(共41张PPT)
章末归纳整合
互斥事件、相互独立事件的概率及条件概率
2．条件概率是学习相互独立事件的前提和基础，作为教材新增内容之一，在学习知识上起到了完备性的作用，在计算条件概率时，必须搞清楚欲求的条件概率是在哪一个事件发生的条件下的概率，从而选择合适的条件概率公式，分别求出相应事件的概率进行计算．
方法点评：对立事件，互斥事件，相互独立事件是概率中三个最重要的概念，也是容易混淆的概念，在学习中我们要仔细体会，彻底搞清楚其具体含义，在具体的问题情景中辨别清楚它们，只有这样我们才算学好了概率的基础知识．
1．离散型随机变量的分布列在高中阶段主要学习两种：超几何分布与二项分布，由于这两种分布列在生活中应用较为广泛，故在高考中对该知识点的考查相对较灵活，常与期望、方差融合在一起，横向考查．
2．对于分布列的求法，其难点在于每个随机变量取值时相关概率的求法，计算时可能会用到等可能性事件、互斥事件、相互独立事件的概率公式等．
离散型随机变量的分布列、均值与方差
3．均值与方差都是随机变量重要的数字特征，方差是建立在均值这一概念之上的，它表明了随机变量所取的值相对于它的均值的集中与离散程度，二者联系密切，在现实生产生活中特别是风险决策中有着重要意义，因此在当前的高考中是一个热点问题．
【例2】
在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品，从这10件产品中任取3件，求：
(1)取出的3件产品中一等品件数X的分布列和数学期望；
(2)取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率．
方法点评：求离散型随机变量的分布列，必须首先弄清ξ的含义及ξ的取值情况，并准确求出ξ取值下的概率，然后检验计算结果是否满足分布列的第二条性质．
在本章的学习中，正态密度曲线恰好关于参数μ对称，因此充分利用该图形的对称性及3个区间内的概率值来求解其他区间的概率值，是一种非常简捷的方式，也是近几年高考的一个新动向．
正态分布
离散型随机变量分布列的计算是均值和方差计算的基础，又是概率计算的延伸，涉及排列、组合、二项式定理和概率的知识，综合性强，因而是高考考查的重点．特别是两点分布、超几何分布和二项分布等重要的概率模型，应用性强，更是高考命题的重中之重．
2.(2019年新课标Ⅰ)甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束)．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以获胜的概率是
．
【答案】0.18
(1)从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；
(2)从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，估计恰有1部获得好评的概率；
(3)假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等，用“ξk＝1”表示第k类电影得到人们喜欢，“ξk＝0”表示第k类电影没有得到人们喜欢(k＝1,2,3,4,5,6)，写出方差Dξ1，Dξ2，Dξ3，Dξ4，Dξ5，Dξ6的大小关系．
4.(2019年新课标Ⅰ)为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得-1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得-1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X．
(1)求X的分布列；
(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，pi(i=0,1，…，8)表示“甲药的累计得分为i时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则p0=0,p8=1,pi=api-1+bpi+cpi+1(i=1,2,…，7)，其中a=P(X=-1),b=P(X=0)，c=P(X=1).假设α=0.5，β=0.8.
①证明：{pi+1-pi}(i=0,1,2,…，7)为等比数列；
②求p4，并根据p4的值解释这种试验方案的合理性．第二章能力检测
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分)
1．(2017年漳州模拟)已知随机变量ξ服从正态分布N(0，σ2)，若P(ξ>2)＝0.023，则P(－2≤ξ≤2)＝( )
A．0.477
B．0.628
C．0.954
D．0.977
【答案】C
2．设X的分布列如下，则P(X<2)等于( )
X
0
1
2
3
P
0.1
0.3
0.4
0.2
A．0.1
B．0.4
C．0.3
D．0.8
【答案】B
3．在一次考试中，某班语文、数学、外语平均分在80分以上的概率分别为，，，则该班的三科平均分都在80分以上的概率是( )
A．
B．
C．
D．
【答案】D
4．已知某一随机变量ξ的分布列如下且Eξ＝6.3，则a的值为( )
ξ
4
a
9
P
0.5
0.1
b
A．5
B．6
C．7
D．8
【答案】C
5．(2017年岳阳模拟)把一枚硬币任意抛掷三次，事件A为“至少一次出现反面”，事件B为“恰有一次出现正面”，则P(B|A)＝( )
A．
B．
C．
D．
【答案】B
6．柜子里有3双不同的鞋，随机地取出2只，取出的鞋一只是左脚，另一只是右脚且不成对的概率为( )
A．
B．
C．
D．
【答案】A
7．某计算机网络有n个终端，每个终端在一天中使用的概率为p，则这个网络在一天中平均使用的终端个数为( )
A．np(1－p)
B．np
C．n
D．p(1－p)
【答案】B
8．(2018年温州模拟)已知X的分布列
X
－1
0
1
P
则在下列式子中：①E(X)＝－；②D(X)＝；③P(X＝0)＝.其中正确的个数是( )
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】C
9．某个游戏中，一个珠子按如图所示的通道，由上至下的滑下，从最下面的六个出口出来．规定猜中者为胜，如果你在该游戏中，猜得珠子从出口3出来，那么你取胜的概率为( )
A．
B．
C．
D．以上都不对
【答案】A
10.(2019年锦州期末)甲、乙两位同学各自独立地解答同一个问题，他们能够正确解答该问题的概率分别是和，在这个问题已被正确解答的条件下,甲、乙两位同学都能正确回答该问题的概率为(
)
A.
