第一章 1.2 1.2.1
第1课时
【基础练习】
1.＝( )
A. B. C. D.
【答案】C
2.(2019年福州期末)(x-2)(x-3)(x-4)…(x-15)(x∈N+,x>15)可表示为(
)
A.Ax-213
B.Ax-214
C.Ax-1513
D.Ax-1514
【答案】B
3．将3张不同的电影票分给10人中的3人，每人一张，则不同的分法种数是( )
A．2
160
B．720
C．240
D．120
【答案】B
4.(2019年潍坊期末)某班从8名运动员中选取4名参加4×100米接力赛,则不同参赛方案的种数为(
)
A.1680
B.24
C.1681
D.25
【答案】A
5．已知A＝7A，则n＝________.
【答案】7
【解析】由题意得n(n－1)＝7(n－5)(n－4)，n≥6且n∈N
，解得n＝7.
6．若＝89，则n＝________.
【答案】15
7．计算：.
【解析】原式＝＝.
8．一条铁路原有n个车站，为适应客运需要，新增加了
m(m>1)
个车站，客运车票增加了62种，问原有多少个车站？现有多少个车站？
【解析】∵原有n个车站，故原有客运车票A种，
又现有(n＋m)个车站，现有客运车票A种，
∴A－A＝62.
∴(n＋m)(n＋m－1)－n(n－1)＝62.
∴2mn＋m2－m＝62.∴n＝－(m－1)．
∴>(m－1)．
∵m>1，∴62>m2－m.∴m2－m－62<0.
又m>1，∴1当m＝2时，n＝15.
当m＝3,4,5,6,7,8时，n均不为整数．
∴n＝15，m＝2.
∴原有车站15个，现有车站17个．
【能力提升】
9．下列等式中，不成立的是( )
A．A＝(n－2)A
B.A＝A
C．nA＝A
D.A＝A
【答案】B
【解析】对于B，左＝·＝，右＝＝，当n＞2且n∈N
时，左≠右．故选B.
10．某大会的分会场有A，B，C三个展台，将甲、乙、丙、丁共4名“双语”志愿者分配到这三个展台，每个展台至少1人，其中甲、乙两人被分配到同一展台的不同分法的种数是( )
A．12
B．10
C．8
D．6
【答案】D
【解析】∵甲、乙两人被分配到同一展台，∴可以把甲与乙放在一起看成1个人，然后将3个人分到3个展台上进行全排列，即有A种，∴甲、乙两人被分配到同一展台的不同分法的种数为A＝6.
11.－＝×____(其中n∈N
且n≥3)．
【答案】
【解析】－＝－＝＝·＝·.
12．解方程：(1)3A＝2A＋6A；
(2)3A＝4A.
【解析】(1)由3A＝2A＋6A，得3x(x－1)(x－2)＝2x(x＋1)＋6x(x－1)，即3x2－17x＋10＝0，解得x＝5或x＝(舍去)．∴原方程的解为5.
(2)由3A＝4A，得3×8×7×…×(9－x)＝4×9×8×…×(11－x)，即3(9－x)(10－x)＝36，解得x＝6或x＝13(舍去)．∴原方程的解为6.(共36张PPT)
1.2 排列与组合
1.2.1 排 列
第1课时 排列与排列数公式
目标定位
重点难点
1.理解排列的意义．
2．能通过计数原理推导排列数公式.
重点：排列的概念及排列数公式．
难点：对排列要完成的“一件事”“一定顺序”的理解.
