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【专题讲义】北师大版九年级数学下册
第4讲 圆与圆的对称综合复习专题精讲（培优版）
授课主题 第04讲-----圆与圆的对称性
授课类型 T同步课堂 P实战演练 S归纳总结
教学目标 从不同角度深刻理解圆的定义； 理解并识记与圆相关的概念； 掌握点与圆的三种位置关系，及判定条件； 掌握圆的两种对称性； 理解圆的对称性，并掌握圆心角、弧、弦之间关系的定理及推论。
授课日期及时段
T（Textbook-Based）——同步课堂
知识梳理 知识概念 圆的定义 描述定义在同一平面内，一条线段OP绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点P所形成的图形叫做圆。定点O就是圆心，线段OP就是圆的半径，以点O为圆心的圆记作⊙Ｏ，读作“圆O”。集合定义平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。其中，定点就是圆心，定长就是半径。与圆有关的概念圆心（确定圆的位置）；半径（确定圆的大小）；直径； 圆弧、优弧、劣弧；圆心角、弦、弦心距、弓形、弓形高；同圆（同一个圆）；等圆（半径相等的圆，圆心在不同位置）；等弧（形状、大小均相等的弧）点与圆的位置关系设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d 1、点在圆内 d ＜ r； 2、点在圆上 d = r； 3、点在圆外 d ＞ r 圆的对称性 1、圆的轴对称性：圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴；2、圆的中心对称性：圆是以圆心为对称中心的中心对称图形．（五）圆心角、弧、弦之间的关系1、定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．2、推论：同圆或等圆中：(1)两个圆心角相等；(2)两条弧相等；(3)两条弦相等． 三项中有一项成立，则其余对应的两项也成立．考点一： 圆的定义例1、在平面直角坐标系中到原点的距离等于2的所有的点构成的图形是（ ） A．直线 B．正方形 C．圆 D．菱形 例2、某公园计划砌一个形状如图（1）的喷水池，后来有人建议改为图（2）的形状，且外圆的直径不变，若两种方案砌各圆形水池的周边需用的材料费分别为W1和W2，则（ ） A．W1＜W2 B．W1＞W2 C．W1=W2 D．无法确定考点二： 与圆有关的概念例1、下列说法正确的是（ ） A．长度相等的两条弧是等弧 B．优弧一定大于劣弧 C．不同的圆中不可能有相等的弦 D．直径是弦且同一个圆中最长的弦例2、下列说法正确的是（ ） A．半圆是弧，弧也是半圆 B．过圆上任意一点只能做一条弦，且这条弦是直径 C．弦是直径 D．直径是同一圆中最长的弦 例3、如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=28°，以C为圆心，CA为半径的圆交AB 于点D，交BC于点E，则弧AD的度数为（ ） A．28° B．34° C．56° D．62°考点三： 点与圆的位置关系例1、⊙O的半径为5，圆心O的坐标为（0，0），P的坐标为（4，2），则P与⊙O的位置关系（ ） A．点P在⊙O内 B．点P的⊙O上 C．点P在⊙O外 D．点P在⊙O上或⊙O外例2、如图，某部队在灯塔A的周围进行爆破作业，A的周围3km内的水域为危险区域，有一渔船误入离A处2km的B处，为了尽快驶离危险区域，该船应沿哪条航线方向航行？为什么？ 考点四： 圆的对称性例1、下列结论错误的是（ ） A．圆是轴对称图形 B．圆是中心对称图形 C．半圆不是弧 D．同圆中，等弧所对的圆心角相等例2、将一张圆形纸片沿着它的一条直径翻折，直径两侧的部分相互重合，这说明（ ） A．圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心 B．圆是轴对称图形，直径所在的直线是它的对称轴 C．圆的直径相互平分 D．垂直弦的直径平分弦所对的弧考点五：圆心角、弧、弦之间的关系例1、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=26°，以点C为圆心，BC为半径的圆分别交AB、AC于点D、点E，则弧BD的度数为（ ） A．26° B．64° C．52° D．128° 例2、已知：如图，在⊙O中，弦AB∥CD．求证：弧AC与弧BD是等弧．
