第三章 3.1
【基础练习】
1．对两个变量y与x进行回归分析，得到一组样本数据：(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，则下列说法不正确的是( )
A．若求得相关系数r＝－0.89，则y与x具备很强的线性相关关系且为负相关
B．同学甲根据这组数据得到的回归模型1的残差平方和E1＝1.8，同学乙根据这组数据得到的回归模型2的残差平方和E2＝2.4，则模型1的拟合效果更好
C．用相关指数R2来刻画回归效果，模型1的相关指数R＝0.48，模型2的相关指数R＝0.91，则模型1的拟合效果更好
D．该回归分析只对被调查样本的总体适用
【答案】C
2．设有一个线性回归方程＝2－3.5x，则变量x增加1个单位时( )
A．y平均增加3.5个单位
B．y平均增加2个单位
C．y平均减少3.5个单位
D．y平均减少2个单位
【答案】C
3．在对两个变量y与x进行回归分析时，分别选择了4个不同模型，它们的相关指数R2如下，其中拟合效果最好的模型是( )
A．模型1，相关指数R2为0.98
B．模型2，相关指数R2为0.80
C．模型3，相关指数R2为0.50
D．模型4，相关指数R2为0.25
【答案】A
4．设某大学的女生体重y(单位：kg)与身高x(单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(xi，yi)(i＝1,2，…，n)，用最小二乘法建立的回归方程为＝0.85x－85.71，则下列结论中不正确的是( )
A．y与x具有正的线性相关关系
B．回归直线过样本点的中心(，)
C．若该大学某女生身高增加1
cm，则其体重约增加0.85
kg
D．若该大学某女生身高为170
cm，则可断定其体重必为58.79
kg
【答案】D
5．已知x与y之间的一组数据如下，则y与x的线性回归方程为＝bx＋a必过点________.
x
0
1
3
4
y
1
3
5
7
【答案】(2,4)
6．某次测量发现一组数据(xi，yi)具有较强的相关性，并计算得＝x＋1，其中数据(1，y0)因书写不清，只记得y0是[0,3]上任意一个值，则该数据对应的残差的绝对值不大于1的概率为________．(残差＝真实值－预测值)
【答案】
【解析】由题意，其预测值为1＋1＝2，该数据对应的残差的绝对值不大于1时，1≤y0≤3，其概率可由几何概型求得，即该数据对应的残差的绝对值不大于1的概率p＝＝.
7．(2017年烟台期中)下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对照数据．
x
3
4
5
6
y
2.5
3
4
4.5
(1)请根据上表提供的数据求出y关于x的线性回归方程；
(2)已知该厂技术改造前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤，试根据(1)求出的线性回归方程预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低了多少吨标准煤．
参考公式：＝，＝－.
【解析】(1)＝×(3＋4＋5＋6)＝4.5，
＝×(2.5＋3＋4＋4.5)＝3.5，
iyi＝3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5，
＝32＋42＋52＋62＝86，
＝＝＝0.7，
＝－＝3.5－0.7×4.5＝0.35，
所以所求的回归方程为y＝0.7x＋0.35.
(2)x＝100时，y＝100×0.7＋0.35＝70.35，
预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低了90－70.35＝19.65(吨标准煤)．
8．某运动员训练次数与成绩之间的数据关系如下：
次数x
30
33
35
37
39
44
46
50
成绩y
30
34
37
39
42
46
48
51
(1)作出散点图；
(2)求出回归方程；
(3)作出残差图；
(4)计算相关指数R2.
【解析】(1)作出该运动员训练次数(x)与成绩(y)之间的散点图如图所示，由散点图可知，它们之间具有线性相关关系．
(2)＝39.25，＝40.875，＝12
656，
＝13
731，iyi＝13
180，
∴＝≈1.041
5.
∴＝－≈－0.003
02.
∴回归方程为＝1.041
5x－0.003
02.
(3)作残差图如图所示，
由图，可知残差点比较均匀地分布在水平带状区域中，说明选用的模型比较合适．
(4)计算得相关指数R2＝0.985
5，说明了该运动员的成绩的差异有98.55%是由训练次数引起的．
【能力提升】
9.(2019年天津期末)某研究机构在对具有线性相关的两个变量x,y进行统计分析时，得到如下数据，由表中数据求得y关于x的回归方程为=0.7x+a，则在这些样本点中任取一点，该点落在回归直线下方的概率为(
)
x
3
5
7
9
y
1
2
4
5
A.
B.
C.
