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【专题讲义】北师大版九年级数学下册
第8讲 切线长定理与圆的相关计算综合复习专题精讲（培优版）
授课主题 第08讲-----切线长定理与圆的相关计算
授课类型 T同步课堂 P实战演练 S归纳总结
教学目标 理解切线长定理，并能熟练应用；
运用圆弧、圆心角计算公式，准确进行圆的相关计算。
授课日期及时段
T（Textbook-Based）——同步课堂
知识梳理知识概念
（一）切线长定理
1、切线长定义经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．
2、切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角．
3、注意：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量．
4、切线长定理包含着一些隐含结论
①垂直关系三处；
②全等关系三对；
③弧相等关系两对，在一些证明求解问题中经常用到．
（二）圆的相关计算1、正多边形与圆的关系
?? 把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正
多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆．
2、正多边形的有关概念
?①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心．
?②正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径．
?③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．
?④边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．
3、计算公式（1）圆周长公式：C=2πR ； 弧长公式：（2）圆面积公式：S=πr2?
（3）扇形面积公式：
（4）求阴影面积常用的方法： ①直接用公式法； ②和差法； ③割补法．
（5）求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．考点一： 切线长定理例1、如图，PA切⊙O于A，PB切⊙O于B，OP交⊙O于C，下列结论中，错误的是（ ）
A．∠1=∠2 B．PA=PB C．AB⊥OP D．PA2=PC?PO
例2、如图，直线AB、CD、BC分别与⊙O相切于E、F、G，且AB∥CD，若OB=6cm，OC=8cm，则BE+CG的长等于（ ）
A．13 B．12 C．11 D．10例3、如图，△ABC是一张三角形的纸片，⊙O是它的内切圆，点D是其中的一个切点，已知AD=10cm，小明准备用剪刀沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下一块三角形（△AMN），则剪下的△AMN的周长为（ ）
A．20cm B．15cm
C．10cm D．随直线MN的变化而变化
考点二： 圆外切四边形例1、如图，一圆内切四边形ABCD，且AB=16，CD=10，则四边形的周长为（ ）
A．50 B．52 C．54 D．56例2、如图，⊙O是四边形ABCD的内切圆，下列结论一定正确的有（ ）个：
①AF=BG； ②CG=CH； ③AB+CD=AD+BC； ④BG＜CG．
A．1 B．2 C．3 D．4考点三： 圆内接正多边形例1、如果圆形纸片的直径是8cm，用它完全覆盖正六边形，那么正六边形的边长最大不能超过（ ）
A．2cm B．2cm C．4cm D．4Cm
例2、若正三角形、正方形、正六边形的周长相等，它们的面积分别为S1，S2，S3，则下列关系成立的是（ ）
A．S1=S2=S3 B．S1＞S2＞S3
C．S1＜S2＜S3 D．S2＞S3＞S1例3、以半径为1的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是（ ）
A． B． C． D．考点四： 弧长、阴影面积计算例1、如图，有一圆O通过△ABC的三个顶点．若∠B=75°，∠C=60°，且的长度为4π，则BC的长度为何？（ ）
A．8 B．8 C．16 D．16
例2、如图，AB是半径为R的⊙O内接正n边形的边长，则阴影部分的面积为（ ）
A．﹣R2sin B．﹣R2sin
C．﹣R2sin D．﹣R2sin例3、如图，将正六边形ABCDEF放置在直角坐标系内，A（﹣2，0），点B在原点，把正六边形ABCDEF沿x轴正半轴作无滑动的连续翻转，每次翻转60°，经过2016次翻转之后，点C的坐标是（ ）