P(Practice-Oriented)——实战演练
课堂狙击1、若⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离为4cm，那么点A与⊙O的位置关系是（ ） A．点A在圆外 B．点A在圆上 C．点A在圆内 D．不能确定 2、在公园的O处附近有E、F、G、H四棵树，位置如图所示（图中小正方形的边长均相等）现计划修建一座以O为圆心，OA为半径的圆形水池，要求池中不留树木，则E、F、G、H四棵树中需要被移除的为（ ） A．E、F、G B．F、G、H C．G、H、E D．H、E、F 3、下列命题，其中正确的有（ ） （1）长度相等的两条弧是等弧 （2）面积相等的两个圆是等圆 （3）劣弧比优弧短 （4）菱形的四个顶点在同一个圆上． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4、下列语句中正确的是（ ） A．一条弦把圆分为两条弧，这两条弧不可能是等弧 B．平分弦的直径垂直于弦 C．长度相等的两条弧是等弧 D．经过圆心的每条直线都是圆的对称轴 5、如图，铁路MN和公路PQ在点O处交汇，∠QON=30°，公路PQ上A处距离O点240米，如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路MN上沿MN方向以72千米/小时的速度行驶时，A处受到噪音影响的时间为（ ） A．12秒 B．16秒 C．20秒 D．24秒 6、如图，AB是⊙O的直径，==，∠COD=35°，求∠AOE的度数． 7、如图，AB、CD是⊙O的弦，∠A=∠C．求证：AB=CD． 课后反击1、下列说法中，正确的是（ ） A．过圆心的线段是直径 B．小于半圆的弧是优弧 C．弦是直径 D．半圆是弧 2、下列说法①直径是弦 ②半圆是弧 ③弦是直径 ④弧是半圆，其中正确的有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3、如图，⊙O中点A、O、D以及点E、D、C分别在同一直线上，图中弦的条数为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 4、一个圆的最长弦长为20cm，则此圆的直径为（ ） A．10cm B．20cm C．40cm D．无法确定 5、如图所示，MN为⊙0的弦，∠M=40°，∠MON则等于（ ） A．40° B．60° C．100° D．120° 6、如图，从A地到B地有两条路可走，一条路是大半圆，另一条路是4个小半圆．有一天，一只猫和一只老鼠同时从A地到B地．老鼠见猫沿着大半圆行走，它不敢与猫同行（怕被猫吃掉），就沿着4个小半圆行走．假设猫和老鼠行走的速度相同，那么下列结论正确的是（ ） A．猫先到达B地 B．老鼠先到达B地 C．猫和老鼠同时到达B地 D．无法确定 7、如图，A、B、C、D四点在同一个圆上．下列判断正确的是（ ） A．∠C+∠D=180° B．当E为圆心时，∠C=∠D=90° C．若E是AB的中点，则E一定是此圆的圆心 D．∠COD=2∠CAD 8、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点O是边AC上任意一点，以点O为圆心，以OC为半径作圆，则点B与⊙O的位置关系（ ） A．点B在⊙O外 B．点B在⊙O上 C．点B在⊙O内 D．与点O在边AC上的位置有关9、如图，AB是⊙O的弦，半径OA＝2，∠AOB＝120°，则弦AB的长是( )． A．2 B．2 C． D．3 10、在同圆中，若AB和CD都是劣弧，且AB=2CD，那么弦AB和CD的大小关系是（ ） A．AB=2CD B．AB＞2CD C．AB＜2CD D．无法比较它们的大小 11、一条弦将圆分成1：3两部分，则劣弧所对的圆心角为（ ） A．30° B．60° C．90° D．120° 12、如图，已知点A、B、C、D在圆O上，AB=CD．求证：AC=BD． 13、如图，∠AOB=90°，C、D是的三等分点，AB分别交OC、OD于点E、F，求证：AE=CD． 1、下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 2、如图2，点P（3a，a）是反比例函y＝（k＞0）与⊙O的一个交点，图中阴影部分的面积为10π，则反比例函数的解析式为（ ） A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝ 3、下列命题是真命题的个数有（ ）①垂直于半径的直线是圆的切线； ②平分弦的直径垂直于弦； ③若是方程x－ay＝3的一个解，则a＝－1； ④若反比例函数的图像上有两点（，y1），（1，y2），则y1S(Summary-Embedded)——归纳总结