1．排列的定义
一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照____________________，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．两个排列相同，当且仅当两个排列的元素________且元素的_________相同．
一定的顺序排成一列
完全相同
排列顺序
所有不同排列的
个数
n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)
1
1．甲、乙、丙三人站成一排的站法共有( )
A．6种
B．3种
C．9种
D．12种
【答案】A
4．(2015年广东)某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了______条毕业留言．(用数字作答)
【答案】1
560
【例1】
判断下列问题是否是排列问题．
(1)从1,2,3,5中任取两个不同的数相除可得多少种不同的结果？
(2)有12个车站，共需准备多少种客票？
(3)从学号为1到10的十名同学中任选两名同学去学校开座谈会，有多少种选法？
(4)平面上有5个点，其中任意三点不共线，这5点最多可确定多少条直线，多少条线段，多少条射线？
(5)由数字1,2,3,4,5可组成多少个不同的4位数字的密码？
排列的概念
【解题探究】根据定义从两个方面判断：一、取出的元素是否可重复；二、取出元素是否有顺序．
【解析】(1)(2)满足排列的定义是排列问题；(3)与顺序无关，不是排列问题；(4)中由于确定直线、线段时与两点顺序无关，所以不是排列问题；而确定射线与两点顺序有关，所以确定射线是排列问题；(5)由于取出的元素可以重复，所以不是排列问题．
8
确定一个具体问题是否为排列问题，一般从两个方面确认：首先要保证元素的无重复性，否则不是排列问题．其次要保证选出的元素的有序性，否则不是排列问题，而验证它是否有顺序的标准是变换某一个结果中两个元素的位置，看结果是否变化，有变化就是有顺序，无变化就是无顺序．
【例2】
(1)从1,2,3,4四个数字中任取两个数字组成两位数，共有多少个不同的两位数？
(2)写出从4个元素a，b，c，d中任取3个元素的所有排列．
【解题探究】列出树形图即可求解．
列举法解决排列问题
8
列举法解决的问题通常都是结果比较直观可数，在某些题目选择用列举法能节省时间．
2．将A，B，C，D四名同学按一定顺序排成一行，要求自左向右且A不排在第一，B不排在第二，C不排在第三，D不排在第四，试用树形图列出所有可能的排法．
【解析】树形图如图．
由树形图知，所有排法为BADC，BCDA，BDAC，CADB，CDAB，CDBA，DABC，DCAB，DCBA．
排列数公式的应用
【例4】
(1)有5个不同的科研小课题，从中选3个由高二(3)班的3个学习兴趣小组进行研究，每组一个课题，共有多少种不同的安排方法？
(2)有5个不同的科研课题，高二(3)班的3个学习兴趣小组报名参加，每组限报一项，共有多少种不同的报名方法？
【解题探究】由题给条件分析是否为排列问题，由具体情况进行解答．
排列的简单应用
8
解决此问题的方法是把问题转换成为排列问题，弄清这里的n个不同元素指的是什么，以及从n个不同元素中任取m个元素的每一种排列对应的是什么事情，即把要计的数转化为一个排列问题，直接利用排列数公式计算．
4．用一颗骰子连掷三次，投掷出的数字顺次排成一个三位数，此时：
(1)各位数字互不相同的三位数有多少个？
(2)可以排出多少个不同的数？
(3)恰好有两个相同数字的三位数共有多少个？
【示例】
10个人走进只有6把不同椅子的屋子，若每把椅子必须且只能坐一人，共有多少种不同的坐法？
错解：10个人坐6把不同的椅子，相当于从含10个元素的集合到含6个元素的集合的映射，故有610种不同的坐法．
错因分析：没弄清题意，题中要求每把椅子必须并且只能坐一人，已不符合映射模型了，本题事实上是一个排列问题．
对排列概念理解不清致错
警示：判断是否为排列问题的关键是选出的元素在被安排时，是否与顺序有关，若与顺序有关，就是排列问题，否则就不是排列问题．
1．排列的定义
(1)排列的定义包含两个基本内容：一是“取出元素”；二是“按照一定顺序”．“一定顺序”表示与位置有密切关系，这里的位置应该视具体问题的性质和条件来决定．
(2)排列定义中指出的是一个排列，只有当元素完全相同且元素顺序也完全相同时，才是相同的一个排列．元素不完全相同或元素完全相同而排列顺序不完全相同的排列，都不是同一个排列．
(3)在排列定义中，如果m2．排列数公式
(1)这个公式在m，n∈N
，m≤n的情况下成立，m>n不成立．
(2)排列数与排列是不同的概念：一个排列是具体的一件事；排列数是所有排列的个数，它是一个数．
(3)排列数公式的推导过程采用不完全归纳法，不是严格的证明，要严格证明排列数公式，可用数学归纳法证明，这个证明不作要求．
(4)公式右边的第一个因数是n，后面的每一个因数都比它前面的因数小1，最后一个因数是n－m＋1，共有m个因数相乘．
1.(2019年西安期末)18×17×16×…×12×11等于(
)
A.A188
B.A189
C.A1810
D.A1811
【答案】A
【解析】18×17×16×…×12×11表示连续8个正整数的乘积，其中最大的是18，所以18×17×16×…×12×11=A188.故选A.
