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【专题讲义】北师大版九年级数学下册
第5讲 垂径定理综合复习专题精讲（培优版）
授课主题 第05讲-----垂径定理
授课类型 T同步课堂 P实战演练 S归纳总结
教学目标 深刻理解垂径定理及其推论的内容； 熟练掌握垂径定理及其推论的应用条件与结论； 应用垂径定理解决实际问题。
授课日期及时段
T（Textbook-Based）——同步课堂
知识梳理 二、知识概念 垂径定理1、内 容：垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧2、逆 定 理：平分弦(不是直径)的直径垂直于这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧3、推 论：弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的弧? 平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦,并且平分这条弦所对的另一条弧在同圆或者等圆中,两条平行弦所夹的弧相等 4、使用条件：一条直线,在下列4条中只要具备其中任意两条作为条件,就可以推出其他三条结论
（1）平分弦所对的弧?
（2）平分弦 (不是直径)
（3）垂直于弦?
（4）经过圆心 考点一： 垂径定理及其推论例1、下列说法不正确的是（ ） A．圆是轴对称图形，它有无数条对称轴 B．圆的半径、弦长的一半、弦上的弦心距能组成一直角三角形，且圆的半径是此直角三角形的斜边 C．弦长相等，则弦所对的弦心距也相等 D．垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧例2、如图，AB是⊙O的直径，CD⊥AB，∠ABD=60°，CD=2，则阴影部分的面积为（ ） A． B．π C．2π D．4π 例3、如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，已知点A的坐标是（﹣2，3），点C的坐标是（1，2），那么这条圆弧所在圆的圆心坐标是（ ） A．（0，0） B．（﹣1，1） C．（﹣1，0） D．（﹣1，﹣1）例4、如图，AB是⊙O的弦，C是AB的三等分点，连接OC并延长交⊙O于点D．若OC=3，CD=2，则圆心O到弦AB的距离是（ ） A．6 B．9﹣ C． D．25﹣3 例5、如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，下列结论不成立的是（ ） A．CM=DM B．= C．∠ACD=∠ADC D．OM=MD 考点二： 应用垂径定理解决实际问题例1、李明到某影剧城游玩，看见一圆弧形门如图所示，李明想知道这扇门的相关数据．于是她从景点管理人员处打听到：这个圆弧形门所在的圆与水平地面是相切的，AB=CD=40cm，BD=320cm，且AB，CD与水平地面都是垂直的．根据以上数据，请你帮助李明计算出这个圆弧形门的最高点离地面的高度是多少？ 例2、用工件槽（如图1）可以检测一种铁球的大小是否符合要求，已知工件槽的两个底角均为90°，尺寸如图（单位：cm）．将形状规则的铁球放入槽内时，若同时具有图1所示的A、B、E三个接触点，该球的大小就符合要求．图2是过球心O及A、B、E三点的截面示意图，求这种铁球的直径．
P(Practice-Oriented)——实战演练
课堂狙击1、下列说法中，不成立的是（ ） A．弦的垂直平分线必过圆心 B．弧的中点与圆心的连线垂直平分这条弧所对的弦 C．垂直于弦的直线经过圆心，且平分这条弦所对的弧 D．垂直于弦的直径平分这条弦 2、如图，AB为圆O的直径，BC为圆O的一弦，自O点作BC的垂线，且交BC于D点．若AB=16，BC=12，则△OBD的面积为何？（ ） A．6 B．12 C．15 D．30 3、如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足是E，∠A=30°，CD=6，则圆的半径长为（ ） A．2 B．2 C．4 D． 4、如图，以O为圆心的两个同心圆中，小圆的弦AB的延长线交大圆于点C，若AB=4，BC=1，则下列整数与圆环面积最接近的是（ ） A．10 B．13 C．16 D．19 5、如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，CE=2，AE=3，则△ACB的面积为（ ） A．3 B．5 C．6 D．8 6、如图，圆柱形水管内原有积水的水平面宽CD=10cm，水深GF=1cm，若水面上升1cm（EG=1cm），则此时水面宽AB为多少？ 7、如图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O，直径AB是河底线，弦CD是水位线，CD∥AB，且AB=26m，OE⊥CD于点E．水位正常时测得OE：CD=5：24 （1）求CD的长； （2）现汛期来临，水面要以每小时4m的速度上升，则经过多长时间桥洞会刚刚被灌满？ 8、已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D（如图）． （1）求证：AC=BD； （2）若大圆的半径R=10，小圆的半径r=8，且圆O到直线AB的距离为6，求AC的长． 9、如图，在半径为2的扇形AOB中，∠AOB=90°，点C是弧AB上的一个动点（不与点A、B重合）OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D、E． （1）当BC=1时，求线段OD的长； （2）在△DOE中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度，如果不存在，请说明理由； （3）设BD=x，△DOE的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域． 