A．（4032，0） B．（4032，2）
C．（4031，） D．（4033，）
P(Practice-Oriented)——实战演练
课堂狙击如图，PA、PB分别切⊙O于A、B，PA=10cm，C是劣弧AB上的点
（不与点A、B重合），过点C的切线分别交PA、PB于点E、F．则△PEF的周长为（ ）
A．10cm B．15cm C．20cm D．25cm
2、如图，已知以直角梯形ABCD的腰CD为直径的半圆O与梯形上底AD、下底BC以及腰AB均相切，切点分别是D，C，E．若半圆O的半径为2，梯形的腰AB为5，则该梯形的周长是（ ）
A．9 B．10 C．12 D．14
3、如图，正方形ABCD边长为4cm，以正方形的一边BC为直径在正方形ABCD内作半圆，过A作半圆的切线，与半圆相切于F点，与DC相交于E点，则△ADE的面积（ ）
A．12 B．24 C．8 D．6
4、若正六边形的半径长为4，则它的边长等于（ ）
A．4 B．2 C．2 D．4
5、如图，⊙O的外切正六边形ABCDEF的边长为2，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B．
C．2 D．
6、正六边形的边心距为，则该正六边形的外接圆半径为（ ）
A． B．2 C．3 D．2
7、如图，半径为2的⊙O与正五边形ABCDE的两边AE、CD相切于点A、C，则劣弧长度为（ ）
A．π B．π C．π D．π
8、如图，AB、BC、CD分别与⊙O相切于E、F、G，且AB∥CD，BO=6，CO=8．
（1）判断△OBC的形状，并证明你的结论；
（2）求BC的长；
（3）求⊙O的半径OF的长．
9、如图，矩形ABCD中，BC=2，DC=4，以AB为直径的半圆O与DC相切于点E，则阴影部分的面积为多少？（结果保留π）
课后反击1、如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA=5，则△PCD的周长为（ ）
A．5 B．7 C．8 D．10
2、如图，从⊙O外一点P引圆的两条切线PA、PB，切点分别是A、B，如果∠APB=60°，线段PA=10，那么弦AB的长是（ ）
A．10 B．12
C．5 D．10
3、如图，⊙O是△ABC的内切圆，点D、E分别为边AC、BC上的点，且DE为⊙O的切线，若△ABC的周长为25，BC的长是9，则△ADE的周长是（ ）
A．7 B．8
C．9 D．16
4、已知等边三角形的内切圆半径，外接圆半径和高的比是（ ）
A．1：2： B．2：3：4 C．1：：2 D．1：2：3
5、正六边形的边心距与边长之比为（ ）
A．1：2 B．：2 C．：1 D．：2
6、如图，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB和AC的夹角为120°，AB长为25cm，贴纸部分的宽BD为15cm，若纸扇两面贴纸，则贴纸的面积为（ ）
A．175πcm2 B．350πcm2
C．πcm2 D．150πcm2
7、如图，已知：射线PO与⊙O交于A、B两点，PC、PD分别切⊙O于点C、D．
（1）请写出两个不同类型的正确结论；
（2）若CD=12，tan∠CPO=，求PO的长．
8、如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠ABC=2∠D，连接OA、OB、OC、AC，OB与AC相交于点E．
（1）求∠OCA的度数；
（2）若∠COB=3∠AOB，OC=2，求图中阴影部分面积（结果保留π和根号）
1、如图，在扇形AOB中∠AOB=90°，正方形CDEF的顶点C是的中点，点D在OB上，点E在OB的延长线上，当正方形CDEF的边长为2时，则阴影部分的面积为（ ）
A．2π﹣4 B．4π﹣8 C．2π﹣8 D．4π﹣4
2、如图，边长为1的菱形ABCD绕点A旋转，当B、C两点恰好落在扇形AEF的弧EF上时，弧BC的长度等于（ ）
A． B． C． D．
3、如图，已知点A，B，C，D均在已知圆上，AD∥BC，AC平分∠BCD，∠ADC=120°，四边形ABCD的周长为10cm．图中阴影部分的面积为（ ）
A．cm2 B．（π﹣）cm2 C．cm2 D．cm2
4、在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，以点B为圆心，BC的长为半径作弧，交AB于点D，若点D为AB的中点，则阴影部分的面积是（ ）
A．2﹣π B．4﹣π
C．2﹣π D．π
5、如图1，已知在⊙O中，点C为劣弧AB上的中点，连接AC并延长至D，使CD=CA，连接DB并延长DB交⊙O于点E，连接AE．
（1）求证：AE是⊙O的直径；
