(共5张PPT)
本章主要内容有分类加法计数原理与分步乘法计数原理、排列、组合和二项式定理．
1．分类加法计数原理要注意“完成一件事”有哪几类方法，完成这件事的每一类方法都是相互独立的，分类时必须做到既不重复也不遗漏；分步乘法计数原理要注意“完成一件事”要经过哪几步，根据题意正确分步，各步骤之间既不能重复也不能遗漏．
2．只有当元素完全相同，并且元素的排列顺序也完全相同时，才是同一个排列；能够区分排列与排列数这两个概念．
3．区别排列与组合，熟记排列数和组合数公式及它们之间的联系．
4．会区分系数与二项式系数，运用二项式定理的知识解决系数和、常数项等问题．
第一量计数原理
内容概述
章导学
学法指导(共19张PPT)
章末归纳整合
解排列组合应用题时，应注意以下几点：①合理分类，准确分步；②特殊优先，一般在后；③直接排除，灵活选择；④集团捆绑，间隔插空；⑤繁琐问题，递推策略；⑥复杂问题，构造模型．排列与组合的解法灵活多变，选择适当的思想方法，能使一些看似复杂的问题迎刃而解．
计数问题中的思想方法
【例1】
从1,2,3,4,5,6这6个数字中，任取3个数字组成无重复数字的三位数，其中若有1和3时，3必须排在1的前面；若只有1和3中的一个时，它应排在其他数字的前面，这样的不同三位数共有________个．(用数字作答)
方法点评：解答中“没有数字1和3”的这一类容易被遗漏，对于每一类还要注意分步．要掌握一些常见题型的解题技能．
1．某单位有三个科室，为实现减负增效，每科室抽调2人去参加再就业培训，培训后这6人中有2人返回原单位，但不回到原科室工作且每科室至多安排1人，问共有多少种不同的安排方法？
【例2】停车场一排有12个空位，如今要停放7辆不同的车，要求恰好有4个空位连在一起，求共有多少种停法？
2．如图所示，某城市M，N两地间有4条东西街道和6条南北街道．若规定只能向东或向北沿图中路线行走，则从M到N有________种不同的走法．(用数字作答)
【答案】56
求二项式的展开式中的特定项时，一般先写出其通项公式，然后由条件确定该特定项的系数．求展开式中各项系数的和或差时，常用赋值法．
二项式的展开问题
【例3】
求在(1＋2x－3x2)6的展开式中x5项的系数．
从近几年高考信息统计可以看出，排列组合与二项式定理是高考的必考知识点之一，考查时题型以填空题为主，排列组合与统计概率结合在解答题出现．
1．(2017年新课标Ⅱ)安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有( )
A．12种
B．18种
C．24种
D．36种
【答案】D
【解析】由题意可得1人完成2项工作，其余2人每人完成1项工作．由此可得把工作分成三份，有C24种方法，然后进行全排列，有A种方法．由乘法原理可知不同的安排方式共有C24A33＝36种．故选D.
【答案】7
4．(2018年新课标Ⅰ)从2位女生和4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有________种．(用数字填写答案)
【答案】16 第一章能力检测
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分)
1．3名同学分别从英语、日语中各选修一门外语课程，不同的选修方法共有( )
A．3种
B．6种
C．8种
D．9种
【答案】C
2．知识竞赛中给一个代表队的4人出了2道必答题和4道选答题，要求4人各答一题，共答4题，此代表队可选择的答题方案的种类为( )
A．A
B．A
C．CA
D．CA
【答案】C
3.5展开式中的常数项为( )
A．－80
B．80
C．－40
D．40
【答案】D
4.(2019年蚌埠期末)下列等式中，错误的是(
)
A.(n+1)Anm=An+1m+1
B.=(n-2)!
