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【专题讲义】北师大版九年级数学下册
第9讲 圆综合复习专题精讲（培优版）
授课主题 第09讲——圆
授课类型 T同步课堂 P实战演练 S归纳总结
教学目标 理解圆的定义与点与圆的位置关系及圆的对称性；熟练掌握圆心角、弦、弧之间的关系； 熟练掌握圆周角定理及其推论； 掌握圆内接四边形、正多边形的性质；掌握圆外接、内切三角形的性质； 掌握圆与直线的位置关系判定及切线的性质与判定； 理解切线长定理并进行弧、扇形等圆的相关计算。
授课日期及时段
T（Textbook-Based）——同步课堂
知识概念 （一）圆的定义，点与圆的位置关系1、在同一平面内，一条线段OP绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点P所形成的图形叫做圆。定点O就是圆心，线段OP就是圆的半径，以点O为圆心的圆记作⊙Ｏ，读作“圆O”。 2、平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。其中，定点就是圆心，定长就是半径。 3、点在圆内d ＜ r； 点在圆上d = r； 点在圆外d ＞ r（二）圆心角、弧、弦之间的关系1、定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．2、推论：同圆或等圆中：(1)两个圆心角相等；(2)两条弧相等；(3)两条弦相等． 三项中有一项成立，则其余对应的两项也成立．（三）垂径定理1、内 容：垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧2、逆 定 理：平分弦(不是直径)的直径垂直于这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧 3、推 论：弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的弧? 平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦,并且平分这条弦所对的另一条弧在同圆或者等圆中,两条平行弦所夹的弧相等 4、使用条件：一条直线,在下列4条中只要具备其中任意两条作为条件,就可以推出其他三条结论
（1）平分弦所对的弧；（2）平分弦 (不是直径)；（3）垂直于弦；（4）经过圆心（四）圆周角的定义与圆周角定理1、圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．2、圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
3、推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．（五）圆内接四边形 1、圆内接四边形的性质：①圆内接四边形的对角互补． ②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）． （六）确定圆的条件1、条件：不在同一直线上的三点确定一个圆．（七）三角形的外接圆1、外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．
2、外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．
锐角三角形的外心在三角形的内部； 直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点； 钝角三角形的外心在三角形的外部（八）直线与圆的位置关系判定：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．
①直线l和⊙O相交?d＜r； ②直线l和⊙O相切?d=r； ③直线l和⊙O相离?d＞r．（九）切线的性质①圆的切线垂直于经过切点的半径．
②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．
③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
1、注意：切线的性质可总结如下：
如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是： ①直线过圆心；② 直线过切点；③ 直线与圆的切线垂直．2、切线性质的运用（常作辅助线）
由定理可知，若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记作：见切点，连半径，见垂直．（十）切线的判定定理1、切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