B.
C.
D.
【答案】A
11.(2019年潮州模拟)一试验田某种作物一株所结果实个数X服从正态分布N(90,σ2)，且P(X<70)=0.2，从试验田中随机抽取10株，果实个数在[90,110]的株数记作随机变量X，则X的方差为(
)
A.3
B.2.1
C.0.3
D.0.21
【答案】B
12.(2019年浙江模拟)甲和乙两人独立的从五门选修课课程中任选三门进行学习，记两人所选课程相同的门数为ξ，则E(ξ)为(
)
A.1.2
B.1.5
C.1.8
D.2
【答案】C
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)
13．(2018年抚顺校级月考)已知随机变量X～N(2，σ2)，若P(X
【答案】0.44
14．甲、乙两工人在一天生产中出现废品数分别是两个随机变量ξ，η，其分布列分别为
ξ
0
1
2
3
P
0.4
0.3
0.2
0.1
η
0
1
2
P
0.3
0.5
0.2
若甲、乙两人的日产量相等，则甲、乙两人中技术较好的是________．
【答案】乙
15．某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于______．
【答案】0.128
16．设随机变量ξ只能取5,6,7，…，16这12个值且取每一个值概率均相等，若P(ξ＜x)＝，则x的取值范围是________．
【答案】(5,6]
三、解答题(本大题共6小题，满分70分)
17．(10分)某跳高运动员一次试跳2米高度成功的概率是失败概率的4倍且每次试跳成功与否相互之间没有影响．
(1)求甲试跳三次，第三次才成功的概率；
(2)求甲在三次试跳中恰有两次试跳成功的概率．
【解析】设该跳高运动员在一次试跳中成功的概率为p，则失败概率为1－p.依题意有p＝4(1－p)，解得p＝.
(1)由于每次试跳成功与否相互之间没有影响，
所以试跳三次中第三次才成功的概率为
(1－p)2p＝2×＝.
(2)甲的三次试跳可看成三次独立重复试验，设甲在三次试跳中恰有两次成功的概率为P，则
P＝C2×＝.
18．(12分)设S是不等式x2－x－6≤0的解集，整数m，n∈S.
(1)记“使得m＋n＝0成立的有序数组(m，n)”为事件A，试列举
A包含的基本事件；
(2)设ξ＝m2，求ξ的分布列．
【解析】(1)由x2－x－6≤0，得－2≤x≤3，即S＝{x|－2≤x≤3}．
由于m，n∈Z，m，n∈S且m＋n＝0，
所以A包含的基本事件为(－2,2)，(2，－2)，(－1,1)，(1，－1)，(0,0)．
(2)由于m的所有不同取值为－2，－1,0,1,2,3，
所以ξ＝m2的所有不同取值为0,1,4,9且有
P(ξ＝0)＝，P(ξ＝1)＝＝，
P(ξ＝4)＝＝，P(ξ＝9)＝.
故ξ的分布列为
ξ
0
1
4
9
P
19．(12分)某校新、老校区之间开车单程所需时间为T，T只与道路通畅状况有关，对其容量为100的样本进行统计，结果如下：
T/分钟
25
30
35
40
频数/次
20
30
40
10
(1)求T的分布列与数学期望ET；
(2)刘教授驾车从老校区出发，前往新校区做一个50分钟的讲座，结束后立即返回老校区，求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率．
【解析】(1)由统计结果可得T的频率分布为
T/分钟
25
30
35
40
频率
0.2
0.3
0.4
0.1
以频率估计概率得T的分布列为
T
25
30
35
40
P
0.2
0.3
0.4
0.1
从而数学期望ET＝25×0.2＋30×0.3＋35×0.4＋40×0.1＝32(分钟)．
(2)设T1，T2分别表示往、返所需时间，T1，T2的取值相互独立且与T的分布列相同，设事件A表示“刘教授共用时间不超过120分钟”，由于讲座时间为50分钟，所以事件A对应于“刘教授在路途中的时间不超过70分钟”．P()＝P(T1＋T2＞70)＝P(T1＝35，T2＝40)＋P(T1＝40，T2＝35)＋P(T1＝40，T2＝40)＝0.4×0.1＋0.1×0.4＋0.1×0.1＝0.09，
故P(A)＝1－
P()＝0.91.
20．(12分)某工厂生产甲、乙两种产品．甲产品的一等品率为80%，二等品率为20%；乙产品的一等品率为90%，二等品率为10%.生产1件甲产品，若是一等品则获得利润4万元，若是二等品则亏损1万元；生产1件乙产品，若是一等品则获得利润6万元，若是二等品则亏损2万元．设生产各件产品相互独立．
(1)记X(单位：万元)为生产1件甲产品和1件乙产品可获得的总利润，求X的分布列；
(2)求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率．
【解析】(1)由题意，知X的可能取值为10,5,2，－3.
