第一章 1.2 1.2.2
第1课时
【基础练习】
1.(2019年保定期中)A53-C43=(
)
A.56
B.52
C.50
D.48
【答案】A
2．将4支足球队分在一个小组进行循环赛，每支队伍都要和其它3支队伍进行主、客场2场比赛，则小组赛共要进行比赛( )
A．3场
B．4场
C．6场
D．12场
【答案】D
3．式子可表示为( )
A．A
B．C
C．21C
D．21C
【答案】D
4．若C－C＝C，则n等于( )
A．12
B．13
C．14
D．15
【答案】C
5.(2019年上海期中)现在学校开了物理、化学、生物、政治、历史、地理六门学科，小茗同学将来准备报考的高校某专业要求必须选择物理，其他两门课可以任意选择，则小茗同学有______种不同的选科方法.(用数字作答)
【答案】10
【解析】根据题意，小茗同学必须选择物理，然后再其他5科中任选2科即可，故不同的选科方法有C52=10(种).
6.(2019年上海模拟)平面上有12个不同的点，其中任何3点不在同一直线上.如果任取3点作为顶点作三角形，那么一共可作_________个三角形.（结果用数值表示）
【答案】220
【解析】任何3点不在同一直线上，则从12个点中任取3个点都可以作三角形，故可以作的三角形的个数为C123==220.
7．从含有甲的4n个不同元素中取出n个元素，试证明其中含甲的组合数恰为不含甲的组合数的.
【证明】含有甲的组合数为M＝C，不含有甲的组合数为N＝C.
而＝＝，即＝，∴M＝N.
8．某车间有11名工人，其中有5名钳工，4名车工，另外2名既能当车工又能当钳工，现要在这11名工人中选派4名钳工，4名车工修理一台机床，有多少种选派方法？
【解析】第1类，选派的4名钳工中无“多面手”，此时有选派方法C·C＝75(种)；
第2类，选派的4名钳工中有1名“多面手”，此时有选派方法C·C·C＝100(种)；
第3类，选派的4名钳工中有2名“多面手”，此时有选派方法C·C·C＝10(种)．
由分类加法计数原理，不同的选派方法共有75＋100＋10＝185(种)．
【能力提升】
9．(2015年重庆期末)若C＝C，则x＝( )
A．－1
B．4
C．－1或4
D．1或5
【答案】B
【解析】x－2＝2x－1，解得x＝－1，舍去；(x－2)＋(2x－1)＝9，解得x＝4.故选B.
10．某校在一次期中考试结束后，把全校文、理科总分前10名学生的数学成绩(满分150分)抽出来进行对比，得到如图所示的茎叶图．从数学成绩高于130分的文科生和数学成绩低于130分的理科生中各选取两名学生进行学习方法交流，则不同的选法种数为( )
A．105
B．90
C．36
D．21
【答案】B
【解析】由茎叶图，可知数学成绩高于130分的文科生有6名，从中选取两名，有C种选法；数学成绩低于130分的理科生有4名，从中选取两名，有C种选法．由分步乘法计数原理，不同的选法种数为CC＝90.
11.(2019年北京模拟)某高校外语系有8名志愿者,其中有5名男生,3名女生,现从中选3人参加某项测试赛的翻译工作,若要求这3人中既有男生,又有女生,则不同的选法共有( )
A.45种
B.56种
C.90种
D.120种
【答案】A
【解析】要求“既有男生,又有女生”，故可以分成两类：2名男生1名女生，1名男生2名女生，所以不同的选法的种数为C52C31+C51C32=45.故选A.
