为一边，用总长为80m的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等．设BC的长度为xm，矩形区域ABCD的面积为ym2．
（1）求y与x之间的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；
（2）x为何值时，y有最大值？最大值是多少？
【解析】∵三块矩形区域的面积相等，
∴矩形AEFD面积是矩形BCFE面积的2倍，∴AE=2BE，
设BE=FC=a，则AE=HG=DF=2a，
∴DF+FC+HG+AE+EB+EF+BC=80，
即8a+2x=80， ∴a=﹣x+10，3a=﹣x+30，∴y=（﹣x+30）x=﹣x2+30x，
∵a=﹣x+10＞0，∴x＜40，则y=﹣x2+30x（0＜x＜40）；
（2）∵y=﹣x2+30x=﹣（x﹣20）2+300（0＜x＜40），且二次项系数为﹣＜0，
∴当x=20时，y有最大值，最大值为300平方米．
8、2016年3月国际风筝节在铜仁市万山区举办，王大伯决定销售一批风筝，经市场调研：蝙蝠型风筝进价每个为10元，当售价每个为12元时，销售量为180个，若售价每提高1元，销售量就会减少10个，请回答以下问题：
（1）用表达式表示蝙蝠型风筝销售量y（个）与售价x（元）之间的函数关系（12≤x≤30）；
（2）王大伯为了让利给顾客，并同时获得840元利润，售价应定为多少？
（3）当售价定为多少时，王大伯获得利润最大，最大利润是多少？
【解析】（1）设蝙蝠型风筝售价为x元时，销售量为y个，
根据题意可知：y=180﹣10（x﹣12）=﹣10x+300（12≤x≤30）．
（2）设王大伯获得的利润为W，则W=（x﹣10）y=﹣10x2+400x﹣3000，
令W=840，则﹣10x2+400x﹣3000=840，解得：x1=16，x2=24，
答：王大伯为了让利给顾客，并同时获得840元利润，售价应定为16元．
（3）∵W=﹣10x2+400x﹣3000=﹣10（x﹣20）2+1000，
∵a=﹣10＜0，
∴当x=20时，W取最大值，最大值为1000．
答：当售价定为20元时，王大伯获得利润最大，最大利润是1000元．
课后反击1、如图，半圆A和半圆B均与y轴相切于O，其直径CD，EF均和x轴垂直，以O为顶点的两条抛物线分别经过点C，E和点D，F，则图中阴影部分面积（ ）
A．π B．π C．π D．条件不足，无法求
【解析】B．
2、如图，点E、F、G、H分别是正方形ABCD边AB、BC、CD、DA上的点，且AE=BF=CG=DH．设A、E两点间的距离为x，四边形EFGH的面积为y，则y与x的函数图象可能为（ ）
A． B． C． D．
【解析】设正方形的边长为m，则m＞0，∵AE=x，∴DH=x，∴AH=m﹣x，
∵EH2=AE2+AH2，∴y=x2+（m﹣x）2，y=x2+x2﹣2mx+m2，
y=2x2﹣2mx+m2，
=2[（x﹣m）2+]，
=2（x﹣m）2+m2，∴y与x的函数图象是A．故选A．
3、若函数y=mx2﹣（m﹣3）x﹣4的图象与x轴只有一个交点，则m的值为（ ）
A．0 B．1或9 C．﹣1或﹣9 D．0或﹣1或﹣9
【解析】①当m=0，则函数y=mx2﹣（m﹣3）x﹣4是一次函数关系，故图象一定x轴有一个交点，
②当m≠0，∵y=mx2﹣（m﹣3）x﹣4的图象与x轴只有一个交点，
∴b2﹣4ac=[﹣（m﹣3）]2﹣4m×（﹣4）=0，解得：m1=﹣1，m2=，9，
综上所述：m=0或﹣1或﹣9．故选：D．
4、如图，点A1、A2、A3、…、An在抛物线y=﹣x2图象上，点B0、B1、B2、B3、…、Bn在y轴上（点B0与坐标原点O重合），若△A1B0B1、△A2B1B2、…、△AnBn﹣1Bn都为等腰直角三角形，则A2011B2010的长为（ ）