圆的定义 与圆有关的概念 圆的对称性 点与圆的位置关系 圆心角、弧、弦之间的关系理解圆的对称性，掌握圆心角、弧、弦之间的关系是解决本节问题的关键。本节课我学到 我需要努力的地方是
体系搭建
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【专题讲义】北师大版九年级数学下册
第4讲 圆与圆的对称综合复习专题精讲（解析版）
参考答案
授课主题 第04讲-----圆与圆的对称性
授课类型 T同步课堂 P实战演练 S归纳总结
教学目标 从不同角度深刻理解圆的定义； 理解并识记与圆相关的概念； 掌握点与圆的三种位置关系，及判定条件； 掌握圆的两种对称性； 理解圆的对称性，并掌握圆心角、弧、弦之间关系的定理及推论。
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T（Textbook-Based）——同步课堂
知识梳理 知识概念 圆的定义 描述定义在同一平面内，一条线段OP绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点P所形成的图形叫做圆。定点O就是圆心，线段OP就是圆的半径，以点O为圆心的圆记作⊙Ｏ，读作“圆O”。集合定义平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。其中，定点就是圆心，定长就是半径。与圆有关的概念圆心（确定圆的位置）；半径（确定圆的大小）；直径； 圆弧、优弧、劣弧；圆心角、弦、弦心距、弓形、弓形高；同圆（同一个圆）；等圆（半径相等的圆，圆心在不同位置）；等弧（形状、大小均相等的弧）点与圆的位置关系设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d 1、点在圆内 d ＜ r； 2、点在圆上 d = r； 3、点在圆外 d ＞ r 圆的对称性 1、圆的轴对称性：圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴；2、圆的中心对称性：圆是以圆心为对称中心的中心对称图形．（五）圆心角、弧、弦之间的关系1、定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．2、推论：同圆或等圆中：(1)两个圆心角相等；(2)两条弧相等；(3)两条弦相等． 三项中有一项成立，则其余对应的两项也成立．考点一： 圆的定义例1、在平面直角坐标系中到原点的距离等于2的所有的点构成的图形是（ ） A．直线 B．正方形 C．圆 D．菱形 【解析】C． 例2、某公园计划砌一个形状如图（1）的喷水池，后来有人建议改为图（2）的形状，且外圆的直径不变，若两种方案砌各圆形水池的周边需用的材料费分别为W1和W2，则（ ） A．W1＜W2 B．W1＞W2 C．W1=W2 D．无法确定 【解析】在图（1）中，W1=2×2πr=4πr， 在图（2）中，W2=2πr+2π?+2π?+2π?=2π（r+++）=4πr，所以W1=W2； 故选C．考点二： 与圆有关的概念例1、下列说法正确的是（ ） A．长度相等的两条弧是等弧 B．优弧一定大于劣弧 C．不同的圆中不可能有相等的弦 D．直径是弦且同一个圆中最长的弦 【解析】D． 例2、下列说法正确的是（ ） A．半圆是弧，弧也是半圆 B．过圆上任意一点只能做一条弦，且这条弦是直径 C．弦是直径 D．直径是同一圆中最长的弦 【解析】D． 例3、如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=28°，以C为圆心，CA为半径的圆交AB 于点D，交BC于点E，则弧AD的度数为（ ） A．28° B．34° C．56° D．62° 【解析】C． 考点三： 点与圆的位置关系例1、⊙O的半径为5，圆心O的坐标为（0，0），P的坐标为（4，2），则P与⊙O的位置关系（ ） A．点P在⊙O内 B．点P的⊙O上 C．点P在⊙O外 D．点P在⊙O上或⊙O外 【解析】OP==＜5，因而点P在⊙O内．故选A．例2、如图，某部队在灯塔A的周围进行爆破作业，A的周围3km内的水域为危险区域，有一渔船误入离A处2km的B处，为了尽快驶离危险区域，该船应沿哪条航线方向航行？为什么？ 