12．已知＝，求x的值．
【解析】由已知，得C＝C，
∴5×＝
14×，
即(x－1)(x－2)＝56，x2－3x－54＝0，解得x＝9或x＝－6(舍去)．
∴所求x的值为9.第一章 1.2 1.2.2
第2课时
【基础练习】
1．某大学开设A类选修课2门，B类选修课3门，一位同学从中选3门．若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有( )
A．3种
B．6种
C．9种
D．18种
【答案】C
2.(2019年四川模拟)从1，3，5，7，9中任取3个数字，从2，4，6，8中任取2个数字，组成没有重复数字的五位数，则组成的五位数中偶数的个数为（ ）
A．7200
B．2880
C．120
D．60
【答案】B
3．12名同学合影，站成了前排4人后排8人．现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是( )
A．CA
B．CA
C．CA
D．CA
【答案】C
4．(2018年滨州模拟)甲组有5名男同学、3名女同学，乙组有6名男同学、2名女同学，若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有( )
A．240种
B．280种
C．315种
D．345种
【答案】D
【解析】选出的4人中恰有1名女同学的情况有两种，即这1名女同学来自甲组或来自乙组，则所有不同的选法共有CCC＋CCC＝345(种)．
5．(2015年上海)在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为________．(结果用数值表示)
【答案】120
6.(2019年常熟期中)某城市纵向有6条道路，横向有5条道路，构成如图所示的矩形道路网（图中黑线表示道路），则从西南角A地到东北角B地的最短路线共有 条．
【答案】126
【解析】要使路线最短，则只能向东或向北走，从A地到B地归结为走完5条横线段和4条纵线段，从9个行走段中任取4个走纵线段，其余5个行走段走横线段，故共有C94=126种走法，即最短路线有126条.
7．现有12件产品，其中5件一级品，4件二级品，3件三级品，从中取出4件使得：
(1)至少1件一级品，共几种取法？
(2)至多2件一级品，共几种取法？
(3)不都是一级品，共几种取法？
(4)都不是一级品，共几种取法？
【解析】(1)C－C＝460(种)．
(2)C＋C·C＋C·C＝420(种)．
(3)排除都是一级品的，
所以有C－C＝490(种)．
(4)都不是一级品，则只能从其余7件中选取，
有C＝35(种)．
8．从1到9的九个数字中取三个偶数和四个奇数，试问：
(1)能组成多少个没有重复数字的七位数？
(2)上述七位数中三个偶数排在一起的有几个？
(3)在(1)中的七位数中，偶数排在一起，奇数也排在一起的有几个？
(4)在(1)中任意两个偶数不相邻的七位数有几个？
【解析】(1)分步完成，第一步在4个偶数中取3个，可有C种情况；第二步在5个奇数中取4个，可有C种情况；第三步3个偶数，4个奇数进行排列，可有A种情况，所以符合题意的七位数有C·C·A＝100
800(个)．
(2)上述七位数中，3个偶数排在一起的有
C·C·A·A＝14
400(个)．
(3)上述七位数中，3个偶数排在一起，4个奇数也排在一起的有C·C·A·A·A＝5
760(个)．
(4)上述七位数中，偶数都不相邻，可先把4个奇数排好，再将3个偶数分别插入5个空中，共有C·C·A·A＝28
800(个)．
【能力提升】
9．某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有( )
A．4种
B．10种
C．18种
D．20种
【答案】B
【解析】分两类：第一类，剩余的一本是画册，则赠送方法有C种；第二类，剩余的一本是集邮册，则赠送方法有C
种，因此共有C＋C＝10种不同的赠送方法．
10．某企业要从其下属6个工厂中抽调8名工程技术人员组成课题攻关小组，每厂至少调1人，则名额的分配方案有________种．(用数字作答)
【答案】21
【解析】本题等价于8个元素形成的7个空中插入5个分隔板，有C＝21(种)．
11.(2019年浙江模拟)现有排成一排的7个不同的盒子，将红、黄、蓝、白颜色的4个小球全部放入这7个盒子中，若每个盒子最多放一个小球，则恰有两个空盒相邻且红球与黄球不相邻的不同放法共有_______种.（结果用数字表示）
【答案】336
【解析】若不考虑红球与黄球不相邻，则4个小球有A44种排法，再安排空盒，有C52A22种方法;若红球与黄球相邻，则4个小球有A33A22种排法，再安排空盒，有C42A22种方法.所以所求方法种数为A44C52A22-A33A22C42A22=336.