2、在应用判定定理时注意：（常用解题思路）
“无交点，作垂线段，证半径”； “有交点，作半径，证垂直”．（十一）三角形的内切圆与内心 1、内切圆的有关概念：三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．2、任何一个三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形．3、三角形内心的性质：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．（十二）切线长定理 1、切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角．
2、切线长定理包含着一些隐含结论
①垂直关系三处；②全等关系三对；③弧相等关系两对，在一些证明求解问题中经常用到． （十三）圆的相关计算1、弧长公式：2、扇形面积公式：考点一： 圆的定义、点与圆的位置关系例1、列说法：①弧分为优弧和劣弧；②半径相等的圆是等圆；③过圆心的线段是直径；④长度相等的弧是等弧；⑤半径是弦，其中错误的个数为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 例2、A、B是半径为5cm的⊙O上两个不同的点，则弦AB的取值范围是（ ） A．AB＞0 B．0＜AB＜5 C．0＜AB＜10 D．0＜AB≤10考点二： 圆心角、弧、弦的关系例1、在同圆或等圆中，下列说法错误的是（ ） A．相等弦所对的弧相等 B．相等弦所对的圆心角相等 C．相等圆心角所对的弧相等 D．相等圆心角所对的弦相等例2、如图，AB是⊙O的弦（AB不是直径），以点A为圆心，以AB长为半径画弧交 ⊙O于点C，连结AC、BC、OB、OC．若∠ABC=65°，则∠BOC的度数是（ ） A．50° B．65° C．100° D．130° 考点三： 垂径定理及推论例1、如图，⊙O过正方形ABCD的顶点A、B，且与CD相切，若正方形ABCD的边长为2，则⊙O的半径为（ ） A．1 B． C． D．例2、如图所示为圆柱形大型储油罐固定在U型槽上的横截面图．已知图中ABCD为等腰梯形（AB∥DC），支点A与B相距8m，罐底最低点到地面CD距离为1m．设油罐横截面圆心为O，半径为5m，∠D=56°，求：U型槽的横截面（阴影部分）的面积．（参考数据：sin53°≈0.8，tan56°≈1.5，π≈3，结果保留整数） 考点四： 圆周角与圆心角关系及圆内接四边形例1、如图，把直角三角板的直角顶点O放在破损玻璃镜的圆周上，两直角边与圆弧分别交于点M、N，量得OM=8cm，ON=6cm，则该圆玻璃镜的半径是（ ） A．cm B．5cm C．6cm D．10cm例2、如图，圆内接四边形ABCD的两组对边的延长线分别相较于点E，F，若∠A=55°，∠E=30°，则∠F=（ ） A．25° B．30° C．40° D．55° 考点五： 直线和圆的位置关系例1、已知⊙O的面积为3π，则其内接正三角形的面积为（ ） A．9 B． C． D．例2、如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，若∠A=30°，则sin∠E的值为（ ） A． B． C． D．例3、如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，以AB为直径的⊙O与DC相切于E．已知AB=8，边BC比AD大6． （1）求边AD、BC的长； （2）在直径AB上是否存在一动点P，使以A、D、P为顶点的三角形与△BCP相似？若存在，求出AP的长；若不存在，请说明理由． 考点六：切线长定理和圆的相关计算 例1、已知正六边形的边长为2，则它的内切圆的半径为（ ） A．1 B． C．2 D．2例2、如图，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，若将△AOB绕点O顺时针旋转90°得到△A′OB′，则A点运动的路径的长为（ ） A．π B．2π C．4π D．8π例3、如图，在Rt△ABC中，∠A=30°，BC=2，以直角边AC为直径作⊙O交AB于点D，则图中阴影部分的面积是（ ） A．﹣ B．﹣ C．﹣ D．﹣ 例4、如图，AB为⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点C的直线交AB的延长线于点D，AE⊥DC，垂足为E，F是AE与⊙O的交点，AC平分∠BAE． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）若AE=6，∠D=30°，求图中阴影部分的面积．