课后反击1、下列说法正确的是（ ） A．长度相等的两条弧是等弧 B．平分弦的直径垂直于弦 C．直径是同一个圆中最长的弦 D．过三点能确定一个圆 2、下列说法正确的是（ ） A．平分弦的直径垂直于弦 B．把（a﹣2）根号外的因式移到根号内后，其结果是﹣ C．相等的圆心角所对的弧相等 D．如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等 3、如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AE=8，BE=2，则CD=（ ） A．5 B．8 C．2 D．4 4、如图，在⊙O中，弦AB⊥AC，OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，若AB=8cm，AC=6cm，则⊙O的半径OA的长为（ ） A．7cm B．6cm C．5cm D．4cm 5、如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，连接BC，BD，AC，则下列结论中不一定正确的是（ ） A．∠ACB=90° B．DE=CE C．OE=BE D．∠ACE=∠ABC 6、如图，⊙O的直径AB=10，C是AB上一点，矩形ACND交⊙O于M，N两点，若DN=8，则AD的值为（ ） A．4 B．6 C．2 D．3 7、如图所示，有一座拱桥圆弧形，它的跨度AB为60米，拱高PM为18米，当洪水泛滥到跨度只有30米时，就要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即PN=4米时，是否采取紧急措施？（=1.414） 8、如图，点C、D分别在扇形AOB的半径OA、OB的延长线上，且OA=3，AC=2，CD平行于AB，并与弧AB相交于点M、N． （1）求线段OD的长； （2）若tan∠C=，求弦MN的长． 1、如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，若⊙O的半径为5，AB=8，则CD的长是（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 2、如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，∠CDB=30°，⊙O的半径为5cm，则圆心O到弦CD的距离为（ ） A．cm B．3cm C．3cm D．6cm 3、如图，⊙O的半径为1，△ABC是⊙O的内接等边三角形，点D、E在圆上，四边形BCDE为矩形，这个矩形的面积是（ ） A．2 B． C． D． 4、如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，则下列结论正确的是（ ） A．OE=BE B．= C．△BOC是等边三角形 D．四边形ODBC是菱形 5、如图，在半径为5的圆中，AB、CD互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB=CD=8，则OP的长为（ ） A．4 B．3 C．4 D．3 6、如图所示，该小组发现8米高旗杆DE的影子EF落在了包含一圆弧型小桥在内的路上，于是他们开展了测算小桥所在圆的半径的活动．小刚身高1.6米，测得其影长为2.4米，同时测得EG的长为3米，HF的长为1米，测得拱高（弧GH的中点到弦GH的距离，即MN的长）为2米，求小桥所在圆的半径． 7、如图，⊙O的半径为17cm，弦AB∥CD，AB=30cm，CD=16cm，圆心O位于AB，CD的上方，求AB和CD的距离．
S(Summary-Embedded)——归纳总结
垂径定理及其逆定理内容及应用条件；应用垂径定理解决实际问题。 熟练掌握垂径定理、逆定理及其推论的内容及应用条件，多加练习，注意总结，熟悉常作的辅助线，是解决本节问题的关键。本节课我学到 我需要努力的地方是
体系搭建
实战演练
直击中考
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【专题讲义】北师大版九年级数学下册
第5讲 垂径定理综合复习专题精讲（解析版）
参考答案
授课主题 第05讲-----垂径定理
授课类型 T同步课堂 P实战演练 S归纳总结
教学目标 深刻理解垂径定理及其推论的内容； 熟练掌握垂径定理及其推论的应用条件与结论； 应用垂径定理解决实际问题。
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知识梳理 二、知识概念 垂径定理1、内 容：垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧2、逆 定 理：平分弦(不是直径)的直径垂直于这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧3、推 论：弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的弧? 平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦,并且平分这条弦所对的另一条弧在同圆或者等圆中,两条平行弦所夹的弧相等 4、使用条件：一条直线,在下列4条中只要具备其中任意两条作为条件,就可以推出其他三条结论
（1）平分弦所对的弧?