【解析】该船应沿航线AB方向航行离开危险区域；理由如下： 如图，设航线AB交⊙A于点C，在⊙A上任取一点D（不包括C关于A 的对称点）连接AD、BD；在△ABD中， ∵AB+BD＞AD，AD=AC=AB+BC， ∴AB+BD＞AB+BC，∴BD＞BC．答：应沿AB的方向航行． 考点四： 圆的对称性例1、下列结论错误的是（ ） A．圆是轴对称图形 B．圆是中心对称图形 C．半圆不是弧 D．同圆中，等弧所对的圆心角相等 【解析】C． 例2、将一张圆形纸片沿着它的一条直径翻折，直径两侧的部分相互重合，这说明（ ） A．圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心 B．圆是轴对称图形，直径所在的直线是它的对称轴 C．圆的直径相互平分 D．垂直弦的直径平分弦所对的弧 【解析】B．考点五：圆心角、弧、弦之间的关系例1、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=26°，以点C为圆心，BC为半径的圆分别交AB、AC于点D、点E，则弧BD的度数为（ ） A．26° B．64° C．52° D．128° 【解析】C．例2、已知：如图，在⊙O中，弦AB∥CD．求证：弧AC与弧BD是等弧． 【解析】证明：连结OA、OC、OD、OB，如图，∵OC=OD，∴∠1=∠2， ∵AB∥CD，∴∠1=∠C，∠2=∠D，∴∠1=∠2， ∵∠1=∠A+∠AOC，∠2=∠B+∠BOD，而OA=OB， ∴∠A=∠B，∴∠AOC=∠BOD，∴弧AC与弧BD是等弧
P(Practice-Oriented)——实战演练
课堂狙击1、若⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离为4cm，那么点A与⊙O的位置关系是（ ） A．点A在圆外 B．点A在圆上 C．点A在圆内 D．不能确定 【解析】C． 2、在公园的O处附近有E、F、G、H四棵树，位置如图所示（图中小正方形的边长均相等）现计划修建一座以O为圆心，OA为半径的圆形水池，要求池中不留树木，则E、F、G、H四棵树中需要被移除的为（ ） A．E、F、G B．F、G、H C．G、H、E D．H、E、F 【解析】∵OA==，∴OE=2＜OA，所以点E在⊙O内， OF=2＜OA，所以点F在⊙O内，OG=1＜OA，所以点G在⊙O内， OH==2＞OA，所以点H在⊙O外，故选A 3、下列命题，其中正确的有（ ） （1）长度相等的两条弧是等弧 （2）面积相等的两个圆是等圆 （3）劣弧比优弧短 （4）菱形的四个顶点在同一个圆上． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解析】（2）正确，故选A． 4、下列语句中正确的是（ ） A．一条弦把圆分为两条弧，这两条弧不可能是等弧 B．平分弦的直径垂直于弦 C．长度相等的两条弧是等弧 D．经过圆心的每条直线都是圆的对称轴 【解析】D．5、如图，铁路MN和公路PQ在点O处交汇，∠QON=30°，公路PQ上A处距离O点240米，如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路MN上沿MN方向以72千米/小时的速度行驶时，A处受到噪音影响的时间为（ ） A．12秒 B．16秒 C．20秒 D．24秒 【解析】如图：过点A作AC⊥ON，AB=AD=200米，∵∠QON=30°，OA=240米，∴AC=120米， 当火车到B点时对A处产生噪音影响，此时AB=200米， ∵AB=200米，AC=120米， ∴由勾股定理得：BC=160米，CD=160米，即BD=320米， ∵72千米/小时=20米/秒，∴影响时间应是：320÷20=16秒．故选：B． 6、如图，AB是⊙O的直径，==，∠COD=35°，求∠AOE的度数． 【解析】∵AB是⊙O的直径，==，∠COD=35°， ∴∠BOC=∠COD=∠DOE=35°． ∴∠BOE=105°， ∴∠AOE=180°﹣105°=75°． 7、如图，AB、CD是⊙O的弦，∠A=∠C．求证：AB=CD． 【解析】连接BO，OD，∵OA=OB，∴∠A=∠B， ∵OC=OD，∴∠C=∠D， ∵∠A=∠C，∴∠AOB=∠COD， ∴AB=CD． 课后反击1、下列说法中，正确的是（ ） A．过圆心的线段是直径 B．小于半圆的弧是优弧 C．弦是直径 D．半圆是弧 【解析】D． 2、下列说法①直径是弦 ②半圆是弧 ③弦是直径 ④弧是半圆，其中正确的有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解析】①②正确；故选B． 