P(Practice-Oriented)——实战演练
课堂狙击1、如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，以顶点D为圆心作半径为r的圆，若点A，B，C中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则r的值可以是下列选项中的（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 2、下列五个命题：（1）两个端点能够重合的弧是等弧；（2）圆的任意一条弧必定把圆分成劣弧和优弧两部分（3）经过平面上任意三点可作一个圆；（4）任意一个圆有且只有一个内接三角形（5）三角形的外心到各顶点距离相等．其中真命题有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3、在平面直角坐标系xOy中，经过点（sin45°，cos30°）的直线，与以原点为圆心，2为半径的圆的位置关系是（ ） A．相交 B．相切 C．相离 D．以上三者都有可能 4、如图，如果直线AB与半径为2的⊙O相切于点C，D是⊙O上一点，且∠EDC=30°，弦EF∥AB，则EF的长是（ ） A．2 B．8 C．2 D．2 5、下列命题中为真命题的是（ ） A．有一个角是40°的两个等腰三角形相似 B．三点一定可以确定一个圆 C．圆心角的度数相等，则圆心角所对的弧相等 D．三角形的内心到三角形三边距离相等 6、如图，AB是半圆O的直径，AC为弦，OD⊥AC于D，过点O作 OE∥AC交半圆O于点E，若AC=12，则OF的长为（ ） A．8 B．7 C．6 D．4 7、如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC=2，点O是边BC的中点，半圆O与△ABC相切于点D、E，则阴影部分的面积等于（ ） A．1﹣ B． C．1﹣ D． 8、如图，在△ABC中，∠C=90°，D、F是AB边上的两点，以DF为直径的⊙O与BC相交于点E，连接EF，过F作FG⊥BC于点G，其中∠OFE=∠A． （1）求证：BC是⊙O的切线； （2）若sinB=，⊙O的半径为r，求△EHG的面积（用含r的代数式表示）． 课后反击1、下列说法：①相等的圆心角所对的弧相等；②相等的弧所对的弦相等；③相等的弦所对的弧相等；④半径相等的两个半圆是等弧，其中正确的个数有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2、在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，以点C为圆心2cm长为半径的圆与AB的位置关系是（ ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定 3、如图，在⊙O中，已知=，则AC与BD的关系是（ ） A．AC=BD B．AC＜BD C．AC＞BD D．不确定 4、如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，已知点A的坐标是（﹣2，3），点C的坐标是（1，2），那么这条圆弧所在圆的圆心坐标是（ ） A．（0，0） B．（﹣1，1） C．（﹣1，0） D．（﹣1，﹣1） 5、如图，⊙O的直径AB=10，C是AB上一点，矩形ACND交⊙O于M，N两点，若DN=8，则AD的值为（ ） A．4 B．6 C．2 D．3 6、如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CAB=40°，则∠ABD与∠AOD分别等于（ ） A．40°，80° B．50°，100° C．50°，80° D．40°，100° 7、如图，在以O为圆心的两个同心圆中，AB经过圆心O，且与小圆相交于点A，与大圆相交于点B．小圆的切线AC与大圆相交于点D， 且CO平分∠ACB． （1）试判断BC所在直线与小圆的位置关系，并说明理由； （2）试判断线段AC、AD、BC之间的数量关系，并说明理由． （3）若AB=8，BC=10，求大圆与小圆围成的圆环的面积． 1、如图，半径为3的⊙A经过原点O和点C（0，2），B是y轴左侧⊙A优弧上一点，则tan∠OBC为（ ） A． B．2 C． D． 2、如图四边形ABCD内接于⊙O，F是上一点，且=，连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC．若∠ABC=105°，∠BAC=25°，则∠E的度数为（ ） A．45° B．50° C．55° D．60° 3、如图，AB是⊙O的切线，B为切点，AC经过点O，与⊙O分别相交于点D，C．若∠ACB=30°，AB=，则阴影部分的面积是（ ） A． B． C．﹣ D．﹣ 4、如图，已知△ABC，∠ACB=90°，AC＜BC，点D为AB的中点，过点D作BC的垂线，垂足为点F，过点A、C、D作⊙O交BC于点E，连接CD、DE． （1）求证：DF为⊙O的切线； （2）若AC=3，BC=9，求DE的长．