C.Cnm=
D.Anm+1=Anm
【答案】C
5.(2019年湖南模拟)本次模拟考试结束后，班级要排一张语文、数学、英语、物理、化学、生物六科试卷讲评顺序表，若化学排在生物前面，数学与物理不相邻且都不排在最后，则不同的排表方法共有（ ）
A.72种
B.144种
C.288种
D.360种
【答案】B
6．现从男、女共8名同学中选出2名男同学和1名女同学分别参加全校“资源”“生态”“环保”三个夏令营活动．已知共有90种不同的方案，那么男、女同学的人数分别是( )
A．男2人，女6人
B．男3人，女5人
C．男5人，女3人
D．男6人，女2人
【答案】B
7.(2019年安徽模拟)已知(x+1)(2x+a)5的展开式中各项系数和为2，则其展开式中含x3项的系数是(
)
A.-40
B.-20
C.20
D.40
【答案】D
8．已知集合A＝{5}，B＝{1,2}，C＝{1,3,4}，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，则确定的不同点的个数为( )
A．33
B．34
C．35
D．36
【答案】A
9．在(1＋x)n的展开式中，奇数项之和为p，偶数项之和为q，则(1－x2)n等于( )
A．0
B．pq
C．p2－q2
D．p2＋q2
【答案】C
10．(2015年重庆模拟)将4名新来的学生分到高三两个班，每班至少一人，不同的分配方法数为( )
A．12
B．16
C．14
D．18
【答案】C
11．(2017年昆明六校联考)现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张．从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一颜色且红色卡片至多1张，不同取法的种数为( )
A．232
B．252
C．442
D．472
【答案】D
12．(2016年新课标Ⅲ)定义“规范01数列”{an}如下：{an}共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意k≤2m，a1，a2，…，ak中0的个数不少于1的个数，若m＝4，则不同的“规范01数列”共有( )
A．18个
B．16个
C．14个
D．12个
【答案】C
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)
13．在(x＋y)20的展开式中，系数为有理数的项共有________项．
【答案】6
14．某餐厅供应饭菜，每位顾客可以在餐厅提供的菜肴中任选2荤2素共4种不同的品种．现在餐厅准备了5种不同的荤菜，若要保证每位顾客有200种以上不同的选择，则餐厅至少还需准备不同的素菜品种______种．(结果用数值表示)
【答案】7
15.(2019年北京期中)已知(+)n的展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则展开式中的常数项等于______.（用数字作答）
【答案】135
16．某城市的电话号码，由六位数改为七位数．若首位数字均不为0，则该城市可能增加的电话门数是________．
【答案】8
100
000
三、解答题(本大题共6小题，满分70分)
17．(10分)某班有男生28名、女生20名，从该班选出学生代表参加校学生会．
(1)若学校分配给该班1名代表，则有多少种不同的选法？
(2)若学校分配给该班2名代表且男、女生代表各1名，则有多少种不同的选法？
【解析】(1)选出1名代表，可以选男生，也可以选女生，因此完成“选1名代表”这件事分2类，
第1类，从男生中选出1名代表，有28种不同方法；
第2类，从女生中选出1名代表，有20种不同方法．
根据分类加法计数原理，共有28＋20＝48种不同的选法．
(2)完成“选出男、女生代表各1名”这件事，可以分2步完成，
第1步，选1名男生代表，有28种不同方法；
第2步，选1名女生代表，有20种不同方法．
根据分步乘法计数原理，共有28×20＝560种不同的选法．
18．(12分)某单位取工义务献血，在体检合格的人中，O型血的共有28人，A型血的共有7人，B型血的共有9人，AB型血的共有3人．
(1)从中任选1人去献血，有多少种不同的选法？
(2)从四种血型的人中各选1人去献血，有多少种不同的选法？
【解析】从O型血的人中选1人有28种不同的选法，从A型血中选1人有7种不同的选法，从B型血的人中选1人有9种不同的选法，从AB型血的人中选1人有3种不同的选法．
(1)任选1人去献血，即无论选哪种血型的哪一个人，
这件“任选1人去献血”的事情都可以完成，
所以用分类计数原理，有28＋7＋9＋3＝47种不同选法．
(2)要从四种血型的人中各选1人，即要在每种血型的人中依次选出1人后，这种“各选1人去献血”的事情才完成，所以用分步计数原理，有28×7×9×3＝5
292种不同选法．
19．(12分)已知n，i是虚数单位，x＞0，n∈N
.
(1)如果展开式中的倒数第3项的系数是－180，求n的值；
(2)对(1)中的n，求展开式中系数为正实数的项．
【解析】(1)由已知，得C(2i)2＝－180，即4C＝180，
所以n2－n－90＝0.又n∈N
，解得n＝10.
(2)10展开式的通项为
Tk＋1＝C(2i)10－kx－2k＝C(2i)10－kx5－k.
因为系数为正实数且k∈{0,1,2，…，10}，
所以k＝10,6,2.
所以所求的项为T11＝x－20，T7＝3
360x－10，T3＝11
520.
20．(12分)某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货．现从35种商品中选取3种．
(1)其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？
(2)至少有2种假货在内，不同的取法有多少种？
【解析】(1)某一种假货必须在内，从余下的34种商品中选取2种，有C＝561(种)．
∴某一种假货必须在内的不同取法有561种．
(2)选取2件假货有CC种，选取3件假货有C种，
共有选取方式CC＋C＝2
100＋455＝2
555(种)．
∴至少有2种假货在内的不同的取法有2
555种．
21．(12分)已知(x2＋1)n展开式中的各项系数之和等于5的展开式的常数项．
(1)求n的值；
(2)求(x2＋1)n展开式中系数最大的项．
【解析】(1)5展开式的通项Tr＋1＝C5－r·r＝C5－rx.
令20－5r＝0，得r＝4.
所以常数项为T5＝C·＝16.
又(x2＋1)n展开式的各项系数之和为2n，由题意得2n＝16，解得n＝4.
(2)(x2＋1)4的展开式中系数最大的项为C(x2)2＝6x4.
22．(12分)已知10件不同产品中有4件是次品，现对它们进行一一测试，直至找出所有4件次品为止．
(1)若恰在第5次测试，才测试到第一件次品，第10次才找到最后一件次品，则这样的不同测试方法数是多少？
(2)若恰在第5次测试后，就找出了所有4件次品，则这样的不同测试方法数是多少？
【解析】(1)分三步：先排前4次测试，只能取正品，有A种不同测试方法；再从4件次品中选2件排在第5和第10的位置上测试，有A种测试方法；最后排余下4件的测试位置有A种测试方法．
∴共有不同的测试方法A·A·A＝103
680(种)．
(2)第5次测试恰为最后一件次品，另3件在前4次中出现，从而前4次有一件正品出现．
∴共有不同测试方法A·C·A＝576(种)．