【答案】
A
3．若从6名学生中选出3名分别担任大队长、中队长和小队长，则不同的安排方法有( )
A．60种
B．120种
C．240种
D．360种
【答案】
B(共36张PPT)
第2课时 排列的综合应用
目标定位
重点难点
1.掌握应用排列与排列数公式求解实际问题中的计数问题的基本步骤和方法．
2．掌握排列数公式在两个原理中的应用.
重点：应用排列与排列数公式求解实际问题中的计数问题．
难点：应用排列与排列数公式求解实际问题中的计数问题.
应用排列与排列数公式求解实际问题中的计数问题的基本步骤：
1．将6名同学排成两排，每排3人，则不同的排法种数为( )
A．36
B．120
C．720
D．1
440
【答案】C
2.(2019年拉萨月考)从2,3,5,7四个数中任选两个分别相除,则得到的结果有( )
A.6个
B.10个
C.12个
D.16个
【答案】C
3．某电视台连续播放5个不同的广告，其中有3个不同的商业广告和2个不同的公益广告，要求前两个必须播放公益广告，则不同的播放方式有________种．(用数字作答)
【答案】12
4．有8本互不相同的书，其中数学书3本，外文书2本，语文书3本，若将这些书排成一列放在书架上，则数学书恰好排在一起，外文书也恰好排在一起的排法共有________种．(结果用数字表示)
【答案】1
440
【例1】
(1)从7本不同的书中选3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？
(2)某信号兵用红、黄、蓝3面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以任挂1面、2面或3面，并且不同的顺序表示不同的信号，则一共可以表示多少种不同的信号？
【解题探究】(1)由条件分析可直接得出结果．(2)利用分类法进行求解．
无限制条件的排列问题
8
解决这类问题的关键是搞清事件是什么，元素是什么，位置是什么，给出了什么样的附加条件，然后按特殊元素(位置)的性质分类，按事件发生的连续过程合理分步来解决．
1.(2019年天津期末)五个工程队承建某项工程的5个不同的子项目，每个工程队承建1项.
(1)不同的承建方案共有多少种？
(2)若甲工程队已经确定承建1号子项目，则不同的承建方案共有多少种？
【例2】
(2017年通化测试)有4名男生、5名女生，全体排成一行，下列情形各有多少种不同的排法？
(1)甲不在中间也不在两端；
(2)甲、乙两人必须排在两端；
(3)男女相间．
【解题探究】注意位置和元素的特殊性．
有限制条件的排列问题
8
对于排列问题，一般情况下会从受到限制的特殊元素开始考虑，有时也从特殊的位置开始讨论．对于相邻问题，常用“捆绑法”；对于不相邻问题，常用“插空法”；对于“在与不在”的问题，常使用“直接法”或“排除法”．
2．用0,1,2,3,4,5这六个数字可以组成多少个无重复数字的
(1)六位数的奇数；
(2)个位数字不是5的六位数；
(3)不大于4
310的四位偶数．
【例3】
从数字0,1,3,5,7中取出不同的三个数作系数，可以组成多少个不同的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0？其中有实根的方程有多少个？
【解题探究】一元二次方程中a≠0需要考虑到，对有根的一元二次方程，需有Δ＝b2－4ac≥0，这里有两层意思，一是a不能为零，二是要保证b2－4ac≥0.所以可先对c能否取0进行分类讨论．
排列与其他知识的综合应用
8
综合问题经常会带有限制，而带有限制的排列综合，一般用分类讨论或者间接法两种方法处理．
【示例】
3名男生和3名女生站成一排，任何2名男生都不相邻，任何2名女生也不相邻，共有多少种排法？
思维不严密致错
错因分析：不相邻问题，用插空是对的，但上述错解只能保证女生不相邻，并不能保证先排的男生不相邻，如排法“女男女男男女”．
警示：对于某几个元素不相邻的排列问题，可先将其他元素排好，再将不相邻元素在已排好的元素之间及两端空隙中插入即可，本题要注意不仅保证女生不相邻，还要保证男生也不相邻．
1．解答排列应用题时，要注意以下几点
(1)解排列应用题，要仔细审题，明确题目中事件是什么，通过什么样的程序解决，进而选用相应模型计算，不能乱套公式，盲目计算．
(2)明确问题的限制条件，注意特殊元素和特殊位置，必要时可画出树形图来解．
(3)注意间接法的使用．
2．结合两个原理解题是处理排列问题必不可少的方法