（2）平分弦 (不是直径)
（3）垂直于弦?
（4）经过圆心 考点一： 垂径定理及其推论例1、下列说法不正确的是（ ） A．圆是轴对称图形，它有无数条对称轴 B．圆的半径、弦长的一半、弦上的弦心距能组成一直角三角形，且圆的半径是此直角三角形的斜边 C．弦长相等，则弦所对的弦心距也相等 D．垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧 【解析】C． 例2、如图，AB是⊙O的直径，CD⊥AB，∠ABD=60°，CD=2，则阴影部分的面积为（ ） A． B．π C．2π D．4π 【解析】连接OD．∵CD⊥AB，∴CE=DE=CD=， 故S△OCE=S△ODE，即可得阴影部分的面积等于扇形OBD的面积， 又∵∠ABD=60°，∴∠CDB=30°，∴∠COB=60°，∴OC=2， ∴S扇形OBD==，即阴影部分的面积为． 故选A．例3、如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，已知点A的坐标是（﹣2，3），点C的坐标是（1，2），那么这条圆弧所在圆的圆心坐标是（ ） A．（0，0） B．（﹣1，1） C．（﹣1，0） D．（﹣1，﹣1） 【解析】如图线段AB的垂直平分线EQ和线段CD的垂直平分线NF的交 点M，即为弧的圆即圆心的坐标是（﹣1，1），故选B． 例4、如图，AB是⊙O的弦，C是AB的三等分点，连接OC并延长交⊙O于点D．若OC=3，CD=2，则圆心O到弦AB的距离是（ ） A．6 B．9﹣ C． D．25﹣3 【解析】如图：过O作OG⊥AB于G，根据垂径定理有：AG=BG， 设AC=2a，则CB=4a，CG=a，GB=3a， 在Rt△OCG中，OC2=OG2+CG2=OG2+a2① 在Rt△OBG中，OB2=OG2+GB2=OG2+9a2② 又OC=3，OB=5，代入①②中，解方程得：a2=2，OG2=7． 所以圆心到弦的距离是．故选C． 例5、如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，下列结论不成立的是（ ） A．CM=DM B．= C．∠ACD=∠ADC D．OM=MD 【解析】∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M， ∴M为CD的中点，即CM=DM，选项A成立； B为的中点，即=，选项B成立；在△ACM和△ADM中， ∵，∴△ACM≌△ADM（SAS），∴∠ACD=∠ADC，选项C成立； 而OM与MD不一定相等，选项D不成立．故选：D 考点二： 应用垂径定理解决实际问题例1、李明到某影剧城游玩，看见一圆弧形门如图所示，李明想知道这扇门的相关数据．于是她从景点管理人员处打听到：这个圆弧形门所在的圆与水平地面是相切的，AB=CD=40cm，BD=320cm，且AB，CD与水平地面都是垂直的．根据以上数据，请你帮助李明计算出这个圆弧形门的最高点离地面的高度是多少？ 【解析】如图，连接AC，作AC的中垂线交AC于G，交BD于N， 交圆的另一点为M．则MN为直径．取MN的中点O，则O为 圆心，连接OA、OC．∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴AB∥CD ∵AB=CD∴ABCD为矩形 ∴AC=BD=320cm，GN=AB=CD=40cm ∴AG=GC=160cm， 设⊙O的半径为R，得R2=（R﹣40）2+1602， 解得R=340cm，340×2=680（cm）． 答：这个圆弧形门的最高点离地面的高度为680cm． 例2、用工件槽（如图1）可以检测一种铁球的大小是否符合要求，已知工件槽的两个底角均为90°，尺寸如图（单位：cm）．将形状规则的铁球放入槽内时，若同时具有图1所示的A、B、E三个接触点，该球的大小就符合要求．图2是过球心O及A、B、E三点的截面示意图，求这种铁球的直径．【解析】连接OA、OE，设OE与AB交于点P，如图 ∵AC=BD，AC⊥CD，BD⊥CD ∴四边形ACDB是矩形 ∵CD=16cm，PE=4cm ∴PA=8cm，BP=8cm， 在Rt△OAP中，由勾股定理得OA2=PA2+OP2 即OA2=82+（OA﹣4）2 解得：OA=10．答：这种铁球的直径为20cm．