D.0
【答案】B
【解析】由题意得=6,=3，所以3=0.7×6+a，解得a=-1.2,则=0.7x-1.2.四个样本点中，(3,1)，(7,4)落在直线的下方，故所求概率为=.故选B.
10．已知x与y之间的几组数据如下表：
x
1
2
3
4
5
6
y
0
2
1
3
3
4
假设根据上表数据所得线性回归直线方程为＝x＋，若某同学根据上表中的前两组数据(1,0)和(2,2)求得的直线方程为y′＝b′x＋a′，则以下结论正确的是( )
A.>b′，>a′
B.>b′，
C.a′
D.【答案】C
【解析】计算得＝3.5，＝，画出散点图，并根据各个点和回归中心画出回归直线的大致图形如图所示，由图易知a′.故选C.
11．(2018年珠海阶段性测试)从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入xi(单位：千元)与月储蓄yi(单位：千元)的数据资料，计算得i＝80，i＝20，iyi＝184，＝720.已知家庭的月储蓄y关于月收入x的线性回归方程为＝x＋，则变量y与x________(填“正相关”或“负相关”)；若该居民区某家庭月收入为8千元，预测该家庭的月储蓄是________千元．
【答案】正相关 2
【解析】由题意知＝i＝8，＝i＝2，∴＝＝0.3，＝2－0.3×8＝－0.4，∴＝0.3x－0.4.∵0.3>0，∴变量y与x正相关．当x＝8时，＝0.3×8－0.4＝2(千元)．
12．(2016年唐山二模)二手车经销商小王对其所经营的某一型号二手汽车的使用年数x(0＜x≤10)与销售价格y(单位：万元/辆)进行整理，得到如表的对应数据：
使用年数
2
4
6
8
10
售 价
16
13
9.5
7
4.5
(1)试求y关于x的回归直线方程；
(2)已知每辆该型号汽车的收购价格为w＝0.05x2－1.75x＋17.2万元，根据(1)中所求的回归方程，预测x为何值时，小王销售一辆该型号汽车所获得的利润z最大．
【解析】(1)由表中数据得，＝×(2＋4＋6＋8＋10)＝6，＝×(16＋13＋9.5＋7＋4.5)＝10，
所以＝＝－1.45，
＝10－(－1.45)×6＝18.7.
所以y关于x的回归直线方程为y＝－1.45x＋18.7.
(2)z＝y－w＝(－1.45x＋18.7)－(0.05x2－1.75x＋17.2)＝－0.05x2＋0.3x＋1.5，
当x＝－＝3时，二次函数z取得最大值，
即预测x＝3时，小王销售一辆该型号汽车所获得的利润z最大．(共55张PPT)
3.1 回归分析的基本思想及其初步应用
目标定位
重点难点
1.了解随机误差、残差、残差图的概念．
2．会通过分析残差判断线性回归模型的拟合效果．
3．掌握建立回归模型的步骤．
4．了解回归分析的基本思想方法和初步应用.
重点：了解回归模型与函数模型的区别及模型拟合效果的分析工具．
难点：残差变量的分析及指标的理解.
随机误差
0
越小
解释变量
预报变量
(xi，yi)
越小
越好
1．下列变量是相关关系的是( )
A．人的身高与视力
B．角的大小与所对的圆弧长
C．小麦亩产量与总产量
D．人的年龄与身高
【答案】D
【例1】
某商场经营一批进价是30元/台的小商品，在市场试验中发现，此商品的销售单价x(x取整数)元与日销售量y台之间有如下关系：
线性回归分析
x
35
40
45
50
y
56
41
28
11
(1)画出散点图，并判断y与x是否具有线性相关关系；
(2)求日销售量y对销售单价x的线性回归方程；
(3)设经营此商品的日销售利润为P元，根据(1)写出P关于x的函数关系式，并预测当销售单价x为多少元时，才能获得最大日销售利润．
【解题探究】作出散点图，根据散点图观察是否具有线性相关关系．
【解析】(1)散点图如图所示，从图中可以看出这些点大致分布在一条直线附近，因此两个变量线性相关．
8
求线性回归方程的最大难点是系数计算较为烦琐，计算时要仔细认真，随时做好检查，防止错误数据给后续步骤带来连锁反应．为避免出错，以及出错后便于检查，可将公式分解分别求出．
1．随着我国经济的快速发展，城乡居民的生活水平不断提高，为研究某市家庭平均收入与月平均生活支出的关系，该市统计部门随机调查了10个家庭，得数据如下：
(1)判断家庭平均收入与月平均生活支出是否相关；
(2)若二者线性相关，求回归直线方程．
家庭编号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
xi(收入)/千元
0.8
1.1
1.3
1.5
1.5
1.8
2.0
2.2
2.4
2.8
yi(支出)/千元
0.7
1.0
1.2
1.0
1.3
1.5
1.3
1.7
2.0
2.5
【解析】(1)作出散点图．
观察发现各个数据对应的点都在一条直线附近，所以二者呈线性相关关系．
【例2】
一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了10次试验，测得的数据如下：
(1)建立零件数为解释变量，加工时间为预报变量的回归模型，并计算残差；
(2)你认为这个模型能较好地刻画零件数和加工时间的关系吗？
拟合效果分析
编 号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
零件数x
/个
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
加工时间y
/分
62
68
75
81
89
95
102
108
115
122
【解题探究】利用公式分别计算即可．
【解析】(1)根据表中数据作出散点图(图略)，从而可以判断出用线性回归模型来拟合数据．
计算得加工时间对零件数的线性回归方程为＝0.668x＋54.96.
