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2.1 离散型随机变量及其分布列
2.1.1 离散型随机变量
目标定位
重点难点
1.理解随机变量的概念．
2．会区分离散型与非离散型随机变量．
3．理解随机变量所表示试验结果的含义，并恰当地定义随机变量.
重点：随机变量的概念．
难点：随机变量的含义.
1．随机变量与离散型随机变量
在随机试验中，确定了一个对应关系，使得每一个试验结果都可用一个确定的数字表示．在这个对应关系下，数字随着___________的变化而变化．这种随着试验结果的变化而变化的变量称为__________，随机变量常用字母X，Y或ξ，η等表示．所有取值可以__________的随机变量，称为离散型随机变量．
试验结果
随机变量
一一列出
2．随机变量与函数的关系
随机变量与函数都是一种________，随机变量把试验结果映射为________．函数把实数映射为________．随机变量的取值范围相当于函数的________，__________的范围相当于函数的定义域．
映射
实数
实数
值域
试验结果
1．下列不是离散型随机变量的是( )
A．某水文站观察到一天中长江的水位为X
B．某寻呼台一天内收到的寻呼次数为X
C．某机场候机室中一天的游客数量为X
D．某公交车站一天内停靠的公交车辆数为X
【答案】A
2．下面给出四个随机变量：
①一高速公路上某收费站在1小时内经过的车辆数ξ；
②一个沿直线y＝x进行随机运动的质点，它在该直线上的位置η；
③某城市在1天内发生的火警次数；
④1天内的温度η.
其中是离散型随机变量的是( )
A．①②
B．③④
C．①③
D．②④
【答案】C
3．一批产品共12件，其中次品3件，每次从中任取一件，在取得合格品之前取出的次品数ξ的所有可能取值是________．
【答案】0,1,2,3
4．抛掷两枚骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数减第二枚骰子掷出的点数的差为X，请问：“X＞4”表示的试验结果是____________________．
【答案】第一枚为6点，第二枚为1点
【例1】
指出下列变量中，哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由．
①任意掷一枚均匀硬币5次，出现正面向上的次数；
②投一颗质地均匀的骰子出现的点数(最上面的数字)；
③某个人的属相随年龄的变化；
④在标准状况下，水在0
℃时结冰．
【解题探究】利用随机变量的定义去分析相应的实例．
随机变量的概念
【解析】①任意掷一枚硬币1次，可能出现正面向上也可能出现反面向上，因此投掷5次硬币，出现正面向上的次数可能是0,1,2,3,4,5，而且出现哪种结果是随机的，是随机变量．
②投一颗骰子出现的结果是1点，2点，3点，4点，5点，6点中的一个且出现哪个结果是随机的，因此是随机变量．
③属相是出生时便定的，不随年龄的变化而变化，不是随机变量．
④标准状况下，在0
℃时水结冰是必然事件，不是随机变量．
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解答本题的关键在于分析变量是否满足随机试验的结果：预先知道所有可能取的值，而不知道在一次试验中哪个结果发生，随机变量取哪一个值．
1．10件产品中有3件次品，从中任取2件，可作为随机变量的是( )
A．取到产品的件数
B．取到正品的概率
C．取到次品的件数
D．取到次品的概率
【答案】C
【例2】
指出下列随机变量是否是离散型随机变量，并说明理由．
(1)从10张已编好号码的卡片(从1号到10号)中任取一张，被取出的卡片的号数；
(2)一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数；
(3)某林场树木最高达30
m，则此林场中树木的高度；
(4)某加工厂加工的某种钢管的外径与规定的外径尺寸之差．
离散型随机变量的判定
【解题探究】解答此题的关键是把握住“一一列出”这一特性．
【解析】(1)只要取出一张，便有一个号码，因此被取出的卡片号数可以一一列出，符合离散型随机变量的定义．
(2)从10个球中取3个球，所得的结果有以下几种：3个白球，2个白球和1个黑球，1个白球和2个黑球，3个黑球，即其结果可以一一列出，符合离散型随机变量的定义．
(3)林场树木的高度是一个随机变量，它可以取(0,30]内的一切值，无法一一列举，不是离散型随机变量．
(4)实际测量值与规定值之间的差值无法一一列出，不是离散型随机变量．
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分析离散型随机变量时，一定要紧扣定义，是否能一一列出，若能，则是离散型随机变量；若不能，则不是离散型随机变量．
2．①某座大桥一天经过的中华牌轿车的辆数为X；
②某网站中歌曲《爱我中华》一天内被点击的次数为X；
③射手对目标进行射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，用X表示该射手在一次射击中的得分．
上述问题中的X是离散型随机变量的是( )
A．①②③
B．①②
C．①③
D．②③
【答案】A
【例3】
写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果．
(1)一个袋中装有2个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数为ξ；
(2)一个袋中装有5个同样大小的球，编号为1,2,3,4,5.现从该袋内随机取出3个球，被取出的球的最大号码数为ξ.
【解题探究】根据题目的实际意义和随机变量的意义去分析所表示的结果．
随机变量的综合应用
【解析】(1)ξ可取0,1,2.