P(Practice-Oriented)——实战演练
课堂狙击1、下列说法中，不成立的是（ ） A．弦的垂直平分线必过圆心 B．弧的中点与圆心的连线垂直平分这条弧所对的弦 C．垂直于弦的直线经过圆心，且平分这条弦所对的弧 D．垂直于弦的直径平分这条弦 【解析】C． 2、如图，AB为圆O的直径，BC为圆O的一弦，自O点作BC的垂线，且交BC于D点．若AB=16，BC=12，则△OBD的面积为何？（ ） A．6 B．12 C．15 D．30 【解析】∵OD⊥BC，∴BD=CD=BC=×12=6， 在Rt△BOD中，∵OB=AB=8，BD=6，∴OD==2， ∴S△OBD=OD?BD=×2×6=6．故选A． 3、如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足是E，∠A=30°，CD=6，则圆的半径长为（ ） A．2 B．2 C．4 D． 【解析】连接OC，如图所示：则∠BOC=2∠A=60°， ∵AB⊥CD，∴CE=DE=CD=3， ∵sin∠BOC=，∴OC===2．故选：A． 4、如图，以O为圆心的两个同心圆中，小圆的弦AB的延长线交大圆于点C，若AB=4，BC=1，则下列整数与圆环面积最接近的是（ ） A．10 B．13 C．16 D．19 【解析】过点O作OD⊥AB，垂足为D， 则AD=2，DC=2+1=3，S圆环=π（OC2﹣OA2） =π（OD2+DC2﹣OD2﹣AD2）=π（9﹣4）=5π≈15.7故选C． 5、如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，CE=2，AE=3，则△ACB的面积为（ ） A．3 B．5 C．6 D．8 【解析】∵CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，AE=3，∴AB=2AE=6， ∴△ACB的面积为×AB×CE=×6×2=6，故选C． 6、如图，圆柱形水管内原有积水的水平面宽CD=10cm，水深GF=1cm，若水面上升1cm（EG=1cm），则此时水面宽AB为多少？ 【解析】如图所示，连接OA、OC． 设⊙O的半径是R，则OG=R﹣2，OE=R﹣4．∵OF⊥CD，∴CG=CD=10cm． 在直角三角形COG中，根据勾股定理， 得R2=102+（R﹣2）2，解，得R=26． 在直角三角形AOE中，根据勾股定理，得AE==8cm． 根据垂径定理，得AB=16（cm）． 7、如图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O，直径AB是河底线，弦CD是水位线，CD∥AB，且AB=26m，OE⊥CD于点E．水位正常时测得OE：CD=5：24 （1）求CD的长； （2）现汛期来临，水面要以每小时4m的速度上升，则经过多长时间桥洞会刚刚被灌满？【解析】（1）∵直径AB=26m，∴OD=， ∵OE⊥CD，∴，∵OE：CD=5：24，∴OE：ED=5：12， ∴设OE=5x，ED=12x， ∴在Rt△ODE中（5x）2+（12x）2=132，解得x=1， ∴CD=2DE=2×12×1=24m； （2）由（1）得OE=1×5=5m，延长OE交圆O于点F， ∴EF=OF﹣OE=13﹣5=8m，∴， 即经过2小时桥洞会刚刚被灌满． 8、已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D（如图）． （1）求证：AC=BD； （2）若大圆的半径R=10，小圆的半径r=8，且圆O到直线AB的距离为6，求AC的长．【解析】（1）证明：过O作OE⊥AB于点E，则CE=DE，AE=BE， ∴BE﹣DE=AE﹣CE，即AC=BD； （2）解：由（1）可知，OE⊥AB且OE⊥CD，连接OC，OA，∴OE=6， ∴CE===2，AE===8， ∴AC=AE﹣CE=8﹣2． 