残差数据如下表，
(2)以零件数为横坐标，残差为纵坐标作出残差图如上图所示．
由图可知残差点分布较均匀，即用上述回归模型拟合数据效果很好．但需注意，由残差图也可以看出，第4个样本点和第5个样本点的残差比较大，需要确认在采集这两个样本点的过程中是否有人为的错误．
8
(1)残差平方和越小，预报精确度越高．(2)相关指数R2越大，说明模型的拟合效果越好．
2．在一段时间内，某种商品的价格x(元)和需求量y(件)之间的一组数据为：
求出y对x的回归直线方程，并说明拟合效果的好坏．
价格x
14
16
18
20
22
需求量y
12
10
7
5
3
【例3】
在一化学反应过程中，化学物质的反应速度y(g/min)与一种催化剂的量x(g)有关，现收集了8组观测数据列于表中：
试建立y与x之间的回归方程．
非线性回归分析
催化剂的量x
15
18
21
24
27
30
33
36
化学物质的
反应速度y
6
8
30
27
70
205
65
350
【解题探究】作出散点图可看出此题是非线性回归分析问题，样本点分布在一条指数函数曲线y＝c1ec2x的周围．不妨设变量z＝ln
y，然后对x与z作相关性检验，如果它们具有线性相关关系，就可以进一步求z对x的回归直线方程，这时再回代z＝ln
y，就得到了y对x的回归方程．
【解析】根据收集的数据，作散点图(如图)，根据已有的函数知识，可以发现样本点分布在某一条指数函数曲线y＝c1ec2x
的周围，其中c1和c2是待定的参数，令z＝ln
y，则z＝ln
y＝c2x＋ln
c1，即变换后的样本点应该分布在直线z＝bx＋a(a＝ln
c1，b＝c2)的周围．
由y与x的数据表可得到变换后的z与x的数据表，
作出z与x的散点图(如图)．
x
15
18
21
24
27
30
33
36
z
1.792
2.079
3.401
3.296
4.248
5.323
4.174
5.858
8
非线性回归问题有时并不给出经验公式，此时可以由已知的数据画出散点图，再把散点图与已经学习过的函数(如幂函数、二次函数、指数函数、对数函数等)做比较，挑选出这些散点图拟合最好的函数模型，然后采用变量置换，把问题转化为线性回归分析问题，使问题得以解决．
3．某种书每册的成本费y(元)与印刷册数x(千册)有关，经统计得到数据如下：
x
1
2
3
5
10
20
30
50
100
200
y
10.15
5.52
4.08
2.85
2.11
1.62
1.41
1.30
1.21
1.15
【示例】
关于x与y有如下数据：
对相关指数R2利用不当致错
x
2
4
5
6
8
y
30
40
60
50
70
错因分析：用相关指数R2来比较模型的拟合效果，R2越大，模型的拟合效果越好，并不是R2越小拟合效果越好．
5．若两个变量不呈线性关系，就不能直接利用线性回归方程建立两个变量的关系，可以通过变换的方法转化为线性回归模型．例如y＝c1ec2x，我们可以通过对数变换把指数关系变为线性关系．令z＝ln
y，则变换后样本点应该分布在直线z＝bx＋a(a＝ln
c1，b＝c2)的周围．
2．一位母亲记录了儿子3～9岁的身高，由此建立的身高与年龄的回归模型为y＝7.19x＋73.93.若用此模型预测这个孩子10岁时的身高，则正确的叙述是( )
A．身高一定是145.83
cm
B．身高在145.83
cm以上
C．身高在145.83
cm以下
D．身高在145.83
cm左右
【答案】D