（2）如图2，连接EC，⊙O半径为5，AC的长为4，求阴影部分的面积之和．（结果保留π与根号）
6、如图，已知⊙O的半径为2，AB为直径，CD为弦．AB与CD交于点M，将沿CD翻折后，点A与圆心O重合，延长OA至P，使AP=OA，连接PC
（1）求CD的长；
（2）求证：PC是⊙O的切线；
（3）点G为的中点，在PC延长线上有一动点Q，连接QG交AB于点E．交于点F（F与B、C不重合）．问GE?GF是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，请说明理由．
S(Summary-Embedded)——归纳总结
切线长定理中三处垂直关系、三对全等关系、两对弧相等关系；
圆与正多边形的关系；
弧长、不规则阴影面积的计算。
掌握切线长定理题型，对不规则的阴影部分面积进行转化，是解决本节问题的关键。本节课我学到
我需要努力的地方是
体系搭建
实战演练
直击中考
重点回顾
名师点拨
学霸经验
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【专题讲义】北师大版九年级数学下册
第8讲 切线长定理与圆的相关计算综合复习专题精讲（解析版）
参考答案
授课主题 第08讲-----切线长定理与圆的相关计算
授课类型 T同步课堂 P实战演练 S归纳总结
教学目标 理解切线长定理，并能熟练应用；
运用圆弧、圆心角计算公式，准确进行圆的相关计算。
授课日期及时段
T（Textbook-Based）——同步课堂
知识梳理知识概念
（一）切线长定理
1、切线长定义经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．
2、切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角．
3、注意：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量．
4、切线长定理包含着一些隐含结论
①垂直关系三处；
②全等关系三对；
③弧相等关系两对，在一些证明求解问题中经常用到．
（二）圆的相关计算1、正多边形与圆的关系
?? 把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正
多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆．
2、正多边形的有关概念
?①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心．
?②正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径．
?③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．
?④边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．
3、计算公式（1）圆周长公式：C=2πR ； 弧长公式：（2）圆面积公式：S=πr2?
（3）扇形面积公式：
（4）求阴影面积常用的方法： ①直接用公式法； ②和差法； ③割补法．
（5）求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．考点一： 切线长定理例1、如图，PA切⊙O于A，PB切⊙O于B，OP交⊙O于C，下列结论中，错误的是（ ）
A．∠1=∠2 B．PA=PB C．AB⊥OP D．PA2=PC?PO
【解析】D．
例2、如图，直线AB、CD、BC分别与⊙O相切于E、F、G，且AB∥CD，若OB=6cm，OC=8cm，则BE+CG的长等于（ ）
A．13 B．12 C．11 D．10
【解析】∵AB∥CD，∴∠ABC+∠BCD=180°，
∵CD、BC，AB分别与⊙O相切于G、F、E，
∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠BCD，BE=BF，CG=CF，
∴∠OBC+∠OCB=90°，∴∠BOC=90°，
∴BC==10，∴BE+CG=10（cm）．故选D．例3、如图，△ABC是一张三角形的纸片，⊙O是它的内切圆，点D是其中的一个切点，已知AD=10cm，小明准备用剪刀沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下一块三角形（△AMN），则剪下的△AMN的周长为（ ）
A．20cm B．15cm
C．10cm D．随直线MN的变化而变化
【解析】AM+AN+MN=AD+AE=10+10=20（cm）．故选：A．考点二： 圆外切四边形例1、如图，一圆内切四边形ABCD，且AB=16，CD=10，则四边形的周长为（ ）