9、如图，在半径为2的扇形AOB中，∠AOB=90°，点C是弧AB上的一个动点（不与点A、B重合）OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D、E． （1）当BC=1时，求线段OD的长； （2）在△DOE中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度，如果不存在，请说明理由； （3）设BD=x，△DOE的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域．【解析】（1）如图（1），∵OD⊥BC，∴BD=BC=，∴OD==； （2）如图（2），存在，DE是不变的．连接AB，则AB==2， ∵D和E分别是线段BC和AC的中点，∴DE=AB=； （3）如图（3），连接OC，∵BD=x，∴OD=， ∵∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠2+∠3=45°，过D作DF⊥OE． ∴DF==，由（2）已知DE=，∴在Rt△DEF中，EF==， ∴OE=OF+EF=+= ∴y=DF?OE=??=（0＜x＜）． 课后反击1、下列说法正确的是（ ） A．长度相等的两条弧是等弧 B．平分弦的直径垂直于弦 C．直径是同一个圆中最长的弦 D．过三点能确定一个圆 【解析】C． 2、下列说法正确的是（ ） A．平分弦的直径垂直于弦 B．把（a﹣2）根号外的因式移到根号内后，其结果是﹣ C．相等的圆心角所对的弧相等 D．如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等 【解析】B． 3、如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AE=8，BE=2，则CD=（ ） A．5 B．8 C．2 D．4 【解析】B． 4、如图，在⊙O中，弦AB⊥AC，OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，若AB=8cm，AC=6cm，则⊙O的半径OA的长为（ ） A．7cm B．6cm C．5cm D．4cm 【解析】C． 5、如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，连接BC，BD，AC，则下列结论中不一定正确的是（ ） A．∠ACB=90° B．DE=CE C．OE=BE D．∠ACE=∠ABC 【解析】C． 6、如图，⊙O的直径AB=10，C是AB上一点，矩形ACND交⊙O于M，N两点，若DN=8，则AD的值为（ ） A．4 B．6 C．2 D．3 【解析】A． 7、如图所示，有一座拱桥圆弧形，它的跨度AB为60米，拱高PM为18米，当洪水泛滥到跨度只有30米时，就要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即PN=4米时，是否采取紧急措施？（=1.414） 【解析】设圆弧所在圆的圆心为O，连接OA、OA′，设半径为x米， 则OA=OA′=OP′， 由垂径定理可知AM=BM，A′N=B′N， ∵AB=60米，∴AM=30米，且OM=OP﹣PM=（x﹣18）米， 在Rt△AOM中，由勾股定理可得AO2=OM2+AM2， 即x2=（x﹣18）2+302，解得x=34， ∴ON=OP﹣PN=34﹣4=30（米）， 在Rt△A′ON中，由勾股定理可得A′N===16（米）， ∴A′B′=32米＞30米，∴不需要采取紧急措施． 8、如图，点C、D分别在扇形AOB的半径OA、OB的延长线上，且OA=3，AC=2，CD平行于AB，并与弧AB相交于点M、N． （1）求线段OD的长； （2）若tan∠C=，求弦MN的长．【解析】（1）∵CD∥AB，∴∠OAB=∠OCD，∠OBA=∠ODC， ∴△OAB∽△OCD，∴=，即=， 又OA=3，AC=2，∴OB=3，∴=，∴OD=5； （2）过O作OE⊥CD，连接OM，则ME=MN， ∵tan∠C=，即=，∴设OE=x，则CE=2x， 在Rt△OEC中，OC2=OE2+CE2，即52=x2+（2x）2，解得x=， 在Rt△OME中，OM2=OE2+ME2， 即32=（）2+ME2，解得ME=2． ∴MN=4， 答：弦MN的长为4． 