S(Summary-Embedded)——归纳总结
利用圆心角、弦、弧的关系和圆周角定理及其推论等知识解决关于圆的性质相关的问题； 综合运用圆的知识解圆的相关计算。本单元内容较多，熟练理解并识记相关性质定理是学好本单元的前提，多练是根本，善于总结是成绩提高的保障。本节课我学到 我需要努力的地方是
体系搭建
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【专题讲义】北师大版九年级数学下册
第9讲 圆综合复习专题精讲（解析版）
参考答案
授课主题 第09讲-----圆
授课类型 T同步课堂 P实战演练 S归纳总结
教学目标 理解圆的定义与点与圆的位置关系及圆的对称性；熟练掌握圆心角、弦、弧之间的关系； 熟练掌握圆周角定理及其推论； 掌握圆内接四边形、正多边形的性质；掌握圆外接、内切三角形的性质； 掌握圆与直线的位置关系判定及切线的性质与判定； 理解切线长定理并进行弧、扇形等圆的相关计算。
授课日期及时段
T（Textbook-Based）——同步课堂
知识概念 （一）圆的定义，点与圆的位置关系1、在同一平面内，一条线段OP绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点P所形成的图形叫做圆。定点O就是圆心，线段OP就是圆的半径，以点O为圆心的圆记作⊙Ｏ，读作“圆O”。 2、平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。其中，定点就是圆心，定长就是半径。 3、点在圆内d ＜ r； 点在圆上d = r； 点在圆外d ＞ r（二）圆心角、弧、弦之间的关系1、定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．2、推论：同圆或等圆中：(1)两个圆心角相等；(2)两条弧相等；(3)两条弦相等． 三项中有一项成立，则其余对应的两项也成立．（三）垂径定理1、内 容：垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧2、逆 定 理：平分弦(不是直径)的直径垂直于这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧 3、推 论：弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的弧? 平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦,并且平分这条弦所对的另一条弧在同圆或者等圆中,两条平行弦所夹的弧相等 4、使用条件：一条直线,在下列4条中只要具备其中任意两条作为条件,就可以推出其他三条结论
（1）平分弦所对的弧；（2）平分弦 (不是直径)；（3）垂直于弦；（4）经过圆心（四）圆周角的定义与圆周角定理1、圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．2、圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
3、推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．（五）圆内接四边形 1、圆内接四边形的性质：①圆内接四边形的对角互补． ②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）． （六）确定圆的条件1、条件：不在同一直线上的三点确定一个圆．（七）三角形的外接圆1、外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．
2、外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．
锐角三角形的外心在三角形的内部； 直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点； 钝角三角形的外心在三角形的外部（八）直线与圆的位置关系判定：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．
①直线l和⊙O相交?d＜r； ②直线l和⊙O相切?d=r； ③直线l和⊙O相离?d＞r．（九）切线的性质①圆的切线垂直于经过切点的半径．
