第二章 2.2 2.2.2
【基础练习】
1．(2017年临汾检测)妈妈给读小学三年级的小明出了两道数学题，她预估小明做对第一道题的概率为0.80，做对两道题的概率为0.60，则预估做对第二道题的概率是( )
A．0.80
B．0.75
C．0.60
D．0.48
【答案】B
2．甲、乙两名同学参加一项射击比赛游戏，其中任何一人每射击一次击中目标得2分，未击中目标得0分．若甲、乙两人射击的命中率分别为和p且甲、乙两人各射击一次得分之和为2的概率为.假设甲、乙两人射击互不影响，则p值为( )
A.
B.
C.
D.
【答案】C
3．两人独立地破译一个密码，他们能译出的概率分别为，，则密码被译出的概率为( )
A．0.45
B．0.05
C．0.4
D．0.6
【答案】C
4．甲、乙、丙三台机床是否需要维修相互之间没有影响．在一小时内甲、乙、丙三台机床需要维修的概率分别是0.1,0.2，0.4，则一小时内恰有一台机床需要维修的概率是( )
A．0.444
B．0.008
C．0.7
D．0.233
【答案】A
5.(2019年淮安期末)如图，用K,A1,A2三个不同的元件连接成一个系统．当K正常工作且A1，A2至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知K，A1，A2正常工作的概率依次是0.9，0.8，0.8且各元件是否正常工作相互独立，则系统正常工作的概率为(
)
A.0.960 B.0.864 C.0.720 D.0.576
【答案】B
6．计算机毕业考试分为理论与操作两部分，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，只有当两部分考试都“合格”者，才颁发计算机“合格证书”．甲、乙两人在理论考试中“合格”的概率依次为，，在操作考试中“合格”的概率依次为，，所有考试是否合格，相互之间没有影响．则甲、乙进行理论与操作两项考试后，恰有1人获得“合格证书”的概率________．
【答案】
7．甲、乙两门高射炮同时向敌机射击．已知甲炮击中敌机的概率是0.6，乙炮击中敌机的概率是0.5，求敌机被击中的概率．
【解析】方法一：记事件A表示“甲炮击中敌机”，B表示“乙炮击中敌机”，C表示“敌机被击中”．
由题意知，事件A与B相互独立且事件C＝AB∪A∪B，
故P(C)＝P(AB∪A∪B)
＝P(AB)＋P(A)＋P(B)
＝P(A)P(B)＋P(A)P()＋P()P(B)
＝0.6×0.5＋0.6×(1－0.5)＋(1－0.6)×0.5
＝0.8.
方法二：由于“敌机被击中”表示“敌机被甲击中”与“敌机被乙击中”两事件至少有一个发生，
即C表示A与B至少有一个发生．
则＝
.
故P(C)＝1－P()＝1－P(
)
＝1－P()P()
＝1－(1－0.6)×(1－0.5)
＝0.8.
8.(2019年兰州模拟)某智能共享单车备有A,B两种车型,采用分段计费的方式营用.A型单车每30分钟收费0.5元(不足30分钟的部分按30分钟计算),B型单车每30分钟收费1元(不足30分钟的部分按30分钟计算).现有甲、乙、丙三人,分别相互独立地到租车点租车骑行(各租一车一次),设甲、乙、丙不超过30分钟还车的概率分别为,,,并且三个人每人租车都不会超过60分钟,甲、乙均租用A型单车,丙租用B型单车.
（1）求甲、乙两人所付的费用之和等于丙所付的费用的概率;
（2）设甲、乙、丙三人所付的费用之和为随机变量ξ,求ξ的分布列.
【解析】（1）由题意,甲、乙、丙三人在30分钟以上且不超过60分钟还车的概率分别为,,.
设“甲、乙两人所付费用之和等于丙所付费用”为事件M,
则P(M)＝××＋××＝.
（2）随机变量ξ的所有可能取值为2,2.5,3,3.5,4.
P(ξ＝2)＝××＝,
P(ξ＝2.5)＝××＋××＝,
P(ξ＝3)＝××＋××＝,
P(ξ＝3.5)＝××＋××＝,
P(ξ＝4)＝××＝,
所以ξ的分布列为
ξ
2
2.5
3
3.5
4
P
【能力提升】
9.荷花池中，有一只青蛙在成品字形的三片荷叶上跳来跳去(每次跳跃时，均从一叶跳到另一叶)，而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍，如图．假设现在青蛙在A叶上，则跳三次之后停在A叶上的概率是( )
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】设顺时针跳的概率为p，则逆时针方向跳的概率为2p，则p＋2p＝3p＝1，解得p＝，即顺时针跳的概率为，则逆时针方向跳的概率，若青蛙在A叶上，跳3次之后停在A叶上，则满足3次逆时针或者3次顺时针，①若按逆时针跳，则对应的概率为××＝，②若按顺时针跳，则对应的概率为××＝，则所求概率为＋＝.
10.(2019年沧州模拟)体育课上定点投篮项目测试规则：每位同学有3次投篮机会，一旦投中，则停止投篮，视为合格，否则一直投3次为止.每次投中与否相互独立，某同学一次投篮投中的概率为p，若该同学本次测试合格的概率为0.784，则p=_____．
【答案】0.4
【解析】当该同学连续3次投篮都不中时，测试不合格，故测试合格的概率为1-(1-p)3=0.784，解得p=0.4.
