第一章 1.3 1.3.2
【基础练习】
1．在(1＋x)6(1＋y)4的展开式中，记xmyn项的系数为f(m，n)，则f(3,0)＋f(2,1)＋f(1,2)＋f(0,3)＝( )
A．45
B．60
C．120
D．210
【答案】C
2．(2018年宁波模拟)若(1＋mx)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6，且a1＋a2＋…＋a6＝63，则实数m的值为( )
A．1或3
B．－3
C．1
D．1或－3
【答案】D
3．设m为正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b.若13a＝7b，则m＝( )
A．5
B．6
C．7
D．8
【答案】B
【解析】(x＋y)2m展开式中二项式系数的最大值为C，即a＝C.同理b＝C，∴13C＝7C，即＝，∴＝13，解得m＝6.
4．设(x2＋1)(2x＋1)9＝a0＋a1(x＋2)＋a2(x＋2)2＋…＋a11(x＋2)11，则a0＋a1＋a2＋…＋a11等于( )
A．－2
B．－1
C．1
D．2
【答案】A
【解析】令x＝－1，得[(－1)2＋1]×[2×(－1)＋1]9＝a0＋a1(2－1)＋a2(2－1)2＋…＋a11(2－1)11，∴a0＋a1＋a2＋…＋a11＝－2.故选A.
5.(2019年六安期末)在(1+x)2+(1+x)3+…+(1+x)8的展开式中，含x2项的系数是________.(结果用数值表示)
【答案】84
【解析】展开式中，含x2项的系数是
C22+C32+C42+C52+C62+C72+C82=C33+C32+C42+C52+C62+C72+C82=C93=84.
6．如图是一个类似杨辉三角的递推式，则第n行的首尾两个数均为________．
【答案】2n－1
7．(1－x)5(3＋2x)9＝a0(x＋1)14＋a1(x＋1)13＋…＋a13(x＋1)＋a14，求：
(1)a0＋a1＋…＋a14的值；
(2)a1＋a3＋…＋a13的值．
【解析】(1)令x＝0，得a0＋a1＋…＋a14＝39.
(2)设A＝a0＋a2＋…＋a14，B＝a1＋a3＋…＋a13，则有A＋B＝39.令x＝－2，有A－B＝－35，联立方程组，解得a1＋a3＋…＋a13＝.
8．在(3x－2y)20的展开式中，求：
(1)二项式系数最大的项；
(2)系数绝对值最大的项；
(3)系数最大的项．
【解析】(1)二项式系数最大的项是第11项，
T11＝C·310·(－2)10·x10y10＝C·610·x10y10.
(2)设系数绝对值最大的项是第r＋1项，
于是
化简，得解得7≤r≤8.
所以r＝8，
即T9＝C·312·28·x12y8是系数绝对值最大的项．
(3)由于第9项系数绝对值最大且为正，所以第9项系数最大．
T9＝C·312·28·x12y8.
【能力提升】
9.(2019年广东深圳模拟)已知(1+)(2x-)5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为(
)
A.-80
B.-40
C.40
D.80
【答案】D
【解析】令x=1，可得展开式中各项系数的和为(1+a)(2-1)5=2，解得a=1,则(1+)(2x-)5=(2x-)5+(2x-)5.其中，(2x-)5的展开式的通项为Tr+1=C5r(2x)5-r(-)r=(-1)r25-rC5rx5-2r，其中不含常数项，令r=2得T3=80x，所以该展开式中常数项为80.故选D.
10．若(x＋1)5＝a5x5＋a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0，则(a5＋a3＋a1)2－(a4＋a2＋a0)2的值等于( )
A．0
B．－32
C．32
D．－1
【答案】A
【解析】令x＝1得到25＝a5＋a4＋a3＋a2＋a1＋a0，
令x＝－1得到0＝－a5＋a4－a3＋a2－a1＋a0，
所以(a5＋a3＋a1)2－(a4＋a2＋a0)2＝(a5＋a4＋a3＋a2＋a1＋a0)(a5－a4＋a3－a2＋a1－a0)＝0.
11．(2015年上海)在10的展开式中，x2项的系数为________．(结果用数值表示)
【答案】45
【解析】10＝10，其二项展开式的通项公式为Tr＋1＝C(1＋x)10－rx－2
015r.当r>0时不合题意，故r＝0，问题转化为求(1＋x)10的展开式中x2的系数，其二项展开式的通项公式为Tk＋1＝Cxk，令k＝2，则x2项的系数为C＝45.