②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．
③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
1、注意：切线的性质可总结如下：
如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是： ①直线过圆心；② 直线过切点；③ 直线与圆的切线垂直．2、切线性质的运用（常作辅助线）
由定理可知，若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记作：见切点，连半径，见垂直．（十）切线的判定定理1、切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
2、在应用判定定理时注意：（常用解题思路）
“无交点，作垂线段，证半径”； “有交点，作半径，证垂直”．（十一）三角形的内切圆与内心 1、内切圆的有关概念：三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．2、任何一个三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形．3、三角形内心的性质：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．（十二）切线长定理 1、切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角．
2、切线长定理包含着一些隐含结论
①垂直关系三处；②全等关系三对；③弧相等关系两对，在一些证明求解问题中经常用到． （十三）圆的相关计算1、弧长公式：2、扇形面积公式：考点一： 圆的定义、点与圆的位置关系例1、列说法：①弧分为优弧和劣弧；②半径相等的圆是等圆；③过圆心的线段是直径；④长度相等的弧是等弧；⑤半径是弦，其中错误的个数为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【解析】①③④⑤错误， 半圆也是弧；②正确；故选：C．例2、A、B是半径为5cm的⊙O上两个不同的点，则弦AB的取值范围是（ ） A．AB＞0 B．0＜AB＜5 C．0＜AB＜10 D．0＜AB≤10 【解析】∵圆中最长的弦为直径，∴0＜AB≤10．故选：D．考点二： 圆心角、弧、弦的关系例1、在同圆或等圆中，下列说法错误的是（ ） A．相等弦所对的弧相等 B．相等弦所对的圆心角相等 C．相等圆心角所对的弧相等 D．相等圆心角所对的弦相等 【解析】A．例2、如图，AB是⊙O的弦（AB不是直径），以点A为圆心，以AB长为半径画弧交 ⊙O于点C，连结AC、BC、OB、OC．若∠ABC=65°，则∠BOC的度数是（ ） A．50° B．65° C．100° D．130° 【解析】由题意可得：AB=AC，∵∠ABC=65°，∴∠ACB=65°， ∴∠A=50°，∴∠BOC=100°，故选：C． 考点三： 垂径定理及推论例1、如图，⊙O过正方形ABCD的顶点A、B，且与CD相切，若正方形ABCD的边长为2，则⊙O的半径为（ ） A．1 B． C． D． 【解析】连接OE、OB，延长EO交AB于F；∴E是切点，∴OE⊥CD，∴OF⊥AB，OE=OB； 设OB=R，则OF=2﹣R，在Rt△OBF中，BF=AB=×2=1，OB=R，OF=2﹣R， ∴R2=（2﹣R）2+12，解得R=．故选：D．例2、如图所示为圆柱形大型储油罐固定在U型槽上的横截面图．已知图中ABCD为等腰梯形（AB∥DC），支点A与B相距8m，罐底最低点到地面CD距离为1m．设油罐横截面圆心为O，半径为5m，∠D=56°，求：U型槽的横截面（阴影部分）的面积．（参考数据：sin53°≈0.8，tan56°≈1.5，π≈3，结果保留整数） 【解析】如图，连接AO、BO．过点A作AE⊥DC于点E，过点O作ON⊥DC 于点N，ON交⊙O于点M，交AB于点F．则OF⊥AB． ∵OA=OB=5m，AB=8m，OM是半径，OM⊥AB， ∴AF=BF=AB=4（m），∠AOB=2∠AOF， 在Rt△AOF中，sin∠AOF==0.8=sin53°，∴∠AOF=53°，则∠AOB=106°， ∵OF==3（m），由题意得：MN=1m， ∴FN=OM﹣OF+MN=3（m）， ∵四边形ABCD是等腰梯形，AE⊥DC，FN⊥AB， ∴AE=FN=3m，DC=AB+2DE．在Rt△ADE中，tan56°==，∴DE=2m，DC=12m． ∴S阴=S梯形ABCD﹣（S扇OAB﹣S△OAB）=（8+12）×3﹣（π×52﹣×8×3）≈20（m2）． 答：U型槽的横截面积约为20m2． 