11．若在4次独立重复试验中，事件A至少发生一次的概率为，那么事件A在一次试验中发生的概率为______．
【答案】
【解析】设事件A在一次试验中发生的概率为p，根据相互独立事件的概率可知1－(1－p)4＝，解得p＝.
12．(2018年北京模拟)为迎接2022年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动，该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为40元(不足1小时的部分按1小时计算)．有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为，；1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为，；两人滑雪时间都不会超过3小时．
(1)求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；
(2)设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列．
【解析】(1)若两人所付费用相同，则相同的费用可能为0元，40元，80元．
两人都付0元的概率为p1＝×＝，
两人都付40元的概率为p2＝×＝，
两人都付80元的概率为p3＝×＝.
∴两人所付费用相同的概率为p＝p1＋p2＋p3＝＋＋＝.
(2)由题意，ξ所有可能的取值为0,40,80,120,160.
P(ξ＝0)＝×＝，
P(ξ＝40)＝×＋×＝，
P(ξ＝80)＝×＋×＋×＝，
P(ξ＝120)＝×＋×＝，
P(ξ＝160)＝×＝.
∴ξ的分布列为
ξ
0
40
80
120
160
P(共41张PPT)
2.2.2 事件的相互独立性
目标定位
重点难点
1.理解两个事件相互独立的定义，并会判定事件的独立性．
2．掌握相互独立事件同时发生的概率乘法公式，并能解决实际问题.
重点：独立性的概念及相互独立事件同时发生的乘法公式．
难点：理解独立性的概念.
1．相互独立事件的概念
(1)设A，B为两个事件，如果P(AB)＝__________，则称事件A与事件B相互独立．
(2)对于事件A，B，若A的发生与B的发生互不影响，也称_______________________．
P(A)P(B)
A，B是相互独立事件
2．判断事件是否相互独立的方法
(1)利用定义：事件A，B相互独立 __________________.
(2)利用性质：A与B相互独立，则__________，________，________也都相互独立．
P(AB)＝P(A)·P(B)
1．袋内有3个白球和2个黑球，从中不放回地摸球，用A表示“第一次摸得白球”，用B表示“第二次摸得白球”，则A与B是( )
A．互斥事件
B．相互独立事件
C．对立事件
D．不相互独立事件
【答案】D
【例1】
一个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，令A＝{一个家庭中既有男孩又有女孩}，B＝{一个家庭中最多有一个女孩}．对下述两种情形，讨论A与B的独立性：
(1)家庭中有两个小孩；
(2)家庭中有三个小孩．
【解题探究】可利用独立事件的意义以及独立事件概率公式来判定．
事件相互独立性的判断
8
判断事件是否独立，可由事件本身的性质看是否相互影响，从而得出相互独立与否，在不易直接判断各事件间是否相互影响时，一般都采取计算概率的方法判断，此外，还应把相互独立事件同互斥事件、对立事件区别开．
1．容器中盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球．
(1)“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”这两事件是否相互独立？为什么？
(2)“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“把取出的1个白球放回容器，再从容器中任意取出1个，取出的是黄球”这两个事件是否相互独立？为什么？
【例2】
从一副扑克牌(52张)中任抽一张，设A＝“抽得老K”，B＝“抽得红牌”，C＝“抽到J”，判断下列每对事件是否相互独立？是否互斥？是否对立？为什么？
(1)A与B；(2)C与A．
【解题探究】利用互斥事件、对立事件的概念及独立事件概率公式来判断．
互斥事件、对立事件、相互独立事件的辨析
8
解决相互独立问题关键在于找准并设出相互独立的事件，若从正面比较难解答，可考虑其对立事件的概率，这样可减少运算量，提高准确率．
2．判断下列各对事件是互斥事件还是相互独立事件．
(1)运动员甲射击1次，“射中9环”与“射中8环”；
(2)甲、乙两名运动员各射击1次，“甲射中10环”与“乙射中9环”；
(3)甲、乙两名运动员各射击1次，“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没有射中目标”；
(4)甲、乙两名运动员各射击1次，“至少有1人射中目标”与“甲射中目标，但乙没有射中目标”．
【解析】(1)甲射击1次，“射中9环”与“射中8环”两个事件不可能同时发生，二者是互斥事件．
(2)甲、乙各射击1次，“甲射中10环”发生与否对“乙射中9环”的概率没有影响，二者是相互独立事件．
(3)甲、乙各射击1次，“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没有射中目标”不可能同时发生，二者是互斥事件．
(4)甲、乙各射击1次，“至少有1人射中目标”与“甲射中目标，但乙没有射中目标”可能同时发生，二者构不成互斥事件，也不是相互独立事件．
【例3】
甲、乙两射击运动员分别对一目标射击1次，甲射中的概率为0.8，乙射中的概率为0.9，求：
(1)两人都射中的概率；
(2)两人中恰有一人射中的概率；
(3)两人中至少有一人射中的概率；
(4)两人中至多有一人射中的概率．
相互独立事件同时发生的概率的计算
8
求由几个基本事件组成的一般事件的概率时，一般都要判断各基本事件是否相互独立，然后再利用相互独立事件概率乘法公式求概率，从而使问题变得更加简洁．
未搞清事件关系致错
1．判定相互独立事件的方法
(1)由定义，若P(AB)＝P(A)P(B)，则A，B相互独立，即如果A，B同时成立的概率等于事件A的概率与事件B的概率的积，则可得事件A，B为相互独立事件．
(2)有些事件根本没有必要通过概率的计算，常常通过对事物本质进行分析就能直接判定出相互独立与否．