12．如下图，在以AB为直径的半圆周上，有异于A，B的六个点C1，C2，C3，C4，C5，C6，直径AB上有异于A，B的四个点D1，D2，D3，D4.
(1)以这10个点中的3个点为顶点作三角形可作多少个？
(2)以图中的12个点(包括A，B)中的4个点为顶点，可作出多少个四边形？
【解析】(1)可分三类：
第一类，C1，C2，C3，C4，C5，C6中取三点，可构成C个三角形；
第二类，C1，C2，C3，C4，C5，C6中取两点，D1，D2，D3，D4中取一点，可构成C·C个三角形；
第三类，C1，C2，C3，C4，C5，C6中取一点，D1，D2，D3，D4中取两点，可构成C·C个三角形．
∴共有C＋C·C＋C·C＝116(个)．
(2)构成一个四边形，需要四个点且无三点共线，
∴共有C＋C·C＋C·C＝360(个)．(共34张PPT)
1.2.2 组 合
第1课时 组合与组合数公式
目标定位
重点难点
1.理解组合的概念．
2．能利用计数原理推导组合数公式.
重点：组合的概念及组合数公式．
难点：用组合定义和组合数公式解决一些简单问题.
n个不同元素中取出m(m≤n)个元素并成一组
n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的
个数
【答案】A
2．给出下面几个问题，其中是组合问题的有( )
①由1,2,3,4构成的2个元素的集合；
②五个队进行单循环比赛的分组情况；
③由1,2,3组成两位数的不同方法数；
④由1,2,3组成无重复数字的两位数．
A．①③
B．②④
C．①②
D．①②④
【答案】C
3．从2,3,5,7这四个质数中任取两个相乘，可以得到不相等的积的个数是( )
A．4
B．5
C．6
D．8
【答案】C
【例1】
判断下列问题是排列问题，还是组合问题．
(1)从1,2,3，…，9九个数字中任取3个，组成一个三位数，这样的三位数共有多少个？
(2)从1,2,3，…，9九个数字中任取3个，然后把这3个数字组成一个集合，这样的集合共有多少个？
(3)从a，b，c，d四名学生中选2名学生，去完成同一件工作有多少种不同的选法？
排列、组合的概念辨析
(4)5个人相互通话一次，共通了多少次电话？
(5)5个人相互各写一封信，共写了多少封信？
【解题探究】取出元素之后，在安排这些元素时，与顺序有关则为排列问题，与顺序无关即为组合问题．
【解析】(1)当取出3个数字后，如果改变3个数字的顺序，会得到不同的三位数，此问题不但与取出元素有关，而且与元素的安排顺序有关，是排列问题．
(2)取出3个数字之后，无论怎样改变这3个数字之间的顺序，其表示的集合不变，此问题只与取出元素有关，而与元素的安排顺序无关，是组合问题．
(3)2名学生完成的是同一件工作，没有顺序，是组合问题．
(4)甲与乙通一次电话，也即为乙与甲通一次电话，无顺序区别，为组合问题．
(5)发信人与收信人是有区别的，为排列问题．
8
区别排列与组合的关键是看取出元素之后，在安排这些元素时，是否与顺序有关，“有关”则是排列，“无关”则为组合．
1．判断下列问题是排列问题，还是组合问题．
(1)从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某两个乡镇的社会调查，有多少种不同选法？
(2)从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加农村社会调查，有多少种不同的选法？
【解析】(1)当选出2名同学后，如果改变去的两个乡镇的顺序，会得到不同的选法，此问题不但与取出元素有关，而且与元素的安排顺序有关，是排列问题．
(2)选取出2名同学后，无论怎样改变这两个同学之间的顺序，其选派结果不变，此问题只与取出元素有关，而与元素的安排顺序无关，是组合问题．
组合数公式的应用
8
【例3】
一个口袋里装有7个白球和1个红球，从口袋中任取5个球．
(1)共有多少种不同的取法？
(2)其中恰有一个红球，共有多少种不同的取法？
(3)其中不含红球，共有多少种不同的取法？
【解题探究】由于抽取的球与次序无关，因此是一个组合问题．其中(1)是没有限制条件的问题，(2)(3)是有限制条件“含”与“不含”的问题．
组合的简单应用
8