ξ＝i，表示取出的3个球中有i个白球，3－i个黑球，其中i＝0,1,2.
(2)ξ可取3,4,5.
ξ＝3，表示取出的3个球的编号为1,2,3；
ξ＝4，表示取出的3个球的编号为1,2,4或1,3,4或2,3,4；
ξ＝5，表示取出的3个球的编号为1,2,5或1,3,5或1,4,5或2,3,5或2,4,5或3,4,5.
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理解清楚随机变量可能的取值及其每一个值对应的事件的意义，不要漏取或多取，同时要找好对应量．
3．写出下列各随机变量可能的取值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果．
(1)从一个装有编号为1号到10号的10个球的袋中，任取1球，被取出的球的编号为X；
(2)一个袋中装有10个红球，5个白球，从中任取4个球，其中所含红球的个数为X；
(3)投掷两枚骰子，所得点数之和为X，所得点数之和是偶数Y.
【解析】(1)X的可能取值为1,2,3，…，10，X＝k(k＝1，2，…，10)表示取出编号为k号的球．
(2)X的可能取值为0,1,2,3,4，X＝k表示取出k个红球，(4－k)个白球，其中k＝0,1,2,3,4.
(3)若以(i，j)表示投掷甲、乙两枚骰子后骰子甲得i点且骰子乙得j点，X的可能取值为2,3,4，…，12，则
X＝2表示(1,1)；
X＝3表示(1,2)，(2,1)；
X＝4表示(1,3)，(2,2)，(3,1)；
…；
X＝12表示(6,6)．
Y的可能取值为2,4,6,8,10,12.
Y＝2表示(1,1)；
Y＝4表示(1,3)，(2,2)，(3,1)；
…；
Y＝12表示(6,6)．
【示例】
小王参加一次比赛，比赛共设三关，第一、二关各有两个必答题，如果每关两个问题都答对，可进入下一关，第三关有三个问题，只要答对其中两个问题，则闯关成功．每过一关可一次性获得价值分别为1
000元，3
000元，6
000元的奖品(不重复得奖)，用ξ表示小王所获奖品的价值，写出ξ的可能取值．
未理解题意，审题不清致错
错解：ξ的可能取值为：
0,1
000,3
000,4
000,6
000,9
000,10
000.
错因分析：①对题目背景理解不准确．比赛设三关，前一关不过是不允许进入下一关比赛的，而错解中理解为可进入下一关．
②忽略题目中的条件．忽略不重复得奖，最高奖不会超过6
000元．
正解：ξ的可能取值为0,1
000,3
000,6
000.
ξ＝0表示第一关就没有过；
ξ＝1
000表示第一关过而第二关没有通过；
ξ＝3
000表示第一关通过，第二关通过而第三关没有通过；
ξ＝6
000表示三关都通过．
警示：解决此类问题的关键是理解清楚随机变量所有可能的取值及其取每一个值时对应的意义，不要漏掉或多取值，同时要找好对应关系．
1．随机变量的概念
所谓随机变量，就是随机试验的试验结果和实数之间的一个对应关系，这种对应关系是人为建立起来的，但又是客观存在的．这与函数概念的本质是一样的，只不过在函数的概念中，函数f(x)的自变量x是实数，而在随机变量的概念中，随机变量ξ是试验结果．
2．随机变量和函数的关系
随机变量和函数都是一种映射，随机变量把随机试验的结果映为实数，函数把实数映为实数．在这两种映射之间，试验结果的范围相当于函数的定义域，随机变量的取值范围相当于函数的值域．
1.(2019年武威月考)先后抛掷一枚质地均匀的骰子5次,那么不能作为随机变量的是(
)
A.出现7点的次数
B.出现偶数点的次数
C.出现2点的次数
D.出现的点数大于2小于6的次数
【答案】A
【解析】抛掷一枚骰子不可能出现7点，即出现7点的次数恒为0，不能作为随机变量.故选A.
2．(2016年衡阳期末)已知下列随机变量：
①10件产品中有2件次品，从中任选3件，取到次品的件数X；
②一位射击手对目标进行射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，用X表示该射击手在一次射击中的得分；
③刘翔在一次110米跨栏比赛中的成绩X；
④在体育彩票的抽奖中，一次摇号产生的号码数X.
其中X是离散型随机变量的是( )
A．①②③
B．②③④
C．①②④
D．③④
【答案】C
3．袋中有大小相同的五个球，分别标有1,2,3,4,5五个号码，现在在有放回抽取的条件下依次取出两个球，设两个球号码之和为随机变量ξ，则ξ所有可能取值的个数是( )
A．5
B．9
C．10
D．25
【答案】B
【解析】号码之和可能为2,3,4,5,6,7,8,9,10共9种．
4．有5把钥匙，其中只有一把能打开锁，某人依次尝试开锁，若打不开就把该钥匙扔掉，直到打开为止，则试验次数ξ的最大取值为________．
【答案】5
【解析】ξ的可能取值为1,2,3,4,5，所以ξ的最大取值为5.第二章 2.1 2.1.1
【基础练习】
1．下面给出三个变量：
①2018年10月北京市下雨的天数ξ；
②从学校回家要经过5个红绿灯口，可能遇到红灯的次数η；
③一同学放学后到食堂就餐，到达某个窗口时已经在此排队的学生数X.