A．50 B．52 C．54 D．56
【解析】四边形的周长=2（16+10）=52．故选B．
例2、如图，⊙O是四边形ABCD的内切圆，下列结论一定正确的有（ ）个：
①AF=BG； ②CG=CH； ③AB+CD=AD+BC； ④BG＜CG．
A．1 B．2 C．3 D．4
【解析】∵⊙O是四边形ABCD的内切圆，
∴AF=AE，BF=BG，CG=CH，DH=DE，
∴AB+CD=AF+BF+CH+DH=AE+BG+CG+DE=AD+BC．
①AF=BG；④BG＜CG无法判断．正确的有②③，故选B．考点三： 圆内接正多边形例1、如果圆形纸片的直径是8cm，用它完全覆盖正六边形，那么正六边形的边长最大不能超过（ ）
A．2cm B．2cm C．4cm D．4Cm
【解析】C．例2、若正三角形、正方形、正六边形的周长相等，它们的面积分别为S1，S2，S3，则下列关系成立的是（ ）
A．S1=S2=S3 B．S1＞S2＞S3
C．S1＜S2＜S3 D．S2＞S3＞S1
【解析】设正三角形的边长为a，则正方形的边长为，正六边形的边长为；
∵正三角形的边长为a，∴其高为，∴S1=a×=；S2=（）2=；
∵正六边形的边长为，∴把正六边形分成六个三角形，其高为，
∴S3=6×××=．
∵S1==，S3==，＜＜，
∴S1＜S2＜S3．故选C．例3、以半径为1的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是（ ）
A． B． C． D．
【解析】D．考点四： 弧长、阴影面积计算例1、如图，有一圆O通过△ABC的三个顶点．若∠B=75°，∠C=60°，且的长度为4π，则BC的长度为何？（ ）
A．8 B．8 C．16 D．16
【解析】连接OB，OC，∵∠B=75°，∠C=60°，∴∠A=45°，∴∠BOC=90°，
∵的长度为4π，∴=4π，∴OB=8，∴BC===8，故选B．例2、如图，AB是半径为R的⊙O内接正n边形的边长，则阴影部分的面积为（ ）
A．﹣R2sin B．﹣R2sin
C．﹣R2sin D．﹣R2sin
【解析】连接OA，OB，过点O作OC⊥AB于点C，则∠AOB=，
∴∠AOC=∠AOB=，
∴OC=OA?cos∠AOC=R?cos，AC=OC?sin∠AOC=R?sin，
∴AB=2AC=2Rsin，
∴S△OAB=AB?OC=×R?cos×2Rsin=R2sin，
∵S扇形OAB=，
∴S阴影=﹣R2sin．故选A．
例3、如图，将正六边形ABCDEF放置在直角坐标系内，A（﹣2，0），点B在原点，把正六边形ABCDEF沿x轴正半轴作无滑动的连续翻转，每次翻转60°，经过2016次翻转之后，点C的坐标是（ ）
A．（4032，0） B．（4032，2）
C．（4031，） D．（4033，）
【解析】∵每次翻转60°，∴每6次翻转为一个循环组循环，
∵2016÷6=336，
∴经过2016次翻转为第336循环，点C在开始时的位置，
∵A（﹣2，0），∴AB=2，
∴前进的距离=2×2016=4032，
如图，过点C作CG⊥x于G，则∠CBG=60°，
∴AG=2×=1，BG=2×=，
∴OG=4032+1=4033，∴点B的坐标为（4033，）．故选D．
P(Practice-Oriented)——实战演练
课堂狙击如图，PA、PB分别切⊙O于A、B，PA=10cm，C是劣弧AB上的点
（不与点A、B重合），过点C的切线分别交PA、PB于点E、F．则△PEF的周长为（ ）
A．10cm B．15cm C．20cm D．25cm
【解析】C．
2、如图，已知以直角梯形ABCD的腰CD为直径的半圆O与梯形上底AD、下底BC以及腰AB均相切，切点分别是D，C，E．若半圆O的半径为2，梯形的腰AB为5，则该梯形的周长是（ ）
A．9 B．10 C．12 D．14
【解析】D．
3、如图，正方形ABCD边长为4cm，以正方形的一边BC为直径在正方形ABCD内作半圆，过A作半圆的切线，与半圆相切于F点，与DC相交于E点，则△ADE的面积（ ）
A．12 B．24 C．8 D．6
【解析】设EF=EC=xcm，则DE=（4﹣x）cm，AE=（4+x）cm，
（4﹣x）2+42=（4+x）2，
∴x=1cm，∴CE=1cm，∴DE=4﹣1=3cm，∴S△ADE=AD?DE÷2=3×4÷2=6cm2．故选D．
4、若正六边形的半径长为4，则它的边长等于（ ）
A．4 B．2 C．2 D．4
【解析】A．
5、如图，⊙O的外切正六边形ABCDEF的边长为2，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B．