(1)注意排列问题与组合问题的区别，关键看是否与元素的顺序有关；
(2)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取；
(3)分析题目条件，避免选取时重复和遗漏，用直接法分类复杂时，可用间接法处理．
3．要从12个人中选出5人参加一项活动，按下列要求，各有多少种不同的选法？
(1)A，B，C三人必须当选；
(2)A，B，C三人不能当选；
(3)A，B，C三人中只有一人当选．
【示例】
从4台甲型电视机和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少有甲型和乙型电视机各1台，则不同的取法有多少种？
重复计算出错
错因分析：设甲型电视机中有a，b两台电视机，乙型电视机中有A，B两台电视机，根据上述选法，其中有一种取法可以是“先选a，再选A，再选b”，另外一种取法是“先选b，再选A，再选a”．而很明显，上述两种取法是同一种结果，出现重复，究其原因是本题使用的是分步乘法计数原理．而分步必然有先有后，也就有顺序，跟排列有关．本题中无论是取两台甲型电视机还是乙型电视机，对于这两台电视机而言，只是一个组合，没有先后．
3．常见的分组问题
(1)完全均匀分组，每组的元素个数均相等．
(2)部分均匀分组，应注意不要重复，有n组均匀，最后必须除以n！.
(3)完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象．
4．几何中的组合问题
解决与几何图形有关的组合问题时，要善于利用几何图形的有关性质和特征，充分挖掘图形的隐含条件，转化为有限制条件的组合问题求解．
2.(2019年银川期中)设集合A={a,b,c,d,e}，B A，已知a∈B且B中含有3个元素，则符合要求的集合B有( )
A.6个
B.10个
C.12个
D.60个
【答案】A
【解析】因为a∈B且B中含有3个元素，所以从元素b,c,d,e中再任选两个即可得到符合条件的集合B，即集合B有C42=6(个).故选A.(共34张PPT)
第2课时 组合的综合应用
目标定位
重点难点
1.掌握应用组合与组合数公式求解实际问题中的计数问题的基本步骤和方法．
2．掌握组合数公式在两个原理中的应用．
3．掌握组合数的两个性质．
4．能利用两个原理及组合数公式解决一些简单问题.
重点：利用两个原理及组合知识解决实际问题．
难点：利用两个原理及组合知识解决实际问题.
1．某地政府召集5家企业的负责人开会，已知甲企业有2人到会，其余4家企业各有1人到会，会上有3人发言，则这3人来自3家不同企业的可能情况的种数为( )
A．14
B．16
C．20
D．48
【答案】B
2．某市拟从4个重点项目和6个一般项目中各选2个作为本年度要启动的项目，则重点项目A和一般项目B至少有一个被选中的不同选法的种数是( )
A．15
B．45
C．60
D．75
【答案】C
【例1】
已知平面M内有4个点，平面N内有5个点，问这9个点最多能确定：(1)多少个平面？(2)多少个四面体？
【解题探究】(1)利用直接法分类计算求解．(2)利用“直接分类法”或“间接法”求解均可．
与几何有关的组合问题
8
利用组合知识解决与几何有关的问题，要注意：①将已知条件中的元素特征搞清，是用直接法还是间接法；②要使用分类方法，至于怎样确定分类标准，这是一个难点，要具体问题具体分析．
1．四面体的一个顶点为A，从其他顶点和各棱中点中取3个点，使它们和点A在同一平面上，有多少种不同的取法？
【例2】
有6本不同的书按下列分配方式分配，问共有多少种不同的分配方式？
(1)分成1本、2本、3本三组；
(2)分给甲、乙、丙三人，其中一个人1本，一个人2本，一个人3本；
(3)分成每组都是2本的三个组；
(4)分给甲、乙、丙三人，每个人2本．
分组、分配问题
【解题探究】这是一个分配问题，解题的关键是搞清事件是否与顺序有关．对平均分组问题更要注意顺序，避免计数的重复或遗漏．
8
解决这类问题的关键是抓住“顺序”二字，辨别在什么情况下与顺序有关，什么情况下与顺序无关，注意“分堆”与“到位”的关系：若只分堆，不指定具体位置，则需注意平均分的情况；所谓“到位”是指分堆后给某人或指定到某些位置．
2.