(1)求解排列问题时，正确地理解题意是关键的一步，把题目中的文字语言翻译成排列的相关术语．
(2)正确运用分类加法计数原理和分步乘法计数原理是十分重要的．分类时，要注意种类之间不重复，不遗漏；分步时，要注意依次做完各个步骤后，事情才能完成．
(3)如果不符合条件的情况较少时，也可以采用排除法．
【答案】B
2．甲、乙、丙、丁4个小朋友先后读一本漫画书，甲首先阅读的安排方法有( )
A．24种
B．18种
C．12种
D．6种
【答案】D
3.(2019年潍坊模拟)将5个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有( )
A.36种
B.42种
C.48种
D.60种
【答案】B
【解析】分两种情况：①甲排在最左端，其余4人可任意排列，不同的排法有A44=24种；②乙排在最左端，则甲可排在除左右两端外的其他三个位置，剩下其余3人可任意排列，不同的排法有3A33=18种.所以满足题意的不同排法有24+18=42种.故选B.
4.(2019年安徽月考)用1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的六位数，要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，这样的六位数的个数是________(用数字作答).
【答案】72 第一章 1.2 1.2.1
第2课时
【基础练习】
1．某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目，如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法种数为( )
A．42
B．30
C．20
D．12
【答案】A
2．A，B，C，D，E五人并排站成一排，如果B必须站在A的右边(A，B可以不相邻)，那么不同的排法有( )
A．24种
B．60种
C．90种
D．120种
【答案】B
3.(2019年台州期末)有甲、乙、丙三位同学，分别从物理、化学、生物、政治、历史五门课中任选一门，要求物理必须有人选，且每人所选的科目各不相同，则不同的选法种数为(
)
A.24
B.36
C.48
D.72
【答案】B
【解析】先不考虑物理必须有人选，则不同的选法有A53=60种.若物理没人选，即三位同学从四门课中任选一门，不同的选法有A43=24种.所以满足题目的不同选法种数为60-24=36.故选B.
4．(2017年荆州月考)有A，B，C，D，E五位学生参加网页设计比赛，决出了第一到第五的名次．A，B两位学生去问老师成绩，老师对A说：你的名次不知道，但肯定没得第一名；又对B说：你是第三名．请你分析一下，这五位学生的名次排列的种数为( )
A．6
B．18
C．20
D．24
【答案】B
【解析】(元素优先法)首先排A：A可在第二、四、五3个名次上，有A种排法，排好A后，C，D，E全排列，有A种名次排法，即这5位学生的名次排列种数为A·A＝
18(种)．
5．把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有______种．
【答案】36
6．7个人站一队，其中甲在排头，乙不在排尾，则不同的排列方法有________种．
【答案】600
7．(1)由数字1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字的五位数？可以组成多少个没有重复数字的正整数？
(2)由数字1,2,3,4可以组成多少个没有重复数字的比1
300大的正整数？
【解析】(1)由数字1,2,3,4,5可以组成A＝120个没有重复数字的五位数．
由数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的正整数，共分为5类．
第1类，一位数有A个；
第2类，两位数有A个；
第3类，三位数有A个；
第4类，四位数有A个；
第5类，五位数有A个．
所以根据分类加法计数原理，由数字1,2,3,4,5可以组成A＋A＋A＋A＋A＝325个没有重复数字的正整数．
(2)由数字1,2,3,4组成没有重复数字的比1
300大的正整数，共分为4类．
第1类，千位数字为1且比1
300大，百位数字只能是3或4，共有2×A＝4个；
第2类，千位数字为2，均比1
300大，有A＝6个；