C．2 D．
【解析】∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠AOB=60°，
∴△OAB是等边三角形，OA=OB=AB=2，
设点G为AB与⊙O的切点，连接OG，则OG⊥AB，
∴OG=OA?sin60°=2×=，∴S阴影=S△OAB﹣S扇形OMN=×2×﹣=﹣．故选A．
6、正六边形的边心距为，则该正六边形的外接圆半径为（ ）
A． B．2 C．3 D．2
【解析】B．
7、如图，半径为2的⊙O与正五边形ABCDE的两边AE、CD相切于点A、C，则劣弧长度为（ ）
A．π B．π C．π D．π
【解析】C．
8、如图，AB、BC、CD分别与⊙O相切于E、F、G，且AB∥CD，BO=6，CO=8．
（1）判断△OBC的形状，并证明你的结论；
（2）求BC的长；
（3）求⊙O的半径OF的长．
【解析】（1）答：△OBC是直角三角形．
证明：∵AB、BC、CD分别与⊙O相切于E、F、G，
∴∠OBE=∠OBF=∠EBF，∠OCG=∠OCF=∠GCF，
∵AB∥CD，∴∠EBF+∠GCF=180°，∴∠OBF+∠OCF=90°，
∴∠BOC=90°，∴△OBC是直角三角形；
（2）解：∵在Rt△BOC中，BO=6，CO=8，
∴BC==10；
（3）解：∵AB、BC、CD分别与⊙O相切于E、F、G，∴OF⊥BC，
∴OF===4.8．
9、如图，矩形ABCD中，BC=2，DC=4，以AB为直径的半圆O与DC相切于点E，则阴影部分的面积为多少？（结果保留π）
【解析】阴影部分的面积=S△BCD﹣（S正方形OBCE﹣S扇形OBE）
=×2×4﹣（2×2﹣π×2×2）=π．
课后反击1、如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA=5，则△PCD的周长为（ ）
A．5 B．7 C．8 D．10
【解析】D．
2、如图，从⊙O外一点P引圆的两条切线PA、PB，切点分别是A、B，如果∠APB=60°，线段PA=10，那么弦AB的长是（ ）
A．10 B．12
C．5 D．10
【解析】A．
3、如图，⊙O是△ABC的内切圆，点D、E分别为边AC、BC上的点，且DE为⊙O的切线，若△ABC的周长为25，BC的长是9，则△ADE的周长是（ ）
A．7 B．8
C．9 D．16
【解析】A．
4、已知等边三角形的内切圆半径，外接圆半径和高的比是（ ）
A．1：2： B．2：3：4 C．1：：2 D．1：2：3
【解析】D．
5、正六边形的边心距与边长之比为（ ）
A．1：2 B．：2 C．：1 D．：2
【解析】D．
6、如图，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB和AC的夹角为120°，AB长为25cm，贴纸部分的宽BD为15cm，若纸扇两面贴纸，则贴纸的面积为（ ）
A．175πcm2 B．350πcm2
C．πcm2 D．150πcm2
【解析】∵AB=25，BD=15，∴AD=10，
∴S贴纸=2×（﹣）=2×175π=350πcm2，故选B．
7、如图，已知：射线PO与⊙O交于A、B两点，PC、PD分别切⊙O于点C、D．
（1）请写出两个不同类型的正确结论；
（2）若CD=12，tan∠CPO=，求PO的长．
【解析】（1）不同类型的正确结论有：
①PC=PD，②∠CPO=∠DP，③ACD⊥BA，④∠CEP=90°，⑤PC2=PA?PB；
（2）连接OC∵PC、PD分别切⊙O于点C、D∴PC=PD，∠CPO=∠DPA
∴CD⊥AB，∵CD=12，∴DE=CE=CD=6．∵tan∠CPO=，
∴在Rt△EPC中，PE=12，∴由勾股定理得CP=6
∵PC切⊙O于点C，∴∠OCP=90°
在Rt△OPC中，∵tan∠CPO=，∴，∴OC=3，∴OP==15．
8、如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠ABC=2∠D，连接OA、OB、OC、AC，OB与AC相交于点E．
（1）求∠OCA的度数；
（2）若∠COB=3∠AOB，OC=2，求图中阴影部分面积（结果保留π和根号）
【解析】（1）∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠ABC+∠D=180°，
∵∠ABC=2∠D，∴∠D+2∠D=180°，∴∠D=60°，
∴∠AOC=2∠D=120°，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA=30°；
（2）∵∠COB=3∠AOB，∴∠AOC=∠AOB+3∠AOB=120°，
∴∠AOB=30°，∴∠COB=∠AOC﹣∠AOB=90°，