将5名同学分到甲、乙、丙3个小组，若甲小组至少2人，乙、丙小组至少1人，则不同的分配方案种数为( )
A．80
B．120
C．140
D．50
【答案】A
【解析】当甲中有两个人时，首先选2个人放到甲组，共有C25＝10(种)结果，再把剩下的3个人放到乙和丙两个位置，每组至少1人，共有C23A22＝6(种)结果，根据分步乘法计数原理知共有10×6＝60(种)．当甲中有三个人时，有C35A22＝20(种)结果．∴共有60＋20＝80(种)结果．
【例3】
有6名男医生，4名女医生，从中选3名男医生，2名女医生到5个不同地区巡回医疗，但规定男医生甲不能到地区A，共有多少种不同的分派方案？
【解题探究】有限制条件的排列、组合问题，可优先考虑特殊元素或特殊位置，采用先选后排的顺序．
排列、组合综合问题
8
排列组合的综合题，不要片面地套入排列数或组合数，要加强对计数原理的理解和应用．对于带有限制条件的排列、组合综合题，一般用分类讨论或间接法两种方法处理．
3．2016年里约奥运会要从A，B，C，D，E五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中D和E只能从事前两项工作，其余三人均能从事全部工作，则不同的选派方案共有( )
A．36种
B．12种
C．18种
D．48种
【答案】A
【示例】
以三棱柱的顶点为顶点共可组成多少个不同的三棱锥？
因分类不准而出错
错因分析：在上述解法中，第二类情形中，所取4点有可能共面，这时，务必注意在上底面取2点，与之对应的下底面的2点只有2种取法．
1．解决排列、组合问题应遵循的原则
(1)按元素的性质分类；
(2)按事件发生的过程进行分步．
2．解决排列、组合应用题的思考途径
(1)特征分析：以事物的特征(本质属性)为突破口，寻找解题思路的方法．
(2)元素、位置分析法：以元素为主，分析各种可能情况，称为“元素分析法”；以位置为主，分析各种可能情况，称为“位置分析法”．
(3)直接法与间接法：直接从正面求出完成事件的各类不同方法的方法数，再求和，称为直接法；先不考虑限制条件，求方法总数，再剔除不合限制条件的方法数，称为间接法．
(4)变换命题法：将命题作一等价变换．
3．解决排列、组合综合问题的基本方法与技巧
审明题意，分清排组；特殊元位，优先考虑；类步不混，善用加乘；模图并示，不重不漏；排组综合，先组后排；加减乘除，灵活运用．
1.(2019年福建模拟)从6位女学生和5位男学生中选出3位学生，分别担任数学、信息技术、通用技术科代表，要求这3位科代表中男、女学生都要有，则不同的选法共有(
)
A．810种
B．840种
C．1620种
D．1680种
【答案】A
【解析】方法一：先选后排,不同的选法共有(C62C51+C61C52)A33=810(种).故选A.
方法二：间接法，不同的选法共有A113-A53-A63=810(种).故选A.
2.(2019年宁夏模拟)安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有(
)
A.36种
B.18种
C.24种
D.12种
【答案】A
3．(2018年永州检测)现有2门不同的考试要安排在5天之内进行，每天最多进行一门考试，且不能连续两天有考试，那么不同的考试安排方案种数是( )
A．6
B．8
C．12
D．16
【答案】C
4．圆周上有8个等分点，以其中三个点为顶点的直角三角形的个数为______．
【答案】24