考点四： 圆周角与圆心角关系及圆内接四边形例1、如图，把直角三角板的直角顶点O放在破损玻璃镜的圆周上，两直角边与圆弧分别交于点M、N，量得OM=8cm，ON=6cm，则该圆玻璃镜的半径是（ ） A．cm B．5cm C．6cm D．10cm 【解析】如图，连接MN，∵∠O=90°，∴MN是直径，又OM=8cm，ON=6cm， MN===10（cm）．∴该圆玻璃镜的半径是：MN=5cm．故选：B．例2、如图，圆内接四边形ABCD的两组对边的延长线分别相较于点E，F，若∠A=55°，∠E=30°，则∠F=（ ） A．25° B．30° C．40° D．55° 【解析】∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠BCF=∠A=55°， ∵∠CBF是△ABE的一个外角，∴∠CBF=∠A+∠E=85°， ∴∠F=180°﹣∠BCF﹣∠CBF=40°，故选：C．考点五： 直线和圆的位置关系例1、已知⊙O的面积为3π，则其内接正三角形的面积为（ ） A．9 B． C． D． 【解析】B．例2、如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，若∠A=30°，则sin∠E的值为（ ） A． B． C． D． 【解析】A． 例3、如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，以AB为直径的⊙O与DC相切于E．已知AB=8，边BC比AD大6． （1）求边AD、BC的长； （2）在直径AB上是否存在一动点P，使以A、D、P为顶点的三角形与△BCP相似？若存在，求出AP的长；若不存在，请说明理由． 【解析】（1）过D作DF⊥BC于F，在Rt△DFC中，DF=AB=8，FC=BC﹣AD=6， ∴DC2=62+82=100，即DC=10． 设AD=x，则DE=AD=x，EC=BC=x+6， ∴x+（x+6）=10．∴x=2．∴AD=2，BC=2+6=8． （2）存在符合条件的P点．设AP=y，则BP=8﹣y，△ADP与△BCP相似，有两种情况： ①△ADP∽△BCP时，∴y=； ②△ADP∽△BPC时，∴y=4． 故存在符合条件的点P，此时AP=或4． 考点六：切线长定理和圆的相关计算 例1、已知正六边形的边长为2，则它的内切圆的半径为（ ） A．1 B． C．2 D．2 【解析】B．例2、如图，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，若将△AOB绕点O顺时针旋转90°得到△A′OB′，则A点运动的路径的长为（ ） A．π B．2π C．4π D．8π 【解析】B． 例3、如图，在Rt△ABC中，∠A=30°，BC=2，以直角边AC为直径作⊙O交AB于点D，则图中阴影部分的面积是（ ） A．﹣ B．﹣ C．﹣ D．﹣ 【解析】连接OD、CD．∵AC是直径，∴∠ADC=90°， ∵∠A=30°，∴∠ACD=90°﹣∠A=60°，∵OC=OD，∴△OCD是等边三角形， ∵BC是切线．∴∠ACB=90°，∵BC=2，∴AB=4，AC=6， ∴S阴=S△ABC﹣S△ACD﹣（S扇形OCD﹣S△OCD） =×6×2﹣×3×﹣（﹣×32）=﹣π．故选A． 例4、如图，AB为⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点C的直线交AB的延长线于点D，AE⊥DC，垂足为E，F是AE与⊙O的交点，AC平分∠BAE． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）若AE=6，∠D=30°，求图中阴影部分的面积． 【解析】（1）连接OC，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA， ∵AC平分∠BAE，∴∠OAC=∠CAE，∴∠OCA=∠CAE， ∴OC∥AE，∴∠OCD=∠E，∵AE⊥DE，∴∠E=90°，∴∠OCD=90°，∴OC⊥CD， ∵点C在圆O上，OC为圆O的半径，∴CD是圆O的切线； （2）在Rt△AED中，∵∠D=30°，AE=6，∴AD=2AE=12， 在Rt△OCD中，∵∠D=30°，∴DO=2OC=DB+OB=DB+OC，∴DB=OB=OC=AD=4，DO=8， ∴CD===4， ∴S△OCD===8， ∵∠D=30°，∠OCD=90°，∴∠DOC=60°，∴S扇形OBC=×π×OC2=， ∵S阴影=S△COD﹣S扇形OBC∴S阴影=8﹣，∴阴影部分的面积为8﹣．
P(Practice-Oriented)——实战演练