第3类，千位数字为3，均比1
300大，有A＝6个；
第4类，千位数字是4，均比1
300大，有A＝6个．
根据分类加法计数原理，由数字1,2,3,4可以组成4＋6＋6＋6＝22个没有重复数字的比1
300大的正整数．
8．有5名男生，4名女生排成一排．
(1)从中选出3人排成一排，有多少种排法？
(2)若甲男生不站排头，乙女生不站排尾，则有多少种不同的排法？
(3)要求女生必须站在一起，有多少种不同的排法？
(4)若4名女生互不相邻，有多少种不同的排法？
【解析】(1)只要从9名学生中任选三名排列即可，
∴共有A＝9×8×7＝504(种)．
(2)将排法分成两类：一类是甲站在排尾，其余的可全排，有A种排法；另一类是甲既不站排尾又不能站排头有A种排法，乙不站排尾而站余下的7个位置中的一个有A种排法，其余人全排列，于是这一类有A·A·A种排法．
由分类加法计数原理，知共有
A＋A·A·A＝287
280(种)．
(3)女生必须站在一起，是女生的全排列，有A种排法．
全体女生视为一个元素与其他男生全排列有A种排法．
由分步乘法计数原理，知共有A·A＝17
280(种)．
(4)分两步走．第一步，男生的全排列有A种排法；第二步，男生排好后，男生之间有4个空，加上男生排列的两端共6个空，女生在这6个空中排列，有A种排法．
由分步乘法计数原理知，共为有A·A＝43
200(种)．
【能力提升】
9.(2019年吉林期中)将A，B，C，D，E，F六个字母排成一排，且A，B均在C的同侧，则不同的排法共有( )
A.480种
B.240 种
C.960种
D.720
种
【答案】A
【解析】方法一：按字母C所在的位置分类，①字母C排在左边第一个位置，则其余字母可任意排列，有A55种排法；②字母C排在左边第二个位置，则先把A,B排在C右边的四个位置中，再排剩下的三个字母，有A42A33中排法；③字母C排在左边第三个位置，先把A,B都排在C左边的两个位置，或都排右边的三个位置，再排剩下的三个字母，有A22A33+A32A33种排法；④按照对称性，当字母C排在左边第四、五、六个位置的情况分别与排在第三、二、一个位置的情况相同.所以不同的排法种数为2(A55+A42A33+A22A33+A32A33)=480.故选A.
方法二：六个字母全排列有A66种排法.A,B,C三个字母的排列顺序有6种(ABC,ACB,BAC,BCA,CAB,CBA)，其中满足“A,B均在C的同侧”的有4种(ABC,BAC,CAB,CBA)，故满足题意的不同排法种数为A66×=480.故选A.
10．(2018年邢台检测)有5列火车分别准备停在某车站并行的5条轨道上，若快车A不能停在第3道上，货车B不能停在第1道上，则5列火车不同的停靠方法有( )
A．56种
B．63种
C．72种
D．78种
【答案】D
【解析】若没有限制，5列火车可以随便停，则有A种不同的停靠方法；快车A停在第3道上，则5列火车不同的停靠方法有A种；货车B停在第1道上，则5列火车不同的停靠方法有A种；快车A停在第3道上，且货车B停在第1道上，则5列火车不同的停靠方法有A种．故符合要求的5列火车不同的停靠方法有A－2A＋A＝120－48＋6＝78(种)．
11．乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，现派5名队员参加比赛，3名主力队员要安排在第一、三、五的位置，再从其余的7名队员中选2名安排在二、四的位置，那么不同的出场安排共有________种．(用数字作答)
【答案】252
【解析】主力队员有3名，安排在3个位置上故有A种方法，其余7名中选2名安排在2个位置上有A种方式，总共有A·A＝252种出场安排．
12．某年级某班，数学、语文、英语、物理、化学、体育六门课安排在某一天，每门课一节，上午四节，下午两节，数学课必须在上午，体育课必须在下午，数、理、化三门课中任意两门不相邻，但上午第四节和下午第一节不叫相邻，则这样的课程不同排法的种数为多少？
【解析】分两类：(1)数学在上午开头或结尾，有A种，体育在下午，有A种，理、化只能在上午两个位置上一节和下午上一节，有2A种，其余两门在剩下的位置安排，有A种．∴有A·A·2A·A＝32(种)．
(2)数学在上午第二节或第三节安排，有A种，体育在下午，有A种，理、化只能在上午一个位置和下午一个位置上安排，有A种，其余两门在剩下的位置安排，有A种．∴有A·A·A·A＝16(种)．
∴共有32＋16＝48(种)．