A．2010 B．2011 C． D．
【解析】作A1C⊥y轴，A2E⊥y轴，A1D⊥x轴，A2F⊥x轴，垂足分别为C、E、DF，
∵△A1B0B1、△A2B1B2都是等腰直角三角形，
∴B1C=B0C=DB0=A1D，B2E=B1E，
设A1（a，b），∴a=b，将其代入解析式y=﹣x2得：a=﹣a2，
解得：a=0（不符合题意）或a=﹣1，由勾股定理得：A1B0=，
同理可以求得：A2B1=2，A3B2=3，A4B3=4，…
∴A2011B2010=2011．故选D．
5、为备战2016年里约奥运会，中国女排的姑娘们刻苦训练，为国争光，如图，已知排球场的长度OD为18米，位于球场中线处球网的高度AB为2.43米，一队员站在点O处发球，排球从点O的正上方1.8米的C点向正前方飞出，当排球运行至离点O的水平距离OE为7米时，到达最高点G建立如图所示的平面直角坐标系．
（1）当球上升的最大高度为3.2米时，求排球飞行的高度y（单位：米）与水平距离x（单位：米）的函数关系式．（不要求写自变量x的取值范围）．
（2）在（1）的条件下，对方距球网0.5米的点F处有一队员，他起跳后的最大高度为3.1米，问这次她是否可以拦网成功？请通过计算说明．
（3）若队员发球既要过球网，又不出边界，问排球飞行的最大高度h的取值范围是多少？（排球压线属于没出界）
【解析】（1）根据题意知此时抛物线的顶点G的坐标为（7，3.2），设抛物线解析式为y=a（x﹣7）2+3.2，
将点C（0，1.8）代入，得49a+3.2=1.8，解得：a=﹣，
∴排球飞行的高度y与水平距离x的函数关系式为y=﹣（x﹣7）2+；
（2）由题意当x=9.5时，y=﹣（9.5﹣7）2+≈3.02＜3.1，故这次她可以拦网成功；
（3）设抛物线解析式为y=a（x﹣7）2+h，将点C（0，1.8）代入，
得：49a+h=1.8，即a=，
∴此时抛物线解析式为y=（x﹣7）2+h，
根据题意，得：，解得：h≥3.025，
答：排球飞行的最大高度h的取值范围是h≥3.025．
6、某文具店购进一批纪念册，每本进价为20元，出于营销考虑，要求每本纪念册的售价不低于20元且不高于28元，在销售过程中发现该纪念册每周的销售量y（本）与每本纪念册的售价x（元）之间满足一次函数关系：当销售单价为22元时，销售量为36本；当销售单价为24元时，销售量为32本．
（1）请直接写出y与x的函数关系式；
（2）当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是多少元？
（3）设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为w元，将该纪念册销售单价定为多少元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大？最大利润是多少？【解析】（1）设y=kx+b，把（22，36）与（24，32）代入得：，解得：，
则y=﹣2x+80；
（2）设当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是x元，
根据题意得：（x﹣20）y=150，则（x﹣20）（﹣2x+80）=150，整理得：x2﹣60x+875=0，
（x﹣25）（x﹣35）=0，解得：x1=25，x2=35（不合题意舍去）
答：每本纪念册的销售单价是25元；
（3）由题意可得：w=（x﹣20）（﹣2x+80）=﹣2x2+120x﹣1600=﹣2（x﹣30）2+200，
此时当x=30时，w最大，
又∵售价不低于20元且不高于28元，
∴x＜30时，y随x的增大而增大，即当x=28时，w最大=﹣2（28﹣30）2+200=192（元），