课堂狙击1、如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，以顶点D为圆心作半径为r的圆，若点A，B，C中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则r的值可以是下列选项中的（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【解析】B． 2、下列五个命题：（1）两个端点能够重合的弧是等弧；（2）圆的任意一条弧必定把圆分成劣弧和优弧两部分（3）经过平面上任意三点可作一个圆；（4）任意一个圆有且只有一个内接三角形（5）三角形的外心到各顶点距离相等．其中真命题有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解析】只有（5）正确，故选A． 3、在平面直角坐标系xOy中，经过点（sin45°，cos30°）的直线，与以原点为圆心，2为半径的圆的位置关系是（ ） A．相交 B．相切 C．相离 D．以上三者都有可能 【解析】A． 4、如图，如果直线AB与半径为2的⊙O相切于点C，D是⊙O上一点， 且∠EDC=30°，弦EF∥AB，则EF的长是（ ） A．2 B．8 C．2 D．2 【解析】连接OE和OC，且OC与EF的交点为M． ∵∠EDC=30°，∴∠COE=60°．∵AB与⊙O相切，∴OC⊥AB， 又∵EF∥AB，∴OC⊥EF，即△EOM为直角三角形． 在Rt△EOM中，EM=sin60°×OE=×2=，∵EF=2EM，∴EF=2．故选A． 5、下列命题中为真命题的是（ ） A．有一个角是40°的两个等腰三角形相似 B．三点一定可以确定一个圆 C．圆心角的度数相等，则圆心角所对的弧相等 D．三角形的内心到三角形三边距离相等 【解析】D． 6、如图，AB是半圆O的直径，AC为弦，OD⊥AC于D，过点O作 OE∥AC交半圆O于点E，若AC=12，则OF的长为（ ） A．8 B．7 C．6 D．4 【解析】∵OE∥AC，∴∠A=∠FOE，∵OD⊥AC，∴AD=CD=AC=6，∠ADO=90°， ∵EF⊥OB，∴∠OFE=90°，在△ODA和△EFO中，∴△ODA≌△EFO， ∴AD=OF=6．故选C． 7、如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC=2，点O是边BC的中点，半圆O与△ABC相切于点D、E，则阴影部分的面积等于（ ） A．1﹣ B． C．1﹣ D． 【解析】连接OD，OE，∵半圆O与△ABC相切于点D、E，∴OD⊥AB，OE⊥AC， ∵在△ABC中，∠A=90°，AB=AC=2， ∴四边形ADOE是正方形，△OBD和△OCE是等腰直角三角形， ∴OD=OE=AD=BD=AE=EC=1，∴∠ABC=∠EOC=45°，∴AB∥OE， ∴∠DBF=∠OEF，在△BDF和△EOF中，，∴△BDF≌△EOF（AAS）， ∴S阴影=S扇形DOE=×π×12=．故选B． 8、如图，在△ABC中，∠C=90°，D、F是AB边上的两点，以DF为直径的⊙O与BC相交于点E，连接EF，过F作FG⊥BC于点G，其中∠OFE=∠A． （1）求证：BC是⊙O的切线； （2）若sinB=，⊙O的半径为r，求△EHG的面积（用含r的代数式表示）． 【解析】（1）证明：连接OE，∵在△ABC中，∠C=90°，FG⊥BC， ∴∠BGF=∠C=90°，∴FG∥AC，∴∠OFG=∠A， ∴∠OFE=∠OFG， ∴∠OFE=∠EFG，∵OE=OF，∴∠OFE=∠OEF，∴∠OEF=∠EFG， ∴OE∥FG，∴OE⊥BC，∴BC是⊙O的切线； （2）解：∵在Rt△OBE中，sinB=，⊙O的半径为r，∴OB=r，BE=r， ∴BF=OB+OF=r，∴FG=BF?sinB=r， ∴BG==r，∴EG=BG﹣BE=r， ∴S△FGE=EG?FG=r2，EG：FG=1：2， ∵BC是切线，∴∠GEH=∠EFG，∵∠EGH=∠FGE，∴△EGH∽△FGE， ∴=（）2=，∴S△EHG=S△FGE=r2．课后反击1、下列说法：①相等的圆心角所对的弧相等；②相等的弧所对的弦相等；③相等的弦所对的弧相等；④半径相等的两个半圆是等弧，其中正确的个数有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解析】只有④正确，故选A． 2、在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，以点C为圆心2cm长为半径的圆与AB的位置关系是（ ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定 【解析】C． 3、如图，在⊙O中，已知=，则AC与BD的关系是（ ） A．AC=BD B．AC＜BD C．AC＞BD D．不确定 【解析】A． 