第一章 1.3 1.3.1
【基础练习】
1．在x(1＋x)6的展开式中，含x3项的系数为( )
A．30
B．20
C．15
D．10
【答案】C
2.9展开式中的常数项是( )
A．－36
B．36
C．－84
D．84
【答案】C
3．设f(x)＝(2x＋1)5－5(2x＋1)4＋10(2x＋1)3－10(2x＋1)2＋5(2x＋1)－1，则f(x)等于( )
A．(2x＋2)2
B．2x5
C．(2x－1)5
D．(2x)5
【答案】D
4．已知5的展开式中含x的项的系数为30，则a＝( )
A.
B．－
C．6
D．－6
【答案】D
5．若5的展开式中的第四项是10a3(a为大于0的常数)，则x＝________.
【答案】1
6.8的展开式中x2y2的系数为________．(用数字作答)
【答案】70
7．已知n的展开式中，第5项的系数与第3项的系数之比为56∶3，求展开式中的常数项．
【解析】T5＝Cn－424x－8＝16Cx，
T3＝Cn－222x－4＝4Cx.由题意知，＝，解得n＝10.Tk＋1＝C10－k2kx－2k＝2kC·x，令＝0，解得k＝2.
∴展开式中的常数项为C22＝180.
8．设f(x)＝(1＋x)m＋(1＋x)n展开式中x的系数是19(m，n∈N
)．
(1)求f(x)展开式中x2的系数的最小值；
(2)当f(x)展开式中x2的系数取最小值时，求f(x)展开式中x7的系数．
【解析】(1)由题设条件，得m＋n＝19.
∴m＝19－n，x2的系数为
C＋C＝C＋C＝＋
＝n2－19n＋171＝2＋.
∵n∈N
，∴当n＝9或n＝10时，
x2的系数取最小值2＋＝81.
(2)当n＝9，m＝10或n＝10，m＝9时，x2的系数取最小值，此时x7的系数为C＋C＝C＋C＝156.
【能力提升】
9.(2019年河南模拟)(2x2-x-1)5的展开式中x2的系数为(
)
A.400
B.120
C.80
D.0
【答案】D
【解析】(2x2-x-1)5表示5个相同的多项式2x2-x-1相乘，当其中1个选2x2,4个选-1，或其中2个选-x,3个选-1，都可以得到x2项，故展开式中x2项为C51(2x2)(-1)4+C52(-x)2(-1)3=0，即x2的系数为0.故选D.
10.(2019年西藏模拟)若(x+2)(-x)5展开式的常数项等于-80，则a=(
)
A．-2
B．2
C．-4
D．4
【答案】A
【解析】(-x)5的展开式的通项为Tr+1=C5r()5-r(-x)r=(-1)ra5-rC5rx2r-5，此展开式中无常数项，令r=2得，x-1项为T3=10a3x-1,所以(x+2)(-x)5展开式的常数项等于1×10a3=-80，解得a=-2.故选-2.故选A.
11．(2017年太原校级联考)设函数f(x)＝则当x>0时，f(f(x))表达式的展开式中常数项为______．
【答案】－20
【解析】当x>0时，f(x)＝－<0，所以f(f(x))＝6，其展开式的通项公式为Tr＋1＝C·(－)6－r·r＝(－1)6－r·C·()6－2r.由6－2r＝0得r＝3，所以常数项为(－1)3·C＝－20.
12．在二项式n的展开式中，前三项的系数的绝对值成等差数列．
(1)求展开式中的常数项；
(2)这个展开式中是否存在x2项？若不存在，说明理由；若存在，请求出来．
【解析】前三项系数的绝对值分别为C，C，C，从而有C＝C＋C，即n2－9n＋8＝0.∴n＝8或n＝1(舍去)．
∴Tr＋1＝C8－rr
＝rCx(r＝0,1,2，…，8)．
(1)令＝0，得r＝4.
故常数项为T5＝C4＝.
(2)令＝2，得r＝1.从而该展开式中含x2项且该项是T2＝1Cx2＝－4x2.(共31张PPT)
1.3 二项式定理
1.3.1 二项式定理
目标定位
重点难点
1.能用计数原理得到二项式定理．
2．掌握二项式定理及其展开式的通项公式．
3．会用二项式定理解决与二项式有关的简单问题.
重点：二项式定理及二项展开式的通项公式．
难点：用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.
二项式系数
等于
n＋1
k＋1
n
1．(x－2y)10展开式中的项数为( )
A．10
B．11
C．12
D．9
【答案】B
二项式定理的正用、逆用
8
熟练掌握二项式(a＋b)n的展开，是解答与二项式有关问题的前提条件，当二项式较复杂时，可先将式子简化，然后再展开．逆用二项式定理，要注意分析结构特点，指数不满足时可通过乘(或除)某项来调整，缺项时通过添加项来凑结构形式．
二项展开式中特定项
8
【例3】
求1.9975精确到0.001的近似值．
【解题探究】首先把1.997化成2－0.003，再利用二项式定理展开计算即可求解．
二项式定理的应用
8
利用二项式定理进行近似计算，关键是确定展开式中的保留项，使其满足近似计算的精确度．
3．求证：1＋2＋22＋…＋25n－1能被31整除(n∈N
)．
混淆“二项式系数”与“项的系数”
错因分析：错解中将“二项展开式中第三项的二项式系数”当成了“第三项的系数”．
1．二项式(a＋b)n的展开式项数为(n＋1)项，各项指数状况如下
(1)各项的次数都等于二项式的幂指数n；
(2)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零，字母b按升幂排列，从第一项起，由零逐项增1直到n.
1．二项展开式(a＋b)3n的项数是( )
A．3n－1
B．3n
C．3n＋1
D．3n＋2
【答案】C
【答案】B
3．(2018年枣阳模拟)(x2＋x＋y)5的展开式中x5y2的系数为( )
A．10
B．20
C．30
D．40
【答案】C