3、如图，⊙O中点A、O、D以及点E、D、C分别在同一直线上，图中弦的条数为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【解析】B． 4、一个圆的最长弦长为20cm，则此圆的直径为（ ） A．10cm B．20cm C．40cm D．无法确定 【解析】B． 5、如图所示，MN为⊙0的弦，∠M=40°，∠MON则等于（ ） A．40° B．60° C．100° D．120° 【解析】∵OM=ON，∴∠N=∠M=40°， ∴∠MON=180°﹣∠M﹣∠N=100°，故选C． 6、如图，从A地到B地有两条路可走，一条路是大半圆，另一条路是4个小半圆．有一天，一只猫和一只老鼠同时从A地到B地．老鼠见猫沿着大半圆行走，它不敢与猫同行（怕被猫吃掉），就沿着4个小半圆行走．假设猫和老鼠行走的速度相同，那么下列结论正确的是（ ） A．猫先到达B地 B．老鼠先到达B地 C．猫和老鼠同时到达B地 D．无法确定 【解析】以AB为直径的半圆的长是：π?AB； 设四个小半圆的直径分别是a，b，c，d，则a+b+c+d=AB． 则老鼠行走的路径长是：a+πb+πc+πd=π（a+b+c+d）=π?AB． 故猫和老鼠行走的路径长相同．故选C． 7、如图，A、B、C、D四点在同一个圆上．下列判断正确的是（ ） A．∠C+∠D=180° B．当E为圆心时，∠C=∠D=90° C．若E是AB的中点，则E一定是此圆的圆心 D．∠COD=2∠CAD 【解析】B． 8、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点O是边AC上任意一点，以点O为圆心，以OC为半径作圆，则点B与⊙O的位置关系（ ） A．点B在⊙O外 B．点B在⊙O上 C．点B在⊙O内 D．与点O在边AC上的位置有关 【解析】连接OB，∵∠ACB=90°，∴直角三角形中斜边OB＞直角边OC， ∴点B在⊙O外，故选A． 9、如图，AB是⊙O的弦，半径OA＝2，∠AOB＝120°，则弦AB的长是( )． A．2 B．2 C． D．3 【解析】B． 10、在同圆中，若AB和CD都是劣弧，且AB=2CD，那么弦AB和CD的大小关系是（ ） A．AB=2CD B．AB＞2CD C．AB＜2CD D．无法比较它们的大小 【解析】如图，作的中点E，连接AE、BE，∴=2=2， ∴AE=BE，∵弧AB=2×弧CD，∴==，∴AE=BE=CD， ∴AE+BE=2CD．∵AE+BE＞AB，∴2CD＞AB． ∴C答案正确，故选C． 11、一条弦将圆分成1：3两部分，则劣弧所对的圆心角为（ ） A．30° B．60° C．90° D．120° 【解析】C． 12、如图，已知点A、B、C、D在圆O上，AB=CD．求证：AC=BD． 【解析】证明：∵AB=CD，∴， ∴， 即，∴AC=BD． 13、如图，∠AOB=90°，C、D是的三等分点，AB分别交OC、OD于点E、F，求证：AE=CD． 【解析】证明：连接AC，∵∠AOB=90°，C、D是的三等分点， ∴∠AOC=∠COD=30°， ∴AC=CD，又OA=OC，∴∠ACE=75°， ∵∠AOB=90°，OA=OB， ∴∠OAB=45°，∠AEC=∠AOC+∠OAB=75°， ∴∠ACE=∠AEC，∴AE=AC， ∴AE=CD．1、下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D．【解析】C． 2、如图2，点P（3a，a）是反比例函y＝（k＞0）与⊙O的一个交点，图中阴影部分的面积为10π，则反比例函数的解析式为（ ） A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝【解析】 D． 3、下列命题是真命题的个数有（ ）①垂直于半径的直线是圆的切线； ②平分弦的直径垂直于弦； ③若是方程x－ay＝3的一个解，则a＝－1； ④若反比例函数的图像上有两点（，y1），（1，y2），则y1S(Summary-Embedded)——归纳总结
圆的定义 与圆有关的概念 圆的对称性 点与圆的位置关系 圆心角、弧、弦之间的关系理解圆的对称性，掌握圆心角、弧、弦之间的关系是解决本节问题的关键。本节课我学到 我需要努力的地方是
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O
y
P
图2
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