答：该纪念册销售单价定为28元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大，最大利润是192元．
1、如图，二次函数y=ax2+bx+c=0（a≠0）的图象与x轴正半轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，对称轴为直线x=2，且OA=OC，则下列结论：①abc＞0； ②9a+3b+c＜0；
③c＞﹣1； ④关于x的方程ax2+bx+c=0（a≠0）有一个根为﹣其中正确的结论个数有（ ）
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个【解析】由图象开口向下，可知a＜0，与y轴的交点在x轴的下方，可知c＜0，
又对称轴方程为x=2，所以﹣＞0，所以b＞0，∴abc＞0，故①正确；
由图象可知当x=3时，y＞0，∴9a+3b+c＞0，故②错误；
由图象可知OA＜1，∵OA=OC，∴OC＜1，即﹣c＜1，∴c＞﹣1，故③正确；
假设方程的一个根为x=﹣，把x=﹣代入方程可得﹣+c=0，整理可得ac﹣b+1=0，
两边同时乘c可得ac2﹣bc+c=0，即方程有一个根为x=﹣c，
由②可知﹣c=OA，而当x=OA是方程的根，
∴x=﹣c是方程的根，即假设成立，故④正确；综上可知正确的结论有三个，故选C．
2、儿童商场购进一批M型服装，销售时标价为75元/件，按8折销售仍可获利50%．商场现决定对M型服装开展促销活动，每件在8折的基础上再降价x元销售，已知每天销售数量y（件）与降价x（元）之间的函数关系式为y=20+4x（x＞0）．
（1）求M型服装的进价；
（2）求促销期间每天销售M型服装所获得的利润W的最大值．【解析】（1）设进价为z，∵销售时标价为75元/件，按8折销售仍可获利50%．
则75×0.8=（1+0.5）z． ∴z=40； 答：M型服装的进价为40元；
（2）∵销售时标价为75元/件，开展促销活动每件在8折的基础上再降价x元销售，
∴M型服装开展促销活动的实际销价为75×0.8﹣x=60﹣x，销售利润为60﹣x﹣40=20﹣x．
而每天销售数量y（件）与降价x（元）之间的函数关系式为y=20+4x，
∴促销期间每天销售M型服装所获得的利润：
W=（20﹣x）（20+4x）=﹣4x2+60x+400=﹣4+625．
∴当x==7.5（元）时，利润W最大值为625元．
3、如图，二次函数y=ax2+bx的图象经过点A（2，4）与B（6，0）．
（1）求a，b的值；
（2）点C是该二次函数图象上A，B两点之间的一动点，横坐标为x（2＜x＜6），写出四边形OACB的面积S关于点C的横坐标x的函数表达式，并求S的最大值．
【解析】（1）将A（2，4）与B（6，0）代入y=ax2+bx，
得，解得：；
（2）如图，过A作x轴的垂直，垂足为D（2，0），
连接 CD，过C作CE⊥AD，CF⊥x轴，垂足分别为EF，S△OAD=OD?AD=×2×4=4；
S△ACD=AD?CE=×4×（x﹣2）=2x﹣4；
S△BCD=BD?CF=×4×（﹣x2+3x）=﹣x2+6x，
则S=S△OAD+S△ACD+S△BCD=4+2x﹣4﹣x2+6x=﹣x2+8x，
∴S关于x的函数表达式为S=﹣x2+8x（2＜x＜6），
∵S=﹣x2+8x=﹣（x﹣4）2+16，
∴当x=4时，四边形OACB的面积S有最大值，最大值为16．
S(Summary-Embedded)——归纳总结
二次函数最值的计算
几何类二次函数最值的计算
应用二次函数解决最大利润问题根据实际问题，建立二次函数模型，准确列出函数表达式，并计算出对应的最值是解决本节问题的关键。 本节课我学到
我需要努力的地方是
体系搭建
实战演练
直击中考
重点回顾
名师点拨
学霸经验
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