12.(2019年江苏)设(1+x)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn，n≥4，n∈N
.已知a32=2a2a4．
(1)求n的值；
(2)设(1+)n=a+b，其中a,b∈N
，求a2-3b2的值．
【解析】(1)由(1+x)n=Cn0+Cn1x+Cn2x2+…+Cnnxn,n≥4，
可得a2=Cn2=n(n-1),a3=Cn3=n(n-1)(n-2),a4=Cn4=n(n-1)(n-2)(n-3).
由a32=2a2a4，可得[n(n-1)(n-2)]2=n(n-1)·n(n-1)(n-2)(n-3)，
化简得2(n-2)=3(n-3)，解得n=5.
(2)方法一:
(1+)5=C50+C51+C52()2+C53()3+C54()4+C55()5
=1+5+30+30+45+9
=76+44,
又(1+)n=a+b，其中a,b∈N
，
所以a=76,b=44.
所以a2-3b2=762-3×442=-32.
方法二:
(1+)5=a0+a1+a2()2+a3()3+a4()4+a5()5=a+b，
则(1-)5=a0+a1(-)+a2(-)2+a3(-)3+a4(-)4+a5(-)5=a-b，
可得(a+b)(a-b)=(1+)5(1-)5,
即a2-3b2=(1-3)5=-32.(共31张PPT)
1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质
目标定位
重点难点
1.理解“杨辉三角”的性质以及和二项式系数的关系．
2．掌握二项展开式系数的性质并灵活运用.
重点：二项式系数的性质以及应用．
难点：二项展开式中有关系数的和及最大项问题.
1．二项式系数的性质
(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数______．
相等
(2)增减性与最大值：当________时，二项式系数逐渐增大；当________时，二项式系数逐渐减小且系数呈对称性，由此可知二项式系数在中间取得最大值．
若n为偶数，则中间的一项二项式系数_____取得最大值；若n为奇数，则中间的两项二项式系数_______________相等且同时取得最大值．
2n
2n
2n－1
1．(1－x)13的展开式中系数最小的项为( )
A．第6项
B．第7项
C．第8项
D．第9项
【答案】C
2．(1＋2x)10的展开式中各项的系数和为( )
A．310
B．210
C．－1
D．1
【答案】A
3．已知(1＋x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为( )
A．212
B．211
C．210
D．29
【答案】D
【例1】
在二项式(2x－3y)9的展开式中，求：
(1)二项式系数之和；
(2)各项系数之和；
(3)所有奇数项系数之和；
(4)各项系数绝对值的和．
【解题探究】二项展开式是一个恒等式，因而可采用赋值完成．
二项展开式的系数的和
8
对于二项式系数和项的系数问题除了熟记二项式系数的性质外，还要掌握赋值法．
1．已知(1－2x＋3x2)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a13x13＋a14x14，求：
(1)a1＋a2＋…＋a14；
(2)a1＋a3＋a5＋…＋a13.
二项展开式的系数的最值
8
二项展开式中，项的系数与项的二项式系数是两个不同的概念，前者是指数、底数二者决定，而后者只与二项式次数有关．求最大系数值的项可根据数列(系数值构成的数列)的单调性确定．
2．(1＋2x)n的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项．
二项式系数的应用
8
(a＋b)n展开式的所有项的二项式系数和为2n.由二项式系数的对称性可联想到倒序相加法求和．
【示例】
求(1＋2x)20的展开式中x的奇次方项系数的和与x的偶次方项系数的和．
错解：∵二项展开式中奇次方项系数的和与偶次方项系数的和相同，
∴奇次方项系数的和与偶次方项系数的和各为219.
错因分析：主要还是没看清题意，将系数和与二项式系数和混淆了．
错用二项式系数性质致错
1．二项式系数的性质可在杨辉三角中直观地看出．
2．求展开式中的系数或展开式中的系数的和、差的关键是给字母赋值，赋值的选择则需根据所求的展开式系数和特征来确定．
2.(2019年齐齐哈尔期末)(x-)n的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则展开式中含x2项的系数是(
)
A.56
B.35
C.-56
D.-35
【答案】C