其中是随机变量的是( )
A．②
B．①③
C．②③
D．①②③
【答案】C
2．袋中有2个黑球，6个红球，从中任取两个，可以作为随机变量的是( )
A．取到的球的个数
B．取到红球的个数
C．至少取到一个红球
D．至少取到一个红球的概率
【答案】B
3．抛掷2颗骰子，所得点数之和记为ξ，那么“ξ＝4”表示的随机试验的结果是( )
A．2颗都是4点
B．1颗是1点，另1颗是3点
C．2颗都是2点
D．1颗是1点，另一颗是3点，或者2颗都是2点
【答案】D
4.(2019年西安月考)抛掷两枚骰子一次，ξ为第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差，则ξ的所有可能的取值为(
)
A.0≤ξ≤5,ξ∈N
B.-5≤ξ≤0,ξ∈Z
C.1≤ξ≤6,ξ∈N
D.-5≤ξ≤5,ξ∈Z
【答案】D
5．一盒乒乓球共15个，其中有4个是已用过的，在比赛时，某运动员从中随机取2个使用，比赛结束后又放回盒中，则此盒中已用过的乒乓球个数的所有可能取值是________．
【答案】4,5,6
6．连续不断地射击某一目标，首次击中目标需要的射击次数X是一个随机变量，则X＝4表示的试验结果是________．
【答案】前3次未击中目标，第4次击中目标
7．某校为学生定做校服，规定凡身高(精确到1
cm)不超过160
cm的学生交校服费80元；凡身高超过160
cm的学生，身高每超出1
cm多交5元钱．若学生应交校服费为η，学生身高用ξ表示，则η和ξ是否为离散型随机变量？
【解析】由于该校的每一个学生对应着唯一的身高，并且ξ取整数值，因此ξ是一个离散型随机变量．而η＝所以η也是一个离散型随机变量．
8．写出下列随机变量ξ可能取的值，并说明随机变量ξ＝4所表示的随机试验的结果．
(1)从10张已编号的卡片(编号从1号到10号)中任取2张(一次性取出)，被取出的卡片的较大编号为ξ；
(2)某足球队在点球大战中5次点球射进的次数为ξ.
【解析】(1)ξ的所有可能取值为2,3,4，…，10.其中“ξ＝4”表示的试验结果为“取出的两张卡片中的较大号码为4”．基本事件有如下三种：取出的两张卡片编号分别为1和4,2和4,3和4.
(2)ξ的所有可能取值为0,1,2,3,4,5.其中“ξ＝4”表示的试验结果为“5次点球射进4个球”．
【能力提升】
9．某人进行射击，共有5发子弹，击中目标或子弹打完就停止射击，射击次数为ξ，则“ξ＝5”表示的试验结果是( )
A．第5次击中目标
B．第5次未击中目标
C．前4次均未击中目标
D．前4次击中目标
【答案】C
【解析】ξ＝5表示射击5次，即前4次均未击中，否则不可能射击第5次，但第5次是否击中目标，就不一定，因为他只有5发子弹．故选C.
10．袋中装有号码分别为1,2,3,4,5的5张卡片，从中有放回地抽2张卡片，记顺次抽出的2张卡片号码之和为X，则“X＝4”所表示的试验结果是( )
A．抽到4号卡片
B．抽到4张号码为1的卡片
C．第一次抽到1号，第二次抽到3号；或第一次抽到3号，第二次抽到1号
D．第一次抽到1号，第二次抽到3号；或第一次抽到3号，第二次抽到1号；或两次都抽到2号
【答案】D
【解析】“x＝4”表示抽出的2张卡号码之和为4，有1＋3,3＋1,2＋2共3种情况．
11．在考试中，需回答三个问题，考试规则规定：每题回答正确得100分，回答不正确得－100分，则这名同学回答这三个问题的总得分ξ的所有可能取值是________．
【答案】100，－100,300，－300
【解析】由题意得，结果有4种情况，①答对3题，得300分；②答对2题，得100分；③答对1题，得－100分；④全部答错，得－300分．
12．某同学的钱夹只剩有20元、10元、5元、2元和1元人民币各1张，他决定随机抽出2张．用ξ表示这两张金额之和．写出ξ的可能取值，并说明所取值表示的随机试验结果．
【解析】ξ的可能取值为3,6,7,11,12,15,21,22,25,30.
ξ＝3表示抽到的是1元和2元；
ξ＝6表示抽到的是1元和5元；
ξ＝7表示抽到的是2元和5元；
ξ＝11表示抽到的是1元和10元；
ξ＝12表示抽到的是2元和10元；
ξ＝15表示抽到的是5元和10元；
ξ＝21表示抽到的是1元和20元；
ξ＝22表示抽到的是2元和20元；
ξ＝25表示抽到的是5元和20元；
ξ＝30表示抽到的是10元和20元．