P(X＝10)＝0.8×0.9＝0.72，
P(X＝5)＝0.2×0.9＝0.18，
P(X＝2)＝0.8×0.1＝0.08，
P(X＝－3)＝0.2×0.1＝0.02，
所以X的分布列为
X
－3
2
5
10
P
0.02
0.08
0.18
0.72
(2)设生产的4件甲产品中一等品有n(n≤4且n∈N
)件，则二等品有(4－n)件．
由题设，知4n－(4－n)≥10，解得n≥.
又n∈N
，得n＝3或n＝4.
所以P＝C×0.83×0.2＋C×0.84＝0.819
2.
故所求概率为0.819
2.
21.(2019年威海模拟)随着人口老龄化的到来,我国的劳动力人口在不断减少,“延迟退休”已经成为人们越来越关注的话题,为了了解公众对“延迟退休”的态度,某校课外研究性学习小组从某社区随机抽取了50人进行调查,将调查情况进行整理后制成下表:
年龄
[20,25)
[25,30)
[30,35)
[35,40)
[40,45)
人数
4
5
8
5
3
年龄
[45,50)
[50,55)
[55,60)
[60,65)
[65,70)
人数
6
7
3
5
4
年龄在[25,30),[55,60)的被调查者中赞成人数分别是3人和2人,现从这两组的被调查者中各随机选取2人,进行跟踪调查.
（1）求从年龄在[25,30)的被调查者中选取的2人都赞成的概率;
（2）求选中的4人中,至少有3人赞成的概率;
（3）若选中的4人中,不赞成的人数为X,求随机变量X的分布列和数学期望.
【解析】（1）设“年龄在[25,30)的被调查者中选取的2人都赞成”为事件A,
则P(A)＝eq
\f(C,C)＝.
（2）设“选中的4人中,至少有3人赞成”为事件B,
则P(B)＝eq
\f(CCC,CC)＋eq
\f(CCC,CC)＋eq
\f(CC,CC)＝.
（3）X的可能取值为0,1,2,3,
P(X＝0)＝eq
\f(CC,CC)＝,
P(X＝1)＝eq
\f(CCC＋CCC,CC)＝,
P(X＝2)＝eq
\f(CC＋CCCC,CC)＝,
P(X＝3)＝eq
\f(CCC,CC)＝.
所以X的分布列为
X
0
1
2
3
P
E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
22．(12分)(2017年天水检测)现有两种投资方案，一年后投资盈亏的情况如下表：
投资股市：
投资结果
获利40%
不赔不赚
亏损20%
概 率
购买基金：
投资结果
获利20%
不赔不赚
亏损10%
概 率
p
q
(1)当p＝时，求q的值；
(2)已知甲、乙两人分别选择了“投资股市”和“购买基金”进行投资，如果一年后他们中至少有一人盈利的概率大于，求p的取值范围；
(3)丙要将家中闲置的10万元钱进行投资，决定在“投资股市”和“购买基金”这两种方案中选择一种，已知p＝，q＝，那么丙选择哪种投资方案，才能使得一年后投资收益的数学期望较大？结合结果并说明理由．
【解析】(1)∵“购买基金”后，投资结果只有“获利”“不赔不赚”“亏损”三种，∴p＋＋q＝1.
又p＝，∴q＝.
(2)记事件A为“甲投资股市且盈利”，事件B为“乙购买基金且盈利”，事件C为“一年后甲、乙两人中至少有一人投资盈利”，
则C＝A∪B∪AB且A，B独立．
由表可知P(A)＝，P(B)＝p，
∴P(C)＝P(A)＋P(B)＋P(AB)
＝(1－p)＋p＋p＝＋p.
∵P(C)＝＋p>，∴p>.
又p＋＋q＝1，q≥0，∴p≤.
综上，(3)假设丙选择“投资股市”方案进行投资，X为丙投资股市的获利金额(单位：万元)，
则X的分布列为
X
4
0
－2
P
则E(X)＝4×＋0×＋(－2)×＝.
假设丙选择“购买基金”方案进行投资，Y为丙购买基金的获利金额(单位：万元)，
则Y的分布列为
Y
2
0
－1
P
∴E(Y)＝2×＋0×＋(－1)×＝.
∵E(X)>E(Y)，∴丙选择“投资股市”，才能使得一年后的投资收益的数学期望较大．(共4张PPT)
本章的主要内容是离散型随机变量及其分布列、均值与方差，二项分布及其应用，正态分布．
研究一个随机现象，就是要了解它所有可能出现的结果和每一个结果出现的概率，分布列正是描述了离散型随机变量取值的概率规律，二项分布和超几何分布是两个应用广泛的概率模型，要求通过实例引入这两个概率模型，不追求形式化的描述．
第二章随机变量及具9而
内容概述
章导学
学法指导