在Rt△OCE中，OC=2，
∴OE=OC?tan∠OCE=2?tan30°=2×=2，
∴S△OEC=OE?OC=×2×2=2，∴S扇形OBC==3π，
∴S阴影=S扇形OBC﹣S△OEC=3π﹣2．1、如图，在扇形AOB中∠AOB=90°，正方形CDEF的顶点C是的中点，点D在OB上，点E在OB的延长线上，当正方形CDEF的边长为2时，则阴影部分的面积为（ ）
A．2π﹣4 B．4π﹣8 C．2π﹣8 D．4π﹣4
【解析】∵在扇形AOB中∠AOB=90°，正方形CDEF的顶点C是的中点，∴∠COD=45°，
∴OC==4，
∴阴影部分的面积=扇形BOC的面积﹣三角形ODC的面积
=×π×42﹣×（2）2=2π﹣4．故选：A．
2、如图，边长为1的菱形ABCD绕点A旋转，当B、C两点恰好落在扇形AEF的弧EF上时，弧BC的长度等于（ ）
A． B． C． D．
【解析】C．
3、如图，已知点A，B，C，D均在已知圆上，AD∥BC，AC平分∠BCD，∠ADC=120°，四边形ABCD的周长为10cm．图中阴影部分的面积为（ ）
A．cm2 B．（π﹣）cm2 C．cm2 D．cm2
【解析】∵AC平分∠BCD，∴=，
∵AD∥BC，AC平分∠BCD，∠ADC=120°，所以∠ACD=∠DAC=30°，
∴=，∴∠BAC=90°∠B=60°，∴BC=2AB，
∴四边形ABCD的周长=AB+BC+CD+AD=BC×3+BC=10，解得BC=4cm，
∴圆的半径=×4=2cm，
∴阴影部分的面积=（π×22﹣×2×2×）=π﹣cm2．故选：B．
4、在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，以点B为圆心，BC的长为半径作弧，交AB于点D，若点D为AB的中点，则阴影部分的面积是（ ）
A．2﹣π B．4﹣π
C．2﹣π D．π
【解析】∵D为AB的中点，∴BC=BD=AB，∴∠A=30°，∠B=60°．
∵AC=2，∴BC=AC?tan30°=2?=2，
∴S阴影=S△ABC﹣S扇形CBD=×2×2﹣=2﹣π．故选A．
5、如图1，已知在⊙O中，点C为劣弧AB上的中点，连接AC并延长至D，使CD=CA，连接DB并延长DB交⊙O于点E，连接AE．
（1）求证：AE是⊙O的直径；
（2）如图2，连接EC，⊙O半径为5，AC的长为4，求阴影部分的面积之和．（结果保留π与根号）
【解析】（1）证明：连接CB，AB，CE，∵点C为劣弧AB上的中点，∴CB=CA，又∵CD=CA，
∴AC=CD=BC，∴∠ABC=∠BAC，∠DBC=∠D，
∵Rt△斜边上的中线等于斜边的一半，∴∠ABD=90°，
∴∠ABE=90°，即弧AE的度数是180°，∴AE是⊙O的直径；
（2）解：∵AE是⊙O的直径，∴∠ACE=90°，
∵AE=10，AC=4，∴根据勾股定理得：CE=2，
∴S阴影=S半圆﹣S△ACE=12.5π﹣×4×2=12.5π﹣4．6、如图，已知⊙O的半径为2，AB为直径，CD为弦．AB与CD交于点M，将沿CD翻折后，点A与圆心O重合，延长OA至P，使AP=OA，连接PC
（1）求CD的长；
（2）求证：PC是⊙O的切线；
（3）点G为的中点，在PC延长线上有一动点Q，连接QG交AB于点E．交于点F（F与B、C不重合）．问GE?GF是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，请说明理由．
【解析】（1）解：如图，连接OC，∵沿CD翻折后，点A与圆心O重合，
∴OM=OA=×2=1，CD⊥OA，
∵OC=2，∴CD=2CM=2=2=2；
（2）证明：∵PA=OA=2，AM=OM=1，CM=CD=，∠CMP=∠OMC=90°，
∴PC===2，∵OC=2，PO=2+2=4，
∴PC2+OC2=（2）2+22=16=PO2，∴∠PCO=90°，
∴PC是⊙O的切线；
（3）解：GE?GF是定值，证明如下：如图，连接GA、AF、GB，
∵点G为的中点，∴=，∴∠BAG=∠AFG，
又∵∠AGE=∠FGA，∴△AGE∽△FGA，∴=，∴GE?GF=AG2，
∵AB为直径，AB=4，∴∠BAG=∠ABG=45°，
∴AG=2，∴GE?GF=8．
S(Summary-Embedded)——归纳总结
切线长定理中三处垂直关系、三对全等关系、两对弧相等关系；
圆与正多边形的关系；
弧长、不规则阴影面积的计算。
掌握切线长定理题型，对不规则的阴影部分面积进行转化，是解决本节问题的关键。本节课我学到
我需要努力的地方是
体系搭建
实战演练
直击中考
重点回顾
名师点拨
学霸经验
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