4、如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，已知点A的坐标是（﹣2，3），点C的坐标是（1，2），那么这条圆弧所在圆的圆心坐标是（ ） A．（0，0） B．（﹣1，1） C．（﹣1，0） D．（﹣1，﹣1） 【解析】B． 5、如图，⊙O的直径AB=10，C是AB上一点，矩形ACND交⊙O于M，N两点，若DN=8，则AD的值为（ ） A．4 B．6 C．2 D．3 【解析】A． 6、如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CAB=40°，则∠ABD与∠AOD分别等于（ ） A．40°，80° B．50°，100° C．50°，80° D．40°，100° 【解析】B． 7、如图，在以O为圆心的两个同心圆中，AB经过圆心O，且与小圆相交于点A，与大圆相交于点B．小圆的切线AC与大圆相交于点D， 且CO平分∠ACB． （1）试判断BC所在直线与小圆的位置关系，并说明理由； （2）试判断线段AC、AD、BC之间的数量关系，并说明理由． （3）若AB=8，BC=10，求大圆与小圆围成的圆环的面积． 【解析】（1）BC所在直线与小圆相切．理由如下： 过圆心O作OE⊥BC，垂足为E；∵AC是小圆的切线，AB经过圆心O，∴OA⊥AC； 又∵CO平分∠ACB，OE⊥BC，∴OE=OA，∴BC所在直线是小圆的切线． （2）AC+AD=BC．理由如下：连接OD． ∵AC切小圆O于点A，BC切小圆O于点E，∴CE=CA； ∵在Rt△OAD与Rt△OEB中，，∴Rt△OAD≌Rt△OEB（HL），∴EB=AD；∵BC=CE+EB，∴BC=AC+AD． （3）∵∠BAC=90°，AB=8cm，BC=10cm，∴AC=6cm； ∵BC=AC+AD，∴AD=BC﹣AC=4cm， ∵圆环的面积为：S=π（OD）2﹣π（OA）2=π（OD2﹣OA2）， 又∵OD2﹣OA2=AD2，∴S=42π=16π（cm2）．1、如图，半径为3的⊙A经过原点O和点C（0，2），B是y轴左侧⊙A优弧上一点，则tan∠OBC为（ ） A． B．2 C． D． 【解析】C． 2、如图四边形ABCD内接于⊙O，F是上一点，且=，连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC．若∠ABC=105°，∠BAC=25°，则∠E的度数为（ ） A．45° B．50° C．55° D．60° 【解析】∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC=105°， ∴∠ADC=180°﹣∠ABC=180°﹣105°=75°．∵=，∠BAC=25°， ∴∠DCE=∠BAC=25°，∴∠E=∠ADC﹣∠DCE=75°﹣25°=50°．故选B． 3、如图，AB是⊙O的切线，B为切点，AC经过点O，与⊙O分别相交于点D，C．若∠ACB=30°，AB=，则阴影部分的面积是（ ） A． B． C．﹣ D．﹣【解析】连接OB．∵AB是⊙O切线，∴OB⊥AB，∵OC=OB，∠C=30°， ∴∠C=∠OBC=30°，∴∠AOB=∠C+∠OBC=60°， 在RT△ABO中，∵∠ABO=90°，AB=，∠A=30°，∴OB=1， ∴S阴=S△ABO﹣S扇形OBD=×1×﹣=﹣．故选C． 4、如图，已知△ABC，∠ACB=90°，AC＜BC，点D为AB的中点，过点D作BC的垂线，垂足为点F，过点A、C、D作⊙O交BC于点E，连接CD、DE． （1）求证：DF为⊙O的切线； （2）若AC=3，BC=9，求DE的长． 【解析】（1）证明：连接DO并延长交AC于M，如图1所示： ∵∠ACB=90°，AC＜BC，点D为AB的中点，∴CD=AB=AD， ∴，∴DM⊥AC，∴DM∥BC，∵DF⊥BC，∴DF⊥DO，∴DF为⊙O的切线； （2）解：由（1）得：AC∥DF， ∵点D为AB的中点，∴DF=AC=1.5，CF=BF=BC=4.5， 作ON⊥CE于N，连接OA，如图2所示： 则CN=EN=CE，AM=CM=ON=DF=1.5，设⊙O的半径为r，在△AOM中， 由勾股定理得：r2+（4.5﹣r）2=r2，解得：r=2.5， ∴CN=EN=OM=4.5﹣2.5=2，∴CE=4，∴EF=4.5﹣4=0.5， ∴DE===．
S(Summary-Embedded)——归纳总结
利用圆心角、弦、弧的关系和圆周角定理及其推论等知识解决关于圆的性质相关的问题； 综合运用圆的知识解圆的相关计算。本单元内容较多，熟练理解并识记相关性质定理是学好本单元的前提，多练是根本，善于总结是成绩提高的保障。本节课我学到 我需要努力的地方是
体系搭建
实战演练
直击中考
重点回顾
名师点拨
学霸经验
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