1、如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，若⊙O的半径为5，AB=8，则CD的长是（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【解析】A． 2、如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，∠CDB=30°，⊙O的半径为5cm，则圆心O到弦CD的距离为（ ） A．cm B．3cm C．3cm D．6cm 【解析】A． 3、如图，⊙O的半径为1，△ABC是⊙O的内接等边三角形，点D、E在圆上，四边形BCDE为矩形，这个矩形的面积是（ ） A．2 B． C． D．【解析】连结BD、OC，如图，∵四边形BCDE为矩形，∴∠BCD=90°， ∴BD为⊙O的直径，∴BD=2，∵△ABC为等边三角形，∴∠A=60°， ∴∠BOC=2∠A=120°，而OB=OC，∴∠CBD=30°， 在Rt△BCD中，CD=BD=1，BC=CD=， ∴矩形BCDE的面积=BC?CD=．故选：B． 4、如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，则下列结论正确的是（ ） A．OE=BE B．= C．△BOC是等边三角形 D．四边形ODBC是菱形 【解析】B． 5、如图，在半径为5的圆中，AB、CD互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB=CD=8，则OP的长为（ ） A．4 B．3 C．4 D．3 【解析】作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，连结OB、OD，如图， 则AE=BE=AB=4，DF=CF=CD=4， 在Rt△BOE中，∵OB=5，BE=4，∴OE==3，同理可得OF=3， ∵AB⊥CD，OF⊥CD，OE⊥AB，∴四边形OEPF为矩形，∴OF=PE=3， 在Rt△OPE中，∵OE=3，PE=3，∴OP=OE=3．故选B． 6、如图所示，该小组发现8米高旗杆DE的影子EF落在了包含一圆弧型小桥在内的路上，于是他们开展了测算小桥所在圆的半径的活动．小刚身高1.6米，测得其影长为2.4米，同时测得EG的长为3米，HF的长为1米，测得拱高（弧GH的中点到弦GH的距离，即MN的长）为2米，求小桥所在圆的半径． 【解析】∵小刚身高1.6米，测得其影长为2.4米， ∴8米高旗杆DE的影子为：12m， ∵测得EG的长为3米，HF的长为1米， ∴GH=12﹣3﹣1=8（m）， ∴GM=MH=4m．如图，设小桥的圆心为O，连接OM、OG． 设小桥所在圆的半径为r，∵MN=2m，∴OM=（r﹣2）m． 在Rt△OGM中，由勾股定理得：∴OG2=OM2+42，∴r2=（r﹣2）2+16，解得：r=5， 答：小桥所在圆的半径为5m． 7、如图，⊙O的半径为17cm，弦AB∥CD，AB=30cm，CD=16cm，圆心O位于AB，CD的上方，求AB和CD的距离． 【解析】过点O作弦AB的垂线，垂足为E，延长OE交CD于点F， 连接OA，OC，∵AB∥CD，∴OF⊥CD， ∵AB=30cm，CD=16cm，∴AE=AB=×30=15cm，CF=CD=×16=8cm， 在Rt△AOE中，OE===8cm， 在Rt△OCF中，OF===15cm， ∴EF=OF﹣OE=15﹣8=7cm． 答：AB和CD的距离为7cm．
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垂径定理及其逆定理内容及应用条件；应用垂径定理解决实际问题。 熟练掌握垂径定理、逆定理及其推论的内容及应用条件，多加练习，注意总结，熟悉常作的辅助线，是解决本节问题的关键。本节课我学到 我需要努力的地方是
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